概率论期末复习重点

概率论期末总复习

第一章 随机事件

1、

事件的关系与运算 2、

古典概率 3、

条件概率的概念与性质，乘法公式 4、

事件的独立性 5、 主要公式

（1）()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-

（2）)()()(AB P A P B A P -=-

（3）()()1P A P A =-

（4）()()()

|P AB P B A P A = （5）()()()()()||P AB P A P B A P B P A B ==

（6）n 重贝努利试验中，事件A 发生k 次的概率为

6、

主要例题：P10例1.3.3、例1.3.4； 7、 主要习题：P23习题1.10、1.14、1.16、1.23

例1、已知8.0)(,5.0)(,3.0)(===B A P B P A P Y ，

求（1）P(AB)；（2）P （A －B ）；（3）)(__

__B A P

解：（1）由)()()()(AB P B P A P B A P -+=Y

得()()()()P AB P A P B P A B =+-⋃

（2）3.003.0)()()(=-=-=-AB P A P B A P

（3）2.08.01)(1)()(___________=-=-==B A P B A P B A P Y Y

第二章随机变量

1、离散型分布列

()i i P X x P ==，i ＝1，2，……

（1）0≥i P （2）11

=∑∞=i i P

2、分布函数)()(x X P x F ≤=

3、连续型概率密度函数)(x f

（1）0)(≥x f （2）()1f x dx ∞

-∞=⎰

（3）⎰-==≤

4、常用离散型

（1）两点（0－1）分布

E （x ）＝P ，D （x ）＝P （1－P ）

（2）二项分布X ～B （n ，p ）

E （x ）＝np ，D （x ）＝np （1－p ）

（3）泊松分布X ～)(λP

!)(K e K X P K λ

λ-==，K ＝0，1，2，……0>λ

E （x ）=D （x ）＝λ

5、常用连续型

（1）均匀分布],[~b a U X

（2）指数分布][~λE X

（3）正态分布),(~2σu N X

（4）标准正态分布X ～N （0，1）

6、重要例题：P39例2.3.3、2.3.4；

7、重要习题：P48习题2.2、2.4、2.13、2.14、2.19

例1、设随机变量X 的密度函数为

求：（1）常数K ；（2）分布函数F （x ）（3）P （0.5

（4）E （x ），D （x ）

解：（1）⎰⎰∞∞-====101022|2)(1K

x K

Kxdx dx x f ，K ＝2

（2）⎰⎰∞-===≤x x

dt dt t f x F x 000)()(0时，

（3）43|2)()25.0(15.021

5.025.0====<<⎰⎰x xdx dx x f X P

（4）32

|32

2)()(10310====⎰⎰∞∞-x xdx x dx x xf x E

第三章 多维随机变量

一、二维离散型随机变量（x,y ）

1、联合分布律()i i ij P X x y P ===，Y

性质：（1）0≥ij P （2）111

=∑∑∞-∞

=j i ij P

2、边缘分布

11

() ()i i ij j j ij j i P P X x P P P Y y P ∞∞

⋅⋅========∑∑、

()(),X f x f x y dy +∞

-∞=⎰，()(),Y f x f x y dx +∞

-∞=⎰

3、独立性X 与Y 独立j i ij P P P ⋅⋅=⇔

4、条件分布()()

(),|i j ij i j j j P X x Y y P P X x Y y P P Y y ⋅=======

二、重要例题：P53例3.2.1

三、重要习题：P79习题3.7、3.8、3.9、3.15、3.16、3.26 例1、设随机变量X 和Y 的分布律为

问（1）βα,为何值时，X 与Y 独立？（2）()()

,E X E Y （3）()1|1P X Y == 解：（x ，y ）的边缘分布如上表，由独立特性得

第四章随机变量的数字特征

一、数学期望

（1）1 ()() i i i x P E X xf x dx ∞=∞

∞⎧

⎪=⎨⎪⎩∑⎰－离散

连续

（2）设Y ＝g （x ），则1()()()()i i

i g x P E Y g x f x dx

∞

=∞

-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰ （3）性质：E （C ）＝C ，E （ax+b ）＝aE （x ）＋b

二、方差

（1）2()[()]D X E X E X =-

（2）简化公式：22()()(())D X E X E X =-

（3）性质：D （C ）＝0，2()()D aX b a D X +=

三、重要例题：P89例4.1.7；P94例4.2.2；

四、重要习题：P104习题4.8、4.9、4.26

1、设总体X 的概率密度为()10x e f x θθ-⎧⎪=⎨⎪⎩

00<≥x x （0θ>，未知），n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，求未知参数θ的极大似然估计量。

2、（P150习题7.2）设总体X 的概率密度为

()0x e f x λλ-⎧=⎨⎩00<≥x x （0λ>，未知），n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，求未知参数λ的矩估计和极大似然估计。

3、（P150习题7.3）设总体为上的均匀分布，求参数的矩估计和极大似然估计。

概率论与数理统计各章重点知识整理

概率论与数理统计各章重点知识整理 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质

概率论与数理统计期末复习20题及解答

概率论与数理统计期末复习20题及解答 【第一章】 随机事件与概率 1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率. 2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率． 3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101” ，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率. 4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率． 【第二章】 随机变量及其分布 5、设连续随机变量X 的分布函数为 +∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(． （1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度． 6、设随机变量X 的概率密度为 ???≤≤=其它, 0, 10,)(x ax x f ， 求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<

考研数学概率论复习必备知识点

第一章随机事件和概率 重点内容是：事件的关系：包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立;事件的运算：并，交，差;运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律;概率的基本性质及五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;利用独立性进行概率计算，伯努力试验计算。 近几年单独考查本章的考题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核。 第二章随机变量及其分布 本章的主要内容是：随机变量及其分布函数的概念和性质，分布律和概率密度，随机变量的函数的分布，一些常见的分布：0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用。而重点要求会计算与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，以及随机变量简单函数的概率分布。 近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。 第三章二维随机变量及其分布 本章是概率论重点部分之一，尤其是二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。 第四章随机变量的数字特征 本章内容是：随机变量的数字特征：数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数，常见分布的数字特征。而重点是利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。 第五章大数定律和中心极限定理 本章内容包括三个大数定律：切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律，以及两个中心极限定理：棣莫弗——拉普拉斯定理、列维——林德伯格定理。 本章的内容不是重点，也不经常考，只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以了。 常见题型有 1.估计概率的值 2.与中心极限定理相关的命题 第六章数理统计的基本概念 数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩。重点是正态总体的抽样分布，包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布。这会涉及标准正态分布、分布、分布和分布，要掌握这些分布对应随机变量的典型模式及它们参数的确定，这些分布的分位数和相应的数值表。

概率论与数理统计期末复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布： （1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为 12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<<， 则称X 服从 12 ,x x 处参数为p 的两点分布。 两点分布的概率分布：12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<< 两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式 {}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =- （3）泊松分布： 若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>=，则称X 服从参 数为λ的泊松分布，记为X~P (λ) 泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>= 泊松分布的期望： ()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ= 4.连续型随机变量： 如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，有 (){}()x F x P X x f t dt -∞ =≤=? ，则称X 为连续型随机变量，称 ()f x 为X 的概率密度函数， 简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：

概率论期末总复习必考题型

复习重点题目 第一章p13例2、p14例5、习题一20、25 第二章p34 例7、8；习题二15、24。 第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。 第四章习题四13、14、15、16。 第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。 第八章例4、例5、习题八3、6。 例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。 解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。所求概率为： P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1) t a t r a r r t 3a r t 2a r t a r t 例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。问所用这枪是校正过的概率是多少？ 解设事件

8 8 10 45 A ={射击中靶} B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2 构成完备事件组 , 则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为 P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816 习题一、 20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取 一 只，作不放回抽样。 求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品； （3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。 解 设事件 A i i 1,2 表示第 i 次取出正品，则 (3) P A 1A 2 A 1A 2 P A 1 A 2 P A 1A 2 P A 1 A 2 P A 1 P A 2 A 1 1) P A 1A 2 P A 1 P A 2 A 1 8 2 7 (2) P A 1A 2 P A 1 P A 2 A 1 21 10 9 1 45

概率统计 期末复习-经管(1)

第一章 随机事件及其概率 一、基本概念 1． 事件的关系与运算、运算规律 因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理。事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的 表1.1 没有相同的元素 与互不相容 和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生 与事件事件的相等与相等 与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件 样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ? =-=?? Ω ω , 对偶律： A B A B = ，A B A B = 2、概率的定义 频率： A n n f (A )n = ，其中 n 为试验次数, A n 为事件A 发生的次数 概率的统计定义： 在相同条件下重复进行n 次试验，若事件 A 发生的频率A n n f (A )n = 随着试验次数n 的增大而稳定地在某个常数 p ()10≤≤p 附近摆动，则称p 为事件的概率，记为)(A P 古典概型： 具有下列两个特征的随机试验模型： 1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同. 概率的古典定义： 在古典概型的假设下，设事件 A 包含其样本空间 S 中 k 个基本事件, 即 }, {}{}{2 1 k i i i e e e A =则事件 A 发生的概率 .)()()(1 1中基本事件的总数 包含的基本事件数S A n k e P e P A P k j i k j i j j == ==∑== 概率的公理化定义： 设 E 是随机试验, S 是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件: 1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ; 2. 完备性： 1)(=S P ; 3. 可列可加性：设 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有. )()(1 1 ∑∞ =∞ == i i i i A P A P 则称 )(A P 为事件A 的概率. 概率的基本性质： ○ 1()0P ;?=

大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用)汇总

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或

概率论期末总复习必考题型

复习重点题目 第一章 p13例2、p14例5、习题一20、25 第二章 p34例7、8；习题二15、24。 第三章 p58例2、例5、p61例5、 p63 例1、习题三5。 第四章 习题四13、14、15、16。 第七章 P139 例4、 P148 例2、习题七P157 1、 P159 13。 第八章 例4、例5、习题八3、6。 例1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球4次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。 解 以)4,3,2,1(=i A i 表示事件“第i 次取到红球”，则43,A A 分别表示事件“第三、四次取到白球”。所求概率为： t r r a t r a r a t r t a t r a t A P A A P A A A P A A A A P A A A A P +? +++?++?+++= =23) ()|()|()|()(11221332144321 例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8支枪中任取一支射击中靶。问所用这枪是校正过的概率是多少？ 解 设事件

A ={射击中靶} 1B ={任取一枪是校正过的},2B ={任取一枪是未校正过的},1B ,2 B 构成完备事件组, 则3.0)|(,8.0)|(,8/3)(,8/5)(2121====B A P B A P B P B P ， 故所求概率为 816 .049/40)] |()()|()(/[)|()()|(2211111==+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P 习题一、 20．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。 求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品； （3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。 解 设事件()2,1=i A i 表示第i 次取出正品，则 （1）()()()45 28 9710812121= ?==A A P A P A A P (2) ( )()( ) 45 1 9110212121= ?= =A A P A P A A P (3) ( )()()2 1212121A A P A A P A A A A P +=Y ()()( ) 45 8 9210812121= ?= =A A P A P A A P

概率论与数理统计期末总复习小结

第二、三、四章随机变量的分布及数字特征 习题课 一、小结 1.一维随机变量的概率分布 ⑴随机变量X 的分布函数{}()()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念与性质 ⑵离散型随机变量的概率分布与性质 ⑶连续型随机变量的概率密度与性质 ⑷重要分布（01-分布、二项分布、超几何分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布） 2.二维随机变量的概率分布 ⑴分布函数的概念与性质、边缘分布函数 ⑵二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布 ⑶二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度、条件密度 ⑷重要分布（二维均匀分布、二维正态分布） ⑸随机变量的独立性 3.随机变量的函数的概率分布 ⑴离散型随机变量函数的概率分布 ⑵连续型随机变量函数的概率分布 4.随机变量的数字特征 ⑴数学期望定义、公式与性质 ⑵方差的定义与性质 ⑶原点矩与中心矩

⑷协方差定义与性质 ⑸相关系数的定义与性质 ⑹不相关的充要条件 5.极限定理 ⑴切比雪夫不等式 ⑵大数定律 ⑶中心极限定理 二、习题 1.每次试验成功的概率为p （01p <<），重复进行试验直到 第n 次才取得r （1r n ≤≤）次成功的概率是【B 】 (A)(1)r r n r n C p p --(B)11(1)r r n r n C p p ---- (C)(1)r n r p p --(D)11 1(1)r r n r n C p p ----- 2.设随机变量2 (,)X N μσ，则随着2σ的增大，概率 {} P X μσ-<【C 】 (A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 3.设两个独立的随机变量X 与Y 的分布函数分别 (),()X Y F x F y ，则{}max ,Z X Y =的分布函数是【C 】 (A)()max{(),()}Z X Y F z F z F z = (B)()max{(),()}Z X Y F z F z F z = (C)()()()Z X Y F z F z F z =?(D)都不是

概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性: §1.2 概率 古典概型公式：P（A）= 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n个球随机地放到n个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A:“每个盒子恰有1个球”。求：P（A）=？ Ω所含样本点数： Α所含样本点数： 补例2:将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i：“信箱中信的最大封数为i”。（i =1,2，3）求:P(A i)=？ Ω所含样本点数： A1所含样本点数： A2所含样本点数： A3所含样本点数： 注:由概率定义得出的几个性质： 1、0

§1.3 概率的加法法则 定理:设A、B是互不相容事件（AB=φ），则： P(A∪B）=P（A）+P（B） 推论1:设A1、A2、…、A n互不相容,则 P(A1+A2+。..+ A n)= P（A1) + P(A2) +…+ P（A n) 推论2：设A1、A2、…、A n构成完备事件组,则 P(A1+A2+。。.+ A n）=1 推论3：P(A）=1－P(） 推论4：若BA，则P（B－A）= P(B）－P（A) 推论5（广义加法公式）： 对任意两个事件A与B，有P（A∪B)=P（A)+P(B）－P（A B） 补充——对偶律： §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式： P（A/B)=（P(B）≠0） P(B/A)= (P（A）≠0) ∴P（AB）=P(A/B）P（B)= P（B / A）P（A） 有时须与P（A+B)=P（A）+P（B）－P（AB）中的P(AB）联系解题。 全概率与逆概率公式： 全概率公式： 逆概率公式：

《概率论与数理统计》期末复习重点总结

概率论与数理统计 第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。 第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）； 第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）； 第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成； 第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住； 第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义； 教材的例题及习题： 19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11 样题 一、填空 1. 设A ，B 相互独立，且 2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________. 2. 已知),2(~2σN X ，且 3.0}42{=<

概率论知识点总结

概率论知识点总结 概率论是一门应用广泛的数学学科，它主要是研究不确定性、随机性的现象。概率论的研究分为理论概率论和应用概率论两大部分。应用概率论解决问题的解决办法，而理论概率论主要研究概率论本身和其它与之相关的数学。本文将主要介绍概率论的基本概念和相关概念，以及概率统计中常用的公式和计算方法。 首先，概率论的基本概念是概率空间（Probability Space），即一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是样本空间，F是一个满足数学定义的概率事件集，P是一个满足概率性质的概率度量。概率空间的不同的选择，可以根据实际应用的需要来确定合理的概率空间。 其次，可以使用概率空间来描述不确定性的情况，即可以通过概率空间来表示不确定性的发生概率。在概率论中，概率函数可以将概率空间中每个事件的发生概率确定下来，从而形成一个完整的概率模型。 此外，概率论中还有几个概念需要重点介绍：关联性，即两个事件之间存在依赖关系；随机变量，即将概率空间中每个样本点映射到实数空间中的函数。概率分布，表示随机变量取某一值时发生的概率；期望，表示一组数据集中取某一值时发生的概率。 此外，概率统计中使用的公式也很重要，常见的有贝叶斯公式、估计量、样本量和样本均值的公式。贝叶斯公式的形式为：P(A|B) = [P(B|A)P(A)]/P(B)，其中P(A|B)为A事件在B事件发生的条件下发生的概率； P(B|A)为B事件在A事件发生的条件下发生的概率；P(A)

为A事件发生的概率；P(B)为B事件发生的概率。估计量可以将概率密度函数中的几个参数估计出来，一般使用极大似然估计的方法。此外，样本量公式的形式为：n = (zα/2σ)2/ε2，其中zα/2为α/2置信水平的z分布值；σ为总体标准差；ε为样本平均值的允许误差。最后，样本均值的计算公式是：X =X/n，其中X为样本均值；ΣX为样本总和；n为样本总数。 总结一下，概率论是一门应用广泛的数学学科，其基本概念主要包括概率空间、概率函数及其它相关概念，以及概率统计中常用的公式和计算方法，在许多实际应用中，概率论都发挥着重要的作用。

《概率论与数理统计》期末考试复习公式总结

《概率论与数理统计》期末考试复习公式总结 第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) ) ()()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(

泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp(θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 ),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ1 )(=⎰ +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤⎰=≤≤b a dx x f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(⎰∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()() ()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当) (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

概率论与数理统计期末复习资料

概率统计、概率论与数理统计、随机数学课程 期末复习资料 注：以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围,考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考; 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算,了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质; 5、理解随机变量的概念,能熟练写出0—1分布、二项分布、泊松分布的分布律; 6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质; 7、掌握指数分布参数λ、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度; 9、会求分布中的待定参数; 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性; 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算; 12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率; 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法; 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差;会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差; 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念;会用独立正态随机变量线性组合性质解题; 17、了解大数定理结论,会用中心极限定理解题; 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,掌握样本均值与样本方差及样本矩概念,掌握χ2分布及性质、t分布、F分布及其分位点概念; 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数; 20、掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法; 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间;会求双正态总体均值与方差的置信区间; 23、明确假设检验的基本步骤,会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题; 24、掌握正态总体均值与方差的检验法; 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法; 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质; 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式; 4．一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用;分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差; 5．会用中心极限定理解题; 6．熟记0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布参数λ、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差; 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断; 2．计算样本均值与样本方差及样本矩; 3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理;

概率论与数理统计期末复习20题及解答

【第一章】 随机事件与概率 1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有 2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋 ，再从乙 袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率 . 2、 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电 话的概率. 3、 已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符 0或1 ,且输出结果为原字符的概率为 (0 1).假设该信道传输各字符时是独立工作的 •现以等概率从“ 101”，“ 010 ”这两个字符串 中任取一个输入信道•求输出结果恰为“ 000 ”的概率. 4、 试卷中的一道选择题有 4个答案可供选择，其中只有 1个答案是正确的•某考生如果会做这道题， 则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案•设该考生会做这道题的概率 为0.85 • (1 )求该考生选出此题正确答案的概率； (2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题 的概率. 【第二章】 随机变量及其分布 5、设连续随机变量X 的分布函数为 F (x) A Barctanx, (1)求系数A 及B ; (2)求X 落在区间(1,1)内的概率; 6、设随机变量X 的概率密度为 f (x) ax, 0 x 人 f(x) 0,其它， 求：(1)常数 a ； (2) P(0.5 X 1.5); (3) X 的分布函数 F(x). 7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 &设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量， X ~U[0, 0.2] , Y 的概率密度函数为 x . (3 )求X 的概率密度. f (x, y) A(1 xy), 0, x 1, y 1; 其它. 求：(1)系数A ; (2) X 的边缘概率密度 f X (x) ; (3)概率 P(Y X 2). f(x, y) 1 , 0 x 1,0 y 2x; 0, 其它. 求：(1) (X,Y)的边缘概率密度 独立. 1 f x (x), f y (y); (2)概率 P(X - , Y 2 1) ; (3)判断X , Y 是否相互 f Y (y) 5e 5y , 0, y 0, y 0. (1)求X 和Y 的联合概率密度 f (x, y) ; (2)求概率 P(Y X).

概率论期末复习知识点

概率论期末复习知识点

知识点 第一章 随机事件与概率 本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) (或)． (2) 和事件： ； （简记为 ）． (3) 积事件： ， （简记为或 )． (4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即 (5) 对立事件： ． (6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作(或) ． (7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事 A B ⊂B A ⊃A B ⋃12n A A A ⋃⋃⋃1 n i i A =AB 1 2 n A A A ⋂⋂⋂1 2 n A A A 1 n i i A =AB φ=A A B -AB

， 事件A 与B 相互独立的充分必要条件二： ． 对于任意n 个事件相互独立性定义如下： 对任意一个，任意的，若事件 总满足 ， 则称事件相互独立．这里实际上包含了 个等式． 6．*贝努里概型与二项概率 设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率 ，则在n 次重复独立试验中．，事件 Ａ恰发生次的概率为 ， ()()() P AB P A P B =(|)() P A B P A =1, 2, ,n A A A 2, ,k n =1 1k i i n ≤< <≤1,2, ,n A A A 1 1()() () k k i i i i P A A P A P A =1, 2, ,n A A A 21 n n --()(01) P A p p =<

7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式： 如果事件 两两互不相容，且 ，， ，则 ． 第二章 一维随机变量及其分布 本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算． 概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律 1,2,,n A A A 1 n i i A ==Ω ()0i P A >1,2, ,i n =1 ()(|) (|),1,2,,()(|) k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A == =∑(),1,2, ,, . i i p P X a i n ===

概率论与数理统计重点笔记

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A P(A)=0 .

概率论数理统计(经管类)重点及性质总结

概率论数理统计(经管类)重点及性质总结

概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。 推广：n个事件A 1，A 2 ，…，A n 两两互不相 容，即A i A j ＝，i≠j，i，j＝1，2，…n。 （6）对立事件： 概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做. 解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB ＝ф；②A∪B＝Ω 性质：①；②，；③A－B＝ ＝A－AB ④A与B相互对立A与B互不相容. 小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立； 运算：和，积，差，对立. （7）事件的运算性质 ①（和、积）交换律A∪B＝B∪A，A∩B ＝B∩A； ②（和、积）结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）； ③（和、积）分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） ④对偶律；.

由频率的性质推出概率的性质 ①推出① ②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1 ③A，B互不相容，推出③P （A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到有限多个和无限可列多个. 2.古典概型 概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型： ①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点； ②每个基本事件发生的可能性相同。 计算公式： 概率的定义与性质 （1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件： ①P（A）≥0；②P（Ω）＝1； ③设，，…，，…是一列互不相容的事件，则有.

（2）性质①，； ②对于任意事件A，B有； ③；④. 条件概率与乘法公式 定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则 。 乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P （A）P（B|A）； 当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）推广： ①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB） ②设，则 2.全概率公式与贝叶斯公式 （1）划分：设事件，，…，满足如下两个条件： ①，，…，互不相容，且，i＝1，2，…，n； ②，即，，…，至少有一