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(完整版)概率论与数理统计复习提纲

概率论与数理统计各章重点知识整理

概率论与数理统计各章重点知识整理第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质

(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,. 六.事件的独立性

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BA AB A B B A =?=? （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==? 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑=== n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=? （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则) ()()|(B P AB P B A P = （2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑== n i i i B A P B P A P 1 )|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用）

概率论与数理统计复习

《概率论与数理统计》复习 ?基本内容和要求第一章随机事件及其概率 1、掌握样本空间、随机事件、事件的概率等基本概念，了解频率的稳定性； 2、掌握事件的关系与运算、熟悉概率的一些性质，会利用其计算概率； 3、掌握古典概型的概率计算； 4、掌握条件概率、乘法公式、事件的独立性，会利用其计算概率； 5、掌握全概率公式和贝叶斯公式，会利用其计算概率。第二章随机变量及其分布 1、理解随机变量及其概率分布的概念； 2、掌握离散型随机变量的分布律的概念与性质，掌握重要的常见分布：0-1，二项，Poisson分布； 3、掌握分布函数和概率密度的概念及性质，熟悉均匀分布和正态分布，会查表计算正态分布随机变量的概率； 4、掌握随机变量函数的分布。 5、掌握二维随机变量与联合分布，掌握联合分布与概率密度； 6、理解边缘分布与条件分布，掌握边缘分布与条件分布公式；

7、理解随机变量的独立性，会用其计算概率； 8、掌握两个随机变量的函数的分布：Z=X+Y的分布，M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布。第三章随机变量的数字特征 1．掌握数学期望和方差的概率意义和基本性质，并能熟练计算随机变量的数学期望和方差； 2．记住常见分布的数学期望和方差； 3．理解并掌握随机变量的协方差及相关系数，了解矩。第四章大数定律与中心极限定理 1．掌握切比雪夫不等式； 2．了解贝努里大数定律，理解频率稳定性的含义； 3．理解独立同分布的中心极限定律及德莫弗—拉普拉斯定理，会近似计算。第五章统计估计 1．理解总体、个体、样本、统计量等概念； 2．熟记几个常见的统计量及分布：2 分布，t分布，F分布，3.正态总体的样本均值与样本方差的分布，临界值查法。4．理解估计量与估计值的概念，会计算未知参数的矩估计和极大似然估计； 5．了解估计量的评选标准； 6．理解置信区间、置信度的概念，掌握单（双）正态总体均值和方差的区间估计。

概率论与数理统计复习大纲

概率论与数理统计复习大纲(1) 一、概率论的基本概念内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念和基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考点 1．掌握事件的关系及运算． 2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes ）公式等． 3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算．二、随机变量及其分布内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考点 1．理解随机变量的概念，理解分布函数 (){}()F x P X x x =≤-∞<<∞ 的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率． 2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念及性质，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、泊松（Poisson ）分布． 3．理解连续型随机变量及其概率密度的概念及性质，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2 (,)N μσ、指数分布，其中参数为(0)(1/)λλλθ>=注：此时的指数分布()E λ的概率密度为 ()0 x e f x x λλ-?=? ≤?若x>0若 4．会求随机变量函数的分布 (分布函数法和单调函数下的公式法)．三、多维随机变量及其分布内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布二维连续型随机变量的概

率密度、边缘概率密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个随机变量的函数的分布(离散型) 考点 1．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度及其性质，掌握二维随机变量的边缘分布（离散型下边缘分布律、连续型下边缘密度的计算）． 2．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的判别方法，理解随机变量的不相关性与独立性的关系． 3．会根据两个离散型随机变量的联合分布律求其函数的分布律．四、随机变量的数字特征内容随机变量的数学期望（均值）、方差及其性质随机变量函数的数学期望协方差、相关系数及其性质考点 1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的期望、方差． 2．会求随机变量及其函数的数学期望． 3. 利用协方差或相关系数判别随机变量是否不相关. 五、大数定律及中心极限定理考点切比雪夫不等式．六、样本及抽样分布内容总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩2 χ分布 t 分布分位点正态总体的常用抽样分布考点 1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2 21 1()1n i i S X X n ==--∑ 2．了解产生2 χ变量、t 变量的典型模式；了解标准正态分布、2 χ分布、t 分布的上侧α分位点. 3．掌握单个正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布（定理1-3）．

《概率论》总复习提纲

ang 《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验. 1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E . 1）试验可在相同的条件下重复进行； 2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现. （2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w . （3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发生必导致B 发生”，记为B A ⊂或A B ⊃； B A B A ⊂⇔=且A B ⊂. （2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对立事件Ω=⋃⇔B A 且Φ=AB . （3）独立性：（1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独立. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ). （2）多个事件的独立：设 n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的 n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独立． 3、事件的运算

概率论与数理统计复习提纲

第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算 1.样本空间、随机事件 ①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示； ②样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一. ③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,?表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件( )是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2.事件的四种关系 ①包含关系： A B，事件A发生必有事件B发生； ②等价关系： A B，事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生； ③互不相容（互斥）：AB ，事件A与事件B一定不会同时发生。 ④对立关系（互逆）：A，事件A发生事件A必不发生，反之也成立； AA 互逆满足 AA 注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。） 3.事件的三大运算 ①事件的并： A B，事件A与事件B至少有一个发生。若AB ，则A B A B； ②事件的交： A B或AB，事件A与事件B都发生； ③事件的差： A-B，事件A发生且事件B不发生。 4.事件的运算规律 ①交换律： A B B A,AB BA ②结合律：(A B) C A (B C),(A B) C A (B C) ③分配律： A (B C) (A B) (A C),A (B C) (A B) (A C) n n ④德摩根（DeMorgan）定律：二、随机事件的概率定义和性质A B AB, AB A B A i A i, 对于n个事件，有i1i1 n n A i A i i1 i1 1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件A(A), 都有确定的实值P(A)，满足下列性质： (1)非负性：P(A)0; (2)规范性：P( )1; (3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件A1,A2 k k ,Ak，有P( A i) P(A i). i 1i1 则称P(A)为随机事件A的概率. 2．概率的性质 ①P( )1,P()0 ②P(A) 1P(A) ③若A B，则P(A) P(B),且P(B A) P(B)P(A)

《概率论与数理统计》复习大纲及参考答案(最新)

《概率论与数理统计》复习大纲与复习题 07-08第一学期一、复习方法与要求学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，《概率论与数理统计》同样.对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成. 学习数学离不开作题，复习时同样.正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目. 如开学给出的学习建议中所讲：作为本科的一门课程，在课件中我们讲述了大纲所要求的基本内容.考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重.各章内容要求与所占分值如下：第一章介绍的随机事件的关系与运算，概率的基本概念与关系. 约占30分. 第二章介绍的一维随机变量的分布. 约占25分. 第三章二维随机变量的分布，主要要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律以及随机变量独立的判别. 约占10分. 第四章介绍的随机变量的数字特征. 约占15分. 第五、六、七、八章约占20分.内容为第五章的中心极限定理. 分布）；第六章介绍的总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与分布（t分布、2 正态总体样本函数服从分布定理. 第七章的矩估计与一个正态总体期望与方差的区间估计. 第八章一个正态总体期望与方差的假设检验. 对上述内容之外部分，不作要求. 二、期终考试方式与题型本学期期终考试采取开卷形式，即允许带教材与参考资料. 题目全部为客观题，题型有判断与选择.当然有些题目要通过计算才能得出结果.其中判断题占70分，每小题2分；选择题占30分，每小题3分. 三、应熟练掌握的主要内容 1.了解概率研究的对象——随机现象的特点；了解随机试验的条件.

概率论与数理统计复习提纲

k②如何求分布律：先确定r.v.的可能取值，再求取相应值的概率值； ③根据分布律求分布函数及离散型r.v.落在某个区间的概率；二、连续型随机变量的概率密度函数f(某) ①性质： f(某)d某1（注：由此可确定密度函数中的未知常数）某②由f(某)求分布函数：F(某)P(某某)f(t)dt（要注意对某的分段讨论） b③由f(某)求连续型r.v.落在某个区间的概率：P(a某b)f(某)d某； a（注：连续型r.v.取任一常值的概率等于0，即P(某某)0）三、分布函数F(某) ①分布函数的性质：0F(某)1，F()0，F()1，（右）连续，单调不减（注：由此可确定分布函数中的未知常数） ②分布函数与分布律、概率密度的关系：相互求解（注： F(某)f(某)）；③由F(某)求r.v.落在某个区间的概率：P(a某 b)F(b)F(a)。四、随机变量函数的分布①离散型随机变量函数的分布 ②连续型随机变量函数的分布（注：先求分布函数，再求密度函数）Ch3一、二维离散型随机向量（某，Y） ①如何求联合分布律：（注：往往用二维的表格来表示）先分别确定r.v.某，Y的可能取值，再求P(某某 i,Yyj)pij(i,j=1,2,…)②如何求边缘分布律：在联合分布律表格中分别求行和、列和

【自考】《概率论与数理统计》复习重点

第一章随机变量及其变量分布 §2.1离散型随机变量（一）随机变量引例一：掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}. 我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；…，X=6，表示点数为6。引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}. 我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使a

由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。所以反之，若一数列具有以上两条性质，则它必可以作为某随机变量的分布律。例1 设离散型随机变量X的分布律为求常数c。解由分布律的性质知 1=0.2+c+0.5, 解得c=0.3. 例2 掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。解X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且则X的分布律为在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每个值相应的概率。例3 袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2.，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布率。解X的取值为3,4,5，由古典概型的概率计算方法，得（三个球的编号为1,2,3）（有一球编号为4，从1，2，3中任取2个的组合与数字4搭配成3个）（有一球编号为5，另两个球的编号小于5）则X的分布律为

概率论与数理统计知识点总结超详细版

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 2．样本空间、随机事件虿§ 1.事件间的关系A u B则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生 A u B = {x|x e A或x e B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件A u B发生 A c B = {x|x e A且x e B}称为事件A与事件B的积事件，指当A, B 同时发生时，事件A c B发生 A— B = {x|x e A且x e B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A—B发生 A c B=。，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 A u B= S且A c B=。，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A 与事件B互为对立事件 2.运算规则交换律A u B = BuA AcB = BcA 结合律(A u B) u C = A u (B u C) (A c B)C = A(B c C) 分配律A u(B c C) = (A u B) c (A u C) A c( B u C)=(A c B)(A c C)

德摩根律A u B=A c B A c B=A u B §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数%称为事件A 发生的频数，比值njn 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P (A )，称为事件的概率 1 .概率P (A )满足下列条件： (1)非负性：对于每一个事件A 0 < P (A ) < 1 (2)规范性：对于必然事件S P (S) = 1 2．概率的一些重要性质： (iii )设 A , B 是两个事件若 A u B ,则 P (B — A ) = P (B ) — P (A ), P (B) > P (A) (iv )对于任意事件A , P(A ) < 1 (v ) P(A) = 1 - P(A) (逆事件的概率) (3)可列可加性：设A /4,• ••,A 是两两互不相容的事件，有P ( 3A ) = £ k k =1 k =1 P (A )(n k (ii )若 A -4,• ••,A 是两两互不相容的事件，则有P (3 A ) = £ k k =1 k =1 P (A k ) (n 可以取g )

(完整版)概率论与数理统计知识点总结

第1 章随机事件及其概率

在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 p q ，用 P n (k) 表示 n 重伯努利试验中 A 出现 k(0 k n) 次的概率， P n (k) C k n p k q n k ， k 0,1,2, ,n 第二章随机变量及其分布 1 ) 设离散型随机变量 X 的可能取值为 X k (k=1,2, ⋯)且取各个值的概率，即事件 (X=X k )的概率为 P(X=x k )=p k ，k=1,2, ⋯，则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： X | x 1, x 2, ,x k , P(X x k ) p 1,p 2, , p k , 。显然分布律应满足下列条件： p k 1 1) p k 0，k 1,2, ， (2) k 1 (14) 伯努利概散随变的布

2 ) 设 F (x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有 x F(x) f (x)dx ，则称 X 为连续型随机变量。 f(x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：分布 1、 f (x) 0 x 2 3、 P(x 1 X x 2) F(x 2) F(x 1) 2 f(x)dx x 1 4、 P(x=a)=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0 连型机量续随变的密度 2、 f (x)dx 1 。

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生 B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生 B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃ 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P