108
(Φ=-Φa 于是
935.112645.13
108
=⇒=-a a
样本均值：
设总体)20,80(~2
N X ，从总体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与总
体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？
解：设容量为100的样本为),,,(10021X X X ，X
是样本的均值，
则)4,0(~80N X -，所求概率为
{|80|3}1{|80|3}1[(1.5)( 1.5)]2(10.9332)0.1334
P X P X ->=--≤=-Φ-Φ- =-=
矩估计
矩估计的基本原理：
∑=≈n
i i X n X E 11)(
∑=≈n i i X n X E 1
2
2
1)(
∑=≈n i k
i k X n X E 1
1)(
例1 设总体X 服从指数分布，其中
0>λ
是未知参数，如果取得的样本值为n x x x x ,,,321 ，
求
λ的矩估计值。
解：因为总体
X 的密度函数为
0(;)0
x
e x
f x λλλ-⎧>=⎨
⎩其它
1
()E X x e
dx λ
λλ+∞
-=
=
⎰
于是
X X n X E n
i i =≈=∑=1
11
)(λ 则λ的矩估计量为
X
1^
=λ
置信区间：
例：从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为
显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差40=σ
小时,在置信度0.95下
求出这批显像管平均寿命的置信区间。
解：这批显像管平均寿命的置信区间为
)
84.10007,16.9992()496.110000()100
40
10000()(025.02/=⨯±=⨯±=⨯±U n U X σα
假设检验
基本原理：大概率事件在一次统计结果中出现是应该的，正常的，可以接
受的。小概率在一次统计结果中出现是不正常的，不可接受的。
简单言之：一般最初采集的样本是把概率事件对应的样本，大概率事件的样本最早出现。 逻辑框架：
有病无病:;
:10H H
假设;:0
无病H 为真
而统计指标落在无病对应的大概率区间 则承认;:0无病H 为真，即接受无病判断，否则拒绝。
不正常正常:;
:10H H
假设正常:0
H 为真
而统计指标落在正常时对应的大概率区间 则承认正常:0
H 为真，即接受设备正常判断，
否则拒绝。
例：设某厂一车床生产纽扣其直径服从
)2.5,(2
μN 的正态分布，现在抽
取容量为100的样本子样，且
56
.26=X ，求在显著性水平
05
.0=α下检验假设
26:00=μH
解：原假设与备择假设分别为：
26:26
:10≠=μμH vs
H
若原假设
26:0=μH 为真，则
100
10021x x x x +++=
服从
)100
2.5,26(2
N 的正态分布
)1,0(~10
2.526N x n x u -=-=δμ
统计值
08.1102.52656.2610
2.526=-=-=-=x n x u δμ
而 )96.1,96.1(08.1-∈=u
故不能拒绝原假设，接受原假设26:0=μH 成立，可以认为猜测正确，生
产是正常的。
.0
附；假设检验中几种常用的无偏估计量。 P295 定义 6.2.2 设
),,(21^
^n x x x θθ=是θ
的一个估计量，满足
θθ=)(^
E ，则称^
θ是θ的无偏估计。
若n x x x ,,21来自于同一正太分布
),(2
δμN 的样本， 由于μ=∑=)1(1
n
i i x n E ，故μ是∑=n i i x n 11的无偏估计。
又由于
μ==∑=)1()(1
n
i i x n E x E
==∑=)1()(1n
i i x n Var x Var n n n x Var n n
i i 2221
2)(1δδ=
=∑=
注意到()2
12
2
1
x
n x
x x n
i i
n
i i -=-∑∑==
()
()
2
22222
1
2
2
1
)1()()(δδμδμ-=+-+=-=-∑∑==n n
n n x nE x E x x E n
i i n
i i ()
2
2
1
)11(δ=--∑=n
i i x x n E
概率论知识总结梳理(知识总结)
概率论知识总结梳理（知识总结） 知识总结 近期重温了之前学过的概率论与数理统计知识，不得不感叹遗忘的速度真是吓人！没有几年的工夫，竟然全部记得了，把自己吓一跳，于是赶紧听课、看书，希望及时的捡起来。毕竟在这个时代，绝大部分事情归根到底就是个概率问题，所以进行了一次搜集整理，顺便在网上搜了一些资料，感谢原作者的分享，下面一一阐述。 一，知识结构 如下图所示 如上图所示，概率论与数理统计的整个的知识框架大致由17个分支组成。理解了这张图就好比拿到了学习概率论的地图，以后碰到了相关知识能迅速的定位知识模块，就好比安装了搜索引擎，提高了效率。 二，概率论基础及描述性统计 上述四张图，分别归纳了概率基础、描述性统计的知识点，并且做了对比分析，思路清晰了许多。 三，高阶概率知识 上述几张图中，对概率论的高阶知识进行了总结，其中假设检验、区间估计、简单回归分析在之前就用e_cel、spss做过相关练习，也比较好懂。后面的多元回归、方差等知识只是了解过，并没有深入的学习，也没有应用过，后面的学习中将结合要学的知识和理论需求做进一步的强化，这也是我后面要学习的重点部分。 四，小结
通过这段时间的概率论复习，发现自己遗忘的速度超快，特别是不经常用到的知识，而且有两个方面的感受： （1）将概率论的知识应用于生活中。学以致用才是理解一门学科的最有效途径，就像猴子老师课程中讲到的各种交通工具风险概率、赌博的独立事件、保险的意义等等问题，实际上都与概率论有着重要联系。如果在生活中碰到问题能将这些问题透过现象看本质，将其看成是个概率问题，也是为生活提供了另一个观察的视角，做个明白人。 （2）概率论的知识一定要多用软件联系。在复习的过程中，我发现之前用spss练习过的都记得比较深刻，而没有练习的则没有什么印象。我就把之前的练习文件重新翻了出来看了一遍，理解起来就轻松多了，而很多软件都提供这些统计分析、预测功能，这也是一种变相的学习。所以在后面的学习中，我应加强这方面的练习，特别是后面的高阶概率论知识。 以上是我对自己学习的一点总结，希望我自己能在接下来的学习中做的更好。
概率论与数理统计复习(完整)
概率论与数理统计复习 一、概率论的基本概念： 1、事件的运算律： 交换律：A B B A =，BA AB =； 结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =； 分配律：()()()BC AC C B A =，()()()C A B A BC A =； 德·摩根法则：B A B A =，B A B A =； 减法运算：AB A B A B A -==-。 2、概率的性质： 性质1 ()0=φP ； 性质2 （有限可加性）当n 个事件n A A ,,1 两两互不相容时， ()()()n n A P A P A A P ++= 11； 性质3 对于任意一个事件A ，() ()A P A P -=1； 性质4 当事件B A ,满足B A ⊂时， ()()()A P B P A B P -=-，()()B P A P ≤； 性质5 对于任意两个随机事件B A ,，()()()AB P B P A B P -=-； 性质6 对于任意一个事件()1≤A P ； 性质7 （广义加法法则）对于任意两个事件B A ,， ()()()()AB P B P A P B A P -+= 。 3、条件概率： 在已知A 发生的条件下，B 事件的概率为： ()()() A P A B P A B P = （()0>A P ）。 注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。 4、全概率公式与贝叶斯公式： 设n 个事件n A A ,,1 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当()0 >i A P
（n i ,,1 =）时， 全概率公式：()()()∑== n i i i A B P A P B P 1 ； 贝叶斯公式：当()0>B P 时， ()()() ()() ∑== n l l l i i i A B P A P A B P A P B A P 1 ， n i ,,1 =。 应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件A 的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组n B B B ,,,21 ，使得A 能且仅能与n B B B ,,,21 之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出()i B P 和() i B A P ， n i ,,1 =，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。若一个较复杂的事件是由多种“原 因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。 5、随机事件的独立性： 事件独立性的结论： （1）事件A 与B 独立⇔()()()B P A P AB P =； （2）若事件A 与B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 中的每一对事件都相互独立； （3）若事件A 与B 独立，且()0>A P ，()0>B P ，则 ()()A P B A P =，()()B P A B P =； （4）若事件n A A ,,1 相互独立，则()()∏== n i i n A P A A P 1 1 ； （5）若事件n A A ,,1 相互独立，则() ∏∑==-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛n i i n i i A P A P 111。 注意： （1）事件B A ,相互独立只要求满足()()()B P A P AB P =，而事件B A ,互斥（互不相容） 只要求φ=AB ，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系； （2）如果事件B A ,相互独立，则A 与B 不相关，反之一般不成立。
概率论与数理统计复习知识概括
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1
概率论与数理统计复习
《概率论与数理统计》复习 ?基本内容和要求 第一章随机事件及其概率 1、掌握样本空间、随机事件、事件的概率等基本概念，了解频率的稳定性； 2、掌握事件的关系与运算、熟悉概率的一些性质，会利用其计算概率； 3、掌握古典概型的概率计算； 4、掌握条件概率、乘法公式、事件的独立性，会利用其计算概率； 5、掌握全概率公式和贝叶斯公式，会利用其计算概率。 第二章随机变量及其分布 1、理解随机变量及其概率分布的概念； 2、掌握离散型随机变量的分布律的概念与性质，掌握重要的常见分布：0-1，二项，Poisson分布； 3、掌握分布函数和概率密度的概念及性质，熟悉均匀分布和正态分布，会查表计算正态分布随机变量的概率； 4、掌握随机变量函数的分布。 5、掌握二维随机变量与联合分布，掌握联合分布与概率密度； 6、理解边缘分布与条件分布，掌握边缘分布与条件分布公式；
7、理解随机变量的独立性，会用其计算概率； 8、掌握两个随机变量的函数的分布：Z=X+Y的分布，M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布。 第三章随机变量的数字特征 1．掌握数学期望和方差的概率意义和基本性质，并能熟练计算随机变量的数学期望和方差； 2．记住常见分布的数学期望和方差； 3．理解并掌握随机变量的协方差及相关系数，了解矩。 第四章大数定律与中心极限定理 1．掌握切比雪夫不等式； 2．了解贝努里大数定律，理解频率稳定性的含义； 3．理解独立同分布的中心极限定律及德莫弗—拉普拉斯定理，会近似计算。 第五章统计估计 1．理解总体、个体、样本、统计量等概念； 2．熟记几个常见的统计量及分布：2 分布，t分布，F分布，3.正态总体的样本均值与样本方差的分布，临界值查法。4．理解估计量与估计值的概念，会计算未知参数的矩估计和极大似然估计； 5．了解估计量的评选标准； 6．理解置信区间、置信度的概念，掌握单（双）正态总体均值和方差的区间估计。
《概率论与数理统计》期末考试复习公式总结
《概率论与数理统计》期末考试复习公式总结 第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) ) ()()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(
泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp(θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 ),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ1 )(=⎰ +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤⎰=≤≤b a dx x f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(⎰∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()() ()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当) (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =
概率论与数理统计复习笔记
概率论与数理统计复习 第一章概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:1可以在相同的条件下重复地进行;2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点基本事件:E的每个结果. 随机事件事件:样本空间S的子集. 必然事件S:每次试验中一定发生的事件. 不可能事件:每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 事件B包含事件A 事件A发生必然导致事件B发生. ∪B和事件事件A与B至少有一个发生. 3. A∩B=AB积事件事件A与B同时发生.
4. A-B 差事件事件A 发生而B 不发生. 5. AB= A 与B 互不相容或互斥事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=且A ∪B=S A 与B 互为逆事件或对立事件表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为PA,称为事件A 的概率. 1非负性 PA ≥0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ; 3可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…, PA 1∪A 2∪…=P A 1+PA 2+… 2.性质 1 P = 0 , 注意: A 为不可能事件
2有限可加性对于n个两两互不相容的事件A 1,A 2 ,…,A n , PA 1∪A 2 ∪…∪A n =PA 1 +PA 2 +…+PA n 有限可加性与可列可加性合称加法定理 3若A B, 则PA≤PB, PB-A=PB-PA . 4对于任一事件A, PA≤1, PA=1-PA . 5广义加法定理对于任意二事件A,B ,PA∪B=PA+PB-PAB . 对于任意n个事件A 1,A 2 ,…,A n …+-1n-1PA 1 A 2 …A n 四.等可能古典概型 1.定义如果试验E满足:1样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2 ,…,e n };2每一个基 本事件的概率相等,即Pe 1=Pe 2 =…= Pe n .则称试验E所对应的概率模型为等可能古典概型. 2.计算公式 PA=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数. 五.条件概率
概率论与数理统计的复习要点
概率论与数理统计的复习要点 概率论与数理统计的复习要点 众所周知，考研中数学占了很大一部分比例。在考研数学中，与高等数学和线性代数不同的是，概率论与数理统计中对基本概念的深入理解所占的比例相当大。那么，概率论有哪些复习重点呢？今天就来说说概率论的复习重点。 一、随机事件概率 这部分是非常简单的，就是我们高中学的概率。通常考的是选择题或填空题，分值不大。古典概型和几何概型，加法公式、减法公式、乘法公式、全概公式和贝叶斯公式等这些公式要记住。 二、随机变量分布 这部分的复习可是重点，每年必考。经常是与二维变量结合起来考，随机变量及其分布函数的概念和性质、分布律和概率密度的`性质、八大常见的分布（0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布）都是常考的。 三、随机变量 今年的考研试卷中数一和数三只考到了二维正态分布的一个性质，还是一个填空题题。这部分常常与第一章的随机变量结合起来考，重点有主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。常见的题型是求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数、求一维随机变量在某一区间的概率。 四、随机变量的数字特征 通常会出现在大题中的某一小题，根据历年真题分析，这部分也是每年必考的。重点要复习随机变量的数字特征定义（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）；常见分布的数字特征；利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征；根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。 五、数定律和中心极限定理 这部分就不是考试重点了，但还是要注意。主要有三个内容，分
别是切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。根据每年的考试情况来看，这部分不是每年必出的题，所以也不需要重点复习。 总的来说概率论与数理统计统计部分的重点内容是随机变量和随机变量的数字特征，大家要重点复习。题目千变万化，有各种延伸或变式，大家要想在考试中取得好成绩，一定要认真仔细地复习，必须要重视基本概念、基本理论和基本方法。考研数学之概率论复习重点就说到这里，预祝大家考研成功。
大学数学概率论考点归纳
大学数学概率论考点归纳 大学数学关于概率论考点归纳 从整个考研数学来看，概率与数理统计难度应该是最低的，但从每年得分的角度来说，这门课程是三门课中得分率最低的，所以概率论的复习是不能忽视的，本文就为大家总结分析一下概率论的考点。 1、随机事件和概率 它的重点内容主要是事件的关系和运算，古典概型和几何概型，加法公式、减法公式、乘法公式、全概公式和贝叶斯公式。主要是以客观题的形式考查。今年的考研数学中，数一和数三的'一个选择题就考到了事件的关系和概率的问题。 2、一维随机变量及其分布 这是每年必考的，有单独直接考查，也经常与二维随机变量相结合去考查。重点内容是常见分布，主要是以客观题的形式考查。而今年数一和数三都是以大题的形式考到了常见分布-二项分布和n重伯努利试验的问题。 3、二维随机变量 重点内容是二维随机变量的概率分布（概率密度）、边缘概率、条件概率和独立性及二维正态分布的性质。二维离散型随机变量的概率分布的建立，主要是结合古典概率进行考查。二维连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度的计算，很多考生计算存在误区，一定要注意。而今年数一和数三只考到了二维正态分布的一个性质，还是一个填空题题。
4、随机变量的数字特征 每年必考，主要和其他知识点相结合来考查，一般是一道客观题和一道解答题中的一问，所以要重点复习。我们要掌握相应的公式进行计算即可，今年数一和数三的一个大题的第二小问考到了随机变量的数字特征，而且还是结合高等数学的无穷级数求和函数来考的，难度稍大。 5、数理统计的基本概念 此部分主要考两个题型，第一个是判定统计量的分布，第二个常考题型是求统计量的数字特征。常以客观题的形式进行考查。今年数一和数三都考了一个选择题，考的是第二个题型就求统计量的数字特征，此题涉及到的知识点，往年已考过多次。 6、参数估计 这是数一的考试重点，同时它也将成为未来数三的考试重点，所以数三的考生要引起足够的重视。点估计的两种方法即矩估计法和最大似然估计法经常是以解答题的形式进行考查，经常是试卷的最后一道题目。而今年数一和数三把点估计的两种方法都考了一遍，占11分。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计 第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。 第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）； 第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）； 第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成； 第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住； 第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义； 教材的例题及习题： 19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11 样题 一、填空 1. 设A ，B 相互独立，且 2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________. 2. 已知),2(~2σN X ，且 3.0}42{=<概率论考试复习知识点
一类概率统计考试复习知识点 （注: 打星号部分个人认为如果其它知识点没有完全弄清楚就不要看 特别提醒：所点的例题和习题只是与知识点相关的题目，并非考题) 概率论部分 一 古典概型（求一事件发生的概率） 二 利用事件的独立性和概率的性质求一事件发生的概率 P11习题1-2 第1-4题 三 条件概率的定义,全概率公式和贝叶斯公式的应用 P23 习题1-4 第3，4题 P21 例5 例6 例7 四 一维离散型随机变量,已知X 的概率分布律 (1） 分布律性质11i i p ∞ ==∑的应用，常见分布的应用； P36 例1 例6 P41 习题2—2 第3，6题 （2） 求分布律、分布函数，求一事件发生的概率()P X A ∈（含求条件概率(|)P X B X A ∈∈）； P44 例2，例3 P45 习题2-3 第3，4题 （3） 求均值和方差:,EX DX ； P91 例2 P97 习题4—1 第6题 （4） 求X 的函数()Y g X =的分布律。 P55 例1 P59 习题2-5 第1题 五 一维连续型随机变量， 已知X 的概率密度函数()f x (1) 概率密度函数()1f x dx +∞ -∞=⎰的应用，常见分布的应用； P47 例1 ,3，5，6 P53 习题2—4 第4，10题 (2) 求一事件发生的概率()P X A ∈（如(,)A a b =）; P53 习题2—4 第2题 (3) 求均值和方差:,EX DX ;
P94 例6，7 P97 习题4-1 第7，10题 （4) 求X 的函数()Y g X =的概率密度函数. P56 例2,3,6 P59 习题2-5 第4，5题 六 常用分布 （1） 常用分布的期望和方差； （2) 正态分布的性质和应用 错误! 若2(,)X N μσ, 求()P a X b <<; 错误! 若221122(,),(,)X N X N μσμσ,且,X Y 相互独立，则 22221212(,)Z aX bY c N a b c a b μμσσ=+++++; 错误! 利用正态分布的对称性()1(),(0)0.5x x Φ-=-ΦΦ=求一事件的概率（如2(,)X N μσ，求()P X μ>) P104 习题4-2 第1—5，10题 七 二维离散型随机变量, 已知(,)X Y 的分布律 1 求边缘分布律,即求X 的分布律和Y 的分布律,求一事件发生的概率; P65 例1 ，2 P71 习题3—1 第3，5题 2 X 与Y 的独立性的判断； P74 例2 P78 习题3—2 第1题 3. 期望与方差 P94 例5 P97 习题4—1 第11题 P104 习题4—2 第5题 ＊4. 求协方差(,)Cov X Y 和相关系数XY ρ； P107 例1 P113 习题4-3 第8题 5。求随机变量函数(,)Z g X Y =的分布; P81 例1
《概率论与数理统计》综合复习资料
《概率论与数理统计》综合复习资料 《概率论与数理统计》综合复习资料 一、填空题 1．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。则： =)|(B A P ； =)(B A P 。 2．一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则：（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为；（2）恰有一次取到次品的概率为。 3．设随机变量)2, 1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则： )2(Y X E += ； )2(Y X D + 。 4．设随机变量X 的概率分布为 X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ； Y X =-21的概率分布为 。 5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。6．设Y X 、相互独立，且概率分布分别为 2 )1(1 )(--= x e x f π (-∞<<+∞x ) ； ? ≤≤=其它，，03 12/1)(y y ? 则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。
7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。 8．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为。 9．设Y X 、的概率分布分别为 ≤≤=其它，，05 14/1)(x x ?；?()y e y y y =>≤-40004，， 则：)2(Y X E += ；)4(2 Y X E -= 。 10．设随机变量X 的概率密度为 ≤ =其它， ，02cos )(πx x A x f ，则： 系数A = 。 11．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。则第一次取到次品，第二次取到正品的概率为； 恰有一次取到次品的概率为；两次都取到次品的概率为。 12．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，若取到的是次品，那么该产品是A 工厂的概率为。 13．设随机变量X 的概率分布为f x Ax x ()=<
考研数学概率复习重点归纳总结
考研数学概率复习重点归纳总结 【实用】考研数学概率复习重点归纳总结 总结是指社会团体、企业单位和个人在自身的某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而肯定成绩，得到经验，找出差距，得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它能够使头脑更加清醒，目标更加明确，让我们抽出时间写写总结吧。但是总结有什么要求呢？以下是店铺帮大家整理的【实用】考研数学概率复习重点归纳总结，仅供参考，大家一起来看看吧。 考研数学概率复习重点归纳总结篇1 一部分考生在概率论第一轮复习结束后，针对教材，对大纲要求的知识点认认真真地学习了一遍，并将课后题也全部都做了。在这个时候将一道题目放在他的面前，会出现这样一种情况：这个题目是考察哪个知识点或哪几个知识点的综合，做这类题目要用到哪几个公式，这些公式的应用条件是什么，这些全部都很清楚;可是做题还是感觉无从下手，这是什么原因呢? 出现这种情况主要是因为对题目要用到的公式理解的还不够深刻，公式中的各个量到底代表什么，每个量有什么特点，这些量在不同的题目中可能会出现哪些表现形式，没有太好的把握，不能做到正确的应用这些公式。这一类型的题目做的太少了。 解决这个问题需要做一定量的针对训练，在训练中借鉴别人总结的解题方法，并在此基础上得到自己的解题心得及注意事项，改正错误解题步骤，每做一道题目有一道题目的收获。每一次专项训练做多少题目合适因题型而异，有些公式及知识只要少量的题目训练就可以掌握(离散型随机变量的考察多是这种情况);而对于一些相对来说较复杂的公式，就需要我们通过大量的题目训练来掌握(连续性随机变量的考察多是这种情况)。在针对题型的专项训练中，我们要处理各种各样的不同情况，在不断的总结这类题目的解题方法和解题技巧的同时，我们对于公式就有了更深一层次的理解和把握，从而可以不断提高做
概率论期末复习知识点
知识点 第一章随机事件与概率 本章重点：随机事件的概率计算. 1. **事件的关系及运算 (1) A u B (或B D A ). 444I'lA ⑵和事件：A D B ； A i D 气5'2A 〃〔简记为 〕. 、/ _1_/1 匕 / 444…4 HA ZQ \ 知童 /A . A A c A c • • • c A 「格 A A ,,, A 弋' ，、 (3) 积事件.AB ,12〔间记为1 2或z-1). (4) 互不相容：假设事件A 和B 不能同时发生，即AB =e (5) 对立事件：A . (6) 差事件：假设事件A 发生且事件B 不发生，记作A - B (或AB ). (7)德，摩根〔De Morgan 〕法则：对任意事件A 和B 有 A D B - A c B , ~A c B - A c B . 2. **古典概率的定义 古典概型: 几何概率 3. **概率的性质 ⑴p S ) - o . ⑵(有限可加性)设n 个事件A 1A 2,…,A 两两互不相容，则有 P (A D A D ・・・D A ) = 1L P (A ) 12ni i -1. (3) P (A ) - 1 - P (A ). P (A )- 人中所含样本点的个 数 人的长度(或面积、体积) P (A )-样本空间的的长度(或面积、体积).
z.
(4)假设事件A, B 满足A u B ，则有 P (B - A ) = P (B ) - P (A ) P (A ) < P (B ) (5) P (A ) < 1. (6) (加法公式)对于任意两个事件A, B,有 P (A D B ) = P (A ) + P (B ) - P (AB ) 对于任意n 个事件 A I A 2,…，A 〃,有 P ( A A ) + S P ( AAA )-..・ + (—l)〃-iP( A ..・A ) i ji j k 1 n 1概率论复习题及答案
概率论复习题及答案 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C (2) ABC A B C (3) A B C (4) BC AC AB 2. 设A , B为两相互独立的随机事件, P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求P(A B), P(A B), P( A | B) 。 解：P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ； P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A|B) P( A) 0.4。 3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5，P(A B) 0.9 ，求P( B), P(A B) 。 解：P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。 4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求P(A B), P( AB) 。 解：P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( A B) 0.8, P( A B)P( A B)P(A)P(A)B 。0. 2 5. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P(A B C) 。 解：P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。 6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) P 2 C C 4
《概率论与统计原理》复习资料
《概率论与统计原理》复习资料 一、填空题 1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。 参考答案： B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C A，AB C+AC B+A BC， A+C B+B AB A+C BC A+C B 考核知识点：事件的关系及运算 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。 参考答案：0.04，0.02，0.1 考核知识点：古典型概率 3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。 参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率 4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。 参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率 5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。 参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质
6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。 参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质 7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P （A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（B A）= 。 参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1 考核知识点：概率的性质 8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。 参考答案：（1）0.26；（2）0.96 考核知识点：事件的独立性 9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。 参考答案：5) - - 1( 1p 考核知识点：事件的独立性 10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜1.6}= ；P{X＜1}= ；P{X=x0}= 。 参考答案：0.3094，0.5，0 考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质 11、设随机变量X～B（n，p），已知E X=0.6，D X=0.48，则n = ，p = 。 参考答案：3，0.2 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 12、设随机变量X服从参数为（100，0.2）的二项分布，则 E X= ， D X= 。 参考答案：20，16 考核知识点：随机变量的数学期望和方差
《概率论》总复习提纲
ang 《概率论与数理统计》总复习提纲 第一块 随机事件及其概率 内 容 提 要 基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验. 1、随机试验、样本空间与随机事件 （1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E . 1） 试验可在相同的条件下重复进行； 2） 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3） 每次试验前不能确定哪一个结果会出现. （2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w . （3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）. 2、事件的关系与运算 （1）包含关系与相等：“事件A 发生必导致B 发生”，记为B A ⊂或A B ⊃； B A B A ⊂⇔=且A B ⊂. （2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对立事件Ω=⋃⇔B A 且Φ=AB . （3）独立性： （1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独立. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ). （2）多个事件的独立：设 n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的 n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独立． 3、事件的运算
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布： （1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<， 则称X 服从 12,x x 处参数为p 的两点分布。 两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<< 两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式 {}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-= 给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布： {}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =- （3）泊松分布： 若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>=，则称X 服从参 数为λ的泊松分布，记为X~P (λ) 泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>= 泊松分布的期望： ()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ= 4.连续型随机变量： 如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，有 (){}()x F x P X x f t dt -∞ =≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称 ()f x 为X 的概率密度函数， 简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：
