100的欧拉函数

100的欧拉函数

100的欧拉函数（也被称为万能函数）是数学中的一种特殊函数，它可以简化许多复杂的数学问题，使其变得简单且容易理解。英国数学家兼物理学家威廉欧拉1806年发明了这个函数，通过它，他发现了许多数学定理，如著名的欧拉定理。

100的欧拉函数以100为参数，它接受任何给定的实数，并返回一个实数结果。100的欧拉函数有几个基本特征，包括：

1.对于任何正实数值，其值都不会小于零。

2.如果一个数的值大于零，那么它的值应该增加，而不是减少。

3.100的欧拉函数能够表述出复杂的数学关系，比如恒定函数、线性函数和指数函数。

4.欧拉函数的值可以反映出所给定实数的独特性质。

这些特征使得100的欧拉函数成为数学界的一个神奇玩具，也因此在实际应用中有了很多不同的用途。

其中最为基础、最具代表性的用途是求解积分问题。100的欧拉函数可以用来计算某一函数在一段特定区间上的积分。这样一来，就可以计算出不同区间上不同函数的积分，毕竟欧拉函数可以表述任何积分问题。另外，欧拉函数还可以被用来解决微积分问题，比如求解方程的渐进解。

此外，欧拉函数在物理学中也有许多应用。比如，它可以用来分析各种物理过程，更准确地说，它可以用来解决带有非线性运动

物理方程，例如空气动力学方程。它也可以用来计算量子力学中的相互作用力，这些都是物理学中研究的重要内容。

另外，欧拉方程在计算机科学、机器学习、控制论中也有大量的应用，比如最小二乘法、数字滤波、自适应滤波等。这些都是解决实际问题的重要方法，而欧拉函数的存在，让这些方法更加容易实现。

总之，100的欧拉函数在数学、物理学、计算机科学和机器学习等领域具有广泛的应用，它不仅可以简化复杂的数学问题，而且可以帮助解决实际问题。今天，越来越多的学者开始研究欧拉函数，致力于从它身上发掘出更多的科学知识。

100的欧拉函数

100的欧拉函数 100的欧拉函数（也被称为万能函数）是数学中的一种特殊函数，它可以简化许多复杂的数学问题，使其变得简单且容易理解。英国数学家兼物理学家威廉欧拉1806年发明了这个函数，通过它，他发现了许多数学定理，如著名的欧拉定理。 100的欧拉函数以100为参数，它接受任何给定的实数，并返回一个实数结果。100的欧拉函数有几个基本特征，包括： 1.对于任何正实数值，其值都不会小于零。 2.如果一个数的值大于零，那么它的值应该增加，而不是减少。 3.100的欧拉函数能够表述出复杂的数学关系，比如恒定函数、线性函数和指数函数。 4.欧拉函数的值可以反映出所给定实数的独特性质。 这些特征使得100的欧拉函数成为数学界的一个神奇玩具，也因此在实际应用中有了很多不同的用途。 其中最为基础、最具代表性的用途是求解积分问题。100的欧拉函数可以用来计算某一函数在一段特定区间上的积分。这样一来，就可以计算出不同区间上不同函数的积分，毕竟欧拉函数可以表述任何积分问题。另外，欧拉函数还可以被用来解决微积分问题，比如求解方程的渐进解。 此外，欧拉函数在物理学中也有许多应用。比如，它可以用来分析各种物理过程，更准确地说，它可以用来解决带有非线性运动

物理方程，例如空气动力学方程。它也可以用来计算量子力学中的相互作用力，这些都是物理学中研究的重要内容。 另外，欧拉方程在计算机科学、机器学习、控制论中也有大量的应用，比如最小二乘法、数字滤波、自适应滤波等。这些都是解决实际问题的重要方法，而欧拉函数的存在，让这些方法更加容易实现。 总之，100的欧拉函数在数学、物理学、计算机科学和机器学习等领域具有广泛的应用，它不仅可以简化复杂的数学问题，而且可以帮助解决实际问题。今天，越来越多的学者开始研究欧拉函数，致力于从它身上发掘出更多的科学知识。

初等数论作业答案

初等数论 1：[单选题]已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）。 A：0B：2C：5D：9参考答案：C 2：[单选题]下面的（）是模4的一个简化剩余系。 A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6参考答案：B 3：[单选题]小于20的正素数的个数是（）。 A：11B：10C：9D：8参考答案：D 4：[单选题] 下面的数是3的倍数的数是（）。 A：19B：119C：1119D：11119参考答案：C 5：[单选题]-4除-39的余数是（）。 A：3B：2C：1D：0参考答案：C 6：[单选题]一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n 是（）。 A：1110B：1101C：1011D：1001参考答案：A 7：[单选题][[4.5]+[3.7]]等于（）。 A：3B：4C：7D：8参考答案：C 8：[单选题]{{1.8}+{2.9}}等于（）。 A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7参考答案：D 9：[单选题]100与44的最小公倍数是（）。 A：4400B：2200C：1100D：440参考答案：C 10：[单选题]使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6B：2C：3D：13参考答案：A 11：[单选题]设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0B：1C：2D：3参考答案：A 12：[单选题]下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2参考答案：D 13：[单选题]下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2参考答案：C 14：[单选题]下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2参考答案：C 15：[单选题]若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数B：奇数C：正整数D：负整数参考答案：A 16：[单选题]1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19B：2，3，5，7，11，13，17，19C：1，2，4，5，10，20D：2，3，5，7，12，13，15，17参考答案：B 17：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。 A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C 18：[单选题]360与200的最大公约数是（）。 A：10B：20C：30D：40参考答案：D 19：[单选题]如果 a|b，b|a ，则（）。 A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C 20：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D 21：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。 A：1B：2C：3D：4参考答案：D 22：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A 初等数论第二次作业 填空题 1．16除100的余数是 4 _。

不变量解析

数学中的不变量 引入：数字运算中的不变量——角谷猜想。 大千世界在不断地变化着，既有质的变化，更有量的变化。俗话说：“万变不离其宗”。在纷乱多样的变化中，往往隐藏着某种规律，这就需要我们透过表面现象，找出事物变化中保持不变的规律，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量。 自然数依照某种预定的程序反复运算，它的结果似乎是无限多种，毫无规律可寻——但有时却有例外。 二次世界大战前后，美国的一个叫叙古拉的地方流传一种数学游戏，后来又被传到欧洲，在那儿风靡一时。尔后又被日本数学家角古带回日本。游戏是这样的：任给一个自然数，若它是偶数则将它除以2；若它是奇数则将它乘3后再加1，......如此下去经过有限步骤后，它的结果必为1。 这个问题被称为“3x+1”问题，又叫“角谷猜想”、“数字黑洞”。 例1、“欧几里得算法”：利用不变量求最大公约数。 求：451和287的最大公约数。 分析： 1、短除法。 2、分解质因数。 3、辗转相减法。（即尼考曼彻斯法，其特色是做一系列减法，从而求得最大公约数） 基础：a与b（a>b）的任何公约数必定整除a-b。相应的b同a-b的任何公约数必整除a。（451，287）=（451-287，287）=（164，287） =（164，287-164）=（164，123） =（164-123，123）=（41，123） =（41，123-41）=（41，82） =（41，82-41）=（41，41） =41 上述方法步骤比较繁琐，可以简化： 4、辗转相除法（即欧几里得算法） 原理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 条件：a>b 且a mod b 不为0 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d也是（b,a mod b）的公约数 因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。 在这里两个数的最大公约数实际上就是在操作过程中的一个不变量。 例2、（1）能否用1，2，3，...，101这101个数； （2）1，2，3，...，100这100个数。 各一次及“+”“-”运算符号，列出一个结果为0的算式?若能，请列出一个，若不能，说明理由。 分析： （1）本题实际是要在下列算式： 1□2□3□......99□100□101=0中填上“+”“-”使算式成立。

关于欧拉

关于欧拉 一个科学家如果做出了给科学宝库增加财富的发现，而不能坦率阐述那些引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作。——欧拉 读读欧拉，这是我们一切人的老师。——拉普拉斯 对于欧拉工作的研究，将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可以替代它。——高斯 （一）少年天才 欧拉(Euler，1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝。欧拉出生于一个牧师家庭，自幼受到父亲的教育。关于小时候的欧拉，有这样两个故事： 第一个故事据说欧拉在孩提时代是一个牧童，他一面放羊，一面读书。他读的书中有不少是数学书。爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只，原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新羊圈。他量出了一块长方形土地，长40 m，宽15 m，面积正好是600 m2，平均每头羊占地6 m2，正打算动工时，他发现他的材料只够围100 m的篱笆，不够用。若要围成长40 m、宽15 m的羊圈，其周长将是110 m，这让父亲很为难.因为他不想缩小面积，还希望原材料够用。 小欧拉却向父亲说，他有办法。父亲不信，在小欧拉的努力说服下，父亲同意让小欧拉试一试。小欧拉跑到准备动工的羊圈旁，他以一个木桩为中心，将原来的40 m边长截短，缩短到25 m，父亲着急了，说：“那怎么成呢？这个羊圈太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来的15 m边长延至25 m，经这样一改，原计划中的羊圈变成了正方形.然后，小欧拉自信得对父亲说：“现在篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉的设计建好羊圈，发现面积比原来预想的要大，心里很高兴。 第二个故事是说一天，在瑞士巴塞尔城的一座教堂里，几位神职人员正在清点教徒的募捐款。算来算去，有一笔账目的总数几次都不一致。这时，一直在旁边玩耍的6岁小男孩欧拉插上一句话，报出一个得数。神职人员惊奇地望着他，其中有个人怀疑地说：“我们算了几次都不一致，你大概是瞎猜的吧?” “我怎么会瞎猜呢?不信，你们再算一遍。”小欧拉自信地说。 那几个人再仔细地验算一遍，证明欧拉的得数完全正确，他们连连称赞：“小家伙，真不简单!这么小年纪算得这么准、这么快，真可称得上神童!” 这些故事未必是真实的，但可以看出幼年时欧拉的数学天赋已初见端倪。的确，欧拉是少有的数学天才，不过，使他真正成为天才的还是勤奋。 欧拉小时候就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导，并逐渐与其建立了深厚的友谊。约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生：“我介绍高等分析时，他还是个孩子，而你将他带大成人。”两年后的夏

无限循环小数的研究

无限循环小数的研究 上海市侨光中学 何兴国 一、 摘要。 大家知道分数与小数之间可以相互转化，我们严格地证明过吗？无限循环小数的循环节 长度由什么决定的呢？循环节数字序列很神奇，它有什么性质？ 为什么要运用同余理论来研究循环小数？我们知道无限循环小数的循环体虽然是相除的商数，但循环的原因却在于相除的余数，所以运用同余理论可以解释无限循环小数中的“谜”。不过在研究的过程中仍然有部分问题未能解决，有待今后进一步学习和思考。 关键词：无限循环小数、余数、循环节长度、互素、同余。 二、 课题的由来。 形如b a ， b a 和都是整数且b ≠0的数称为有理数，而有理数都可以化为有限小数或无 限循环小数。 然而很多初学者对于循环小数仍然感到困惑，当遇到9 0 ?=1这样的问题时所表现出的惊讶，生动地反映出无限循环小数里隐藏着一些“谜”。但实际上这些“谜”用一些简单的 数学方法可以解释清楚。比如我们把0.9 扩大10倍得0.9 ×10=9.9 ，两边都减去0.9 得0.9 ×(10－1) =9，所以0.9 =1。 作为一名中学数学教师一方面肩负授道解惑之责，另一方面也是提高自身专业素养之需要。由此展开了研究无限循环小数之行动。 三、 研究目的。 在《初等代数研究》中有一小节写“有理数和循环小数”，但篇幅较短且论述较抽象。 在学习过程中，我感觉可以再深入细致些，因此查阅了一些资料，经过思考和研究，使之更系统全面。因此展开以下几方面的研究。 1、 研究分别在什么条件下，分数可化为有限小数、无限循环小数？(具体一些再分为纯循环小数和混循环小数。) 2、 研究纯循环小数的循环节的长度和性质，并导出欧拉定理。 3、 研究分母为合数时，循环节的长度。 4、 研究无限循环小数化为分数的方法。 四、 研究过程。 1、分数可化为有限小数、纯循环小数、混循环小数。为简便起见这里只讨论既约真分 数。 （1）28.0257=，046875.064 3=。当分母由因数2或5的幂组成或两者兼而有之， 既约真分数定可化为有限小数。一般地，设既约真分数βα52a ，设βα≥。则βα5 2a =αβα105-a ，分子βα-5a 是个整数，由于分母α10的作用，结果变成α位有限小数。若αβ≥，同理可得结果是β位有限小数。

100的欧拉函数

100的欧拉函数 100的欧拉函数是数论中的一个重要概念，在密码学、生物信息学和计算机科学等领域有着广泛的应用。其中，欧拉函数的概念最早出现在18世纪的法国数学家安德烈欧拉的作品《飞秒曲线的研究》中，他为解决定积分问题引入了欧拉函数的概念。 100的欧拉函数是一种数论函数，满足100的特殊性质，是特殊函数类型之一。它是指给定任意一个自然数N，求出它的第N个欧拉函数。当N是质数时，欧拉函数为-1，其他情况下，欧拉函数是通过除数和余数递归求得，结果为除数的乘积。 100的欧拉函数已经在数论领域得到较大的研究，它的应用十分广泛，比如在密码学中，欧拉函数可以用来求解椭圆曲线加密系统中的密钥；在生物信息学中，欧拉函数可以用来计算基因序列的复杂度；在网络安全领域，欧拉函数可以用来破解RSA加密系统；在计算机科学领域，欧拉函数可以用来计算Smith Waterman算法、交替迭代法等算法中的复杂性。 100的欧拉函数可以分解为很多因子，这些因子可以被用来判断欧拉函数是否满足某一数论约束。同时，欧拉函数的运算简单，可以用于解决大规模复杂的问题。 许多实际应用领域中，欧拉函数也得到了广泛的应用，例如在网络安全、密码学、数字签名等方面都有着丰富的应用。例如，欧拉函数可以用来生成强大的密码，也可以用于电子商务等安全网络中，debug大型程序等。

100的欧拉函数有着重要的应用价值，它可以用于加密数据和识别与破解信息，广泛应用于科学研究和实际应用领域。尽管欧拉函数的研究非常深刻，但欧拉函数的难度也极大，研究人员仍在不断深入研究它的性质。 100的欧拉函数是一种常用的数论函数，它已被普遍应用于各种领域，以解决实际中的复杂问题。它有着重要的实际意义，因为它可以用来解决几乎所有计算机科学以及密码学相关的问题，为实际的应用领域提供了重要的参考。

基于python的rsa密码算法的设计与实现

基于python的rsa密码算法的设计与实现 RSA算法是一种非对称加密算法，可以用于数据加密和数字签名。下面是基于Python实现RSA算法的步骤： 1.选择两个大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。 import random import sympy # 选择两个大素数p和q p = sympy.randprime(2**100, 2**200) q = sympy.randprime(2**100, 2**200) n = p * q 2.计算欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。 # 计算欧拉函数φ(n) phi_n = (p-1) * (q-1) 3.选择一个满足gcd(e, φ(n))=1的整数e，作为公钥的指数。

# 选择公钥指数e while True: e = random.randint(2, phi_n-1) if sympy.gcd(e, phi_n) == 1: break 4.计算e关于φ(n)的乘法逆元d，作为私钥的指数。 # 计算私钥指数d d = sympy.mod_inverse(e, phi_n) 5.将(n, e)作为公钥，(n, d)作为私钥。 # 公钥(n, e)，私钥(n, d) public_key = (n, e) private_key = (n, d) 6.加密和解密数据时，需要将数据转化为整数，并使用公钥进 行加密，私钥进行解密。

# 加密和解密数据 def encrypt(m, public_key): n, e = public_key c = pow(m, e, n) return c def decrypt(c, private_key): n, d = private_key m = pow(c, d, n) return m 7.可以使用以上函数进行数据的加密和解密。需要注意的是， RSA算法的安全性依赖于大素数的选择和密钥长度的选择，一般需要选择至少2048位的密钥长度。 完整代码如下： import random import sympy

100个数论经典例题

100个数论经典例题 1. 证明：无理数的十进展开不可能是一个重复的数字序列。 2. 证明：一个正整数为完全平方数的充分必要条件是它的每个质因子的指数都是偶数。 3. 证明：有理数的不循环小数展开是独一无二的。 4. 如果两个整数m和n的最大公约数是1，那么m/n的分数形式是既简单又唯一的。 5. 证明：对于任意自然数n，n²+n+41都是一个质数。 6. 证明：对于任意自然数n，3n²+3n+7都是一个质数。 7. 求1²+2²+3²+...+n²的值，并给出证明。 8. 求1³+2³+3³+...+n³的值，并给出证明。 9. 证明：无穷多个素数是等差数列的形式。 10. 设p是一个素数，证明：x²≡-1(mod p）的解的个数为0或2。 11. 给定一个正整数n，求所有满足φ(x)=n的正整数x，其中φ(x)表示小于x且与x互质的正整数的个数（欧拉函数）。12. 证明：若p是任意一个素数，则对于任意自然数n， (n+p)!≡n!pⁿ(mod p²)。 13. 证明：若p是任意一个素数，则对于任意自然数n，n!≡-1(mod p)当且仅当p=2或p≡1(mod 4)。 14. 对于任意一个素数p和整数a，证明：x²≡a(mod p）有解的充分必要条件是a^(p-1)/2≡±1(mod p)。 15. 证明：对于任意自然数n，存在无限多个三元组(x,y,z)使得x⁴+y⁴=z³。 16. 证明：对于任意正整数k，存在无限多个素数p，使得 p≡1(mod k)。

17. 求2²+4²+6²+...+50²的值，并给出证明。 18. 求1+2+3+...+99+100的值，并给出证明。 19. 给定正整数a、b、n，求aⁿ+bⁿ的最大公因数，并给出证明。 20. 证明：对于任意正整数n，n的二进制表示中1的个数是奇数或偶数。 21. 证明：对于任意正整数n，n!的末尾有多少个0取决于在n 的二进制表示中含有多少个因子2。 22. 设p是质数，证明：(p-1)!≡-1(mod p)。 23. 求1/1²+1/2²+1/3²+...+1/n²的值，并给出证明。 24. 求1/1²-1/2²+1/3²-...-1/(2n)²的值，并给出证明。 25. 设p是质数，证明：1+2+3+...+(p-1)≡0(mod p)。 26. 设p是质数，证明：1²+2²+3²+...+(p-1)²≡(p-1)/3(mod p)。 27. 设n是任意正整数，证明：1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²。 28. 设a和b是互质的正整数，证明：a/b和(a+b)/(a-b)不能同 时是整数。 29. 设p是质数，证明：C(p,0)+C(p,1)+C(p,2)+...+C(p,p)=2^p。 30. 设p是奇素数，证明：1³+2³+3³+...+(p-1)³≡0(mod p)。 31. 设a、b和n是正整数，证明：若a+nb的质因子都是小于 n的，那么a+nb是一个完全平方数。 32. 设p是质数，证明：C(2p,p)≡2(mod p³)。 33. 设p是奇质数，证明：1·2·3·...·(p-1)≡(-1)^(p-1)/2(mod p)。 34. 设p是质数，证明：1·2^1+2·2^2+3·2^3+...+(p-1)·2^(p- 1)≡0(mod p)。 35. 设p是奇素数，证明：C(2p,p)≡2mod(mod p²)。 36. 证明：对于任意正整数n，5|(3^(2n)-2^n)。 37. 设p是质数，证明：C(2p,p)除以p的余数等于1或2。 38. 证明：对于任意正整数n≥2，n²＞n+1。

4的欧拉函数

4的欧拉函数 4的欧拉函数是指给定的正整数的单个因子的数目之和。欧拉函数可用来确定一个自然数是否是素数或合数，也可用该函数计算给定正整数的各种对偶函数和其他有趣的数学现象。4的欧拉函数，也被称为“质数的欧拉函数”，是比较简单的欧拉函数，可用来快速检查一个自然数是否是素数，减少计算机计算时间。 4的欧拉函数可以用来快速检查一个自然数n是否是素数，只需将该数n的各个因子的数目之和（即欧拉函数值）加到4上，如果结果等于4，则n是素数。例如，当n=3时，3的欧拉函数值为1，因此3+1=4，所以3是素数。而当n=12时，12的欧拉函数值为6，因此12+6不等于4，所以12不是素数。 4的欧拉函数的计算可以使用因数分解的方法，以一个自然数n 为例，对n进行因数分解，令其等于x*y，其中x和y是正整数，且最大公约数为1，则4的欧拉函数值为f(n) = f(x)+f(y)。进一步，可以用此方法将n分解成x和y，其中x或y还可以被分解成更小的数。如果最终被分解的x和y均为1，则4的欧拉函数值也就被确定了。 4的欧拉函数也可以用来计算给定正整数的各种对偶函数和其他十分有趣的数学现象。下面将以实例来说明如何利用4的欧拉函数来计算对偶函数。假设现在有一个正整数n，首先要算出其4的欧拉函数值f(n)，然后根据公式f(n)*f(n)=g(n)，可以求得f(n)和g(n) 之间的关系，即f(n)和g(n)都等于f(n)的平方根。此外，还可以从

f(n)和g(n)之间的关系推导出其他有趣的现象。 4的欧拉函数是一种简单而有用的数学函数，可以用来快速检查一个自然数是否是素数，也可以用来计算给定正整数的各种对偶函数和其他有趣的数学现象。虽然它的原理很简单，但实际应用中可以节省大量的计算机资源和时间，可谓是一种有效的工具。因此，4的欧拉函数受到不少数学家和计算机科学家的关注，为现代科学带来了宝贵的贡献。

数学人物传记——欧拉

数学人物传记 —欧拉 人物生平 莱昂哈德·欧拉 欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。他生于牧师家庭。15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位。1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久。在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学，这些工作和他的数学研究相互推动。欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。1766年他又回到了圣彼得堡。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。 除了教科书外，他的全集有74卷。 18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》。欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。 复平面上的Gamma 函数[4] 欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论。这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的一个里程碑。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。如他引入了Γ函数和B 函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分等等。数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。他还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 数学贡献 各领域贡献 分析学 在数学领域内，18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）

自适应法的欧拉函数

第一题 对简单的一阶方程的初值问题： y’=f(x,y) 其中y(x0 )=y0 由欧拉公式可得y n+1 =y n+hf(x n ,y n) 由此公式可编制一自适应法的欧拉函数。euler.m function [tout,yout]=euler(ypfun,t0,tfinal,y0,tol,trace) pow=1/3 if nargin<5,tol=1.e-3;end if nargin<6,trace=0; end t=t0; hmax=(tfinal-t)/16; h=hmax/8; y=y0(:); chunk=128; tout=zeros(chunk,1); yout=zeros(chunk,length(y)); k=1; tout(k)=t; yout(k,:)=y.';

if trace clc,t,h,y end while (tt) if t+h>tfinal,h=tfinal-t;end f=feval(ypfun,t,y); f=f(:); delta=norm(h*f,'inf'); tau=tol*max(norm(y,'inf')1.0); if delta<=tau t=t+h; y=y+h*f; k=k+l; if k>length(tout) tout=[tout;zeros(chunk,1)]; yout=[yout;zeros(chunk,length(y))]; end tout(k)=t; yout(k,:)=y,'; end if delta home,t,h,y end

if delta~=0.0 h=min(hmax,0.9*h*(tau/delta)^pow)); end end if(t

10数论问题的常用方法

10 数论是研究数的性质的一门科学，它与中学数学教育有密切的联系。数论问题解法灵活，题型丰富，它是中学数学竞赛试题的源泉之一。下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便，我们将数论中的一些概念和结论摘录如下： 我们用),...,,(21n a a a 表示n 个整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数。用[1a ,2a ,…,n a ]表示 1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数。对于实数x ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，用{x }=x -[x ] 表示x 的小数部分。对于整数b a ,,若)(|b a m -，,1≥m 则称b a ,关于模m 同余，记为 )(mod m b a ≡。对于正整数m ，用)(m ϕ表示{1，2，…，m }中与m 互质的整数的个数， 并称)(m ϕ为欧拉函数。对于正整数m ，若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余，则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ϕ中每一个数都与m 互质，且其中任何两个数关于模m 不同余，则称{)(21,...,,m r r r ϕ}为模m 的简化剩余系。 定理1 设b a ,的最大公约数为d ，则存在整数y x ,，使得 yb xa d +=. 定理2 （1）若)(mod m b a i i ≡，1=i ，2，…，n ，)(mod 21m x x =，则 1 1 n i i i a x =∑≡ 2 1 n i i i b x =∑； （2）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，m d |，则)(mod d m d b d a ≡； （3）若b a ≡，),(b a d =，且1),(=m d ，则)(mod m d b d a ≡ ； （4）若b a ≡（i m mod ），n i , ...,2,1=，M=[n m m m ,...,,21]，则b a ≡（M mod ）. 定理3 （1）1][][1+<≤<-x x x x ； （2）][][][y x y x +≥+； （3）设p 为素数，则在!n 质因数分解中，p 的指数为∑ ≥1 k k p n . 定理4 （1）若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系，1),(=m a ，则

C算法提高训练题

C提高题二 题1：高精度加法 在C/C++语言中，整型所能表示的范围一般为-231到231（大约21亿）,即使long long型，一般也只能表示到-263到263。要想计算更加规模的数，就要用软件来扩展了，比如用数组或字符串来模拟更多规模的数及共运算。 现在输入两个整数，请输出它们的和。 输入格式 两行，每行一个整数，每个整数不超过1000位 输出格式 一行，两个整数的和。 样例输入 15464315464465465 482321654151 样例输出 15464797786119616 数据规模和约定 每个整数不超过1000位 题2：6-9删除数组中的0元素 编写函数CompactIntegers，删除数组中所有值为0的元素，其后元素向数组首端移动。注意，CompactIntegers函数需要接收数组及其元素个数作为参数，函数返回值应为删除操作执行后数组的新元素个数。 输入时首先读入数组长度，再依次读入每个元素。 将调用此函数后得到的数组和函数返回值输出。 样例输入 7 2 0 4 3 0 0 5 样例输出 2 4 3 5 4 题3：3-2字符串输入输出函数

编写函数GetReal和GetString，在main函数中分别调用这两个函数。在读入一个实数和一个字符串后，将读入的结果依次用printf输出。 两次输入前要输出的提示信息分别是"please input a number:\n”和"please input a string:\n" 样例输入 9.56 hello 样例输出 please input a number: please input a string: 9.56 hello 题4：进制转换 程序提示用户输入三个字符，每个字符取值范围是0-9，A-F。然后程序会把这三个字符转化为相应的十六进制整数，并分别以十六进制，十进制，八进制输出。 输入格式：输入只有一行，即三个字符。 输出格式：输出只有一行，包括三个整数，中间用空格隔开。 输入输出样例 样例输入 FFF 样例输出 FFF 4095 7777 题5：c++_ch06_02 编写并测试如下函数： void Add (int a[], int m, int b[], int n); 该函数将数组b的前n个元素追加到数组a的前m个元素后，假定数组a具有至少存放m+n个元素的空间。例如，如果数组a为{22,33,44,55,66,77,88,99}，数组b为{20,30,40,50,60,70,80,90}，则调用Add(a,5,b,3)后，将把数组a变为{22,33,44,55,66,20,30,40}。注意数组b并没有改变，而且数组a中只需改变n个元素。 测试 输入：4行。第一行为两个整数：m，n，并以空格隔开，分别表示将要输入的数组a和数组b的元素的个数。第二行为m个整数，为数组a的元素；第三行为n个整数，为数组b的元素。第四行为两个整数m1，n1，表示把数组b的前n1个元素追加到数组a的前m1个元素后。 输出：1行。第一行为最后数组a中的元素，两个元素之间以逗号隔开。最后一个元素输出后，输出一个空行。 参考程序

数论算法讲义5章(原根与指标)

第 5 章 原根与指标 （一） 内容 ● 指数 ● 原根 ● 有原根的整数 ● 指标（对数） （二） 重点 ● 原根及其意义 ● 有原根的整数的条件 ● 指标及其性质 5.1 指数及其基本性质 准备知识： （1） 欧拉定理：m ＞1，(a,m)＝1，则 ()m a ϕ≡1（mod m ） （2） 问题： ①()m ϕ是否是使得上式成立的最小正整数？ ②该最小正整数有何性质？ (一) 指数和原根概念 【定义5.1.1】（定义1）设m ＞1，(a,m)＝1，则使得 e a ≡1（mod m ） 成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数（或阶），记作 m ord (a)。若a 的指数e ＝()m ϕ，则a 叫做模m 的原根。

(二) Diffie —Hellman 密钥交换算法 全局公开量 q 素数 α q 的原根（α

【例1】（按定义求指数和原根）（例1）m ＝7，则ϕ(7)＝6。且 11≡1，32≡1，63≡1，34≡1，65≡1，26≡1（mod 7） 故对模数7而言，1，2，3，4，5，6的指数分别为1，3，6，3，6，2。列表表示为 因此，3， 【例2】（快速求指数）（例2）m ＝14＝2·7， ϕ(14)＝6，则 11≡1，33≡－1，35≡－1，39≡1，311≡1，213≡1（mod 7） 列表 故3，5 【例3】（无原根的整数）（例3）m ＝15＝3·5， ϕ(15)＝8，则 同理，可知模数m ＝9时，其原根为2，5；而整数8则没有

数学竞赛中的数论问题题型全

数学竞赛中的数论问题 定理4 ,a b 是两个不同时为0的整数，若00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数）的数中的最小正数，则 （1）00ax by +|ax by +；（2）00ax by +(),a b =． 证明 （1）由带余除法有()00ax by ax by q r +=++，000r ax by ≤<+， 得 ()()0000r a x qx x b y qy ax by =-+-<+， 知r 也是形如ax by +的非负数，但00ax by +是形如ax by +的数中的最小正数，故0r =，即00ax by +|ax by +． （2）由（1）有00ax by +|10a b a +=g g ，00ax by +|01a b b +=g g ， 得00ax by +是,a b 的公约数．另一方面，,a b 的每一个公约数都可以整除00ax by +，所以00ax by +是,a b 的最大公约数，00ax by +(),a b =． 推论 若(),1a b =，则存在整数,s t ，使1as bt +=．（很有用） 定理5 互素的简单性质： （1）()1,1a =．（2）(),11n n +=．（3）()21,211n n -+=． （4）若p 是一个素数，a 是任意一个整数，且a 不能被p 整除，则(),1a p =． 推论 若p 是一个素数，a 是任意一个整数，则(),1a p =或(),a p p =． （6）若()(),1,,1a b a c ==，则(),1a bc =． 证明 由(),1a b =知存在整数,s t ，使1as bt +=．有 ()a cs bct c +=，得 ()(),,1a bc a c ==． （7）若(),1a b =，则(),1a b a ±=，(),1a b b ±=， (),1a b ab ±=． 证明 ()()(),,,1a b a b a b a ±=±==，()(),,1a b b a b ±==，由（6）(),1a b ab ±=． （8）若(),1a b =，则() ,1m n a b =，其中,m n 为正整数． 证明 据（6），由(),1a b =可得() ,1m a b =．同样，由(),1m a b =可得() ,1m n a b =． 定理7 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数． 证明 假设素数只有有限多个，记为12,,,n p p p L ，作一个新数 1211n p p p p =+>g g L g ． 若p 为素数，则与素数只有 n 个12,,,n p p p L 矛盾． 若p 为合数，则必有{}12,,,i n p p p p ∈L ，使|i p p ，从而|1i p ，又与1i p >矛盾． 综上所述，素数不能只有有限多个，所以素数有无穷多个． 2是素数，而大于2的偶数都是合数，所以2是唯一的偶素数．