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大学概率论考点总复习

第一章随机事件与概率

一、主要概念及公式

1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合.

2. 随机事件：样本空间的子集.

3. 频率：事件A 发生次数与试验次数的比值.

4. 概率：刻画随机事件A 在试验中发生的可能性大小的、介于0与1之间

的数称为P (A )事件A 的概率，它满足非负性、规范性、可列可加性。 5. 古典概型：试验具有以下两个特点的概率类型： (1)试验的样本空间只包含有限个元素； (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同 .

概率的古典定义:在古典概型时,().A P A =

包含的基本事件数

样本空间中的基本事件总数

6. 条件概率：设A 、B 是两个事件，且P (A )>0, 称()

()()

P AB P B A P A =为事件A 发生条件下B 发生的概率.

7. 独立性:设A ,B 是两个事件,若()(),P A B P A =则称事件A ,B 相互独立. ,A B A B A B A B 若与相互独立，则与与，与都相互独立. 8. 事件的关系：,A B =,A

B ,A

B ,A B -,A

B =Φ.A

9. 概率性质：(1) 0()1P A ≤≤，()0P Φ= ()1P Ω=；

(2) ()()()();P BA P B A P B P AB =-=-

特别的，,()()().A B P B A P B P A ⊂-=-当时 (3) ()1();P A P A =- (4) ()()()();P A

B P A P B P AB =+-

推广:112

111

()()()()(1)();n n

n i i i j i j k n i i j n

i j k n

i P A P A P A A P A A A P A A A -=≤<≤≤<<≤==-

++-∑∑

∑

10. 加法公式：()()()();P A B P A P B P AB =+-

A B 、互不相容时， ()()();P A

B P A P B =+

11. 乘法定理: ()()()(()0);P AB P B A P A P A =>，

独立事件的乘法公式：()()()(,).P AB P A P B A B =，

相互独立推广到有限多个独立事件：1

(

)(),(n n

i i i i i P A P A A ===∏相互独立）；

12. 全概率公式:(1)事件(1,2,,)i A i n =两两互不相容；(2)

i i A ==Ω，

则1()()().n

i i i P B P A P B A ==∑

13. 独立试验序列：独立试验序列中，设P (A )=p ,则n 次试验中事件A 恰发

生m 次的概率为()(01,1,).m n n m

n n P m C p q

p p q -=<<+-， 14. 随机试验：具有以下三个特点的实验 (1)可在相同的条件下重复进行； (2)每次实验结果可能不止一个；(3)实验前不能确定哪个结果会出现. 15. 概率的三个性质：(1)非负性: ()0;P A ≥ (2)规范性：()1;P Ω= (3)可列可加性:(1,2,,)i A i n =两两互不相容；则有1

(

)().n n

i i i i P A P A ===∑

二、基本习题

1．袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，一次从袋中任意取两球，观察其颜色, 写出此随机事件的样本空间。【Ω={两白,一白一黑,两黑}】 2．设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 表达下列事件

(1) 至少有一个发生__________； (2) 一个都没有发生； (3) 恰好有一个发生___________；(4) 至少有两个发生； (5) 最多有一个发生； (6) 仅A 发生 .

【,,A B C ABC ABC ABC ABC ++,AB BC AC ,AB BC AC ,.ABC 】 3．设A , B 为相互独立的事件,()0.4,()0.3,P A P B ==求().P A B 【0.88】 4．设A ,B 为两事件,__

()0.6,(/)0.2,P A B P B A ==求__

(),().P A P AB 【0.5;0.1】

5．设A,B 为两事件,,()0.7,()0.5,A B P A P B ⊃==求()P AB ，

().P A B 【0.3;1】 6．设随机事件,A B 及A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6,求()P A B ，

()P AB ， ().P AB 【1/3；0.1；0.3】

7．设()0.5P A =,()0.6P B =,(/)0.4P B A =,求()P AB ,()P AB . 【()()()0.2,P AB P A P B A ==()()()0.4P AB P B P AB =-=】

8．口袋中一装有3只红球，5只黑球，今从中任意取出2只球，求这2

只球恰为一红一黑的概率。【11352815

().28

C C P A C == 】

9．一本有4本分册的文集，按任意顺序放在书架上，求将各分册按自左向

右或自右向左的顺序排列的概率。【24112=！

】 10．一只口袋中有100只球，其中红球为10只，每次从中任取一只球，取出后不再放回，求第三次才取得红球的概率？【908910

1009998

P =

⨯⨯】 11．某仓库中有10箱同样规格的产品，已知其中有5箱、3箱、2箱依次是第一、二、三厂生产的，且三个工厂该产品的次品率依次为

111

,,101520

，现从这10箱产品中任取一箱，取得的这箱中任取一件产品，求取得次品的概率。

【设A 为任取一个产品为次品，设i B 为取自第i 厂,i =1,2,3 3

1()()() 3.5%.i i i P A P B P A B ==⨯=∑】

12．某工厂有一、二、三3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量

分别占全厂的25%、35%、40%，3个车间中产品的废品率分别为5%、 4%、2%，求全厂产品的废品率。

【设A 表示全厂产品的废品率,i B 表示任取一件产品是第i 车间生产的，

1,2,3i =。

1()()(/)i i i P A P B P A B ==∑0.83%=】 13．某人带有n 把钥匙去开自己的房门，其中只有一把能打开. 他随机地从中逐一任取一把去试开房门，试过的钥匙不再重试，求他第k 次试开时打开房门的概率（1≤k ≤n ）.【设k A =“第k 次试开时打开房门”（1≤k ≤n ）， i B =“第i 次试开时选对钥匙”，则12

1()()k k k P A P B B B B -= ，

1211122121()()()()k k k k P B P B B P B B B B P B B B B ---= 12

(1)1

(2)(1)

n n n k n n n k n k ----=

⋅⋅⋅⋅-----1/.n =】 14．转炉炼高级砂钢，每一炉钢的合格率为0.7，有若干炉同时冶炼，若要以99%的把握至少炼出一炉合格钢，问至少要有几个转炉同时炼钢？【设A =“任一炉炼出合格钢”, p =0.7 , B =“至少炼出一炉合格钢”, 则要求

1()(1)1(1)0.99,n

i i n i n n n i P B C p p C p p -==-=--≥∑ 即10.30.99,n -≥

解得n ≈3.824, 取n =4. 】

第二章一维随机变量及其分布

一、主要概念及公式

1．随机变量:设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X (ω)是定义在样本空间 Ω上的单值函数，称X=X (ω)为随机变量。

2．离散随机变量及概率分布列：随机变量的取值是有限个或可列无限多个，称为离散随机变量。

概率分布列:设离散随机变量所有可能的取值为(1,2,)i x i =,()i i P X x p ==,

1,2,,i =且i p 满足 (1)非负性:0i p ≥； (2)规范性:1

1,i i p ∞

==∑

称(),(1,2,,,)i i P X x p i n ===为X 的概率分布列。 3．四种常见的离散随机变量：

（1）(0—1)分布:随机变量X 的概率分布列为:1()(1),0,1.x x

p x p p x -=-=

（2）超几何分布：随机变量X 的概率分布列为：

(),0,1,,(,,),,.x n x M N M

C C p x x n n N M n N M N C --==≤≤都是正整数且

（3）二项分布：随机变量X 的概率分布列为：

(),0,1,,.(01,1)x x n x

n p x C p q x n p p q -==<<+=

（4）泊松分布：随机变量X 的概率分布列为： (),0,1,,(0).

p x e x x λ

λλ-=

=>为常数

4．随机变量的分布函数：x 为任意实数, F (x )=P (X ≤x )称为X 的分布函数. 分布函数的性质: (1)0≤F (x )≤1;(2)F (x )是非减函数; (3)F (+∞)=1,F (-∞)=0; (4)离散随机变量：()()().i i x x

F x P X x p x ≤=≤=

∑

(5)离散随机变量的分布函数在分界点处是右连续；连续随机变量的分布函数是连续函数.

5．连续性随机变量及概率密度: 随机变量可取得某一区间内的任何数值.

概率密度:对随机变量X ,如果存在非负可积函数 f (x )(-∞

a P a x

b f x dx <<=⎰ 则称f (x )为X 的概率密度.

对连续随机变量有: ()P a x b <<=()P a x b ≤<=()P a x b <≤=().P a x b ≤≤ 概率密度的性质: (1)非负性: ()0,();f x x ≥-∞<<+∞

(2)规范性:

() 1.f x dx +∞

-∞

=⎰

连续随机变量分布函数与概率密度的关系:()(),F x f x '=()().x

f x dx F x -∞=⎰ 6．三种重要的连续型随机变量

(1) 均匀分布(X ~U [a ,b ]): 概率密度为1

()0,

a x

b f x b a ⎧<<⎪

=-⎨⎪⎩，其它.

(2) 指数分布 ((X ~e [λ]): 概率密度为0

(),(0).0,0x e x f x x λλλ-⎧≥=>⎨

<⎩， (3) 正态分布2~(,)X N μσ: 概率密度为

()21

(),()2x f x e x μσπσ

--=

-∞<<+∞，,0.

μσσ>其中为常数， ① 标准正态分布N (0,1)的概率密度及分布函数：

(),,,2x x e

φπ

-=-∞+∞ 22

().2x x

x e

dx π

--∞Φ=

⎰

② 标准正态分布N (0,1)的分布函数的性质： (1) (0)0.5Φ=； (2)()1Φ+∞=； (3)()1().x x Φ-=-Φ 7．随机变量函数的分布：离散型（略）

连续型：已知X 的概率密度()X f x ,求()Y g X =的概率密度()Y f y 的步骤： (1)先求Y 的分布函数()()[()]Y F y P Y y P g X y =≤=≤=,其积分限为y 的函数;

(2)上式两边对y 求导，即得Y 的概率密度。二、基本习题

1．已知随机变量X 的分布列如下，求常数a 。

X k =

1 2

4 5

()P X k =

0.1 0.3

0.3

【因 20.10.30.3a a ++++

=，得 0.1a = 】

2．某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，求射击次数为3的概率。

【设直到命中为止射击次数为X ，

2133

(3)()().4464

P X ==⋅=】 3．盒中有9只零件，其中有6只合格品，3只次品，现从盒中无放回的

抽取直到取到合格品。(a )设在取到合格品之前已取出的次品数为X ， (1) 求X 的概率分布；(2) X 的分布函数；(3) 求E (X ), D (X )； (4) 若Y=X 2 –X ，求Y 的概率分布。(b ) 设直到取到合格品为止已取出的产品数为X ，(1) 求X 的概率分布；(2) X 的分布函数； (3) 求E (X ), D (X )；(4) 若Y=X 2 –X ，求Y 的概率分布。【(a ) (1) (2)

0;23,01;()1112,12;8384,23;1,

3.x x F x x x x -∞<<⎧⎪≤<⎪⎪

=≤<⎨⎪≤<⎪

≤<+∞⎪⎩

(3) E (X )=37，E (X 2)=9

14，D (X )= E (X 2)-[E (X )]2=4598

(4) (b ) (1)

X 0

114

184

Y 0

114

184

X 1

P 23

114

184

(2)、(3)、(4)略】

4．盒中有9只正品、3只次品，现从盒中无放回的抽取直到取到合格品。设在取到合格品之前已取出的次品数为X ，(1)求X 的概率分布； (2)求E (X ), D (X )；(3)若Y=X 2–X ，求Y 的概率分布。【(1)

(2)、(3)略】

5．设随机变量X 的概率密度为01()0

x f x α⎧<<⎪=⎨

⎪⎩其它

，且()075E X =．，

求常数C 和α。

【1由1

0110

10.75Cx dx Cx dx α

α+⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰ 得110.752

C αα⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得2α=，3C =。】

6．设连续型随机变量X 的概率密度函数为2

,22()40,A

x f x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他,

(1)

求常数A . (2)求分布函数F (x ). (3)求(1).P X < (4)求E (X )，D (X ).

【(1)2

14A

dx x -=-⎰由，1;A π=得 (2)0,211()arcsin ,22;221,2,x x F x x x π

≤⎧⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎩

(3) (1)P X <(1)(1)F F =--1/3;= (4) 2

()4x E X dx x

π--⎰

=0,

222

()4x E X dx x

-⎰

=220

22444x dx x π----⎰22

0224[4]4x dx x π-=---⎰ X

P 34

944

9220

1220

22220022[4arcsin ][4arcsin ]2222

x x x x x ππ-=-+--=2, D (X )= E (X 2)-[E (X )]2=2】 7．设连续型随机变量X 的分布函数为,0

()+12,021,2x Be x F x Ax x x ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩

。,

(1) 求常数A ,B ；(2)求(11);P X -<< (3)求X 的概率密度f (x ).

【(1)11,;42A B == (2)31(11);42P X e -<<=- (3)2,0

()1/4,020,2

x e x f x x x ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩

。】

8．设随机变量X 服从正态分布2

(,)N μσ,则X Y μ

服从______。

【(01.N ，

）】 9．设X 服从正态分布N (1,4)，且Y =3X +5，则(111)P Y -≤≤=________. （附：(0.5)0.6915Φ=，(1.5)0.9333Φ=) 【0.6248 】

10．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，(1)求(3)P X >； (2)求C ，使 ()().P X C P X C >=≤ 【(1) P =0.5 ； (2) C=3 】

11．设随机变量X ~N (70,100)(1)求(72);P X ≥(2)求a ,使(90)0.7055.P a X ≤≤= (附: (0.2)0.5793,Φ=(2)0.9772,Φ=(0.61)0.7283Φ=) 【(1) P =0.4207，(2) a =63.9】

第三章二维随机变量及其分布

1. 二维随机变量:若对于随机试验的样本空间Ω中的每个结果ω，有序变量(X,Y )都有确定的一对实数值与之对应，即X=X (ω), Y=Y (ω), 则称 (X,Y )是二维随机变量。

2. 二维随机变量的联合分布函数(,)F x y 及基本性质：联合分布函数：(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤.

性质：(1)0(,)1F x y ≤≤； (2)(,)1F +∞+∞=，(,)0F y -∞=，(,)0F x -∞=， (,)0F -∞-∞=； (3)二维离散随机变量：(,)F x y 对单变量都是右连续的； 3. 二维连续随机变量(,)F x y 是连续函数；

二维离散随机变量的联合概率分布列:(,)(,).i j i j p x y P X x Y y === 联合分布列的性质:(1)非负性:(,)0.i j p x y ≥ (2)规范性:(,) 1.i j i

p x y =∑∑

4. 二维连续随机变量的联合概率密度:

二维连续随机变量(X,Y ),如果存在非负可积函数 f (x,y ), 使得

{(,)}(,),D

P x y D f x y dxdy ∈=⎰⎰ D 为某一平面区域，则称f (x,y )为(X,Y )的

联合概率密度. 且满足性质: (1)非负性:(,)0,(,);f x y x y ≥-∞<<+∞ (2)规范性:(,) 1.f x y dxdy +∞

+∞

-∞

=⎰⎰

5. 边际分布: (1)离散随机变量的边际概率分布列：

()()(,)X i i i j j

p x P X x p x y ===∑； ()()(,).Y j j i j i

p y P Y y p x y ===∑

边际分布函数：()(,);X F x F x =+∞()(,).Y F y F y =+∞ (2)连续随机变量的边际分布函数:

()(,)(,);x X F x F x dx f x y dy +∞-∞-∞=+∞=⎰⎰ ()(,)(,).y Y F y F y dy f x y dx +∞

-∞-∞=+∞=⎰⎰ 6. 边际概率密度:()()(,);X X dF x f x f x y dy dx +∞-∞=

=⎰()()(,).Y Y dF y f y f x y dx dy

+∞

-∞==⎰ 7. 二维随机变量的独立性

1) X,Y 相互独立(,)()().X Y F x y F x F y ⇔=

2) X,Y 为离散随机变量，X,Y 相互独立(,)()().i j X i Y j p x y p x p y ⇔= 3) X,Y 为连续随机变量，X,Y 相互独立(,)()().X Y f x y f x f y ⇔=

8. 二维随机变量函数的分布：（略）二、基本习题

1. 设随机变量X 与Y 相互独立，且(1)1/2P X ≤=，(1)1/3P Y ≤=，

求(1,1)P X Y ≤≤。【1

611(1,1)0

X Y P X Y ≤≤⎧≤

≤=⎨⎩，其它

】

2. 设二维随机变量的联合概率密度为,01,01

(,)0,Axy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩

其他

(1) 求常数A ； (2) 求(X ,Y )的联合分布函数；

(3)求边际概率密度f X (x ) , f Y (y )；(4)判断X 与Y 的独立性.

【(1) 11

001Axydxdy =⎰⎰, A =4； (2)22

,01,01;(,)0,

x y x y F x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它

(3) 201()(,)0,X x x f x f x y dy +∞

-∞

≤≤⎧==⎨⎩⎰，其他 201

()0,Y y y f y ≤≤⎧=⎨

⎩

，其他 (4)()()(,)X Y f x f y f x y ⋅=, 故X , Y 相互独立】

3. 设二维随机变量(X,Y )在矩形域,,a X b c Y d ≤≤≤≤上服从均匀分布，求 (1)(X,Y )的联合概率密度和边际概率密度;(2)随机变量X,Y 是否独立？

【(1) 1;,()()(,)0,a x b c y d b a d c f x y ⎧

≤≤≤≤⎪

--=⎨⎪⎩

其它

1,()0

X a x b f x b a ⎧≤≤⎪

=-⎨⎪⎩其它, 1

,()0Y c x d f y d c ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它; (2) X ,Y 独立的】

4. 设二维随机变量的联合概率密度为 (23)

0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩

，其他

(1)求系数A ；(2)求(X ,Y )的联合分布函数；(3)求边际概率密度； (4)求(X ,Y )落在区域:0,0,236D x y x y >>+<的概率.

【 (1) A =6 ; （2）23(1)(1),0,0;

(,)0,x y

e e x y F x y --⎧-->>⎪=⎨⎪⎩

其它

(3) 22,0

()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，33,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ ; (4)0.983p ≈】

5. 一种电子仪器由两个部件构成,以X ,Y 分别表示两个部件的寿命(单位:小时),已知(X ,Y )的联合分布函数为

/2/21/(22)1,0,0;

(,)0.x y x y e e e x y F x y ---+⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩

其它

问(1)X 和Y 是否独立? (2)两个部件的寿命都超过0.1小时的概率? (3) 两个部件的寿命都不超过100小时的概率? 【(1) X 与Y 的边际分布函数分别为

/21,0;(,)0.x X e x F x -⎧-≥⎪+∞=⎨⎪⎩其它 /21,0;

(,)0.y Y e y F y -⎧-≥⎪+∞=⎨⎪⎩

其它

(,)()()X Y F x y F x F y =，故X 与Y 独立

(2) (0.1,0.1)P P X Y =>>(0.1)(0.1)P X P Y =>>[1(0.1)][1(0.1)]P X P Y =-≤-≤

[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F =--0.052()0.9048e -=≈】

(3)(100,100)P P X Y =≤≤(100)(100)P X P Y =≤≤(100)(100)X Y F F =502(1).e -=-

6. 区域D 是由抛物线2

y x =及直线y x =所围成，随机变量(X ,Y)服从

区域D 上的均匀分布，试求(X ,Y )联合概率密度及边际概率密度.

【区域D 的面积210x

x A dy =⎰⎰1

2301123x x ⎛⎫=-

⎪⎝⎭16=，6,(,)(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩

其余, 26(),01()0,X x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其余,6(),01

()0,

Y y y y f y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其余】

第四章随机变量的数学期望

一、主要概念及公式

1. 数学期望：离散随机变量X 的概率分布列为(),1,2,,i i P X x p i === 1

i i i x p ∞=∑若绝对收敛，则1

()i i i E X x p ∞

==∑，

连续随机变量X 的概率密度为()f x ，()f x dx +∞

-∞⎰若绝对收敛， ()().E X xf x dx +∞

-∞=⎰则

2. 一维随机变量函数的数学期望:

设随机变量函数为Y =g (X )( g 为连续函数)，

(1)离散随机变量X 的概率分布列为(),1,2,,i i P X x p i ===则

1()[()]().i i i E Y E g X g x p ∞

===∑

(2)连续随机变量X 的概率密度为()f x ，

()[()]()().E Y E g X g x f x dx +∞

-∞==⎰则 3. 二维随机变量函数的数学期望：设二维连续随机变量(X ,Y )的联合概率

密度为(,)f x y ，则随机变量函数Z =g (X ,Y ) ( g 为连续函数)的数学期望

()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞

-∞-∞==⎰⎰；[注：Z 为一维随机变量]

若(X ,Y )是二维离散连续随机变量，联合概率函数分布列为 (,),,1,2,,i i ij P X x Y y p i j ==== 则11()[(,)](,).i j ij i j E Z E g X Y g x y p ∞∞

====∑∑

4. 数学期望的性质:(1) ()()E c c c =，为常数；

(2) ()()(,)E aX b aE X b a b +=+，为常数；；

(3)()()(),(,)E aX bY aE X bE Y a b +=+为常数；

推广：1

()(),()n

i i i i i i i E c X c E X c ===∑∑为常数.

(4)()()(),,E XY E X E Y X Y =（相互独立）;推广:1

()(),(n n

i i i i i E X E X X ===∏∏相互独立）.

5. 方差和均方差：方差2

(){[()]},D X E X E X =- 均方差：()()X D X σ=.

离散随机变量X 的概率分布列为(),1,2,,i i P X x p i ===

则2

1()[()]i i i D X x E X p ∞

==-∑，

连续随机变量X 的概率密度为()f x ，()f x dx +∞

-∞⎰若绝对收敛， 2()[()]().D X x E X f x dx +∞

-∞=-⎰则

6. 方差计算公式：22()()[()].D X E X E X =-

7. 方差的性质：(1) ()0D c =； (2) 2

()()(,)D aX b a D X a b +=，为常数；；

(3)()()()2{[()]{[()],D X Y D X D Y E X E X E Y E Y ±=+±-- 特别的，X ,Y 相互独立时，()()(),D X Y E X E Y +=+ 推广:1

()(),(n

i i i i i D X D X X ===∑∑相互独立）.

8. 常用分布的数字特征：分布名称及记号

概率分布列或概率密度

数学期望

方差 01“—”分布

1(),0,1.(01,1)

x x p x p q x p p q -==<<+=

二项分布

~(,)X B n p

(),

0,1,,.(01,1)

x x n x

n p x C p q x n p p q -==<<+=

np npq

超几何分布

~(,,)X H n M N

(),

0,1,

,min(,)(,,,)

x n x

M N M

C C p x C x n M n N M n N M N --=

=≤≤为正整数；

()()

(1)

nM N M N n N N --- 泊松分布

~()X P λ

(),

!0,1,,(0).

p x e x x λλλ-=

λ λ

均匀分布

~(,)X U a b 1

()0,

a x

b f x b a ⎧<<⎪

=-⎨⎪⎩，其它

a b

+ 2

()12b a - 指数分布

~()X e λ 0(),(0).0,0

x e x f x x λλλ-⎧≥⎪=>⎨<⎪⎩，

1λ

21λ

正态分布

2~(,)X N μσ

()21()2(),,,0x f x e x μσ

πσμσσ--=

-∞<<+∞>为常数

2σ

9. 协方差定义：cov(,){[()][()]}.X Y E X E X Y E Y =--

定理1(协方差的计算公式)：cov(,)X Y ()()().E XY E X E Y =- 定理2: 设随机变量X ,Y 相互独立，则cov(,)0.X Y = 10. 相关系数

定义及计算公式:(,)X Y ρ**cov(,)X Y ={[()][()]}()()E X E X Y E Y X Y σσ--=

cov(,)

.()()

X Y D X D Y =

定理

对任意两个随机变量X 与Y ：有(,)1X Y ρ≤.

定理4: 当且仅当随机变量X 与Y 之间存在线性关系Y a bX =+时，

概率论与数理统计考点

《概率论与数理统计》第一章随机事件与概率事件之间的关系：事件之间的运算：运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ￣￣ =A ￣∩B ￣ A ∩B ￣￣ =A ￣∪B ￣古典概型：概率公式：求逆公式 P(A ￣)=1- P(A) 加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ?B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B) 注意： A-B = A B ￣ = A-AB = (A ∪B)-B 条件概率公式： P(A|B)=P(AB)P(B) ; (P(B)>0) P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0) 全概率公式：P(A)= ∑i=1n P(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k ) P(B) = P(B|A k )P(A k ) ∑i=1 n P(B|A i )P(A i ) （由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立? 2. 事件A 与事件B 独立?事件A 与事件B ￣独立 ?事件A ￣与事件B 独立?事件A ￣与事件B ￣独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ￣；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A ￣)=1-p 。

大学概率论知识点总结

大学概率论知识点总结越是临考试，大家一定要稳定自己的情绪，不能乱了脚步。下面是大学概率论知识点总结，为大家提供参考。第一章随机事件和概率 1、随机事件的关系与运算 2、随机事件的运算律 3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和对立事件) 4、概率的基本性质 5、随机事件的条件概率与独立性 6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式) 7、全概率公式的思想 8、概型的计算(古典概型和几何概型) 第二章随机变量及其分布 1、分布函数的定义 2、分布函数的充要条件 3、分布函数的性质 4、离散型随机变量的分布律及分布函数 5、概率密度的充要条件 6、连续型随机变量的性质 7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)

8、随机变量函数的分布(离散型、连续型) 第三章多维随机变量及其分布 1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件) 2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件) 3、随机变量的独立性(判断和性质) 4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布) 5、随机变量函数的分布(离散型、连续型) 第四章随机变量的数字特征 1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量函数的期望) 2、方差、协方差、相关系数的计算公式 3、运算性质(期望、方差、协方差、相关系数) 4、常见分布的期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律) 3、中心极限定理(列维—林德伯格定理、棣莫弗—拉普拉斯定理) 第六章数理统计的基本概念 1、常见统计量(定义、数字特征公式) 2、统计分布 3、一维正态总体下的统计量具有的性质 4、估计量的评选标准(数学一) 5、上侧分位数(数学一)

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理 2010-2011 学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X P{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p) 若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p) k P{X k} e 若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参 P{X k} e 泊松分布的概率分布：泊松分布的期望： 4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X) 如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数 F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有x f(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。 2010-2011

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BA AB A B B A =?=? （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==? 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑=== n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=? （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则) ()()|(B P AB P B A P = （2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑== n i i i B A P B P A P 1 )|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用）

概率论与数理统计复习

《概率论与数理统计》复习 ?基本内容和要求第一章随机事件及其概率 1、掌握样本空间、随机事件、事件的概率等基本概念，了解频率的稳定性； 2、掌握事件的关系与运算、熟悉概率的一些性质，会利用其计算概率； 3、掌握古典概型的概率计算； 4、掌握条件概率、乘法公式、事件的独立性，会利用其计算概率； 5、掌握全概率公式和贝叶斯公式，会利用其计算概率。第二章随机变量及其分布 1、理解随机变量及其概率分布的概念； 2、掌握离散型随机变量的分布律的概念与性质，掌握重要的常见分布：0-1，二项，Poisson分布； 3、掌握分布函数和概率密度的概念及性质，熟悉均匀分布和正态分布，会查表计算正态分布随机变量的概率； 4、掌握随机变量函数的分布。 5、掌握二维随机变量与联合分布，掌握联合分布与概率密度； 6、理解边缘分布与条件分布，掌握边缘分布与条件分布公式；

7、理解随机变量的独立性，会用其计算概率； 8、掌握两个随机变量的函数的分布：Z=X+Y的分布，M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布。第三章随机变量的数字特征 1．掌握数学期望和方差的概率意义和基本性质，并能熟练计算随机变量的数学期望和方差； 2．记住常见分布的数学期望和方差； 3．理解并掌握随机变量的协方差及相关系数，了解矩。第四章大数定律与中心极限定理 1．掌握切比雪夫不等式； 2．了解贝努里大数定律，理解频率稳定性的含义； 3．理解独立同分布的中心极限定律及德莫弗—拉普拉斯定理，会近似计算。第五章统计估计 1．理解总体、个体、样本、统计量等概念； 2．熟记几个常见的统计量及分布：2 分布，t分布，F分布，3.正态总体的样本均值与样本方差的分布，临界值查法。4．理解估计量与估计值的概念，会计算未知参数的矩估计和极大似然估计； 5．了解估计量的评选标准； 6．理解置信区间、置信度的概念，掌握单（双）正态总体均值和方差的区间估计。

《概率论》总复习提纲

ang 《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验. 1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E . 1）试验可在相同的条件下重复进行； 2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现. （2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w . （3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发生必导致B 发生”，记为B A ⊂或A B ⊃； B A B A ⊂⇔=且A B ⊂. （2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对立事件Ω=⋃⇔B A 且Φ=AB . （3）独立性：（1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独立. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ). （2）多个事件的独立：设 n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的 n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独立． 3、事件的运算

概率论与数理统计考点归纳

概率论与数理统计考点归纳 1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。 2. 概率论考点 2.1 随机变量与概率分布 •随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。 •期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。 •大数定律和中心极限定理的概念和应用。 2.2 一维随机变量的分布特征 •分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。 •分位数和分位点的概念和计算方法。 •随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。 •常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。 2.3 多维随机变量的分布特征 •多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。 •多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。 •多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。 2.4 随机变量的函数的分布特征 •随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。 •随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。 3. 数理统计考点 3.1 抽样与抽样分布 •抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。 •抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。 •中心极限定理在抽样分布中的应用。

3.2 参数估计 •点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。 •点估计的性质：无偏性、有效性、一致性等。 •置信区间的定义和计算方法。 3.3 假设检验 •假设检验的基本步骤：建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。 •假设检验的错误和功效：第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。•常见假设检验方法：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。 3.4 方差分析与回归分析 •单因素方差分析的基本思想和步骤。 •多因素方差分析的基本思想和步骤。 •简单线性回归模型和最小二乘估计。 4. 总结概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。在考试中，我们需要掌握随机变量与概率分布、一维随机变量的分布特征、多维随机变量的分布特征、随机变量的函数的分布特征等概率论的考点，以及抽样与抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析等数理统计的考点。通过对这些考点的掌握，我们可以更好地理解和应用概率论与数理统计的知识，为实际问题的解决提供有效的方法和工具。

概率论与数理统计复习资料

《概率论与数理统计》第一章随机事件与概率基本概念：随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果样本点---随机试验E的每一个可能出现的结果样本空间----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集必然事件---每次试验中必定发生的事件。不可能事件--每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系： ⑧A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B) 例1事件A，B互为对立事件等价于（D） A、A，B互不相容 B、A，B相互独立 C、A∪B＝Ω D、A，B构成对样本空间的一个剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C） A、A= B、A B C、A与B相互独立 D、A与B互不相容例3.设甲乙两人朝同一目标射击，设A＝“甲命中目标且乙未命中目标”，则：A=（D） A)甲未命中目标且乙命中目标B)甲乙都没命中目标 C)甲未命中目标D)甲未命中目标或乙命中目标事件之间的运算：事件的交AB或A∩B 事件的并A∪B 事件的差A-B注意：A-B=A‾B=A-AB=(A∪B)-B n A n构成的一个完备事件组(或分斥)指A ,A2,…,A1,A2,…,A n两两互不相容，且i∪=1A i= 1 例1设事件A、B满足A∩¯B=，由此推导不出(D) A、A B B、¯A¯B C、A∪B=B D、A∩B=B 例2若事件B与A满足B–A=B，则一定有(B) A、A= B、AB= C、A¯B= D、B=¯A 运算法则：交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 对偶律A‾∪‾B=‾A∩‾B‾A∩‾B=‾A∪‾B 文氏图

《概率论与统计原理》复习资料

《概率论与统计原理》复习资料一、填空题 1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。参考答案： B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C A，AB C+AC B+A BC， A+C B+B AB A+C BC A+C B 考核知识点：事件的关系及运算 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。参考答案：0.04，0.02，0.1 考核知识点：古典型概率 3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率 4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率 5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质

6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质 7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P （A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（B A）= 。参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1 考核知识点：概率的性质 8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。参考答案：（1）0.26；（2）0.96 考核知识点：事件的独立性 9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。参考答案：5) - - 1( 1p 考核知识点：事件的独立性 10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜1.6}= ；P{X＜1}= ；P{X=x0}= 。参考答案：0.3094，0.5，0 考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质 11、设随机变量X～B（n，p），已知E X=0.6，D X=0.48，则n = ，p = 。参考答案：3，0.2 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 12、设随机变量X服从参数为（100，0.2）的二项分布，则 E X= ， D X= 。参考答案：20，16 考核知识点：随机变量的数学期望和方差

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从 12,x x 处参数为p 的两点分布。两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<< 两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式 {}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-= 给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布： {}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =- （3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ) 泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>= 泊松分布的期望： ()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ= 4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，有 (){}()x F x P X x f t dt -∞ =≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称 ()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：

大学数学概率论考点归纳

大学数学概率论考点归纳大学数学关于概率论考点归纳从整个考研数学来看，概率与数理统计难度应该是最低的，但从每年得分的角度来说，这门课程是三门课中得分率最低的，所以概率论的复习是不能忽视的，本文就为大家总结分析一下概率论的考点。 1、随机事件和概率它的重点内容主要是事件的关系和运算，古典概型和几何概型，加法公式、减法公式、乘法公式、全概公式和贝叶斯公式。主要是以客观题的形式考查。今年的考研数学中，数一和数三的'一个选择题就考到了事件的关系和概率的问题。 2、一维随机变量及其分布这是每年必考的，有单独直接考查，也经常与二维随机变量相结合去考查。重点内容是常见分布，主要是以客观题的形式考查。而今年数一和数三都是以大题的形式考到了常见分布-二项分布和n重伯努利试验的问题。 3、二维随机变量重点内容是二维随机变量的概率分布（概率密度）、边缘概率、条件概率和独立性及二维正态分布的性质。二维离散型随机变量的概率分布的建立，主要是结合古典概率进行考查。二维连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度的计算，很多考生计算存在误区，一定要注意。而今年数一和数三只考到了二维正态分布的一个性质，还是一个填空题题。

4、随机变量的数字特征每年必考，主要和其他知识点相结合来考查，一般是一道客观题和一道解答题中的一问，所以要重点复习。我们要掌握相应的公式进行计算即可，今年数一和数三的一个大题的第二小问考到了随机变量的数字特征，而且还是结合高等数学的无穷级数求和函数来考的，难度稍大。 5、数理统计的基本概念此部分主要考两个题型，第一个是判定统计量的分布，第二个常考题型是求统计量的数字特征。常以客观题的形式进行考查。今年数一和数三都考了一个选择题，考的是第二个题型就求统计量的数字特征，此题涉及到的知识点，往年已考过多次。 6、参数估计这是数一的考试重点，同时它也将成为未来数三的考试重点，所以数三的考生要引起足够的重视。点估计的两种方法即矩估计法和最大似然估计法经常是以解答题的形式进行考查，经常是试卷的最后一道题目。而今年数一和数三把点估计的两种方法都考了一遍，占11分。

《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》综合复习资料《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题 1．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。则： =)|(B A P ； =)(B A P 。 2．一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则：（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为；（2）恰有一次取到次品的概率为。 3．设随机变量)2, 1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则： )2(Y X E += ； )2(Y X D + 。 4．设随机变量X 的概率分布为 X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ； Y X =-21的概率分布为。 5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。6．设Y X 、相互独立，且概率分布分别为 2 )1(1 )(--= x e x f π (-∞<<+∞x ) ； ? ≤≤=其它，，03 12/1)(y y ? 则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。

7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。 8．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为。 9．设Y X 、的概率分布分别为 ≤≤=其它，，05 14/1)(x x ?；?()y e y y y =>≤-40004，，则：)2(Y X E += ；)4(2 Y X E -= 。 10．设随机变量X 的概率密度为 ≤ =其它，，02cos )(πx x A x f ，则：系数A = 。 11．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。则第一次取到次品，第二次取到正品的概率为；恰有一次取到次品的概率为；两次都取到次品的概率为。 12．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，若取到的是次品，那么该产品是A 工厂的概率为。 13．设随机变量X 的概率分布为f x Ax x ()=<

概率论期末复习知识点

知识点第一章随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算. 1. **事件的关系及运算 (1) A u B (或B D A ). 444I'lA ⑵和事件：A D B ； A i D 气5'2A 〃〔简记为〕. 、/ _1_/1 匕 / 444…4 HA ZQ \ 知童 /A . A A c A c • • • c A 「格 A A ,,, A 弋' ，、 (3) 积事件.AB ,12〔间记为1 2或z-1). (4) 互不相容：假设事件A 和B 不能同时发生，即AB =e (5) 对立事件：A . (6) 差事件：假设事件A 发生且事件B 不发生，记作A - B (或AB ). (7)德，摩根〔De Morgan 〕法则：对任意事件A 和B 有 A D B - A c B , ~A c B - A c B . 2. **古典概率的定义古典概型: 几何概率 3. **概率的性质 ⑴p S ) - o . ⑵(有限可加性)设n 个事件A 1A 2,…,A 两两互不相容，则有 P (A D A D ・・・D A ) = 1L P (A ) 12ni i -1. (3) P (A ) - 1 - P (A ). P (A )- 人中所含样本点的个数人的长度(或面积、体积) P (A )-样本空间的的长度(或面积、体积).

(4)假设事件A, B 满足A u B ，则有 P (B - A ) = P (B ) - P (A ) P (A ) < P (B ) (5) P (A ) < 1. (6) (加法公式)对于任意两个事件A, B,有 P (A D B ) = P (A ) + P (B ) - P (AB ) 对于任意n 个事件 A I A 2,…，A 〃,有 P ( A A ) + S P ( AAA )-..・ + (—l)〃-iP( A ..・A ) i ji j k 1 n 1

概率论考试复习知识点

一类概率统计考试复习知识点（注: 打星号部分个人认为如果其它知识点没有完全弄清楚就不要看特别提醒：所点的例题和习题只是与知识点相关的题目，并非考题) 概率论部分一古典概型（求一事件发生的概率）二利用事件的独立性和概率的性质求一事件发生的概率 P11习题1-2 第1-4题三条件概率的定义,全概率公式和贝叶斯公式的应用 P23 习题1-4 第3，4题 P21 例5 例6 例7 四一维离散型随机变量,已知X 的概率分布律 (1）分布律性质11i i p ∞ ==∑的应用，常见分布的应用； P36 例1 例6 P41 习题2—2 第3，6题（2）求分布律、分布函数，求一事件发生的概率()P X A ∈（含求条件概率(|)P X B X A ∈∈）； P44 例2，例3 P45 习题2-3 第3，4题（3）求均值和方差:,EX DX ； P91 例2 P97 习题4—1 第6题（4）求X 的函数()Y g X =的分布律。 P55 例1 P59 习题2-5 第1题五一维连续型随机变量，已知X 的概率密度函数()f x (1) 概率密度函数()1f x dx +∞ -∞=⎰的应用，常见分布的应用； P47 例1 ,3，5，6 P53 习题2—4 第4，10题 (2) 求一事件发生的概率()P X A ∈（如(,)A a b =）; P53 习题2—4 第2题 (3) 求均值和方差:,EX DX ;

P94 例6，7 P97 习题4-1 第7，10题（4) 求X 的函数()Y g X =的概率密度函数. P56 例2,3,6 P59 习题2-5 第4，5题六常用分布（1）常用分布的期望和方差；（2) 正态分布的性质和应用错误! 若2(,)X N μσ, 求()P a X b <<; 错误! 若221122(,),(,)X N X N μσμσ,且,X Y 相互独立，则 22221212(,)Z aX bY c N a b c a b μμσσ=+++++; 错误! 利用正态分布的对称性()1(),(0)0.5x x Φ-=-ΦΦ=求一事件的概率（如2(,)X N μσ，求()P X μ>) P104 习题4-2 第1—5，10题七二维离散型随机变量, 已知(,)X Y 的分布律 1 求边缘分布律,即求X 的分布律和Y 的分布律,求一事件发生的概率; P65 例1 ，2 P71 习题3—1 第3，5题 2 X 与Y 的独立性的判断； P74 例2 P78 习题3—2 第1题 3. 期望与方差 P94 例5 P97 习题4—1 第11题 P104 习题4—2 第5题＊4. 求协方差(,)Cov X Y 和相关系数XY ρ； P107 例1 P113 习题4-3 第8题 5。求随机变量函数(,)Z g X Y =的分布; P81 例1

《概率论与数理统计》期末复习重点总结

概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题： 19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11 样题一、填空 1. 设A ，B 相互独立，且 2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________. 2. 已知),2(~2σN X ，且 3.0}42{=<

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注:以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准;注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算;理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质. 5、理解随机变量的概念，了解(0—1）分布、二项分布、泊松分布的分布律. 6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数）、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度. 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、

条件密度函数,会判别随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法. 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差与相关系数。 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握 2分布（及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。二、各章知识要点

2023年概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理记录》复习参照资料第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件一、给出事件描述，规定用运算关系符表达事件：二、给出事件运算关系符，规定判断其对旳性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数所含样本点数 ΩA 实用中常常采用“排列组合”旳措施计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球旳概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅ n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信旳封数旳最大数分别为1、2、3旳概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信旳最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==⋅⋅ A 1所含样本点数：24234=⋅⋅

8 36424)(1== ∴A P A 2所含样本点数： 36342 3=⋅⋅C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3=⋅C 16 1644)(3== ∴A P 注：由概率定义得出旳几种性质： 1、0

概率论与随机过程考点总结

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布 1．随机变量X , 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ⎰∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度协方差两个随机变量Y X ,：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数两个随机变量Y X ,：DY DX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ,则称Y X ,不相关; 独立⇒不相关⇔0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ,1)(≤t g ,)()(t g t g =-,k k k EX i g =)0( 母函数： ∑∞ ===0)()(k k k k z p z E z g ! )0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+= ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差