专题九 解析几何第二十七讲 双曲线

2 2 -

- = > > - = > > - = > > = 2 专题九

解析几何

第二十七讲 双曲线

2019 年

2

1.（2019 全国 III 理 10）双曲线 C ：

x y

=1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线

4

2

上，O 为坐标原点，若 PO = PF ，则△PFO 的面积为 A ．

3 2

4

B ．

3 2 2

C ． 2

2

y 2 D ． 3 2.（2019 江苏 7）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x -

= 1(b > 0) 经过点（3，4)，

b 2

则该双曲线的渐近线方程是

.

x 2

3.（2019 全国 I 理 16）已知双曲线 C ： a 2 y 2

1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，

b 2

过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点．若 F 1 A = AB ， F 1B ? F 2 B = 0 ，则 C 的离心率为

．

4.（2019 年全国 II 理 11）设 F 为双曲线 C ： x a 2

y 2

1(a 0, b 0) 的右焦点， O 为坐标

b 2

原点，以OF 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 = a 2

交于 P ，Q 两点.若 PQ = OF ，则 C 的离心率

为

A ．

B ．

C ．2

D ．

5．（2019 浙江 2）渐近线方程为 x ±y =0 的双曲线的离心率是

A ． 2

2

B ．1

C ． 2

D ．2

6. （ 2019 天津理 5 ） 已知抛物线 y 2

= 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线

x 2 y 2 1 (a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB | 4 | OF | （ O 为 a 2 b 2

原点），则双曲线的离心率为

A. B. C. 2 D. 2 2

3

5

3 5

2

5

3 y y - = > > - = - = - = - =

2010-2018 年

一、选择题

1．(2018 浙江)双曲线 x 2

-

2

3 = 1的焦点坐标是

A ． (- 2, 0) ， ( 2, 0)

B ． (-2, 0) ， (2, 0)

C ． (0, - 2) ， (0, 2）

D ． (0, -2) ， (0, 2)

2．(2018 全国卷Ⅰ)已知双曲线C ： x 2

-

2

3 = 1， O 为坐标原点， F 为C 的右焦点，过 F

的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则| MN | =

A ． 3

2

B ．3

C ． 2

D ．4

3．(2018 全国卷Ⅱ)双曲线 x a 2 y 2

1 (a 0, b 0) 的离心率为 b 2

，则其渐近线方程为

A ． y =± 2x

B ． y =± 3x

C ． y =±

2 x D ． y =±

3 x

2

2

x 2 y 2

4．(2018 全国卷Ⅲ)设 F 1 ， F 2 是双曲线C ： a 2 - b 2

= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点， O 是

坐标原点．过 F 2 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若| PF 1 |= | OP | ，则C 的

离心率为

A ．

B ．2

C ．

D ．

x 2

y 2 5．(2018 天津)已知双曲线

-

a 2

b 2

= 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴

的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 1 和d 2 ， 且 d 1 + d 2 = 6 ，则双曲线的方程为

x 2 y 2

A ． 1 4 12

x 2 y 2 B ． 1 12 4

x 2 y 2 C ． 1 3 9

x 2 y 2 D ． 1 9 3

3

3 6 2

2

2

5 - = > > + = 1

1 1

- = > > 1

1 1

- = - = - = - = - = - = - = - = - = 2 2 2 2 2 2

6．（2017 新课标Ⅱ）若双曲线C ： x a 2 y 2

1(a 0, b 0) 的一条渐近线被圆

b 2

(x - 2)2 + y 2 = 4 所截得的弦长为 2，则C 的离心率为

A ．2

B ．

C ．

D ．

2 3 3

x 2 y 2 7．（2017 新课标Ⅲ）已知双曲线C ： - = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y = x , a 2 b 2 2

x 2 且与椭圆 y 2

1有公共焦点，则C 的方程为

12

3

x 2

y 2

A ． x 2 y 2

B ．

x 2 y 2

C ． x 2 y 2

D ．

8 10

4

5

5 4

4

3

8．（2017 天津）已知双曲线 x a 2

y 2

1(a 0, b 0) 的左焦点为 F ，离心率为 b 2

．若经

过 F 和 P (0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

x 2

y 2

A ． x 2 y 2

B ．

x 2 y 2

C ． x 2 y 2

D ． 4 4

8

8

4 8

8 4

9．(2016 天津)已知双曲线 x 4 - y 2 b 2

=1(b > 0) ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长

的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A 、B 、C 、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为2b ， 则双曲线的方程为

A ． x - 4 3y 2 =1

4

B ． x - 4 4 y 2

=1

3

C ． x

- 4 y =1

b 2

D ． x - y =1

4 12

10．(2016 年全国 I)已知方程 x 2 m 2

+ n y 2 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 3m 2 - n

离为 4，则 n 的取值范围是 A ．(–1,3)

B ．(–1, 3)

C ．(0,3)

D ．(0, 3)

x 2

y 2

11．(2016 全国 II)已知 F 1 , F 2 是双曲线 E ： a 2 - b 2 = 1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF 1 与

x 轴垂直， sin ∠MF F = 1

,则 E 的离心率为

2 1

3

3

2 1 1

2 2

2

2

- = > > A ． B ．

3

C ． 2

2

y 2 D ．2

12．（2015 四川）过双曲线 x -

= 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐

3

近线于 A , B 两点，则 AB =

A ．

4 3

3

B ． 2

C ．6

D ． 4

13．（2015 福建）若双曲线 E : x 9 - y 2

= 16

的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ，点 P 在双曲线 E 上，

且 PF 1 = 3，则 PF 2 等于

A ．11

B ．9

C ．5

D ．3

14．（2015 湖北）将离心率为 e 1 的双曲线 C 1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ≠ b ) 同时增加

m (m > 0) 个单位长度，得到离心率为e 2 的双曲线C 2 ，则

A ．对任意的a , b ， e 1 > e 2 C ．对任意的a , b ， e 1 < e 2

B ．当a > b 时， e 1 > e 2 ；当a < b 时， e 1 < e 2 D ．当a > b 时， e 1 < e 2 ；当a < b 时， e 1 > e 2

15．（2015 安徽）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y = ±2x 的是

2

y

2

x 2 2

y 2 2

2

x 2

A ． x - = 1

4

B ． - y = 1 4

C ． - x = 1

4

D ． y - = 1

4

x 2

2

16．（2015 新课标 1）已知 M (x 0 , y 0 ) 是双曲线C ：

2

- y = 1上的一点， F 1 , F 2 是C 的两

个焦点，若 MF 1 ? MF 2 < 0 ，则 y 0 的取值范围是 A ． (- 3

,

3 )

B ． (- 3

,

3 )

3

3

C ． (-

2 2 , 2 2

) 3 3

6

6

D ． (-

2 3 , 2 3

) 3 3

17．（2015 重庆）设双曲线 x a 2 y 2

1（ a 0, b 0 ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，过 F

b 2

作 AF 的垂线与双曲线交于 B , C 两点，过 B , C 分别作 AC , AB 的垂线，两垂线交于点

3

3

3

1 2 2

3

D ．若 D 到直线 BC 的距离小于a + A ． (-1, 0)∪(0,1)

，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

B ． (-∞, -1)∪(1, +∞)

C ． ( 2, 0)∪(0, 2)

D ． (-∞, -1)∪( + ∞)

18．（2014 新课标 1）已知 F 是双曲线C ：x 2

- my 2

= 3m (m > 0) 的一个焦点，则点 F 到C

的一条渐近线的距离为

A ．

B ．3 D ． 3m

x 2

y 2

x 2

y 2

19．（2014 广东）若实数 k 满足0 < k < 9 ，则曲线 - = 1与曲线25

9 - k

25 - k - = 1的 9

A ．焦距相等

B ．实半轴长相等

C ．虚半轴长相等

D ．离心率相等

x 2 20．（2014 天津）已知双曲线 - a 2 2 = 1 (a > 0,b > 0)的一条渐近线平行于直线l ： b 2

y = 2x + 10 ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为

x 2 y 2 x 2

A ．

-

= 1

B ．

y 2

- = 1 5

20

20 5

3x 2 C ．

3y 2 -

= 1

D ． 3x 2

3y 2 - = 1

25

100

100 25

x 2 y 2

21．（2014 重庆）设 F 1，F 2 分别为双曲线 a 2 - b

2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点，双曲线

9

上存在一点 P 使得| PF 1 | + | PF 2 |= 3b ,| PF 1 | ? | PF 2 |= 4

ab , 则该双曲线的离心率为 A ．

4

B ．

5

C ．

9

D ．3

3 3 4

x 2 y 2 22．（2013 新课标 1）已知双曲线C ： a

2

- = 1（ a > 0, b > 0 ）的离心率为 b 2 2 ，则C

的渐近线方程为

A ．

y =± 1

x 4

B ． y =± 1

x

3

π

C ． y =± 1 x 2

x 2

D ． y = ± x

y 2

y 2 23．(2013 湖北)已知0 < θ<，则双曲线C ：

- 4

1

cos 2 θ sin 2 θ = 1 与C 2 ： sin 2 θ

a 2 +

b 2

2, C ． 3m 5 y

2 - = - = - = > > 1

1 1 - = > ± =

2 - = - = - = - = y 2 1的 sin 2 θ tan 2

θ

A ．实轴长相等

B ．虚轴长相等

C ．焦距相等

D ． 离心率相等

24．（2013 重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为60

的直线 A 1B 1 和 A 2 B 2 ，使 A 1B 1 = A 2 B 2 ，其中 A 1 、 B 1 和 A 2 、 B 2 分别是这对直线与双

曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是

A ． (

2 3

, 2] 3

B ．[

2 3

, 2) 3

C ． (

2 3

, +∞) 3

D ．[

2 3

, +∞) 3

25．（2012 福建）已知双曲线 x a 2 y 2

1的右焦点为(3, 0) ，则该双曲线的离心率等于

5

A ．

3 1

4 14

B ．

3 2 4

C ． 3

2 D ． 4

3

x 2 y 2 26．（2012 湖南）已知双曲线 C ： -

a 2

b 2

=1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，

则 C 的方程为

A ．

x

- 20 y 2

x 2 =1

B ． 5

5 - y 2 20

x 2 =1 C ． 80 - y 2 20 x 2 =1 D ． 20 y 2 =1 80

27．（2011 安徽）双曲线2x 2

- y 2

= 8 的实轴长是

A ．

2 B ． 2 C ． 4 D ．

4

28．（2011 ft 东）已知双曲线 x a 2 y 2 1(a 0, b 0) 的两条渐近线均和圆

b 2

C : x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为

x 2 y 2

A ． x 2 y 2

B ．

x 2 y 2

C ．

x 2 y 2

D ． 5 4

4

5

3

6

6 3

x 2

29．（2011 湖南）设双曲线 a 2

y 2

1(a 0) 的渐近线方程为3x 2 y 0 ，则a 的值为

9

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2 1

2 - 2

6

-=>>

1 1 1

+=

y

-=>>

y

-= -= -= -=

2

30．（2011 天津）已知双曲线

x

a2 y2 1(a 0, b 0) 的左顶点与抛物线y2

b2

= 2 px( p > 0)

的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2, -1) ，则双曲线的焦距为

A．2 B．2 C．4 D．4 31．（2010 新课标）已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (-12, -15) ,则E 的方程式为

x2 y2

A．x2 y2

B．x2 y2

C．x2 y2

D．

3 6

4

5

6 3 5 4 32．（2010 新课标）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2)，则它的离心率为

A．B．C．

6

2

D．

5

2

2

33．（2010 福建）若点O和点F分别为椭圆x y

1的中心和左焦点，点P为椭圆上的4 3

任意一点，则OP ?FP 的最大值为

A．2 B．3 C．6 D．8 二、填空题

34．(2018 上海)双曲线x2

-2

4

=1的渐近线方程为．

35．(2018 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线

x

a2 y2 1(a 0, b 0) 的右焦点b2

F (c, 0) 到一条渐近线的距离为

3

c ，则其离心率的值是．2

36．（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2

-2

3

= 1的右准线与它的两条渐近

线分别交于点P ，Q ，其焦点是F

1 ，F

2

，则四边形F

1

PF

2

Q 的面积是．

3535

5

1 2

2

- = > > - = > > - = - = > > - = > > - = > > - 2 37．（2017 新课标Ⅰ）已知双曲线C ： x a 2 y 2

1(a 0, b 0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆

b 2

心，b 为半径做圆 A ，圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M 、N 两点．若∠MAN =60°， 则C 的离心率为

．

38．（2017 ft 东）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x a 2 y 2 1(a 0，b 0) 的右支与焦

b 2

点为 F 的抛物线 x 2

= 2 py ( p > 0) 交于 A ， B 两点，若| AF | + | BF |= 4 | OF | ，则该双曲线的渐近线方程为

．

39．（2017 北京）若双曲线 x 2

y 2

1的离心率为 m

，则实数 m = ．

40．(2016 年北京)双曲线 x a 2 y 2

1(a 0, b 0) 的渐近线为正方形OABC 的边OA , OC

b 2

所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为 2，则a =

．

41．(2016 ft 东)已知双曲线 E ： x a 2 y 2

1 (a 0, b 0) ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E

b 2

上， AB ， CD 的中点为 E 的两个焦点，且2 | AB |= 3 | BC | ，则 E 的离心率是 .

42．（2015 北京）已知双曲线 x

2

a 2 y

= 1(a > 0)的一条渐近线为 3x + y = 0 ，则a = ?． 43．（2015 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 右支上的一个动点．若

点 P 到直线 x - y +1 = 0 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为

．

x 2 y 2

44．（2015 ft 东）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C 1 ： a 2 - b

2

= 1 (a > 0, b > 0) 的渐近线

与抛物线C ：x 2

= 2 py ( p > 0 )交于O , A , B ，若△ OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的

2

2

1

离心率为

．

x 2

45．（2014 ft 东）已知双曲线 a 2 y 2

1(a 0, b 0) 的焦距为2c ，右顶点为 A ，抛物线

b 2

x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点为 F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且

| FA |= c ，则双曲线的渐近线方程为

．

3 2 2 2 2

- = > > x - = - = > > - = - = > > + = - = > = = y 2 2

46．（2014 浙江）设直线 x - 3y + m = 0(m ≠ 0) 与双曲线 x a 2 y 2

1(a 0,b 0) 的两条渐近

b 2

线分别交于点 A ， B ，若点 P (m , 0) 满足| PA |=| PB | ，则该双曲线的离心率是 ．

47．（2014 北京）设双曲线C 经过点(2, 2)，且与 y 2

- 2

4

= 1具有相同渐近线，则C 的方程

为

；渐近线方程为 ．

2

48．（2013 陕西）双曲线 x y 1 的离心率为

．

16 9

49．（2014 湖南）设 F 1，F 2 是双曲线 C ： x a 2

y 2

1(a 0, b 0) 的两个焦点．若在 C 上

b 2

存在一点 P ，使 PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则 C 的离心率为

．

2 50．（201

3 辽宁）已知 F 为双曲线C :

x y

1的左焦点，

P , Q 为C 上的点，若 PQ 的 9 16

长等于虚轴长的 2 倍，点 A (5, 0) 在线段 PQ ，则?PQF 的周长为

．

51．（2012 辽宁）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1，点 F , F 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，

1

2

若 PF 1 ⊥ PF 2 ，则 PF 1 + PF 2 的值为

．

x 2

y 2 x 2

y 2

52．（2012 天津）已知双曲线C 1 :

a

2

- b

2

= 1(a > 0, b > 0) 与双曲线C 2 : - = 1 有

4 16

相同的渐近线，且C 1 的右焦点为 F ( 5, 0) ,则a = ?b = ?．

x 2 y 2

53．（2012 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 - = 1 的离心率为 m m 2

+ 4

的值为 ．

，则m

54．（2011 ft 东）已知双曲线 x

y 2 x 2 1(a 0, b 0) 和椭圆 y 2

1有相同的焦点，

a 2

b 2

16 9

且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为

．

55．(2011 北京)已知双曲线 x 2

y 2

1(b 0) 的一条渐近线的方程为 y 2x ，则b ． b 2

三、解答题

56．（2014 江西）如图，已知双曲线C ： x 2

-

2

a

2 = 1( a > 0 )的右焦点 F ，点 A , B 分别在C 5 2 2

2

的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB⊥OB,BF∥OA ( O为坐标原点）．

（1）求双曲线C 的方程；

（2）过C 上一点P(x0,y

)( y

≠ 0) 的直线l :

x

x

-y

a20

y = 1与直线AF 相交于点M ，与直线x =

3

相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，

2

恒为定值，并求此定值．

57．（2011 广东）设圆C与两圆(x+ 5)2 +y2 = 4, (x - 5)2 +y2 = 4 中的一个内切，另一个外切．

（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；

（2）已知点M (

3 5

,

4 5

), F ( 5, 0) ，且P 为L 上动点，求MP -FP

5 5

的最大值及此时点P 的坐标．

MF

NF

第八章平面解析几何质量检测

第八章 平面解析几何 （时间120分钟，满分150分） 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 1 .抛物线y 2= ax （a 丰0）的焦点到其准线的距离是 C ? |a| 解析：由已知焦点到准线的距离为 p =鸟 答案：B 2.过点A(4, a)与B(5 , b)的直线与直线 y = x + m 平行，则|AB| = B. .2 b — a 解析：由题知 ----- =1, ?- b — a = 1. 5— 4 ???|AB|= (5-4)2+ (b — a)2= 2. 答案：B 答案: ax + 2by — 2 = 0(a >0, b >0)始终平分圆 x 2 + y 2 — 4x — 2y — 8 = 0 的周长，则* + f 的 最小值为 ( ) A . 1 B . 5 C . 4 2 D . 3+ 22 解析：由(x — 2)2+ (y — 1)2= 13,得圆心(2,1), ???直线平分圆的周长，即直线过圆心. ?? a + b = 1. 12 ,12 b 「2a ?-a + b = (a + b )(a + b )= 3 + a + T 》3 + 22 ， 当且仅当b =弓，即a = 2 — 1, b = 2 — 2时取等号， a b D .不确定 3.已知双曲线 2 2 X —y^= 1的离心率为e , 抛物线x = 2pf 的焦点为（e,0）,则p 的值为（ B . 1 1 Cd 解析: 依题意得e = 2，抛物线方程为 y2= 2p x ，故 8p = 2,得 p = 和 4.若直线

解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

解析几何中求参数取值范围的5种常用方法 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0） 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解. （x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ） 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF?FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（） A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a 得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0 ∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ） 二、利用判别式构造不等式

专题九 解析几何第二十六讲 双曲线

专题九 解析几何 第二十六讲 双曲线 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(， B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,， D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A ．=y B ．=y C ．=y x D ．=y x 3．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ．2 D ． 4．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A ．22139x y -= B ．22193x y -= C ．221412x y -= D ．22 1124 x y -= 5．（2017新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：2 2 13y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)．则APF ?的面积为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 6．（2017新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2 221x y a -=的离心率的取值范围是

A ．)+∞ B ．2) C ． D ．(1,2) 7．（2017天津）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213x y -= D ．2 213 y x -= 8．（2016天津）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为 A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．15 320322=-y x D ．1203532 2=-y x 9．（2015湖南）若双曲线22 221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为 A B ．54 C ．43 D ．53 10．（2015四川）过双曲线2 213 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝ A ．3 B ． C ．6 D ． 11．（2015重庆）设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为 A ．12 B ．22 C ．1 D ．2

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章(同名3095)

第三章 平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： ?? ? ??++-=-=--=v u z u y v u x 212123 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： ?? ? ??+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： ?? ? ??+-=+=--=v u z u y v u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?

解析几何部分公式、方法

解析几何部分公式、方法、技巧 《直线和圆的方程》 （1）①与直线0Ax By C ++=平行的直线方程为：0()Ax By m m C ++=≠ 与直线y kx b =+平行的直线为：()y kx m m b =+≠ ②与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为：0Bx Ay m -+= 与直线(0)y kx b k =+≠垂直的直线为：1 y x m k =- + ③给定直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=： 若12//l l ?讨论12,B B ； 若12l l ⊥? 12120A A B B +=； （2）过直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=的交点的直线方程为： 111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（当0λ=时表示1l ，但不表示2l ） （3）点00(,)A x y 关于直线0Ax By C ++=对称的点的坐标为(,)x y ''，则： 000222Ax By C x x A A B ++'=-? + 00022 2Ax By C y y B A B ++'=-?+ （填空题、选择题可用上面公式，解答题一定要写出下列过程： 00000221x x y y A B C y y A x x B ' '++??+?+=?? ?'-????-=- ?'?-?? ? 即 ???中点在直线上斜率之积为-1 解得：x y '=??'=? （4）1l 到2l 的角θ：21 121221 tan (,1)1k k k k k k k k θ-= ?≠-+适用于存在且 1l 与2l 的夹角θ：21 121221 tan (,1)1k k k k k k k k θ-= ?≠-+适用于存在且 （5）斜率为k 的直线与二次曲线相交于,A B 两点，且1122(,),(,)A x y B x y ，则有： 21AB x =-=（此即弦长公式） 【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦半径公式入手简化 计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。

第八章 空间解析几何答案

第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-， 求点A 的坐标. 解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积 向量积 1.若3 ),(,4||,3||π = ==Λ b a b a ，求b a c 23-=的模. 解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2 ?+?-?-?=-?-=

参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究

参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究 复旦实验中学 袁青 2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错．其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的．尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知1k >，则会很难寻找到与1k ≤的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解．本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便． 考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题） 如图，已知双曲线1C ：2 212 x y -=，曲线2C ：1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、 2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”． （1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使 用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程 （不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证 明原点不是“12C C -型点”； （3）求证：圆2212 x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 标准答案所给解法：（1）1C 的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式： x = (y k x = ，其中k ≥ （2）因为直线y kx =与2C 有公共点，所以方程组1y kx y x =??=+?有实数解，因此1kx x =+，得11x k x +=>． 若原点是“12C C -型点”，则存在过原点的直线与1C 、2C 都有公共点． 考虑过原点与2C 有公共点的直线0x =或y kx =（1k >）． 显然直线0x =与1C 无公共点． 如果直线为y kx =（1k >），则由方程组2212 y kx x y =???-=??得222012x k =<-，矛盾． 所以，直线y kx =（1k >）与1C 也无公共点． 因此，原点不是“12C C -型点”．

高中数学解析几何双曲线性质与定义

双曲线 双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。 双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义 一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。 取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。 将这个方程移项，两边平方得： 两边再平方，整理得：()() 22222222a c a y a x a c -=-- 由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得： 双曲线的标准方程：122 22=-b y a x 两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上 的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。 实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，

②双曲线的第二定义 与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：122 22=-b y a x ，我们将222b a c +=代入， 可得：()a c c a x c x y =± ±+2 2 所以有：双曲线的第二定义可描述为： 平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (c a x 2 ±=)的距离之比为 常数()0c e c a a =>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双 曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e == 22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点 )0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对 应着上准线 a y l 2 2:=。

同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何

同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解 析几何 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第五篇 向量代数与空间解析几何 第八章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位. 本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容. 第1节 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 1.1.1 空间直角坐标系 过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2 角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点. 图8-1 在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面 y x z O

解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧

解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 -aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a -a2-b2a a2-b2a 例2 如图,已知∵OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.

解析几何第二十七讲 双曲线

专题九解析几何 第二十七讲双曲线 2019 年 1.（2019 全国III 理10）双曲线C： x y =1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐进线 2 2 4 2 上，O 为坐标原点，若PO = PF ，则△PFO 的面积为A． 3 2 4 B．3 2 2 C．2 2 D．3 2 2.（2019 江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 y 2 2 x 2 1(b 0) 经过点（3，4)， b 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 y 2 3.（2019 全国I 理16）已知双曲线C： 2 2 a b 1( 0, 0) a b 的左、右焦点分别为F1，F2，

过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若 F A AB ， F B F B ，则C 的 1 1 2 0 离心率为____________． 4.（2019 年全国II 理11）设F 为双曲线C： x 2 2 y 2 2 a 1( 0, 0) a b 的右焦点，O 为坐标 b 原点，以OF 为直径的圆与圆x2 y2 a2 交于P，Q 两点.若PQ OF ，则C 的离心率为A．2 B．3 C．2 D．5 5．（2019 浙江2）渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是A． 22 B．1 C．2 D．2 2 6. （2019 天津理5 ）已知抛物线y 4x 的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 x 2 y 2 的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且| AB | 4 | OF |（O 为 2 2 a b 1 ( 0, 0) a b 原点），则双曲线的离心率为A. 2 B. 3 1 C. 2 D. 5 2010-2018 年

六年级数学下：解析几何解题方法集锦

六年级数学下：解析几何解题方法集锦 一、解决解析几何问题的几条原则 1．重视数形结合的数学思想 2．注重平面几何的知识的应用 3．突出圆锥曲线定义的作用 二、解析几何中的一类重要问题 直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题，它是我们解决解析几何其他问题的基础。我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关系，熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用，力争准确地解决问题。 弦长问题：|AB|= 。 弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。 三、高考解析几何解答题的类型与解决策略 Ⅰ.求曲线的方程 1．曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。

例1 （1994年全国） 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0). 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为： A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k= ,p= . 所以直线L的方程为：y= x,抛物线C的方程为y2= x. 例2 (1993年全国) 在面积为1的△PMN中，tanM= ,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。 分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自

高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的种方法

从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1：椭圆),0(1 22 22为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其 上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角?cos∠F 1PF 2 =||||2||||||2 12 212221PF PF F F PF PF ?-+ 222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++?<+?<2)(c x -+2 2224y x c y +?<+22 22222222 2 )(x a b a c x a a b x c -?<-+?<)(2 222222b c c a x b c -

高考数学专题10 解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题10 解析几何中两类曲线相结合问题 【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ， 离心率为 2 ，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=. （1）求椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【思路引导】 （1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，易知四边形P FPF ''为平行四边形，则 2PF PF PF P F a ''+=+=，可求得,,a b c ，即可求得椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，代入椭圆方程可得到00,x y 的关系式，然后分别求得,OFP OTP S S V V 的面积的表达式，即可得到四边形OFPT 面积的表达式，结合00,x y 的关系式，求OFPT 面积的最大值即可. 【详解】

（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''， 因为P O PO '=，OF OF '=，所以四边形P FPF ''为平行四边形， 所以24PF PF PF P F a ''+=+==，所以2a =， 又离心率为 2 ，所以c =，1b =. 故所求椭圆C 的标准方程为2 214 x y +=，圆O 的标准方程221x y +=. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220014 x y +=，故22 0014x y =-. 所以22 2000222 314TP OP OT x y x =+-= =-，所以0TP x =， 所以0124 OTP S OT TP x = ?=V . 又()0,0O ，) F ，所以0012OFP S OF y y =?=V . 故0022OFP OTP OFPT x y S S S ??==++ ???四边形V V ==. 由220014x y +=，得1≤，即001x y ?≤， 所以22 OFPT S = ≤ 四边形， 当且仅当2 2 00142x y ==，即0x =02 y = 时等号成立. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;

浅谈解析几何的学习方法

浅谈解析几何的学习方法 ????高中数学中的解析几何内容学生之所以会觉得难是因为对几个常用公式、定理的含义并没有真正弄清楚，实际上如果能花时间把每个公式的推导过程研究一遍消化掉，那么学好它将不是什么疑难问题了。 ????我们知道，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”——我国着名数学家华罗庚。 ????作为学习解析几何的开始，我们引入了我国着名的数学家华罗庚的一句话，他告诉了我们“数”和“形”各自的特点和不足，从而强调了数形结合的重要性，尤其是在解析几何的学习过程中，我们始终都要注意运用数形结合的思想和方法。 ????当然，学习这一部分内容，只是了解这种思想也是不够的为此，就为大家介绍一下学习解析几何的方法和需要注意的几点。 一、夯实基础 1、正确理解定义 ??? 有些同学可能现在就会去翻书，去查定义，会说，回答这些问题还不容易嘛，我背一下不就可以了吗。可是，我要告诉大家——定义不是用来背的。????可能大家还没有理解这句话的意思，定义不是要你去死记硬背，而是要你去自己理解，去自己总结。

????教材上引入椭圆定义的时候花费了很大的篇幅，可它的本质是什么？与双曲线的定义又有怎样的相同点、不同点？椭圆、双曲线和抛物线这三个重要的圆锥曲线的统一定义我们又该如何去理解？这些，只有靠你自己总结出来，才能真正成为你自己的东西，在做题的时候，你才能应用自如。看一遍书上的定义，合上课本，想一想，如果让你来描述，你会怎么说。当你能够给别人将这些定义解释清楚的时候，你就已经很好的理解了这些定义，做题时，你就不会因为忽略了定义中隐含的条件而一筹莫展了。 2、比一比，学会总结 ????这一章我们介绍了三种圆锥曲线，它们有很多的相似之处，当然也有很多的不同，它们之间也有着千丝万缕的联系。学习完之后，自己比较一下，它们的定义、性质都有什么异同，哪些量是它们共有的，哪些量是某个圆锥曲线所特有的。当你比较完之后，再回过头来看这一章，你会发现，原来这一章的内容竟然如此的简单和清晰。 ????记住，一定要自己去总结哦！！别人给你的东西永远都是别人的，不是你自己的，只有自己总结过，才能清晰的把握问题的重点。 二、“数”与“形”要紧密联系 ????我们掌握了圆锥曲线的基础之后，就好比为我们的大厦打下了一个坚实的基础，现在，我们就可以正式建造我们的摩天大楼了！ 1、让“数”直观

解析几何中定值与定点问题

解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①

解析几何中计算方法与技巧

解析几何中计算方法与技巧 高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练掌握,在此基础上积累计算经验，掌握计算技巧，则解析几何定可得到高分。 一、巧用韦达定理简化运算 1、过二次曲线C 上一点P （x 0，y 0）作直线l ，求l 与C 另一交点。 例1：求直线y=kx+22－k 与椭圆22x +y 2 =1的交点坐标。 2、合二为一的整体运算 例2：过点P （-1，2）作圆C ：（x-1）2+y 2=1的两条切线，求两条切线的斜率和。 例3：过点P （x 0，-4 1 ）作抛物线y=x 2的两条切线，求证：切点弦过定点。 例4：抛物线y 2=2x 上动点P ，过点P 作⊙C ：（x-1）2+y 2=1的切线PM ，PN 分别交y 轴于M ，N 两点，求△PMN 面积的最小值。 例5：过抛物线x 2=2y 的焦点作斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1和l 2，若l 1交抛物线 于A 、B 两点，l 2交抛物线于C 、D 两点。以线段AB 为直径作圆C 1，以CD 为直 径作圆C 2。若k 1+k 2=2，求两圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程。 二、利用计算的对称性避免重复运算 引例：过原点O 作抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：AB 直线过定点。 例1：设椭圆E ：22x +y 2 =1上一点A （1，2 2），过A 作两条关于平行y 轴的直线对 称的两条直线AC ，AD 交椭圆E 于另两点C 和D 。求证：CD 直线的方向确定。 例2：设曲线C 1：4 2x +y 2 =1与曲线C 2：y=x 2-1。C 2的顶点为M ，过原点O 的直线l 与 C 2相交于A 、B 两点，直线MA 、MB 分别与C 1相交于 D 、 E 。 （1）证明：MD ⊥ME ； （2）若△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，问是否存在直线l 使得21S S =32 17？

解析几何求轨迹方程的常用方法讲解

解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、 C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆 圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？

解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)

2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ．