随机过程知识点汇总

随机过程知识点汇总

随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。

２．随机过程的分类

随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。

离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。

连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。

３．随机过程的数字特征

随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。

均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。

自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。

４．平稳随机过程

平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。

弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。

强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。

５．高斯随机过程

高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。

高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。

６．马尔可夫随机过程

马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。

马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。

７．泊松过程

泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。

泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。

８．随机过程的应用

随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。

t)|^2]

协方差函数

B

Z

s,t)E[(Z

s

m

Z

s))(Z

t

m

Z

t))]，其中Z

s

和Z

t

是Z在时刻s和t的取值。

复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。

随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量来刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。随机变量族是随机过程的一种表示方式，每个随机变量X(t,e)都对应于随机过程在参数t和样本点e处的取值。根据参数集T和状态空间I是否可列，随机过程可以分为四类。同时，根据X(t)之间的概率关系也可以分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。

随机过程的概率特征可以通过有限维分布函数族来描述。随机过程的一维分布，二维分布，…，n维分布的全体称为有限维分布函数族。然而，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。例如，均值函数m、方差函数D、协方差函数B和相关函数R等。这些函数可以用来描述随机过程在不同时刻的平均值、偏离程度和线性相关程度。

复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。

1.公式中的乘号应该改为小括号，正确的公式为：

E[(Z_t-m_{Z(t)})(Z_t-m_{Z(t)})]$

2.删除第一段，因为它没有明确的主题和信息。

3.改写第二段：

协方差函数是描述两个随机变量之间关系的一种方式。对于随机过程$\{Z(t),t\in T\}$，它的协方差函数$B_Z(s,t)$定义为$E[(Z_s-m_{Z(s)})(Z_t-m_{Z(t)})]$，其中$m_{Z(t)}$是随机过程$Z(t)$在$t$时刻的均值。

4.改写第三段：

相关函数$R_Z(s,t)$是衡量随机过程$\{Z(t),t\in T\}$在不同时刻$s$和$t$的取值之间关系的一种方式。它的定义为

$E[Z_sZ_t]$。注意到$R_Z(s,t)$与协方差函数$B_Z(s,t)$之间存在关系：$B_Z(s,t)=R_Z(s,t)-m_{Z(s)}m_{Z(t)}$。

5.改写第四段：

常用的随机过程有以下几种类型：

1) 二阶距过程：对于实（或复）随机过程$\{X(t),t\in T\}$，如果对于每一个$t\in T$，都有$E[X(t)]<\infty$，即二阶距存在，则称该随机过程为二阶距过程。

2) 正交增量过程：设$\{X(t),t\in T\}$是均值为零的二阶距

过程，如果对于任意的$t_1

X(t_1))(X(t_4)-X(t_3))]=0$，则称该随机过程为正交增量过程。它的协方差函数为$B_X(s,t)=\sigma_X(\min(s,t))$，相关函数

为$R_X(s,t)=\sigma_X(\min(s,t))$。

3) 独立增量过程：对于随机过程$\{X(t),t\in T\}$，如果对

于任意正整数$n\geq 2$，以及任意的$t_1

1})$是相互独立的，则称$\{X(t),t\in T\}$是独立增量过程。如

果进一步满足对于任意$s

4) 马尔可夫过程：如果随机过程$\{X(t),t\in T\}$具有马尔

可夫性，即对于任意正整数$n$和$t_1

有$P(X(t_n)\leq x_n|X(t_1)=x_1,\ldots,X(t_{n-1})=x_{n-

1})=P(X(t_n)\leq x_n|X(t_{n-1})=x_{n-1})$，则称$\{X(t),t\in

T\}$是马尔可夫过程。

5) 正态过程：对于随机过程$\{X(t),t\in T\}$，如果对于任

意正整数$n$和$t_1,t_2,\ldots,t_n\in T$，

$(X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n))$是$n$维正态随机变量，其联合

分布函数是$n$维正态分布函数，则称$\{X(t),t\in T\}$是正态

过程或XXX过程。

6) 维纳过程：是正态过程的一种特殊情形。

为具有参数λ的泊松过程，如果满足以下三个条件：

①X(0)=0；②独立增量过程，即对于任意正整数n和任意的

t1

③在任意长度为t的时间区间内，事件A发生的次数服从参数λt的泊松分布，即P{X(t+s)-X(s)=n}=e^(-λt)(λt)^n/n。n=0,1.且

E[X(t)]=λt，λ=E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均次数，也称为速率或强度。

三．平稳过程

平稳过程是指在时间平移下保持统计性质不变的随机过程。严（狭义）平稳过程要求对于任意常数τ和正整数n以及

t1,t2.tn∈T，t1+τ,t2+τ。tn+τ∈T，(X(t1),X(t2)。X(tn))与

(X(t1+τ),X(t2+τ)。X(tn+τ))有相同的联合分布。广义平稳过程

要求满足三个条件：①二阶距过程；②对任意的t∈T，EX(t)

是常数；③对任意s,t∈T，EX(s)EX(t)=RX(s,t)，或仅与时间差

t-s有关。如果一个随机过程满足这三个条件，则称其为广义

平稳过程，或简称平稳过程。

四．维纳过程

维纳过程是一种平稳独立增量过程，其任何有限时间上的增量服从正态分布，且方差随时间长度线性增加。维纳过程是一个Markov过程，因此当前值就是做出未来预测所需的全部

信息。

马尔可夫过程具有马尔可夫性或无后效性，即在当前状态已知的情况下，未来状态的条件分布只与当前状态有关，而与过去状态无关。这可以表示为 $P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_1) =

x_1.\ldots。X(t_{n-1}) = x_{n-1}\} = P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_{n-1}) = x_{n-1}\}$。

马尔可夫链是一种随机过程，其条件概率满足转移概率矩阵的性质。具体来说，对于任意的整数 $n$ 和任意的状态

$i_1.\ldots。i_{n+1}$，如果 $P\{X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n。\ldots。X_1 = i_1\} = P\{X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n\}$，那

么 $\{X_n\}$ 就是一个马尔可夫链。马尔可夫链的统计特性完

全由条件概率 $P\{X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n\}$ 决定。

转移概率是马尔可夫链中非常重要的概念。对于状态

$i$ 和状态 $j$，转移概率 $p_{ij}(n)$ 表示在时刻 $n$，从状态$i$ 转移到状态 $j$ 的概率。如果马尔可夫链是齐次的，那么

转移概率与时间 $n$ 无关，记为 $p_{ij}$。转移概率构成的矩

阵 $P = [p_{ij}]_{i,j \in I}$ 称为系统的一步转移矩阵，每行元

素之和为 $1$。

马尔可夫链的转移概率具有一些重要的性质，包括可加性和齐次性。对于任意的 $m,l,n$，有 $p_{ij}(m+n) = \sum_{k \in

I} p_{ik}(m)p_{kj}(n)$，这被称为 C-K 方程。证明可以使用条件概率的乘法公式和马尔可夫性质。

1.马尔可夫链的基本概念和定义

马尔可夫链是一种随机过程，它具有马尔可夫性质，即在给定当前状态下，未来状态与过去状态是独立的。马尔可夫链的状态空间是离散的，状态之间的转移是基于一步转移概率矩阵P来描述的。在马尔可夫链中，初始概率和绝对概率向量分别表示时刻0和时刻n状态的概率分布。

2.马尔可夫链的转移概率矩阵和有限维分布

马尔可夫链的转移概率矩阵P描述了状态之间的转移概率，是一个n次乘方的一步转移概率矩阵。有限维分布完全由初始概率和一步转移概率所决定，可以用矩阵形式表示为

P(n)=P(0)PT(n)。绝对概率向量表示n时刻状态为j的概率，可以用公式p(j)(n)=∑p(i)(n-1)p(ij)计算得到。

3.马尔可夫链的状态分类

马尔可夫链的状态可以根据其周期性、首中概率、常返态和返回时间等特性进行分类。周期是指自某状态出发，再返回某状态的所有可能步数最大公约数，如果大于1则称该状态是

周期的，否则是非周期的。首中概率表示由i出发经n步首次到达j的概率，可以用公式fij=∑fn=1∞fij(n)计算得到。常返态是指从状态i出发再返回到i的概率为1的状态，返回时间是指从状态i出发再返回到i的平均时间。如果返回时间有限，则称该状态是正常返态；否则是零常返态。非周期的正常返态是遍历状态。

4.状态空间的分解

状态空间可以通过闭集分解来进行划分，如果对任意的状态i属于某个闭集C，而状态j不属于C，则状态i和状态j是不连通的。状态空间的分解可以帮助我们更好地理解和分析马尔可夫链的性质和特性。

1.定义闭集和不可约马尔可夫链：如果从闭集C中的任意状态i出发，都不能到达C之外的状态j，则称C为闭集。如果C中的状态互相可达，则称C为不可约闭集。如果状态空间中没有其他闭集，就称马尔可夫链为不可约的。

2.判断闭集的条件：如果对于闭集C中的任意状态i，都不存在一步转移可以到达C之外的状态j，则C为闭集。这意

味着一旦一个质点进入闭集C中，它将永远留在C中运动。如果某个状态i的转移概率p

ii

为1，则称该状态为吸收态，等价于将单点{i}看作闭集。

3.马尔可夫链的分解定理：任意一个马尔可夫链的状态空间I都可以唯一地分解成有限个互不相交的子集D和C 1

C

2

C

n

的和。其中每一个C

n

都是由常返态组成的不可约闭集，而D则由非常返态组成。分解定理说明了状态空间的状态可以按照常返态和非常返态分为两类，其中常返态组成一个闭集C，而非常返态组成集合D。闭集C又可以分为若干个互不相交的基本常返闭集C 1

C

2

C

n

从非常返态出发，质点要么一直停留在D中，要么某一时刻进入某个基本常返闭集C

n

一旦进入就永不离开。从常返态出发，质点必属于某个基本常返闭集C

n

永远在该闭集C

n

中运动。

4.有限马尔可夫链：如果马尔可夫链的状态空间是一个有限集合，则称其为有限马尔可夫链。有限马尔可夫链的性质包括：所有非常返态组成的集合不是闭集，不存在零常返态，必定存在正常返态，状态空间可以分解为非常返集合D和正常返集合C

1

C

2

C

n

5.p

ij

的渐近性质与平稳分布：研究马尔可夫链的渐近性质和平稳分布需要考虑两个问题。第一个问题是当n趋近于无穷大时，转移概率p

ij

是否存在极限值？第二个问题是，如果存在极限值，是否与初始状态有关。如果对于状态i和j，存在不依赖于i的极限值limp

ij

p

j

0，则称马尔可夫链具有遍历性。对于有限马尔可夫链，

如果所有状态都是正常返态，则该链具有平稳分布。

t,t)E Y(t)X(t)R

YX

2．相关函数的性质：

1）对于任意的t和，有R XX

t,t)0，R

YY

t,t)0，R

XY

t,t)[R

X

t)R

Y

t),R

X

t)R

Y

t)]；

2）R

XX

0)=Var[X(t)]，R

YY

0)=Var[Y(t)]，R

XY

0)=Cov[X(t),Y(t)]；

3）R

XY

R

YX

即互相关函数是对称的；

4）R

XY

min(R

XX

0),R

YY

0))，即互相关函数的绝对值不超过自相关函数的最小值。

三．平稳随机过程的谱表示

1．定义：平稳随机过程的谱密度函数是它傅里叶变换的

平方，即S()=|F{X(t)}|2.

2．性质：

1）S()0；

2）S()在整个实轴上积分等于过程的方差，即

S()d=Var[X(t)]；

3）S()是一个偶函数；

4）若平稳过程的自相关函数可写成

R

X

t)=

S()cos(t)d。

则S()可表示为

S()=2

R

X

t)cos(t)dt。

四．自回归过程

1．定义：自回归过程是指过程在t时刻的取值与其前p 个时刻的取值的线性组合有关，即

X(t)=

1

X(t1)+

2

X(t2)+…+

p

X(t p)+(t)。

其中，(t)是均值为0，方差为

2

的白噪声。

2．AR(p)过程的性质：

1）AR(p)过程是宽平稳过程；

2）AR(p)过程的自相关函数可以用其系数和方差表示出来；

3）AR(p)过程的谱密度函数可以用其系数表示出来，且在趋近于时有一个极大值。

1

d

0，其中B()为平稳过程的自相关函数。

在平稳过程的各态历经性定理中，我们可以看到，只有在一定条件下的平稳过程才具有各态历经性。因此，我们需要讨论平稳过程的历经性，以确定是否可以用一个样本函数去近似计算平稳过程的数字特征。

对于均值和相关函数而言，它们的各态历经性定理分别为均值各态历经性定理和相关函数各态历经性定理。其中，均值具有各态历经的充要条件是一个积分式，相关函数具有各态历经的充要条件也是一个积分式。需要注意的是，这些定理只适用于均方连续的平稳过程。

的FT，因此s

X

是实数且非负。

改写：谱密度s

X

是R

X

的傅里叶变换，因此s

X

是实数且非负。

２．s

X

0)等于平稳过程的平均功率。改写：s

X

0)等于平稳过程的平均功率。

３．s

X

是偶函数。

改写：谱密度s

X

是偶函数。

４．若X(t)是实值过程，则s X

随机过程知识点汇总

随机过程知识点汇总 随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。 ２．随机过程的分类 随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。 离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。 连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。 ３．随机过程的数字特征 随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。 均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。 自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。 ４．平稳随机过程

平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。 弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。 强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。 ５．高斯随机过程 高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。 高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。 ６．马尔可夫随机过程 马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。 马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。 ７．泊松过程

泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。 泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。 ８．随机过程的应用 随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。 t)|^2] 协方差函数 B Z s,t)E[(Z s m Z s))(Z t m Z

随机过程知识点

第一章:预备知识 §1、1 概率空间 随机试验,样本空间记为Ω。 定义1、1 设Ω就是一个集合,F 就是Ω的某些子集组成的集合族。如果 (1)∈ΩF; (2)∈A 若F ,∈Ω=A A \则F; (3)若∈n A F , ，，21=n ,则 ∞=∈1n n A F; 则称F 为-σ代数(Borel 域)。(Ω,F )称为可测空间,F 中的元素称为事件。 由定义易知: . 216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈?∞ === ，，则，，，）若（； 则若（； 定义1、2 设(Ω,F )就是可测空间,P(·)就是定义在F 上的实值函数。如果 ()()()()∑∞ =∞==???? ???=?≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有 时，当）对两两互不相容事件（； ）（； 任意 则称P 就是()F ,Ω上的概率,(P F ，，Ω)称为概率空间,P(A)为事件A 的概率。 定义1、3 设(P F ，，Ω)就是概率空间,F G ?,如果对任意 G A A A n ∈,,,21 , ,2,1=n 有: (),1 1∏===???? ??n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族。 §1、2 随机变量及其分布 随机变量X ,分布函数)(x F ,n 维随机变量或n 维随机向量,联合分布函 数,{}T t X t ∈,就是独立的。 §1、3随机变量的数字特征 定义1、7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ,若?∞ ∞-∞<)(||x dF x ,则称 )(X E ＝?∞ ∞-)(x xdF 为X 的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。 方差,()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差,而 DY DX B XY XY = ρ 为X 、Y 的相关系数。若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关。 (Schwarz 不等式)若,,22∞<∞

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。

概率论与随机过程考点总结

第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数? ∞ -=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：22 2 )()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?= ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关? 0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ， 1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( 母函数： ∑∞ ===0 )()(k k k k z p z E z g ! )0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+= ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = p q DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略

(完整版)随机过程知识点汇总

第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x) p k f (t)dt 分布函数 k x X 的概率分布用概率密度 f (x) F(x) 分布函数 连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,) 其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 ３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX x p k k X EX xf (x)dx 连续型随机变量 2 DX E(X EX) 2 EX (EX) 2 方差： 反映随机变量取值 的离散程度 协方差（两个随机变量 X ,Y ）： B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EY XY B XY 相关系数（两个随机变量 X,Y ）： 0，则称 X ,Y 不相关。 若 XY DX DY 独立 不相关 itX g(t) E(e ) itx e p k 连续 g(t) k e itx f (x)dx ４．特征函数 离散 g(t) 重要性质： g(0) 1， g(t) 1 g( t) g(t) ， ， g (0) i EX k k k ５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 P( X 1) p,P( X 0) q EX p DX pq P(X k) C p q n k k k EX np DX n p q n k 泊松分布 P( X k) e k! EX DX 均匀分布略 ( x a)2 1 2 N(a, ) f (x) 2 2 2 EX a 正态分布 e DX 2

随机过程知识点总结

第一章： 考试范围1.3,1.4 1、计算指数分布的矩母函数. 2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数. 3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数. 第二章： 1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理 3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为 2122σρρσ?? ?? ?? ，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）. 3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中2 12,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为 实数，证明()X t 是宽平稳过程. 4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程. 第三章： 1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义 1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算： (1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；

随机过程知识点

精心整理 第一章：预备知识 §1.1 概率空间 随机试验，样本空间记为Ω。 定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。如果 （1）∈ΩF ； （2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ； 则称则称 Λ,2,1=有：则称{t X t ,为X 为X §1.4特征函数、母函数和拉氏变换 定义1.10设随机变量的分布函数为F （x ），称 为X 的特征函数 随机变量的特征函数具有下列性质： (1)(0)1,()1,()()g g t g t g t =≤-= 1 (2)g (t )在()∞∞-,上一致连续。（3）()(0)()k k k g i E X = (4)若12,,,n X X X L 是相互独立的随机变量，则12n X X X X =+++L 的特征函数12()()()()n g t g t g t g t =L ，其中()i g t 是随机变量X i 的特征函数，1,2,,i n =L .

定义1.11设12(,,,)n X X X X =L 是n 维随机变量，t =(12,,,n t t t L ),R ∈则称 121 ()(,,,)()[exp()]n itX n k k k g t g t t t E e E i t X ' ====∑L , 为X 的特征函数。 定义1.12设X 是非负整数值随机变量，分布列 则称 )()(X def s E s P =＝k k k s P ∑∞ =0 为X 的母函数。 定义性质性质给定X 的Y 下性质如果Y 是离散型随机变量，则上式为 如果Y 是连续型，具有概率密度f(x)，则（1）式为 第二章 随机过程的概念与基本类型 §2.1随机过程的基本概念 定义2.1设（P F ，，Ω）是概率空间,T 是给定的参数集,若对每个t ∈T ，有一个 随机变量X (t ,e )与之对应，则称随机变量族}),,({T t e t X ∈是（P F ，，Ω）的随机过程,简记为随机过程}),({T t t X ∈。T 称为参数集，通常表示时间。

考研随机过程知识点串讲

考研随机过程知识点串讲 随机过程是概率论与数理统计中的重要分支，也是考研数学的一项重要内容。理解和掌握随机过程的知识点对于考研数学题目的解答至关重要。本文将对考研随机过程的知识点进行串讲，以帮助考生更好地理解和掌握相关知识。 一、随机过程的基本概念 随机过程是指一类由随机变量所组成的描述某个随机现象随时间变化的数学模型。随机过程可分为离散型随机过程和连续型随机过程。 离散型随机过程是指在离散的时间点上定义的随机过程，如泊松过程、马尔可夫链等。连续型随机过程则是在连续的时间区间上定义的随机过程，如布朗运动、随机微分方程等。 二、泊松过程 泊松过程是一种重要的离散型随机过程，它描述了在给定时间段内某一事件发生的次数。泊松过程具有无记忆性、独立增量和稀疏性等特点。 泊松过程的定义可以通过其强度函数或事件发生的时间间隔来进行描述。其强度函数λ(t)表示单位时间内事件发生的平均次数，事件发生的时间间隔服从指数分布。 三、马尔可夫过程

马尔可夫过程是一种描述具有马尔可夫性质的随机过程。马尔可夫性质指的是在给定当前状态下，未来状态的条件概率只与当前状态有关，而与过去状态无关。 马尔可夫链是一种特殊的马尔可夫过程，其状态空间为有限或可列集合。马尔可夫链具有平稳转移概率、不可约性、非周期性和列遍性等性质。 四、布朗运动 布朗运动是一种重要的连续型随机过程，它是由时间和随机变量构成的连续时间随机过程。布朗运动具有平稳增量、独立增量和高斯性等特点。 布朗运动的定义可以通过其均值和方差进行描述，其中均值为0，方差为t。 五、随机微分方程 随机微分方程是一种描述带有随机项的微分方程。它将确定性微分方程中的常数项替换为随机过程，引入了随机性因素。 随机微分方程具有解的存在唯一性、马尔可夫性、连续依赖于初值等性质。常见的随机微分方程模型包括随机一阶线性微分方程和随机线性方程组等。 六、蒙特卡洛方法

随机过程知识点汇总3

第一章随机过程的基本概念与基本类型 一. 随机变量及其分布 1随机变量X，分布函数F(x)二P(X < x) X 连续型随机变量X的概率分布用概率密度 f (x) 分布函数F(x)二f (t)dt 2. n维随机变量X =(X i,X2，…，X n) 其联合分布函数F(x) H F a’X?，…，X n) =P(X1空X-X2乞x2,…，X n乞x n,) 离散型联合分布列连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X EX =二x k p k连续型随机变量X EX二"xf (x)dx 匚方差：DX = E(X -EX)2二EX2-(EX)2反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量X,Y )：B XY =E[(X — EX)(Y —EY)] =E(XY) — EX .EY 独立=不相关：=:-=0 予oO 予 离散g(t)二' e iX k P k 连续g(t) e iX f (x)dx 'J 重要性质：g(0)=1 , g(t) <1 , g(—t)=g(t) , g k(0)=i k EX k 5 •常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 0 —1分布P(X =1) =p,P(X =0) =q EX二p DX = p q 二项分布k k n -k P(X = k) = C n p q EX=np DX=n pq 泊松分布 -k P(X =k) =e EX k! DX=扎均匀分布略 离散型随机变量X的概率分布用分布列P k 二P(X 二X k)分布函数F(x) = 7 P k 相关系数(两个随机变量X,Y )： B XY DX DY 若'=0，则称X,Y不相关。 4 .特征函数g(t)二E(e itX)

随机过程知识点

随机过程知识点 随机过程是现代概率论的重要分支之一，它描述的是一个或多个随机变量随时间的变化规律。在实际应用中，随机过程经常被用来建立模型，进行仿真以及预测未来的变化趋势等。随机过程知识点众多，本文将从概念、分类、建模等方面进行探讨。 一、概念 随机过程指的是一个定义在时间集合T上的随机变量的集合{Xt:t∈T}。其中，T表示时间的取值范围，Xt是一个随机变量。每个时刻t对应一个随机变量Xt，称为随机过程在时刻t的取值。 二、分类 根据随机变量的值域，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程两类。 1. 离散随机过程

离散随机过程的取值集合为有限或可数集合。在离散随机过程中，随时间变化的变量通常被称为时间序列。离散随机过程可以进一步分为如下几类： （1）马尔可夫链 马尔可夫链是最简单的离散随机过程模型，假设当前时刻状态只与前一时刻状态有关。马尔可夫链的基本性质是：状态转移概率只与当前状态有关，而与历史状态无关。 （2）泊松过程 泊松过程是一种间断性随机过程，它描述了单位时间或者单位面积内，某事件发生次数的概率分布。泊松过程的关键特征是时间和事件之间的指数分布关系，即事件之间的时间间隔是独立且指数分布的。 2. 连续随机过程

连续随机过程是取值集合为实数（或实数集合的子集）的随机过程。在连续随机过程中，随时间变化的变量通常被称为随机过程信号。连续随机过程可以进一步分为如下几类： （1）布朗运动 布朗运动是最基本的连续随机过程，描述了物体在连续介质中的随机运动。其轨迹连续但不光滑，呈现出瞬时变化的特点。 （2）随机游走 随机游走是一种简单的随机过程模型，它描述了物体在一组不断变化的环境下进行的随机运动。其主要特征是不规则的移动和不可预测性。 三、建模 在实际应用中，随机过程的建模是非常重要的。通过从数学模型中提取重要的特征和参数，可以更好地理解随机过程的行为，从而更好地预测未来的变化。

应用随机过程知识点

应用随机过程知识点 引言 随机过程是概率论中一个重要的概念，它描述了随机事件随时间的演变规律。应用随机过程的知识点在各个领域都有着广泛的应用，例如金融、电信、物流等。本文将介绍应用随机过程的几个重要知识点，并逐步展开思路，帮助读者理解和应用这些知识点。 1. 马尔科夫链 马尔科夫链是一个离散状态随机过程，其特点是未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。这个特性使得马尔科夫链成为许多实际问题的建模工具。下面我们通过一个简单的例子来说明。 假设有一个赌徒每天可以处于三种状态之一：破产、中等偏下和富有。假设他的状态在每一天有以下转移概率： - 从破产到中等偏下的概率为0.6，到富有的概率为0.4； - 从中等偏下到破产的概率为0.3，到富有的概率为0.2； - 从富有到破产的概率为0.1，到中等偏下的概率为0.4。 我们可以用一个马尔科夫链来描述这个赌徒的状态转移过程。首先，我们定义一个状态空间：S = {破产，中等偏下，富有}。然后，我们可以构建一个状态转移矩阵，记为P，其中P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。根据上述例子，我们可以得到如下状态转移矩阵： P = [[0,6 0.3 0.1] [0.4 0 0.4] [0.4 0.2 0]] 通过这个状态转移矩阵，我们可以计算赌徒在未来几天内处于各个状态的概率分布。这个例子简单地展示了马尔科夫链的应用，它可以帮助我们理解系统的演化规律，并对未来的状态进行预测。 2. 泊松过程 泊松过程是一个连续时间的随机过程，它描述了某个事件在一段时间内发生的次数，满足以下几个特性： - 事件在任意时间间隔上的发生次数是独立的； - 事件在不重叠的时间间隔上的发生次数是互不影响的； - 在一个很小的时间间隔内事件的发生概率是与时间间隔的长度成正比的。 泊松过程在实际应用中经常用于模拟和分析各种事件的到达过程，例如电话呼叫、网络流量等。下面我们通过一个简单的例子来说明泊松过程的应用。

高等数学中的随机过程相关知识点详解

高等数学中的随机过程相关知识点详解 近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。作为高等数 学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关 知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。 一、概率论基础 在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础 知识。概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机 事件的发生规律和概率计算方法。在概率论中，有一些基本概念 和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。 1.1 概率 概率是指一个事件发生的可能性大小。通常用P来表示，它的 取值范围是0到1。当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。例如，掷一枚硬币正面朝上的概 率为1/2，或者说P=0.5。

1.2 条件概率 条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。通常 用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为 P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。 1.3 概率分布 概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。在不同的情况下，概率分布也是不同的。例如，在离散型随 机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续 性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。 1.4 随机变量 随机变量是一种随机事件的数学描述。它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型 和连续型。离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、

考研随机过程知识点浓缩

考研随机过程知识点浓缩 随机过程是概率论中的重要分支，研究随机事件在时间上的演变规律。在考研数学中，随机过程是一个重要的知识点，涉及到概率论和 数理统计等多个领域。本文将对考研随机过程的知识点进行浓缩总结，帮助考生更好地掌握重点内容。 1. 随机过程的定义 随机过程是一个定义在时间轴上的随机变量族，即一系列随机变量 组成的集合。随机过程可分为连续时间随机过程和离散时间随机过程，根据时间参数的取值范围来进行区分。 2. 随机过程的分类 根据随机过程的状态空间，可以将随机过程分为离散状态随机过程 和连续状态随机过程。离散状态随机过程中，状态空间为有限集合或 者可列无限集合，如泊松过程；连续状态随机过程中，状态空间为连 续集合，如布朗运动。 3. 马尔可夫性质 马尔可夫性质是随机过程的重要性质之一，指的是在给定当前状态 的条件下，未来的发展只依赖于当前状态，与过去的状态无关。具有 马尔可夫性质的随机过程可以简化计算和分析。 4. 随机过程的平稳性

平稳性是随机过程的另一个重要性质，分为弱平稳和严平稳。弱平稳指的是均值和自协方差不依赖于时间的特性；严平稳则要求联合分布在时间上的平移具有不变性。平稳性的性质可以简化对随机过程的研究。 5. 随机过程的独立增量性质 随机过程的独立增量性质指的是在不相交的时间间隔内，随机变量之间是相互独立的。具有独立增量性质的随机过程可以通过对各个时间间隔内的随机变量进行独立分析。 6. 随机过程的马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的离散时间随机过程，具有马尔可夫性质。马尔可夫链的状态空间是离散的，状态转移概率只与当前状态有关，与过去的状态无关。马尔可夫链通常用状态转移矩阵来描述状态之间的转移规律。 7. 泊松过程 泊松过程是一类具有无记忆性的离散状态随机过程，是一种常用的数学模型。泊松过程描述了在一段时间内随机事件发生的次数，具有独立增量和稳定增量的性质。 8. 布朗运动 布朗运动是连续时间的连续状态随机过程，具有平稳增量、独立增量和高斯增量的特性。布朗运动在金融学、物理学等领域中有广泛的应用，被认为是随机过程的重要模型之一。

随机过程期末知识点

1、一家庭主妇用邮局订阅来销售杂志，她的顾客每天按比率 ＝6的Possion 过程来订约，他们分别1/2, 1/3, 1/6的概率订阅一年，二年或三年，每个人的选择是相互独立的，对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一年，她得到1元手续费，令X(t)表示她在[0,t]内从销售订阅得到的总手续费，求X(t)的均值函数和方差函数 ()cos sin ,0,,[1,1]()(), {(),0}. t X t A t B t t A B Y t X s ds Y t t αα=+≥-= ≥⎰ 例1 设相互独立同服从区间上的均匀分布，令求的均值函数和协方差函数 {(),0}1Wiener ()(),0{(),0}. t W t t X t W s ds t X t t ≥= ≥≥⎰ 例2 设是参数为的过程，令，求的均值 函数与相关函数 例二解 ()()()0 .t t X m t E W s ds EW s ds ===⎰⎰ 00 (,)(,)s t X W R s t R u v dudv =⎰ ⎰ 2 0min(,)s t u v dudv σ =⎰ ⎰ 200 min(,)s u du u v dv σ=⎰⎰ 20 min(,)s t u du u v dv σ+⎰⎰ 2 2 s u s t u du vdv udv σ σ =+⎰ ⎰⎰⎰()s t < 22 (3) ,6 s t s σ= -()s t <

由 s 与 t 的对称性 ()()()22 22 3,0;6 ,3,0.6 X s t s s t R s t s s t t s σσ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ ()()() , (0,2)X t acos t t U ωπ=+Θ-∞<<+∞Θ例4：求随机相位正弦波～的均值函数、方差函数和自相关函数。 ()1 022 0 f θπ πθ⎧<<⎪Θ=⎨ ⎪⎩解：由假设的概率密度为：其他 ()[()]X t E X t μ=于是()E acos t ω=+Θ⎡⎤⎣⎦()20102acos t d π ωθθπ =+⋅=⎰ 1212(,)[()()] X R t t E X t X t =212[()()]E a cos t cos t ωω=+Θ+Θ 221201()()2a cos t cos t d π ωθωθθπ =++⋅⎰ 2 21() 2 a cos t t ω=-2122t t a cos τωτ=-＝＝＝ 22()(,)()X X X t R t t t σμ=-2 (,)2 X a R t t == {}(){}(){}(){}(){} 002424502451,00,1,231044111424310 4 4100,1,23 1 0,1,1; 2 1,1,0|0; 3 1,1,0n i X n p P X i i P X X X P X X X X P X X X ≥⎛ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ==============例：设是具有三个状态的齐次马氏链， 一步转移概率矩阵为初始分布试求： {}{}()()() 1,0,1,2,,0,1,2, ,1,2,n u v u v ij ik kj k X n u v T P P P i j chapman kolmogorov C K ∞ +==∈===-∑-L L L 设是一齐次马氏链，则对任意的有：这就是著名的方程，简称方程

随机过程知识点

第一章：预备知识 §1.1 概率空间 随机试验;样本空间记为Ω.. 定义1.1 设Ω是一个集合;F 是Ω的某些子集组成的集合族..如果 1∈ΩF ； 2∈A 若F ;∈Ω=A A \则F ； 3若∈n A F ; ，，21=n ;则 ∞ =∈1 n n A F ； 则称F 为-σ代数Borel 域..Ω;F 称为可测空间;F 中的元素称为事件.. 由定义易知： 定义1.2 设Ω;F 是可测空间;P ·是定义在F 上的实值函数..如果 则称P 是()F ,Ω上的概率;P F ，，Ω称为概率空间;PA 为事件A 的概率.. 定义 1.3 设P F ，，Ω是概率空间;F G ⊂;如果对任意 G A A A n ∈,,,21 ; ,2,1=n 有： (),1 1∏===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族.. §1.2 随机变量及其分布 随机变量X ;分布函数)(x F ;n 维随机变量或n 维随机向量;联合分布函数;{}T t X t ∈,是独立的.. §1.3随机变量的数字特征 定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ;若 ⎰ ∞ ∞ -∞<)(||x dF x ;则称 )(X E ＝ ⎰ ∞ ∞ -)(x xdF 为X 的数学期望或均值..上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分.. 方差;()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差;而 为X 、Y 的相关系数..若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关.. Schwarz 不等式若,,22 ∞<∞

随机过程知识点总结

知识点总结 第1章 概率论基础 1.1概论空间 随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。 其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为Ω，试验的一个结果称为样本点，记为ω，即}{ω=Ω. 样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件. 定义1.1.1 设Ω样本空间，是Ω的某些子集构成的集合，如果： （1）∈ Ω （2）若∈A ，则∈ A （3）若∈ n A ，，， ,21n =则 ∈ ∞ = 1 n n A 那么称为一事件域，也称 为σ域. 显然，如果是一事件域，那么 （1）∈ φ （2）若∈B A ,，则∈ -B A （3）若∈ n A ， ∞ ==1 n n 2,1n A ，则， ， 定义 1.1.2 设Ω是样本空间， 是一事件域，定义在上的实值函数 )(⋅P 如果满足： （1）∈ ∀A 0)(,≥A P ， （2）1)(=ΩP ， （3）若∈ n A ,,2,1, =n 且,,2,1,,, =≠=j i j i A A j i φ则

∞=∞ =∑=1 1 )()(n n n n A P A P 那么称P 是二元组（,Ω)上的概率，称P (A )为事件A 的概率，称三元组,(Ω) ,P 为概率空间。 关于事件的概率具有如下性质： （1） ;0)(=φP （2）若∈ n A ,,,2,1,,,,,,2,1,n j i j i A A n i j i =≠==φ 则 n i n i i i A P A P 1 1 )()(==∑= （3）若∈B A ,,,B A ⊂则）A P B P A B P ()()(-=- （4）若∈B A ,)()(,,B P A P B A ≤⊂则； （5）若∈A ;1)(,≤A P 则 （6）若∈A );(1)(,A P A P -=则 （7）若∈ n A ,,2,1, =n 则 ∞ =∞ =∑≤1 1 )()(n n n i A P A P （8）若∈ i A ,,,2,1,n i =则 - ===∑ n i n i i i A P A P 1 1 )()(∑ ∑≤<≤≤<<≤--+-+ n j i n k j i n n k j i j i A A A P A A A P A A P 11211 )() 1()()( 一列事件∈ n A ,2,1,=n 称为单调递增的事件列，如果 ;,2,1,1 =⊂+n A A n n 一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递减的事件列，如果 ,2,1,1=⊃+n A A n n . 定理1.1.1 设 ∈ n A ,2,1,=n （1）若 ,2,1,=n A n 是单调递增的事件列，则

概率统计与随机过程知识点总结最终版

《概率统计与随机过程》知识总结 第1章 随机事件及其概率 一、随机事件与样本空间 1、随机试验 我们将具有以下三个特征的试验称为随机试验，简称试验， （1）重复性：试验可以在相同的条件下重复进行； （2）多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知； （3）随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。 随机试验一般用大写字母E 表示，随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。 2、样本空间 随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为S ，样本空间中的元素，即E 的每个基本结果，称为样本点。 3、随机事件 称随机试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件。 随机事件通常利用大写字母A 、B 、C 等来表示。 在一次试验中，当且仅当这一子集（事件）中的某个样本点出现时，称这一事件发生。 特别地，将只含有一个样本点的事件称为基本事件； 样本空间S 包含所有的样本点，它在每次试验中都发生，称S 为必然事件； 事件∅（S ∅⊂）不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称∅为不可能事件。 4、随机事件间的关系及运算 （1）包含关系：若B A ⊂，则称事件A 包含事件B ，也称事件B 含在事件A 中，它表示：若事件B 发生必导致事件A 发生。 （2）相等关系：若B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等，记为A B =。 （3）事件的和：称事件{|A B x x A ⋃=∈或}x B ∈为事件A 与事件B 的和事件。 事件A B ⋃发生意味着事件A 发生或事件B 发生，即事件A 与事件B 至少有一件发生。 类似地，称1 n i i A =⋃为n 个事件12n A A A ⋯、、 、的和事件，称1 i i A ∞ =⋃为可列个事件12 A A ⋯、、的和事件。 （4）事件的积：称事件{|A B x x A ⋂=∈且}x B ∈为事件A 与事件B 的积事件。 事件A B ⋂发生意味着事件A 发生且事件B 发生，即事件A 与事件B 都发生。 A B ⋂简记为AB 。 类似地，称1 n i i A =⋂为n 个事件12n A A A ⋯、、 、的积事件，称1 i i A ∞ =⋂为可列个事件12 A A ⋯、、的积事件。 （5）事件的差：称事件{|A B x x A -=∈且}x B ∉为事件A 与事件B 的差事件。 事件A B -发生意味着事件A 发生且事件B 不发生。（A B AB A AB -==-） （6）互不相容（互斥关系）：若A B ⋂=∅，则称事件A 与事件B 互不相容，又称事件A 与事件B 互斥。事件A 与B 互不相容意味着事件A 与B 不可能同时发生。 （7）互逆关系（对立关系）：若A B S ⋃=且A B ⋂=∅，则称事件A 与事件B 互为逆事