概率论与数理统计总复习

概率论与数理统计总复习

1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。 随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定

性，但在大量重复试验中结果又具有统计规

律性的现象。

2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=

3、逆事件或对立事件：

φ=⋂=⋃B A S B A 且

4、德∙摩根律：

B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂

5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。

6、概率的性质

（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；

（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有

∑==n

i i n A P A A P 1

1)()...(

（4）()0P φ=；

（5）单调不减性：

若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，

()()()P B A P B P AB -=-

（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：

P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

)()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃

7、古典概型中的概率: ()

()()

N A P A N S =

①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。例：从甲、乙两班各选一个代表。

②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。 例：从甲、乙两班中选出一个代表。 8、条件概率

()

(A|B)()

P AB P P B =

（定义） P(AB)=P(A)P(B|A)（乘法定理）

9、设S 为试验E 的样本空间, B 1,B 2,...,B n 为E 的一组事件, 若 (1) B i B j =φ, i ≠j, i,j=1,2,...,n;

(2) B 1⋃B 2⋃...⋃B n =S,

则称B 1,B 2,...,B n 为样本空间的一个划分. 10、全概率公式与贝叶斯公式

(A)(|)()(|)()P P A B P B P A B P B =+(|)()

(|A)(|)()(|)()

P A B P B P B P A B P B P A B P B =

+11、独立性：

P(AB)=P(A)P(B) 两个事件

(AB)()()()()()

()()()()()()()

P P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C =⎧⎪=⎪

⎨

=⎪⎪=⎩三个事件

12、常用的离散型分布： ~(1,)X b p ：(0-1)分布

P{X=k}=p k (1-p)1-k , k=0,1 (0

{}1)k k

n k n P X k C p p -==⋅-（(0

E(X)=np, D(X)=np(1-p) ~()X P λ：泊松分布 {}(0)!

k e P X k k λ

λλ-==

>

E(X)=λ, D(X)=λ

一般地，当20n ≥,0.05n p ≤时，用泊松分布（参数n np λ=）作为二项分布的近似时效果颇佳。

13、分布函数：(){}F x P X x =≤ ()0,()1F F -∞=∞= 14、概率密度函数： 21

12121221(1)()0.(2)()1.

(3),,(),{}()().()(4)()()().

x x f x f x dx x x x x P x X x F x F x f x dx

f x x F x f x ∞-∞

≥=≤<≤=-='=⎰

⎰

对于任意实数若在点处连续，则有

15、常用的连续型随机变量： X~U(a,b)：均匀分布 1

,()=0,a x b f x b a

⎧<<⎪

-⎨⎪⎩

其它 ()2a b E X +=, 2

()()12

b a D X -=

X~E (λ)：指数分布（λ>0）：

,0()=0,x

e x

f x λλ-⎧>⎪⎨⎪⎩

其它

1

()E X λ

=

, 2

1

()D X λ=

X~N(μ,2

σ)：正态分布

22

()2(,(,)x f x x μσ--

∈-∞∞

()E X μ=, 2()D X σ=

16、随机变量的函数()Y g X =的分布 ①确定Y 的可能取值范围； ②求Y 的分布函数

()=P{Y y}=P{g(X)y}Y F y ≤≤

通过不等式等价变换,最终将其表示为X F 的函数的形式

③将F Y (y)关于y 求导数, 即得Y 的概率密度。注意标注y 的取值范围。 17、二维随机变量的分布函数：(,){,}F x y P X x Y y =≤≤ F X (x)=F(x,∞) (,)0,(,)0

(,)0,(,)1

F F F F -∞-∞=∞-∞=-∞∞=∞∞=

18、二维随机变量的概率密度: （1）f(x,y)≥0. （2）(,)1f x y dxdy ∞∞

-∞-∞

=⎰

⎰

.

（3）若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有

(,)

(,)F x y f x y x y

∂=∂∂ （4）()(,)X f x f x y dy ∞

-∞=⎰（注意取值范围）

（5）|(,)

(|)()

X Y Y f x y f x y f y =

(条件概率密度只用于计算概率密度，不能用于计算概率)

19、随机变量的独立性 若对所有x,y 有

P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y} 即F(x,y)=F X (x)F Y (y)

则称随机变量X 和Y 是相互独立的。 等价命题有

f(x,y)=f X (x)f Y (y)（连续型）

P{X=x i ,Y=y j }=P{X=x i }P{Y=y j }（离散型）

20、Z=X+Y 的分布（两个随机变量的和的分布）

⎰∞

∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(

⎰∞

∞

--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(

21、Z=Y/X 的分布（两个随机变量的商的分布）

-X

(,)Y f f x zx x dx ∞

∞

⎰

（z ）= 22、Z= X Y 的分布（两个随机变量的积的分布）

-1(,)XY z

f f x dx x x

∞

∞

⎰

（z ）= 23、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

（两个独立的随机变量的极值的分布）

)()()(max z F z F z F Y X =

[][])(1)(11)(min z F z F z F Y X ---=

24、数学期望的定义 .)(1∑∞

==i i i p x X E （离散型）

.)()(⎰

∞

∞

-=

dx x xf X E （连续型）

注:必须要求

1

i i i x p ∞

=∑或()xf x dx ∞

-∞

⎰绝对收

敛,即

1

i i i x p ∞

=∑

或()x f x dx ∞

-∞

⎰

收敛时E(X)

才有定义.

25、函数的数学期望 一维情况()Y g X = （离散型）

[]∑∞

===1

)()()(k k k p x g X g E Y E

（连续型）

[]⎰∞

∞

-==dx x f x g X g E Y E )()()()(

注: 必须要求

1

()k

k

k g x p

∞

=∑或

()()g x f x dx ∞

-∞

⎰

收敛时才有定义.

二维情况),(Y X g Z = （离散型）

,),()],([)(11∑∑∞

=∞

===j i ij j i p y x g Y X g E Z E

（连续型）

()[(,)](,)(,).

E Z E g X Y g x y f x y dx ∞

∞

-∞-∞

==⎰

⎰

注意：①(,)g X Y 可以等于X 或Y;

②同样要求

11

(,)i

j

ij

j i g x y p

∞∞

==∑∑或

(,)(,)g x y f x y dx ∞

∞

-∞-∞

⎰⎰

收敛.

26、数学期望的性质 ①;)(C C E =

②);()(X CE CX E =

③);()()(Y E X E Y X E +=+

④当X 、Y 独立时，)()()(Y E X E XY E = 27、方差的定义式

[]{}

2

)()()(X E X E X Var X D -==

28、方差的计算公式

[]2

2)()()(X E X E X D -=

29、方差的变形公式

[]2

222()()()E X D X E X σμ=+=+

30、方差的性质 ① D(C ) = 0

②)()(2X D C CX D = ③()()D X C D X +=

④ D(X)=0的充要条件是X 以概率1取常数，即 P{X=C}= P{X=E(X)}=1. 31.

)

()(),(Y D X D Y X Cov XY =

ρ

)

()()()]}

()][({[),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=

任意两个变量X 、Y 的和与差的方差：

()()()+2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=+ ()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-

32．协方差的基本性质：

);(),()1(X D X X Cov = );,(),()2(X Y Cov Y X Cov =

),(),()3(Y X abCov bY aX Cov =,其中b

a ,是常数;

C X C Cov ,0),()4(=为任意常数;

).,(),(),()5(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+(6) 若X 与Y 相互独立时,则

.0),(=Y X Cov

（7）;1||≤XY ρ

（8）1||=XY ρ的充要条件是，存在常数a,b

使.1}{=+=bX a Y P 33．定理：设X,Y 服从参数为

ρσσμμ,,,,2

22121的二维正态分布，即

),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则ρρ=

XY ，

X 和Y 相互独立的充要条件是,0=ρ且X 和Y 不相关与X 和Y 相互独立是等价的。

34．概率密度的非零区域为非矩形区域,则X 、Y 必不独立。

35．n 维正态随机变量的性质： ①n 维正态随机变量12X =(X ,X ,,X )

n 的每一个分量X (1,2,

,)i i n =都是正态随

机变量；反之，若X (1,2,

,)i i n =都是正

态随机变量且相互独立，则

12X =(X ,X ,,X )n 是n 维正态随机变量。

②n 维随机变量12X =(X ,X ,,X )n 服从n

维正态分布的充要条件是X (1,2,,)

i i n =的任意线性组合

1

X

n

i i

i c =∑服从一维正态分

布，其中(1,2,

,)i c i n =不全为零。

③若12(X ,X ,

,X )n 服从n 维正态分布，且

12,,,k Y Y Y 可由12X ,X ,,X n 线性表示，即12(,,,)k Y Y Y 是12(X ,X ,

,X )n 的线性

变换，则12(,,,)k Y Y Y 服从k 维正态分布。

④若12(X ,X ,

,X )n 服从n 维正态分布，则

12(X ,X ,,X )n 的任意m ()m n <个分量

构成的m 维随机变量服从m 维正态分布（性

质3的推论）。 ⑤若12(X ,X ,

,X )n 服从n 维正态分布，则

12X ,X ,,X n 相互独立与12X ,X ,,X n 两

两不相关等价。

36．(切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X ,

相互独立，且具有相同的数学期望和方差:

μ=)(k X E ,2)(σ=k X D ),2,1( =k ，则

随机变量的算术平均以概率收敛于它们共

同的数学期望1

1n P

i i X n μ=−−

→∑。 37．(辛钦大数定律) 设随机变量

,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,

且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则

1

1n

P

i i X n μ=−−→∑（随机变量的算术平均以概率收敛于它们共同的数学期望），或写成 0ε∀>, 有11lim 1=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧<-∑=∞

→εμn i i n X n P . 38．(独立同分布的中心极限定理)（林德伯格—勒维定理）设 ,,,,21n X X X 相互独立，服从同一分布, 且具有数学期望和方差：

,)(μ=i X E ,)(2

σ=i X D

,,,2,1n i =, 则随机变量之和∑=n

i i X 1

的

标准化变量近似服从标准正态分布。

39．常用的统计量

①样本均值： 1

1n

i i X X n ==∑；

②样本方差：()2

21

222211

1()11111n

i i n n

i i i i S X X n X nX X X n n ====--⎫

⎛=

-=-⎪ --⎝⎭∑∑∑

③样本的k 阶(原点)矩：1

1n k

k i i A X n ==∑

④样本的k 阶中心矩：1

1()n k k i i B X X n ==-∑ 40．获得经验分布函数的本质就是用统计得到的频率替代概率得到随机变量的近似分布律，从而进一步得到随机变量的近似分布

函数。

41．统计中常用的抽样分布： ①标准正态分布N （0，1） ②2

χ分布 定义:设12(X ,X ,

,X )n 是来自总体N(0,1)

的样本，则称统计量2

21n

i

i X

χ==

∑服从自由

度为n 的2

χ分布，记为2

2~()n χχ．

性质：若22~()n χχ，则2

()E n χ=，

2()2D n χ=。

③ t 分布

定义:设~(0,1)X N ，2~

()Y n χ，且X 与

Y 相互独立

，则称统计量：T =

所服

从的分布是自由度为n 的t 分布，记为

)(~n t T 。

性质：若~()T t n ，则1n ≥ 时，()0;E T =

2)(,2-=

>n n

T D n 时

④F 分布 定义：设2~()X m χ，2~()Y n χ，且X 与

Y 相互独立，则称统计量//X m F Y n

=服从自

由度为(,)m n 的F 分布，记作：

~(,)F F m n ，其中：m 为第一自由度，n

为第二自由度。

由定义，若~()T t n ，则2

~(1,)T F n 。 性质：)

,(1

),(1m n F n m F αα=

-

42．设总体X(不管X 服从什么分布，只要均值与方差存在)的均值为μ，方差为2

σ，

12,,

,n X X X 是来自X 的一个样本，X ，

2

S 是样本均值和样本方差，则

（1）()E X μ=

，2()/.D X n σ=

（2）2

2

()E S σ=.

43．正态总体常用的统计枢轴量:

①~(0,1)X Z N =

②~(1)X T t n =

-

③

2

21

2

()()n

i

i X n μχσ=-∑

④

2

22

(1)~(1)n S n χσ--

⑤

)1,0(~)

()(22

2

1

21N n

m

Y X σ

σ

μμ+

---

(~(2)

X Y t m n +-

⑦22121

12212

11()/(Y )(,)/m n

i i i i X m n F m n μμσσ==--∑∑

⑧

)1,1(~//2

221

2

2

21--n m F S S σσ

44．用于（0-1）分布总体的统计枢轴量：

)1,0(~)

1()

1(1

N p np np X n p np np

X

n

i i

近似

--=

--∑=

45．矩估计

（1）矩估计法的依据 由12,,

,n X X X 相互独立知

k k

k

12,,

,n X X X 相互独立，由辛钦大数定理

知，在样本容量n 增大的条件下，样本的k

阶原点矩1

1n k

k i i A X n ==∑以概率收敛到总体

X 的k 阶原点矩()k k E X μ=，即

()

1,2,

p

k k A n k μ−−→→∞

=

（2）矩估计法的基本思想：

用样本矩作为总体矩的估计量，用样本矩的连续函数作为相应总体矩的连续函数的估

计量。

（3）矩估计法的解题步骤：

①先求总体X 的前k 阶原点矩（k 为待求参

数个数），得到其与未知参数的关系式（方程组）；

②求解方程组，将未知参数表示为总体矩的函数；

③以样本矩作为总体矩的估计量，代入以上函数得到未知参数的矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。

46．极大似然估计

（1）基本思想简述：将简单随机样本

12(,,

,)n X X X 取相应的样本值12(,,

,)n x x x 看作是一随机事件，既然这

一事件已经发生，则说明该事件发生的可能性是比较大的(实际推断原理)。因此，不妨依据总体X 的分布构造出该事件发生的概率，并通过改变总体X 的待求分布参数，使该事件发生的概率趋于最大，并将使该事件发生的概率取最大值的相应分布参数值作为待求参数的估计值。 （2） 计算步骤

①样本取得观察值这一联合事件的概率可

表示为未知参数的函数。将函数中的常量部分去除，剩余部分作为似然函数L ； ②考察待定参数的取值范围；

③在待定参数的取值域中求取参数值以使L 或ln L 取得最大值。

（3）基于截尾样本的最大似然估计 设产品的寿命分布是指数分布, 其概率密

度是,0

()0,

0t e t f t t λλ-⎧>=⎨≤⎩，0λ>未知。

定数截尾寿命试验：假设将随机抽取的n 个产品在时间0t =时同时投入试验，试验进

行到有m 个（m 是事先规定的，m n <）产

品失效时停止，m 个失效产品的失效时间分别为120m t t t ≤≤≤

≤，这里m t 是第m 个

产品的失效时间。所得的样本12,,

,m t t t 称

为定数截尾样本。

对定时或定数截尾样本均适用的结论：

ˆλ

=失效产品个数

总试验时间

47．估计量的评价标准 （1）无偏性：()E θ∧

=θ。

（2）有效性：当12()()E E θθθ∧

∧

==时，若

12()()D D θθ∧∧≤，则称∧

∧21θθ较有效。

（3）一致性（相合性）：希望伴随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值：

0>ε∀，有lim {||}1n P θθε∧

→∞

-<=。

48．双侧置信区间的求解步骤：

①选取适当的枢轴量()M θ（a. M 的分布已知；b.M 应尽可能多地包含已知信息；c.包含待估计参数但不含其他未知参数） ②构造区间(,)M M 使得概率

{()}1P M M M θα<<≥-且尽可能小。

③通过不等式的等价变换得到θ的置信区

间，即求出{}1P θθθα<<≥-中的θ与θ。 49．单侧置信区间： 求出{}1P θθα<≥-中的θ或 求出{}1P θθα<≥-中的θ。

一般情况下，需要求θ置信下限θ时，通常保留枢轴量()M θ的上限，即构造

{()}1P M M θα<≥-且使等号尽可能成立。

50．置信区间的性质：

(1) 置信区间不唯一。

(2) 样本容量越大，置信区间的长度越短。 51．参数假设的一般提法 （1）双边假设 原假设0H ：0θθ= 备择假设1H ：0θθ≠

原假设与备择假设需相互对立。

（2）单边假设

①0H ：0θθ≤ 1H ：0θθ>（右边界假设） ②0H ：0θθ≥ 1H ：0θθ<（左边界假设）

注： ①标准提法中原假设中都包含等号“=”。 ②假如我们要取得对某一陈述的强有力支持（譬如：某一参数显著增大或减小、明显提升或下降）,通常将该陈述的否定作为原假设,而把陈述本身作为备择假设。 52．参数假设检验问题的一般解题步骤： ①作出假设； ②给出检验统计量（检验统计量与区间估计时的枢轴量选取依据相同，不同之处在于枢轴量中包含的待定参数在检验统计量中必须以原假设中的常量代替，即将θ用0θ代替）；

③给出原假设0H 的拒绝域；

④由样本值计算检验统计量的观察值，做出统计推断。 53．（本科阶段所学的）假设检验问题的拒绝域形式

（1）所有右边界假设0H ：0θθ≤的拒绝域的形式均为

检验统计量≥某一上α分位点值 （2）所有双边假设0H ：0=θθ的拒绝域的形式均是取检验统计量可能取值范围中两侧概率均为2α/的区域。 （3）对于双正态总体,

若原假设0H 为12μμ=，需要理解为0H ：120μμ-=；

若原假设0H 为221

2

σσ=，需要理解为0H ：

2212/1σσ=。

显著性水平是我们犯I 类 “弃真”错误

的概率。通过控制α的大小可以控制我们犯I 类错误的概率，但在样本容量不变的情况下，随着我们犯I 类错误概率的下降，我们犯II 类错误的概率会上升。 55．随机变量或其函数存在数学期望的条件是计算数学期望的级数或积分式绝对收敛，因此下面附上广义积分常用的审敛法则。 （1）定理1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，且()0f x ≥. 若函数()()x

a

F x f t dt =

⎰

在[,)a +∞上有上

界，则广义积分

()a

f x dx ∞⎰

收敛。

（2）重要结论：广义积分

1

(0)p a

dx a x

∞

>⎰

当1p >时收敛；当1p ≤时发散。

（3）定理3（比较审敛法1）设函数()f x 在区间[,)(0)a a +∞>上连续，且()0f x ≥.

如果存在常数0M >及1p >，使得

()()p M

f x a x x

≤

≤<∞，则广义积分()a

f x dx ∞

⎰收敛；如果存在常数0N >，使

得()()N

f x a x x

>

≤<∞，则广义积分()a

f x dx ∞

⎰

发散。

（4）定理4（极限审敛法1）设函数()f x 在

区间[,)(0)a a +∞>上连续，且()0f x ≥.

如果存在常数1p >，使得lim ()p

x x f x →∞

存在，则广义积分

()a

f x dx ∞

⎰收敛；如果

lim ()0x xf x d →∞

=>（或lim ()x xf x →∞

=+∞），

则广义积分

()a

f x dx ∞

⎰

发散。

概率论与数理统计总复习

概率论与数理统计总复习 1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。 随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定 性，但在大量重复试验中结果又具有统计规 律性的现象。 2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂= 3、逆事件或对立事件： φ=⋂=⋃B A S B A 且 4、德∙摩根律： B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂ 5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。 6、概率的性质 （1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =； （3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有 ∑==n i i n A P A A P 1 1)()...( （4）()0P φ=； （5）单调不减性： 若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ， ()()()P B A P B P AB -=- （8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式： P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) )()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃ 7、古典概型中的概率: () ()() N A P A N S = ①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。例：从甲、乙两班各选一个代表。 ②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。 例：从甲、乙两班中选出一个代表。 8、条件概率 () (A|B)() P AB P P B = （定义） P(AB)=P(A)P(B|A)（乘法定理） 9、设S 为试验E 的样本空间, B 1,B 2,...,B n 为E 的一组事件, 若 (1) B i B j =φ, i ≠j, i,j=1,2,...,n; (2) B 1⋃B 2⋃...⋃B n =S, 则称B 1,B 2,...,B n 为样本空间的一个划分. 10、全概率公式与贝叶斯公式 (A)(|)()(|)()P P A B P B P A B P B =+(|)() (|A)(|)()(|)() P A B P B P B P A B P B P A B P B = +11、独立性： P(AB)=P(A)P(B) 两个事件 (AB)()()()()() ()()()()()()() P P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C =⎧⎪=⎪ ⎨ =⎪⎪=⎩三个事件

(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解

;第一章 一、填空题 1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。 2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为 0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。 3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为 （AB AC BC ++ ）。 4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8， 0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。 5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。 7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为 （ AB AC BC I I ） ； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求 敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。 12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 1. 对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为（ D ） Ａ、样本空间 Ｂ、必然事件 Ｃ、不可能事件 D 、随机事件 2. 某工厂每天分3个班生产，i A 表示第i 班超额完成任务(1,2,3)i =，那么至少有两个班超 额完成任务可表示为（ B ）

概率论与数理统计总结

第一章随机事件与概率 第一节随机事件及其运算 1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中 ω表示基本结果，又称为样本点。 3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表 示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件. 4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。 5、时间的表示有多种： （1）用集合表示，这是最基本形式 （2）用准确的语言表示 （3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事 件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B； （2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 （3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容 7、事件运算 （1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。 (2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。 (3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。用交并补可以表示为。 （4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为. 对立事件的性质：。 8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有 (1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA （2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC （3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）： 9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。具体说,事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ； （3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。 10、两个常用的事件域： （1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域； (2）连续样本空间（如R、R2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域. 第二节概率的定义及其确定方法 1、概率的公理化定义:定义在事件域ξ上的一个实值函数P（A）满足： （1)非负性公理：若A∈ξ，则P（A）≥0；

概率论与数理统计复习(完整)

概率论与数理统计复习 一、概率论的基本概念： 1、事件的运算律： 交换律：A B B A =，BA AB =； 结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =； 分配律：()()()BC AC C B A =，()()()C A B A BC A =； 德·摩根法则：B A B A =，B A B A =； 减法运算：AB A B A B A -==-。 2、概率的性质： 性质1 ()0=φP ； 性质2 （有限可加性）当n 个事件n A A ,,1 两两互不相容时， ()()()n n A P A P A A P ++= 11； 性质3 对于任意一个事件A ，() ()A P A P -=1； 性质4 当事件B A ,满足B A ⊂时， ()()()A P B P A B P -=-，()()B P A P ≤； 性质5 对于任意两个随机事件B A ,，()()()AB P B P A B P -=-； 性质6 对于任意一个事件()1≤A P ； 性质7 （广义加法法则）对于任意两个事件B A ,， ()()()()AB P B P A P B A P -+= 。 3、条件概率： 在已知A 发生的条件下，B 事件的概率为： ()()() A P A B P A B P = （()0>A P ）。 注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。 4、全概率公式与贝叶斯公式： 设n 个事件n A A ,,1 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当()0 >i A P

（n i ,,1 =）时， 全概率公式：()()()∑== n i i i A B P A P B P 1 ； 贝叶斯公式：当()0>B P 时， ()()() ()() ∑== n l l l i i i A B P A P A B P A P B A P 1 ， n i ,,1 =。 应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件A 的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组n B B B ,,,21 ，使得A 能且仅能与n B B B ,,,21 之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出()i B P 和() i B A P ， n i ,,1 =，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。若一个较复杂的事件是由多种“原 因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。 5、随机事件的独立性： 事件独立性的结论： （1）事件A 与B 独立⇔()()()B P A P AB P =； （2）若事件A 与B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 中的每一对事件都相互独立； （3）若事件A 与B 独立，且()0>A P ，()0>B P ，则 ()()A P B A P =，()()B P A B P =； （4）若事件n A A ,,1 相互独立，则()()∏== n i i n A P A A P 1 1 ； （5）若事件n A A ,,1 相互独立，则() ∏∑==-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛n i i n i i A P A P 111。 注意： （1）事件B A ,相互独立只要求满足()()()B P A P AB P =，而事件B A ,互斥（互不相容） 只要求φ=AB ，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系； （2）如果事件B A ,相互独立，则A 与B 不相关，反之一般不成立。

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要 第一章 随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =?=? （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==? 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑=== n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=? （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率 （1） 定义：若0)(>B P ，则) ()()|(B P AB P B A P = （2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑== n i i i B A P B P A P 1 )|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用）

概率论与数理统计复习

《概率论与数理统计》复习 ?基本内容和要求 第一章随机事件及其概率 1、掌握样本空间、随机事件、事件的概率等基本概念，了解频率的稳定性； 2、掌握事件的关系与运算、熟悉概率的一些性质，会利用其计算概率； 3、掌握古典概型的概率计算； 4、掌握条件概率、乘法公式、事件的独立性，会利用其计算概率； 5、掌握全概率公式和贝叶斯公式，会利用其计算概率。 第二章随机变量及其分布 1、理解随机变量及其概率分布的概念； 2、掌握离散型随机变量的分布律的概念与性质，掌握重要的常见分布：0-1，二项，Poisson分布； 3、掌握分布函数和概率密度的概念及性质，熟悉均匀分布和正态分布，会查表计算正态分布随机变量的概率； 4、掌握随机变量函数的分布。 5、掌握二维随机变量与联合分布，掌握联合分布与概率密度； 6、理解边缘分布与条件分布，掌握边缘分布与条件分布公式；

7、理解随机变量的独立性，会用其计算概率； 8、掌握两个随机变量的函数的分布：Z=X+Y的分布，M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布。 第三章随机变量的数字特征 1．掌握数学期望和方差的概率意义和基本性质，并能熟练计算随机变量的数学期望和方差； 2．记住常见分布的数学期望和方差； 3．理解并掌握随机变量的协方差及相关系数，了解矩。 第四章大数定律与中心极限定理 1．掌握切比雪夫不等式； 2．了解贝努里大数定律，理解频率稳定性的含义； 3．理解独立同分布的中心极限定律及德莫弗—拉普拉斯定理，会近似计算。 第五章统计估计 1．理解总体、个体、样本、统计量等概念； 2．熟记几个常见的统计量及分布：2 分布，t分布，F分布，3.正态总体的样本均值与样本方差的分布，临界值查法。4．理解估计量与估计值的概念，会计算未知参数的矩估计和极大似然估计； 5．了解估计量的评选标准； 6．理解置信区间、置信度的概念，掌握单（双）正态总体均值和方差的区间估计。

《概率论与数理统计》期末考试复习公式总结

《概率论与数理统计》期末考试复习公式总结 第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) ) ()()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(

泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp(θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 ),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ1 )(=⎰ +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤⎰=≤≤b a dx x f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(⎰∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()() ()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当) (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

概率论与数理统计知识点总结(超详细版) e i k 则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。 在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。如果事件 A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作 A⊂B。当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和 事件B的和事件。当A和B同时发生时，称A∩B为事件A 和事件B的积事件。当A发生、B不发生时，称A-B为事件 A和事件B的差事件。如果A和B互不相容，即A∩B=∅， 则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不 相容的。如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。 在概率论中，还有一些运算规则。交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B， A∩B=A∪B。

频率与概率是概率论的重要概念。在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A 称为事件A发生的频数，比值n A n称为事件A发生的频率。概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。 概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。 等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有 P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。 5.条件概率

概率论与数理统计复习笔记

概率论与数理统计复习 第一章概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:1可以在相同的条件下重复地进行;2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点基本事件:E的每个结果. 随机事件事件:样本空间S的子集. 必然事件S:每次试验中一定发生的事件. 不可能事件:每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 事件B包含事件A 事件A发生必然导致事件B发生. ∪B和事件事件A与B至少有一个发生. 3. A∩B=AB积事件事件A与B同时发生.

4. A-B 差事件事件A 发生而B 不发生. 5. AB= A 与B 互不相容或互斥事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=且A ∪B=S A 与B 互为逆事件或对立事件表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为PA,称为事件A 的概率. 1非负性 PA ≥0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ; 3可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…, PA 1∪A 2∪…=P A 1+PA 2+… 2.性质 1 P = 0 , 注意: A 为不可能事件

2有限可加性对于n个两两互不相容的事件A 1,A 2 ,…,A n , PA 1∪A 2 ∪…∪A n =PA 1 +PA 2 +…+PA n 有限可加性与可列可加性合称加法定理 3若A B, 则PA≤PB, PB-A=PB-PA . 4对于任一事件A, PA≤1, PA=1-PA . 5广义加法定理对于任意二事件A,B ,PA∪B=PA+PB-PAB . 对于任意n个事件A 1,A 2 ,…,A n …+-1n-1PA 1 A 2 …A n 四.等可能古典概型 1.定义如果试验E满足:1样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2 ,…,e n };2每一个基 本事件的概率相等,即Pe 1=Pe 2 =…= Pe n .则称试验E所对应的概率模型为等可能古典概型. 2.计算公式 PA=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数. 五.条件概率

《概率论与数理统计》知识点整理

《概率论与数理统计》知识点整理 概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象发生的 规律以及对这些规律的推断和决策问题。在现代科学、金融、医学、工程 等领域中都有广泛的应用。下面是《概率论与数理统计》的一些重要知识点： 一、概率论： 1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率公理化定义等。 2.条件概率与概率的乘法定理：条件概率的定义、条件概率的乘法定理、独立事件的定义与性质等。 3.全概率公式与贝叶斯公式：全概率公式的推导与应用、贝叶斯公式 的推导与应用等。 4.随机变量与概率分布：随机变量的定义与分类、概率分布的基本性质、离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布等。 5.两随机变量函数的概率分布：随机变量的函数、数学期望的定义与 性质、方差的定义与性质等。 6.多维随机变量及其分布：二维随机变量的概率分布、联合分布函数 与边缘分布、条件分布等。 二、数理统计： 1.统计数据的描述：数据的集中趋势度量（均值、中位数、众数）、 数据的离散程度度量（极差、方差、标准差）、数据的分布形态度量（偏度、峰度）等。

2.参数估计：点估计的概念与方法、矩估计法、极大似然估计法、最 小二乘估计法等。 3.假设检验：假设检验的基本概念、显著性水平与拒绝域、假设检验 的步骤、单侧检验与双侧检验等。 4.统计分布：正态分布的性质与应用、t分布与χ²分布的概念与性质、F分布的概念与性质等。 5.方差分析与回归分析：方差分析的基本原理与应用、单因素方差分析、回归分析的基本原理与应用、简单线性回归分析等。 三、随机过程： 1.随机过程的基本概念与性质：随机过程的定义、状态与状态转移概率、齐次性与非齐次性等。 2.马尔可夫链：马尔可夫链的定义与性质、状态空间的分类、平稳分 布与极限等。 3.随机过程的描述：概率密度函数、概率生成函数、随机过程的矩、 协方差函数等。 4.随机过程的分类：齐次与非齐次、连续与间断、宽离散与窄离散等。

概率论与数理统计考点归纳

概率论与数理统计考点归纳 1. 引言 概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。 2. 概率论考点 2.1 随机变量与概率分布 •随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。 •期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。 •大数定律和中心极限定理的概念和应用。 2.2 一维随机变量的分布特征 •分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。 •分位数和分位点的概念和计算方法。 •随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。 •常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。 2.3 多维随机变量的分布特征 •多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。 •多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。 •多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。 2.4 随机变量的函数的分布特征 •随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。 •随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。 3. 数理统计考点 3.1 抽样与抽样分布 •抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。 •抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。 •中心极限定理在抽样分布中的应用。

3.2 参数估计 •点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。 •点估计的性质：无偏性、有效性、一致性等。 •置信区间的定义和计算方法。 3.3 假设检验 •假设检验的基本步骤：建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。 •假设检验的错误和功效：第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。•常见假设检验方法：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。 3.4 方差分析与回归分析 •单因素方差分析的基本思想和步骤。 •多因素方差分析的基本思想和步骤。 •简单线性回归模型和最小二乘估计。 4. 总结 概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。在考试中，我们需要掌握随机变量与概率分布、一维随机变量的分布特征、多维随机变量的分布特征、随机变量的函数的分布特征等概率论的考点，以及抽样与抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析等数理统计的考点。通过对这些考点的掌握，我们可以更好地理解和应用概率论与数理统计的知识，为实际问题的解决提供有效的方法和工具。

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生 B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生 B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃ 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计复习资料

《概率论与数理统计》 第一章随机事件与概率 基本概念： 随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果 样本点---随机试验E的每一个可能出现的结果 样本空间----随机试验E的样本点的全体 随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集 必然事件---每次试验中必定发生的事件。不可能事件--每次试验中一定不发生的事件。 事件之间的关系： ⑧A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B) 例1事件A，B互为对立事件等价于（D） A、A，B互不相容 B、A，B相互独立 C、A∪B＝Ω D、A，B构成对样本空间的一个剖分 例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C） A、A= B、A B C、A与B相互独立 D、A与B互不相容 例3.设甲乙两人朝同一目标射击，设A＝“甲命中目标且乙未命中目标”，则：A=（D） A)甲未命中目标且乙命中目标B)甲乙都没命中目标 C)甲未命中目标D)甲未命中目标或乙命中目标 事件之间的运算： 事件的交AB或A∩B 事件的并A∪B 事件的差A-B注意：A-B=A‾B=A-AB=(A∪B)-B n A n构成的一个完备事件组(或分斥)指A ,A2,…,A1,A2,…,A n两两互不相容，且i∪=1A i= 1 例1设事件A、B满足A∩¯B=，由此推导不出(D) A、A B B、¯A¯B C、A∪B=B D、A∩B=B 例2若事件B与A满足B–A=B，则一定有(B) A、A= B、AB= C、A¯B= D、B=¯A 运算法则： 交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 对偶律A‾∪‾B=‾A∩‾B‾A∩‾B=‾A∪‾B 文氏图