分形和多重分形

第三章 分形和多重分形

分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。

在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径

为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。

§3.1 分形的基本理论

3.1.1 分形理论的基本概念

㈠ 分形

分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点：1) 描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上有规则性或相似性。 2) 欧氏几何具有标度，理想的分形具有无限的几何标度，而无特征长度。 3) 欧氏几何描述特征是整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维是大于1的非整数，具有分形的表面分维是大于2的非整数。

㈡ 分数布朗运动

定义3.1 设H 满足10<

()()()????

??-+??????---?+Γ==??∞----002121210

),(),()21(1

),(),0(w s dB s t w s dB s s t H w t B b w B t H H H H H 则称),(w t B H 为分数布朗运动。其中H 为分形参数，2/1=H 时，),(w t B H 为普

通布朗运动，w 为样本空间Ω的样本。分数布朗运动(FBM)是一种分形模型，可以很好的描述分形信号，它是连续不可导的一种非平稳随机过程，对尺度变化具有相似性。FBM 的增量是平稳的零均值Gaussian 随机过程。

设)(x B H 为一高斯随机场，对于10<

)()()(y F y x x B x x B P H H H =??

????????

表示范

数；H 为Hurst 分形指数,)(y F 为高斯分布函数。

对(3.1)式取数学期望， 有

H H h t y E t B t t B E 22/1||||)2(1|][||])()([|?==-?+σπ (3.2) ㈢ 分形参数

① 分形维数FD (Fractal Dimension)，可由下式通过Hurst 指数得到，也有其它许多估计方法（见下节）FD=D+1-H ， H 参数的估计有时域法和频域法，D 是拓扑维，对可求长的光滑曲线D=1；对FBR 表面D=2；FD 是描述分形的主要参数，一般的，当不规则曲线的FD 大于1或纹理表面的FD 大于2时，认为它们具有分形性。② 增量标准差σ，也由（3.2）式得出。③ 无标度区),(max min εε，理想分形满足（3.2）式，具有无限标度；对于实际图象，由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使（3.1）满足线性关系，称为无标度区。实际图象越接近理想分形，其无标度区间越大，即min max /εε的值越大。在此区间，可用线性回归方法估计H 值。

3.1.2 分形维数的估计法

分维的估计有许多方法[5]，比较实用的从速度和精度考虑，有以下几种：

1) 数盒子法： 对于分形曲线，用可变尺度ε 沿曲线度量长度所需)(εN 次，)(εN 是随ε而变的，分维由下式确定：

))

log())(log((lim 0εεεN D →= 为求)(εN ，在计算时以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，ε为格子大小，然后计算求得与曲线相交的格子数，即)(εN 。最后利用双对数曲线估计分维值。 同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体来代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸ε对应的小立方体总数)(εN ，进而求得分形表面的分维值。

2) 功率谱法： 对图象先作付氏变换成为频谱图，其功率谱为2|)(|w P ，而频率半径为22V U R +=，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归法求取分维值。

3) 地毯覆盖法：设分形表面为),(j i g ，形象的用厚度为ε2的地毯覆盖，则毯的上表面点集为),(j i t ε和下表面),(j i b ε，初始状态为),(),(),(00j i g j i b j i t ==，当厚度 ,3,2,1=ε，变化时，

)},(max ,1),(max{),(1),(1n m t j i t j i t S

n m --+=εεεε )},(max ,1),(max{),(1),(1n m b j i b j i b S

n m -∈--=εεε 其中S 为点),(j i 邻域点集，则在尺度ε下，毯的面积

∑-=j

i j i b j i t A ,2/))],(),(([)(εεεε

在近来实际的工程应用中，研究者们针对一些分形维数的定义，也提出了许多关于分形维数计算的方法，如谢和平[30]等人提出的修正盒计数维数、填隙维数、两脚规维数等。又如在图象处理方面还有Gangepain 等的计网格元法（Reticular Cell Counting ）、Keller 等的基于概率的估算法、基于分形布朗运动自相似模型的估计法[6]及Sarkar 等的微分计盒法（Differential Box

Counting，DBC）等。其中DBC法和基于分形布朗运动自相似模型的估计方法覆盖了图象FD较大的动态范围，但是这两种方法随纹理图象粗糙度的变化反映出的FD估计值的变化趋势是不一样的。DBC法对粗糙度小的纹理敏感，粗糙度小时其变化更剧烈，而基于分形布朗运动自相似模型的估计方法在粗糙度小时其变化较前者平缓，在高粗糙度的情况下的变化比前者剧烈，因此更好地反映了大FD情况的FD估计差异。我们的论文工作中，为了在下一章中利用FD进行边缘检测，这里介绍利用基于分形布朗运动自相似模型来估计分维FD的方法。

3.1.3 基于分形布朗运动模型的FD估计法

分形几何为图象几何特征的描述开辟了一个新途径。Pentland[7] 的研究证明，自然界大多数景物表面是空间各向同性的分形，它们的表面映射成的灰度图象是具有分形特性的分形灰度表面；而各向同性的分数布朗随机场模型（FBR）是描述自然景物的有效方法之一，同一图象区域的灰度表面具有统计意义上的自相似性，通过对其FBR模型参数的提取和研究，可以获得图象许多重要的几个参数[7]。然而，在不同图象区域的交界处，这种分形的一致性将被破坏，在此求出的分形参数H值将会超出其理论取值范围（如用DFBR 描述图象灰度表面，其分形参数H的理论取值范围应为(1

0<

值发生奇异的地方预示了不同区域的交界位置。因此，通过对H值的计算和分析，可以检测出图象中的边缘[6]。本节将采用DFBR场模型作为描述图象区域的数学模型，据此定义一种新的分形参数H值的计算方法，分析探讨边缘处H值的奇异性，并将它用于图象边缘的检测实验。

㈠ 图象区域的DFBR 场模型

定义3.3 若x 与x ?取离散值为n 和m ，则称),()(),(m n B n B m n c H H -=为离散分数布朗随机场（即DFBR 场）。

由以上定义可知，分数布朗随机场是非平稳的，而对应的离散增量（即DFBR 场）则具有统计平稳自相似性，即DFBR 场满足：

H

H H H H m n B n B E n B m n B E |||||})()1({||})()({|?-+=-+H H H H H m n B n B E n B m n B E 222||||}|)()1({|}|)()({|?-+=-+

由上式看出，DFBR 场的一、二阶绝对矩是各向同性的。DFBR 场模型是描述自然景物自相似性的一种有效模型，其局部统计特性能有效地吻合图象区域的局部统计特性[8]。因此，用DFBR 场模型作为描述图象区域的数学模型，H 参数能够表征同一图象区域的自相似性（即灰度表面的均匀程度），对应的图象区域灰度表面的分形维数D 可由H 参数获得：

H D D T -+=1

式中T D 为图象区域的拓扑维数，2=T D 。

㈡ H 参数的定义

设图象区域的灰度表面满足DFBR 场模型，),(00y x I 表示图象中),(00y x 处的灰度值，由DFBR 场模型的性质得：

{}{}H y x I y x I E y x I y x I E γ?-=-),(),(),(),(001100

式中， 2020)()(y y x x -+-=?γ；

1)()(201201=-+-y y x x

若定义

2020)()(y y x x -+-=γ

|),(),(|)(00y x I y x I I -=?γ

则上式可写成：

H I E I E γγ??=?)}1({)}({ 1>γ

两边取对数得：

)

log()}1({log )}({log )(γγγI E I E H ?-?= (3.3) 由DFBR 场模型的定义及性质知，DFBR 场为平稳过程，满足均值历经性，则有：

)}({)(1

)(1

γγγγγI E I N I ?=?>=?<∑> 式中γN 为到点),(00y x 之间距离为γ的象素点数。 上式可改写为：

=)(γH [log

∑>--100|),(),(|1γγy x I y x I N log ∑=-100),(),(|1

γγy x I y x I N ])log(|γ (3.4)

§3.2 多重分形的有关概念及性质

3.2.1 概念

多重分形[9]研究物理量或其它量在几何支集上的分布。支集既可以是通常的规则集，如平面、球面、几何实体等，也可以是分形集。

多重分形的概念也可以用具有不同标度指数的分形子集表示。多重分形为分形理论在物理系统中的应用开辟了新的研究领域，而且正在蓬勃发展。本

节我们将论述多重分形的基本概念。

定义3.4[10] 定义在一个紧支集Ω上的测度u 称为是多重分形, 如果对任意Ω∈x ,存在)(x α, 使得

α

μr x B r ∝))(( (r 较小) (3.5） 这里))((x B r μ是中心位于x ,半径为r 的球，α(x ) 称为Ω在x 的局部lder o

H 指数。令

}.)(:{ααα=Ω∈=x x x E 且

我们可定义谱

).()(ααE FD f = (3.6) 由以上定义知, 测度μ的谱(α ,)(a f ) 给出了一个集合的局部)(α与整体

()(αf )的描述。α刻画了测度的奇异性, 因此亦称作奇异性指数或局部分形指数. 多重分形奇异谱)(αf 表征了奇异值α所在集合的差别, 反映了α在某个子集上出现的次数。)(ααf -谱是描述多重分形的一套基本语言.

定义3.5[11] 令δN i i C ≤≤1}{是与测度μ的支集相交的δN 个δ网格坐标立方体，那么多重分形的广义维数定义如下：

δμδlog ))(log(lim 110

∑→--=i q i q C q D )(R q ∈, 1≠q δμμδlog ))(log )(log(lim 0∑→-=i i i q C C D q=1; (3.7)

? 现已经证明D 0对应测度μ支集的分形维数，D 1对应测度的信息维数，

D 2对应其关联维数，由此可知，广义维D 实际上包含了分形理论所涉及

的全部维数，并且扩展了分形理论的内涵。

? 研究表明多重分形理论为图象分析提供了强有力的工具，其中lder o

H 指数α可用于基于奇异性的图象分割,多重分形维数用于基于纹理的图象分割,多重分形谱用于奇异特征提取和分类。

若定义配分函数)(δq Z 如下[12]：

∑=i

q i q C u Z )()(δ

则由下式定义质量指数)(q τ：

)()(q q a Z τδ∝

广义维数谱q D q -是描述多重分形的另一套基本语言。q D 与)(q τ 满

足以下关系

?

??'--=)1()1/()(ττq q D q (3.8) 当)(q τ与)(q f 可微时，有如下的Legendre 变换[9]

dq q d q q q q q f /)()()()())((ταταα-=+= (3.9)

由（3.8）～(3.9)可导出 q q q D q q f dq

D q d q q q f q q D )1()(/])1[()()

1/())}(()({--=-=--=ααααα

这说明，在描述多重分形时，)(ααf -语言与q D q -语言是相互等价的。已知 q D q -时，)(ααf -可以从上述关系导出。

对均匀分形，通常用简单分维0D （容量维）、1D （信息维）、2D （关联维）就可以充分地描述。对多重分形则需用分形谱q D q - 或)(ααf - 来描述

3.2.2 多重分形的基本性质[13]

(1) 单调性： 广义维数q D 和奇异性指数)(q α是关于q 的严格单调递减函数，质量指数)(q τ是关于q 严格单调递增的凸函数，奇异谱函数)(αf 关于α是凸的，在0>q 部分单调递增，在0

(2) 极限 ：在参数±∞→q 时，广义维数q D 和奇异性指数)(q α有相同的极限；质量指数)(q τ趋向无穷，且分别与min αq 和max αq 同阶；奇异谱函数)(αf 的极限则显示了最大和最小测度分布的相对比例。

这里我们给出了一副纹理图象的)(a f a -与q D q -曲线。

原图

q D q - 曲线图 α-)(a f 曲线图

§3.3 多重分形图象分析

由前面的定义（3.4）和(3.5) ,我们知道多重分形理论是建立在事先已定义好的测度上，这些测度是最有代表性的，以便运用它们来进行象直线、角点、阶跃边等奇异性的提取。可以肯定通过选择合适的测度，我们可以达到不同的目的，如能使我们检测到不同的奇异性，并进一步区分它们。而且这种测度对噪音不太敏感。下面我们给出文献[10][14]中定义的几种测度。

定义3.6 如果*Ω是灰度为非零的区域Ω的一个子集合，)(X I )),((y x =X 是点X 处的灰度，则定义如下的几种测度：

∑∑*

***Ω∈Ω∈*Ω∈*Ω∈*∑==Ω=Ω=Ωi q q Lq i i i X I I Min I Max I /1min max ))(()

()()()()

()(μμμμX X X ())13.3(12.3)11.3()

10.3( 3.3.1 图象的lder o

H 指数表示 由多重分形理论知lder o

H 指数α是图象中象素),(y x 的函数：),(y x αα=。自然地我们可以根据前面所定义的测度计算每个象素的lder o

H 指数，然后就能得到图象的lder o

H 指数表示。对前面所定义的不同测度，我们得到图象不同的lder o

H 指数表示，这样就可在不同的场合下使用。 这里我们针对不同的测度，给出了“Lenna ”图象的如下几幅lder o

H 指数表示。由前面的定义知，对每个象素，我们首先得到中心位于这个象素处的一系列不同半径的领域测度，然后有最小二乘法拟合数据点对，由拟合直线的斜率即可求出每点的),(y x α。在本实验中所取的半径分别为：1，2，2，5，

2

2，3

，10。

（a）Lenna 原图

(b)

基于公式（3.10）的测度(c) 基于公式（3.11）的

测度

(d) 基于公式（3.12）的测度(e) 基于公式（3.13）的测度

q=2

图1

3.3.2 图象的多重分形维数分布表示

对于公式(3.7) 所定义的广义维数，它给我们的一个直觉是当q比较大

时，

D对测度非常稠密的部分敏感，而当q较小(甚至是负数)时，我们可得到q

稀疏区域的信息，由此得到图象分析的多重分形维数分布。

文献[6]已表明，通过计算图象中每个象素的分形维数值能得到图象的分

形维数分布。而每个象素的分形维数值由计算中心位于这个象素的邻域（大小

为7×7）分形维数得到。我们把这一方法推广到计算多重分形维数情况，因

此对某一个q值，通过计算图象中每个象素的

D值，同样能得到图象的多重

q

分形维数分布，而多重分形维数分布图比原图更适合用来进行如“边缘检测”

等一些随后过程的处理。

对不同的测度，不同的q值，我们给出的“Leaf”图的多重分形维数分布

图如下。

(a) Leaf原图

(b) 基于公式（3.10）的

测度(q=3)

(c) 基于公式（3.11）的

测度(q=3)

(d) 基于公式（3.12）的 测度

q=3

(e) 基于公式（3.13）的 测度

q=3

(f) 基于公式（3.10）的 测度

q=-1 (g) 基于公式（3.11）的 测度 q=-1

(h) 基于公式（3.12）的

测度

q=-1

(i) 基于公式（3.13）的 测度 q=-4

图2

Mn元素多重分形分析

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(4), 560-564 Published Online April 2020 in Hans. https://www.wendangku.net/doc/e26828934.html,/journal/aam https://https://www.wendangku.net/doc/e26828934.html,/10.12677/aam.2020.94067 Multifractal Analysis of Mn Element Ruihua Ma School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences (Wuhan), Wuhan Hubei Received: Apr. 5th, 2020; accepted: Apr. 17th, 2020; published: Apr. 24th, 2020 Abstract The study of the distribution law of geochemical elements is one of the important ways to reveal the law of element mineralization and spatial change. Taking the desert region of Yashan, Xinjiang as an example, two types of minerals are selected, combined with multiple fractals, and multiple fractal moment estimation methods are used to conduct a full analysis of the elements in the soil in the two desert regions. From the aspects of singularity and asymmetric index, the non-elements of the elements are further explored. Linear migration provides a new method and direction for prospecting in the desert areas in the future. From the results, we can see that the distribution of the ore-forming element Mn in the soils of regions I and II has continuous multifractal characteris-tics. Then, by comparing the singular and asymmetric indices of the two regions, we find that the singular and asymmetric indices for the values of area I are larger than area II. It can be inferred that the migration characteristics of area I are higher than area II. Therefore, the multifractal characteristics of the elements have certain significance for ore prospecting in desert areas. Keywords Nonlinear Migration, Multifractal Spectrum, Asymmetric Index Mn元素多重分形分析 马瑞华 中国地质大学(武汉)，湖北武汉 收稿日期：2020年4月5日；录用日期：2020年4月17日；发布日期：2020年4月24日 摘要 地球化学元素分布规律的研究是揭示元素成矿及空间变化规律的重要途径之一。以新疆雅山荒漠地区为例，选取两类矿质，结合多重分形，利用多重分形矩估计法对荒漠两地区的土壤中元素进行全量分析，

贝塔系数变动性的多重分形特征及其量化方法_宋光辉

网络出版时间：2014-05-16 13:29 网络出版地址：https://www.wendangku.net/doc/e26828934.html,/kcms/detail/11.2242.O1.20140524.2107.001.html 贝塔系数变动性的多重分形特征及其量化方法? 宋光辉1，吴栩1，许林2 （1.华南理工大学工商管理学院，广东广州，510640） （2.华南理工大学经济与贸易学院，广东广州，510006） 摘要：针对CAPM模型中贝塔系数的时变性观点，本文提出了多重分形去趋势 贝塔分析法(MF-DBCA)，运用该方法检验上证综合A股指数、上证综合B股指 数、深圳综指、深圳综合A股指数及深圳综合B股指数的贝塔系数变动性，并 对其多重分形程度进行了量化分析，分析了其在投资实践中应用。研究结果表明： 它们的贝塔系数变动性呈现出多重分形特征，上证综合A股指数的多重分形程 度最小，而上证综合B股指数的多重分形程度最大。本文研究为量化系统风险 及利用贝塔投资实践提供了一种新方法，为改进贝塔系数提供了一种猜想。 关键词：贝塔系数；多重分形去趋势贝塔分析法；多重分形特征；量化分析 中图分类号：F830.59文献标识码：A The Multifractal Characteristic of Beta-Coefficient Time-varying and Quantitative Analysis Method SONG Guanghui1 ; WU Xu1 ; XU Lin2 (1.School of Business Administration，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China； 2.School of Economics and Commerce，South China University of Technology，Guangzhou 510006，China) Abstract: For time-varying view of the CAPM beta coefficient, this paper presents Multifractal detrended beta-coefficient analysis(MF-DBCA), and the instability betas of the Shanghai Composite A-share Index、Shanghai Composite B-share Index、 Shenzhen Composite Index、Shenzhen Composite A-share Index、Shenzhen Composite B-share Index are tested by this method, and also quantitative analysis on the multifractal degree. The results show that: their beta coefficient exist multifractal characteristics.This paper provides a new method for quantitative analysis on system risk and explaining asset earning power, and proposes suspect of a modified beta- coefficient. Key Words: Beta coefficient; Multifractal detrended beta-coefficient analysis; Multifractal characteristic; Quantitative analysis 基金项目：教育部人文社会科学青年基金项目（13YJC790150）；教育部高等学校博士学科点专项科研基金 新教师类资助课题（20120172120050）；广东省哲学社会科学“十二五”规划项目(GD13YGL05)；中央高校基 本科研业务费专项资金(2013ZB0016)。 作者简介：宋光辉（1961-），男，河南信阳人，教授，博士生导师，研究方向：证券投资与分形市场；吴 栩（1986-），男，四川通江人，博士研究生，研究方向：证券投资与分形市场；许林（1984-），男，江西 上饶人，博士，讲师，硕士生导师，研究方向：数量经济学，证券投资与分形市场等。

金融时间序列的多重分形分析

金融时间序列的多重分形分析 MULTIFRACTAL ANALYSIS OF FINANCIAL TIME SERIES 指导教师： 申请学位级别：学士 论文提交日期：2014年6月12日 摘要 有效市场假说(EMH)是现代金融市场的基础理论，该理论认为市场的价格反映了市场的全部信息，市场价格的波动之间相互独立而且不可预测，收益率服从随机游走，收益率分布服从正态分布或对数正态分布.但是，现实中的种种限制

因素决定着这一传统的金融理论有着很大的局限性，实际的资本市场并不是传统理论所描述的线性系统，而是一个非线性的系统，这也意味着分形理论开始应用在金融市场. 分形理论则认为金融市场具有明显的分形结构和尖峰厚尾的分布特征，金融时间序列在一定的标度范围内有着持续性与反持续性的特征，而且不同幅度的波动能够表现出多重分形特征.分形理论比有效市场理论更能有效揭示金融市场的波动本质，同时也能更有效地揭示出金融市场的基本规律. 本文选取上证综指（上海证券综合指数）和深证成指（深圳证券成分指数）2005年1月5日至2014年5月22日的每日收盘价的股指收益数据位样本，分别采取R/S、DFA、MF-DFA方法对我国股市的分形及多重分形特征进行实证研究与分析.主要验证了两时间序列的分形及多重分形特征；分析比较了两时间序列的市场有效性特征，通过计算并比较h ?的大小，得出了上海证券市场比深证证券市场有效；分析比较了两时间序列的市场风险，通过计算并比较多重分形谱的宽度α ?，得出了上海证券市场存在的风险比深证证券市场的要大. 关键词：分形；多重分形；广义Hurst指数；市场有效性；市场风险

边际谱和多重分形在调制模式识别中的应用

第９卷第６期一一一一一一一一一一一一一智一能一系一统一学一报一一一一一一一一一一一一一一一Ｖｏｌ．９?．６ ２０１４年１２月一一一一一一一一一一一ＣＡＡＩＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＳｙｓｔｅｍｓ一一一一一一一一一一一一一Ｄｅｃ．２０１４ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３?４７８５．２０１３０１０３１网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｏｉ／１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－４７８５．２０１３０１０３１．ｈｔｍｌ边际谱和多重分形在调制模式识别中的应用 秦立龙１，２，王振宇２ （１．国防科学技术大学电子科学与工程学院，湖南长沙４１００７３；２．解放军电子工程学院通信对抗工程系，安徽合肥２３００３７） 摘一要：为了提高数字信号调制模式识别在低信噪比下的正确率，根据对边际谱和多重分形理论原理的分析，提出了一种新的基于多重分形理论的特征提取方法三该方法首先引入ＨＨＴ变换求得样本的边际谱，不同调制模式的边际谱具有明显的差异性，可以利用分形的方法提取边际谱的分形维数作为调制识别的特征参数三最后利用支持向量机分类器进行信号的分类识别三并在求解支持向量机优化问题中，利用通用的粒子群算法确定了最优系数三计算机仿真研究证明，新方法提取的特征能有效地提高识别正确率，具有较好的工程应用性三 关键词：调制识别；边际谱；分形理论；支持向量机 中图分类号：ＴＰ１８；ＴＮ９１１．７一文献标志码：Ａ一文章编号：１６７３?４７８５（２０１４）０６?０７５６?０７ 中文引用格式：秦立龙，王振宇．边际谱和多重分形在调制模式识别中的应用［Ｊ］．智能系统学报，２０１４，９（６）：７５６?７６２． 英文引用格式：ＱＩＮＬｉｌｏｎｇ，ＷＡＮＧＺｈｅｎｙｕ．Ｍａｒｇｉｎａｌｓｐｅｃｔｒｕｍａｎｄｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｍｏｄｕｌａｔｉｏｎｒｅｃｏｇｎｉ?ｔｉｏｎ［Ｊ］．ＣＡＡＩＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＳｙｓｔｅｍｓ，２０１４，９（６）：７５６?７６２． Ｍａｒｇｉｎａｌｓｐｅｃｔｒｕｍａｎｄｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｍｏｄｕｌａｔｉｏｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ＱＩＮＬｉｌｏｎｇ１，２，ＷＡＮＧＺｈｅｎｙｕ２ （１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｃｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ４１００７３，Ｃｈｉｎａ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＣｏｕｎｔｅｒｍｅａｓｕｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｈｅｆｅｉ２３００３７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｍａｒｇｉｎａｌｓｐｅｃｔｒｕｍａｎｄｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙ，ａｎｅｗｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｄｉｇｉｔａｌｍｏｄｕｌａｔｉｏｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｕｎｄｅｒｔｈｅｌｏｗｓｉｇｎａｌ?ｔｏ?ｎｏｉｓｅｒａｔｉｏ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅＨｉｌｂｅｒｔ?Ｈｕａｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍｗａｓｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｍａｒｇｉｎａｌｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆｔｈｅｓａｍｐｌｅｓ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓａｍｏｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｏｄｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｓ．ＴｈｅｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓａｍｐｌｅａｆｔｅｒＨｉｌ?ｂｅｒｔ?Ｈｕａｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍｗｅｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅｆｒａｃｔａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｎｅｘｔ，ｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｗａｓｅｘｔｒａｃｔｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｉｄｅｎｔｉｆｉｃａ?ｔｉｏｎｔａｓｋｗａｓｓｏｌｖｅｄｂｙｕｓｉｎｇＳＶＭｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｍａｃｈｉｎｅ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｔｈｅｓｕｐ?ｐｏｒｔｖｅｃｔｏｒｍａｃｈｉｎｅ，ａｕｎｉｖｅｒｓａｌｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｗａｓｕｓｅｄ．Ｔｈｅｃｏｍｐｕｔｅｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｉｓｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｅｄｂｙｔｈｅｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙｉｍｐｒｏｖｅｓｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｍｏｄ?ｕｌａｔｉｏｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎａｎｄｃｏｕｌｄｂｅｆｅａｓｉｂｌｅｔｏｕｓｅｉｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ；ｍａｒｇｉｎａｌｓｐｅｃｔｒｕｍ；ｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙ；ｓｕｐｐｏｒｔｖｅｃｔｏｒｍａｃｈｉｎｅ收稿日期：２０１３?０１?１６．一网络出版日期：２０１４?０９?３０． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１０４０００７）． 通信作者：秦立龙．Ｅ?ｍａｉｌ：ｔａｎｋ２９０８９８９＠１６３．ｃｏｍ．一一数字信号调制模式识别能够在未知调制信息或 有干扰的条件下，正确识别出通信信号调制的模式，并进一步为解调器选择相应的解调算法提供依据三 调制模式识别在军事和民用中有着重要的研究前景 和应用价值三在军事领域［１］，数字通信信号调制模式识别是敌对双方进行通信侦察和干扰的前提，一旦明确了敌方通信系统的调制模式，就可以解调出敌方信号，获得有用的情报信息，从而为制定侦察与反侦察二干扰与反干扰策略提供有力依据，最终实现通信对抗；在民用领域［２］，政府有关部门可以利用调制模式识别进行信号确认二干扰识别和频谱监测

第三章 分形和多重分形

第三章 分形和多重分形 分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它 们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。 在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠 加而成的。从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。 §3.1 分形的基本理论 3.1.1 分形理论的基本概念 ㈠ 分形 分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几

小波多重分形

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小波多重分形在脑电信号分析中的应用 作者：赵大庆， 王俊， ZHAO Da-Qing， WANG Jun 作者单位：赵大庆,ZHAO Da-Qing(南京邮电大学,图像处理与图像通信江苏省重点实验室,通信与信息工程学院,南京,210003)， 王俊,WANG Jun(南京邮电大学,图像处理与图像通信江苏省重点实 验室,地理与生物信息学院,南京,210003) 刊名： 中国生物医学工程学报 英文刊名：CHINESE JOURNAL OF BIOMEDICAL ENGINEERING 年，卷(期)：2010,29(5) 参考文献(12条) 1.Acharya UR;Faust O;Kannathal N Non-linear analysis of EEG signals at various sleep stages[外文期刊] 2005(01) 2.江潮晖;冯焕清;刘大路睡眠脑电的关联维数和近似熵分析[期刊论文]-生物医学工程学杂志 2005(04) 3.徐宝国;宋爱国基于小波包变换和聚类分析的脑电信号识别方法[期刊论文]-仪器仪表学报 2009(01) 4.吴捷;张宁;杨卓小波相干分析及其在听觉与震动刺激事件相关诱发脑电处理中的应用[期刊论文]-生物物理学报 2007(06) 5.Popivanov D;Jivkova S;Stomonyakov V Effect of independent component analysis on multifractality of EEG during visual-motor task[外文期刊] 2005(11) 6.Wang Wei;Ning Bao;Wang Jun Interleaving distribution of multifractal strength of 16-channel EEG signals[期刊论文]-Chinese Science Bulletin 48 2003(16) 7.Muzy JF;Bacry E;Arneodo A Multifraetal formalism for fractal signals:The structure-function approach versus the wavelettransform modulus-maxima method 1993(02) 8.Kestener P;Arueodo A Generalizing the wavelet-based multifractal formalism to random vector fields:application to three-dimensional turbulence velocity and vorticity data[外文期刊] 2004(04) 9.苟学强;张义军;董万胜基于小波的地闪首次回击辐射场的多重分形分析[期刊论文]-地球物理学报 2007(01) 10.芩为;杨世峰;薛蓉基于小波变换模极大法的聚乙烯催化剂表面分形分析[期刊论文]-中国科学B辑 2007(04) 11.Chhabra AB;Meneveau C;Jensen RV Direct of the f(a) singularity spectrum and its application to fully developed turbulence 1989(09) 12.National Institutes of Health PhysioNet 2010 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/e26828934.html,/Periodical_zgswyxgcxb201005024.aspx

基于多重分形理论的图像分割毕业论文

基于多重分形理论的图像分割毕业论文 目录 摘要 (1) Abstract (2) 1 引言 (3) 1.1 研究背景 (3) 1.2 国外研究概况 (3) 1.3 本文的主要容及组织结构 (4) 2 分形及多重分形 (5) 2.1 分形概述 (5) 2.2 分形维数 (7) 2.3 多重分形概述 (9) 2.4 本章小结 (12) 3 图像分割 (12) 3.1 图像分割概述 (13) 3.2 图像分割方法综述 (14) 3.3 本章小结 (18) 4 基于多重分形的图像分割 (19) 4.1 基于多重分形的图像预处理 (19) 4.2 基于多重分形的图像分割 (22) 4.3 本章小结 (24) 致谢 (25)

1 引言 1.1 研究背景 近年来，分形作为一门新兴学科已经融入到自然科学的许多领域中。由于分形理论中的经典简单迭代法可以生成各种复杂的自然景物，分形维数又可以作为目标物体复杂性地有效度量，因此可以认为分形与图像之间有着一种必然联系，而正是这种联系注定了分形理论必然会在图像处理应用中开辟它的新领域。目前，国外许多学者已经关注到这一热点，并开始将分形理论在图像处理中的应用作为他们研究课题。 在图像处理领域，分形理论已经相继有了大量的应用报道。特别是用分形维数来刻画图像纹理的作法已经非常流行。利用分形的分析方法，人们可以采用各种不同的特征参数，包括分形特征和非分形特征相结合的方式来描述不同物体。此外，还可以依据分形理论的自相似原理特性，对图像特征进行分析。分形作为自然景物的描述模型，分形维数作为图形的形态特征参数，已运用于图像分析，模式识别，图像压缩编码，图像滤波，图像去噪，图像分割，纹理分析，边缘检测等各个方面。 图像分割是按照一定原则将一幅图像或景物分成若干个特定的，具有独特性质的部分或子集，并提取出感兴趣的目标的技术或过程。图像分割是一种重要的图像分析技术，在对图像的研究和应用中，人们往往只对图像的某些部分感兴趣，这些部分通常被称为目标或前景，他们一般对应图像中特定的，具有独特性之的区域，为了辨识和分析图像中的目标，需要将他们从图像中分离出去，在此基础上才有可能对目标进行进一步测量并对图像加以利用。 Mandelbrot提出用自相似性质来描述复杂且不规则的形状，提出大自然的分形几何。之后分形理论经过多年的发展，取得了巨大的成果。A.P.Pentland 首先将分形用于图像的分割，从分割的效果来看，确实证明了他的假设：分形维是个稳定的特征量。也表明图像与实际景物有着对应关系，实际的分形利弊不变性也在图像中有了类似的表现。近年来作为分形升级理论的多重分形已经成为热点，基于多重分形理论的图像分割也成为研究的重点，并取得了一定的成果。