湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集
主讲教师：何松华 教授
第一章：概述及概率论复习
1。1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品,从这一批产品中任意抽取3个，求其
中有次品的概率。
1。2 设一批零件共100个，次品率为10％，每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回，
求第3次才取得合格品的概率。
1。3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球,求乙取得红
球的概率（甲取出的球不放回)。
1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连
续n 次取得合格品的概率。
1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且
0()00
x
A Be x F x x λ-⎧+≥=⎨
<⎩
其中0为常数，求常数A 、B 的值。
1.6设随机变量X 的分布函数为
()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞
（1） 求系数A 、B ；（2）求随机变量落在（-1，1）内的概率；(3)求其概率密度函数。 1.7已知二维随机变量(X,Y ）的联合概率密度分布函数为
6(2)0,1
(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨
⎩
（1）求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2）问X 、Y 是否相互独立? 1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为
2
2
()()]22X X X
X x m f x σπσ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c,b 为常数.求Y 的概率密度分布函数。
1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为
101
()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨
⎩，0()0
y Y e y f y elsewhere
-⎧<=⎨⎩
求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。
1。10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为
Y
的正态分布，求X 的概率密度分布.
1。11随机变量X 服从标准正态分布2
1()exp{}22X x f x π
=-，求随机变量n Y X =（n 为正整数）
的数学期望及方差。
1。12随机变量X 服从均值为m X 、标准差为
X
的正态分布，X 通过双向平方率检波器，Y=cX 2(c>0)，
求Y 的概率密度分布。
1。13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为
(,)sin() (0,0)2
2
XY f x y A x y x y π
π
=+≤≤
≤≤
(1) 求系数A ，(2）求数学期望E ［X]、E[Y ］,方差D[X]、D[Y]；（3）求X 、Y 的相关函数及相
关系数.
1。14设X 为拉谱拉斯随机变量，||() (-) (0)2
x X f x e x αα
α-=
∞<<∞>;求：（1）X 的特征函数,（2）
利用特征函数求X 的均值与方差，（3）讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。
第二章：随机过程的基本概念
2。1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 、B,从t=1s 开始,每隔1s 有一名乘客到达车站。如
果每名乘客以概率1/2登上A 车,以概率1/2登上B 车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用X j 表示第j 秒到达的乘客的登车状态，即登上A 车则X j =1，登上B 车则X j =0；设t=n 时A 车上的乘客数为Y n .（1)求离散时间随机过程Y n 的一维概率分布率；(2)当公共汽车A 上的乘客达到10个时，A 即开车，求A 车出发时刻n 的概率分布。
2.2一个正弦振荡器,由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦波可以看
作一个随机过程()cos()X t A t =Ω+Φ，其中A 、
、为相互独立的随机变量，且
2
002/(0,)
()0
A a A a A f a otherwise ⎧∈=⎨
⎩，1/100(250,350)
()0
f otherwise ωωΩ∈⎧=⎨⎩，
1/(2)(0,2)()0f otherwise πϕπϕΦ∈⎧=⎨
⎩
求随机过程X （t)的一维概率密度分布函数。 2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程
cos()()2t X t t π⎧=⎨
⎩
出现正面
出现反面 设“出现正面”和“出现反面"的概率各为1/2。(1） 确定X(t ）的一维分布函数F X (x ,1/2)、
F X (x ,1）；(2) 确定X(t)的二维分布函数F X (x 1, x 2；1/2,1）；(3）画出上述分布函数的图形.
2.4设随机过程()cos()sin() (-)Z t X t Y t t ωω=+∞<<∞，其中
〉0为常数，X 、Y 为相互独立的随
机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布（即均值为0,标准差为1).若将Z （t)写成
()cos()Z t V t ω=+Φ，（1）求随机变量V 、
的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问
二者是否统计独立？(2）求随机过程的一维概率密度分布函数。
2。5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。 2.6设某信号源每T(s ）产生一个幅度为A 的方波脉冲，脉冲宽度X 为均匀分布于［0,T ］的随机变量。这样构成一个随机过程Y （t)(0t 〈
)。设不同的脉冲是统计独立的，求随机过程
Y(t ）的一维概率密度分布函数。
2。7设随机过程X （t ）=Ycos(t ） （—〈t 〈
），其中Y 为均匀分布于［0，1]区间的随机
变量，求随机过程X(t ）的自相关函数及自协方差函数. 2.8随机过程1
() ()k
N
j t k k Z t A e t R θ==∈∑，其中A k 服从分布N(0，
k
2
),且相互独立;
k
为常数,j 为虚
数单位，求复随机过程Z (t )的均值函数与方差函数。
2.9随机过程X(t ）=X+Yt ，t R ∈；随机矢量(,)T
X Y 的协方差矩阵为2122r r σσ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，求随机过程X （t ）的协方差函数。
2。10给定随机变量X (t i )，x i 为任一实数。定义另外一个随机过程
1()()0()i i
i i i
X t x Y t X t x ≤⎧=⎨
>⎩ 1,2,...i = 试证明Y (t ）的均值和自相关函数分别为X （t ）的一维和二维分布函数。
2。11有一脉冲串，其中每个脉冲的宽度为1,脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，即脉冲的幅度随机地取1或-1(概率相等),各脉冲的幅度取值相互独立；脉冲串的起始时间均匀分布于单位时间内，脉冲间隔为0；求此脉冲随机过程的相关函数。
2.12．设随机过程X （t)=b+Nt ，b 为常量，N 为正态随机变量，均值为m,标准差为,求随机
过程X （t)的一维概率密度及均值、方差。
2。13质点在直线上作随机游动,即质点在n=1,2，3，…时刻可以在x 轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。往右、左移动的概率分别为p 、q (p +q =1)，P ｛X n =1｝=p ，P ｛X n =—1}=q ，各次游动是相互独立的，经过n 次游动后，质点所在的相对位置为
1()n
i i Y n X ==∑
求：（1）离散时间随机过程Y （n ）的均值函数；（2） Y (n ）的相关函数及自协方差函数. 2。14设随机过程X(t)=
+
t ，和
为相互独立的随机变量，其概率密度分布分别为()f αα、
()f ββ，求随机过程X （t ）的概率密度.
2.15设随机过程0()()sin[()]X t A t t t ωϕ=+，其中A （t)0，在同一时刻随机过程A(t ）和（t)
是相互独立的，且
(t)在任意时刻的概率密度分布为[—
，
］上的均匀分布，包络A(t ）
在任意时刻的概率密度分布为()A f a ，求随机过程X （t)的一维概率密度. 2。16随机初始相位正弦波随机过程X （t)=Acos(
t+
），其中振幅A 、角频率
取常数，相
位
为均匀分布于[—
,
］的随机变量，求X(t ）的一维概率密度分布函数。
2。17设某通信系统的信号为脉冲信号，脉宽为T,脉冲信号的周期也为T ，脉冲幅度是随机的且服从高斯分布N （0,
2
）,不同周期内的幅度x i 是相互独立的；第1个脉冲的起始时间与t=0
时刻的时间差u 是均匀分布于（0,T)的随机变量，u 与各x i 相互独立，求该随机信号在任意两
个不同时刻的二维联合概率密度分布函数。
2.18设随机过程X(t ）的均值为m X (t)，协方差函数为K X (t 1，t 2),(t)为普通函数，试求随机
过程Y(t ）=X(t ）+
（t)的均值和协方差函数。
2.19广义平稳随机过程X （t)在四个不同时刻的四维随机变量X=［X(t 1)， X(t 2)， X(t 3)， X(t 4)］
T
的自相关矩阵为
2 1.30.42 1.20.8[]0.4 1.2 1.10.92T X a b R E XX c d
e ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ 求矩阵中未知元素的值。
2.20设随机过程()cos()sin()X t A t B t ωω=+，其中为常数,A 、B 为相互独立的随机变量，概率
密度分布函数为正态分布N(0，
2
)。求X(t ）的均值和自相关函数。
2.21某平稳随机过程X(t)的自相关函数满足R X （T)= R X (0） （T 0），证明R X （
）必为以T
为周期的周期函数。
2.22给定随机过程X （t)和常数a 。Y （t ）=X （t+a)-X(t).试以X(t)的自相关函数来表示随机过程Y （t)的自相关函数。若X(t)平稳,均值为m X ，求Y(t)的均值；问Y(t ）是否平稳？是否与X(t ）联合平稳？ 2.23．(缺）
2。24 X(t ）=At ，A 为随机变量，概率密度分布为N （0,1），求X （t)的均值及自相关函数. 2。25 X(t)=cos （t)，其中
为均匀分布于(
1
,
2
）的随机变量，求X （t)的均值及自相关
函数.
2。26随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos （t+
)，其中振幅A 、角频率
取常数,相位
为均匀分布于［-,
]的随机变量，求该随机过程的均值及相关函数，并判断其平稳性。
2。27随机过程X(t)仅由3个样本函数组成［查看教材中的原图]，而且每个样本函数等概率发生。计算E[X(2)］、E[X （6）］、R X （2，6)、F X (x ，2)、F X （x ,6)、F X (x 1, x 2,2,6)。分别画出它们的图形.
2。28设从t=0开始，作每秒1次的掷硬币试验,如正面朝上，则X(t)在该秒内的取值为1,如反面朝上，则X （t ）在该秒内的取值为0;求:（1）X （t ）的均值函数，(2）计算R X （0。5,0.6)， R X （0.5,2.5)。
2.29随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos （t+
)，其中振幅A 、角频率
取常数,相位
为均匀分布于[0,2
]的随机变量，求其时间相关函数及集合自相关函数，二者是否相等？
2.30根据掷色子实验定义随机过程2()cos[()]; 1,2,3,4,5,66
k X t t k π
==,求X （1），X(2)的概率密度,问X （t ）是否为平稳随机过程。
2。31某随机过程由3个不同的样本函数组成，各样本函数等概率出现。
123(,)1,(,)sin(),(,)cos()X t e X t e t X t e t ===
(1)求该随机过程的均值与自相关函数，（2）该过程是否平稳？ 2。32．随机过程X(t)=Acos （
t+
)，其中角频率
取常数,相位
为均匀分布于［0，2
］
的随机变量，振幅A 为瑞利分布随机变量,与相互独立，问该过程是否平稳？
2
22exp[]0
()200A a a a f a a σσ
⎧->⎪=⎨⎪≤⎩
2.33．两个随机过程X(t),Y （t ）均不是平稳随机过程，且
()()cos()X t A t t =,()()sin()Y t B t t =
式中A(t)、B （t)是相互独立的零均值平稳随机过程,并有相同的相关函数，证明：Z(t)=X （t)+Y(t)是广义平稳的。
2.34已知两个平稳随机过程的相关函数为
2||()X X R e αττσ-=,21
()(1||) (||)Y Y R τσαττα
=-<
试分别求其相关时间.
2.35设随机过程()()cos()()sin()Z t X t t Y t t ωω=-，其中
为常数,X （t)、Y(t)为平稳随机过程、
且联合平稳，求:(1）Z(t ）的自相关函数；（2)如()()X Y R R ττ=,()0XY R τ=，求Z(t ）的自相关函数。
2。36两个统计独立的平稳随机过程X(t ）和Y （t)，均值都是0,自相关函数分别为||()X R e ττ-=、
()cos(2)Y R τπτ=；试求：(1)Z(t ）=X （t)+Y （t)的自相关函数，(2）W （t)=X （t ）—Y （t)的自
相关函数，（3)互相关函数R ZW ()。
2。37设X （t ）是雷达发射信号,遇到目标后返回接收机的微弱信号为1()X t ατ-，其中1α<<，1τ是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴随有噪声N(t),于是接收到的信号为：
1()()()Y t X t N t ατ=-+；
（1)若X(t)与Y(t ）是联合平稳随机过程，求二者的互相关函数；(2) 在（1）的条件下,假设N （t)为零均值，且与X(t ）统计独立，求X （t ）和Y （t ）的互相关函数。 2.38已知平稳随机过程X(t ）的功率谱密度函数为
2
42()32
X G ωωωω=++
求X(t)的均方值。
2.39平稳随机过程X （t)的自相关函数为
||()4cos()cos(3)X R e ττπτπτ-=+
求其功率谱密度函数。
2。40如图所示系统,若X(t ）为平稳随机过程,证明Y （t)的功率谱密度函数为
()2()[1cos()]Y X G G T ωωω=+
2。41已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为
||8()20(1)||10()10
0X G otherwise ωδωωω⎧
+-
≤⎪=⎨⎪⎩
求X(t)的自相关函数.
2.42设X （t ）和Y （t ）为两个统计独立的平稳随机过程，均值分别为m X 、m Y ,且X(t ）的功率谱密度函数为G X (
),定义Z （t)=X(t)+Y （t)，试计算G XY (
)、G XZ (
）.
2。43设随机过程Y(t)=X(t)cos （0
t+），其中
为常量，X(t ）为与无关的随机过程，
为均匀分布于（0，2
)的随机变量，求Y(t)的自相关函数及功率谱密度。
2.44设随机过程X(t)=acos （t+
)，其中a 为常量，为与
无关的随机变量,
为均匀分
布于(0，2
）的随机变量，的一维概率密度分布函数()f ωΩ为偶函数，求证X （t ）的功率谱
密度为2()()X G a f ωπωΩ=。
2。45设广义平稳随机过程X(t ）的相关函数如下图所示，求其功率谱密度函数。
2.46设随机过程X （t)=cos （t+），其中为常量， 为随机变量，其特征函数为(u ）
=E[e ju ］,证明：当且仅当
(1)=
(2)=0时，随机过程X （t)广义平稳。
2.47下列函数是否可能为平稳随机过程的相关函数？
222222
()(12||) (,)3
a f e a a a ττσττσ-=++为常数
第三章：随机过程的线性变换
3。1设有随机变量序列｛X(n ）｜n=1，2,3，…}以及随机变量X ，且有..
.()n l i m X n X →∞
=,求证: [()][][...()]n n lim E X n E X E l i m X n →∞
→∞
==
3.2设随机过程X （t)是平稳且可微的，导数过程为'()X t 。证明:对于任一给定的时刻t,随机变量X （t ）和'()X t 是正交的和互不相关的。
3.3设随机过程X （t)及随机变量Y 和Z ，并且有0
..
()t t l i m X t Y →=，0
..()t t l i m X t Z →=，证明Y=Z(相当于：若极限存在,则唯一）。
1
R X (τ)
τ
T/2 -T/2
3。4设随机过程X （t)是平稳且可微的,导数过程为'()X t ；设X （t)的物理功率谱密度为F X ()
(
0），试求X(t ）与'()X t 的互功率谱密度以及'()X t 的功率谱密度。
3。5设有复随机变量序列{X （n)|n=1，2,3，…｝以及复随机变量Y,且有2[|()|]E X n <∞，求证：
X(n)依均方收敛于随机变量Y 的充要条件是
*[()()]()n m lim E X n X m C →∞
→∞
=常数
3。6设有随机变量序列{X （n ）|n=1,2,3，…｝,X （n ）的相关函数为
1212(,)[()()]X R n n E X n X n =
若有普通序列{a n |n=1，2,3,…},并定义1
()()n
k k Y n a X k ==∑,求Y （n ）均方收敛的充要条件。
3.7设有随机过程()()t
Y t X d ττ-∞
=⎰，已知X （t)为零均值平稳随机过程,功率谱密度为G X (
)，
(1）证明Y （t)为平稳随机过程,(2）求Y （t)的功率谱密度（不考虑=0处）。
3。8 （非平稳随机过程的连续性） 证明：若X （t)的自相关函数12(,)X R t t 在120t t t ==处二元连续，则X （t)在0t t =处连续。
3.9对于平稳随机过程X （t ），均方连续的充要条件是其自相关函数R X (
)在
=0处连续。
3.10设X(t ）是平稳随机过程，E ［X(t)］=1，2||()1X R e ττ-=+，求随机变量10
()S X t dt =⎰的均值及方差.
3。11设X(t)的自相关函数为2||()X R A Be ττ-=+，系统的冲激响应为()(0)at h t e t -=≥，A 、B 、a 均为正的常数，设X(t)的均值非负，试求输出Y(t)的均值。
3.12在图示积分电路的输入端加入一平稳随机过程X(t ），E[X （t ）］=0，1
2
||212(,)t t X R t t e βσ--=，
电路的初始条件为Y(0—）=0,试分析输出过程Y （t ）的统计特性（瞬态和稳态)。
3.13 (1） 12题中若X(t ）的相关函数为1212(,)()X R t t t t δ=-，求输出过程的自相关函数；（2)若输入从t=—
已经开始(不限制t=0-处的初始条件),求输出过程的自相关函数。
3.14如图所示的RL 电路,输入为零均值平稳随机过程，相关函数为1
2
||212(,)t t X R t t e βσ--=，求输出
过程的自相关函数R Y ()。
3。15设线性因果时不变系统的冲激响应为()() (>0)t h t e u t ββ-=，输入平稳随机过程X （t)的自相关函数为||() (>0)X R e αττα-=，求输入输出之间的互相关函数。 3.16设系统的输出为输入的延迟，延迟时间为
，试用输入随机过程的相关函数R X(
)来表示
输出随机过程的相关函数以及输入与输出之间的互相关函数。 3.17设线性时不变系统的传输函数为()j H j j ωα
ωωβ
-=+，输入平稳随机过程的X(t)的自相关函数为||
()v X R e
ττ-=，试求输入输出随机过程之间的互相关函数。
3。18设输入随机过程的自相关函数为
()2
N δτ,理想窄带放大器的频率特性为 00
2||2()0||2
H j ω
ωωωωωω∆⎧
-≤⎪⎪
=⎨
∆⎪->
⎪⎩
(02
ωω∆>
），求该放大器输出信号的总平均功率。 3。19如图所示的RL 电路，输入X （t)是物理功率谱密度为N 0的随机过程，试用频域法求Y （t ）的自相关函数R Y (
）.
3.20如图所示系统,输入随机过程的功率谱密度函数为常数，0
()2
X N G ω=，试用频谱法求输出随机过程Z （t ）的均方值。
3。21零均值平稳随机过程X （t)加到一个线性滤波器,滤波器的冲激响应是指数函数的一段,即
0()0
t
e t T h t otherwise
α-⎧≤≤=⎨
⎩
试用G X （
）来表示输出随机过程Y(t)的功率谱密度.
3。22设积分电路输入输出之间满足如下关系()()t
t T Y t X d ττ-=⎰，其中T 为常数，且X （t ）、Y(t ）均为平稳随机过程，求二者功率谱密度之间的关系。
3.23线性时不变系统的输入X(t ）、输出Y （t ）为平稳随机过程，系统传递函数为H （j ），
求证:()()()YX X G H j G ωωω=、*()()()Y YX G H j G ωωω=
3。24对于图示单输入、多输出线性时不变系统,求证:输出Y 1（t)、Y 2(t)的互功率谱密度为
12
*
12()()()()YY X G H j H j G ωωωω=。
3.25设具有功率谱密度函数22
()(3)/(8)X G ωωω=++的某平稳随机过程通过某线性系统
后，输出随机过程的功率谱密度函数为()1Y G ω=,求该系统的传递函数。 3.26已知平稳随机过程的相关函数为：(1) 2()(1||) (||1/)X R τσαττα=-≤; （2) 2||()X R e αττσ-=;0α>.分别求其等效通能带。(注:此题应放在第4章)
3。27给定实数x ，定义理想门限系统的输入输出关系为1()()0()X t x
Y t X t x ≤⎧=⎨>⎩,证明：（1）
[()]()X E Y t F x =；(2） ()(,,)Y X R F x x ττ=.
第四章:白色噪声与正态随机过程
4.1 X 1、X 2、X 3、X 4是四元联合高斯分布随机变量，且1234[][][][]0E X E X E X E X ====，求证：
1234123413241423[][][][][][][]E X X X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X =++.
4.2 X 、Y 是零均值高斯随机变量，方差分别为2X σ、2Y σ，若X 、Y 服从联合高斯分布,且相关
系数为r ，求Z=X/Y 的概率密度分布函数。 4.3 （接上题)证明以下关系成立:
1arcsin()
{0,0}{0,0}42r P X Y P X Y π>>=<<=
+ 1arcsin()
{0,0}{0,0}42r P X Y P X Y π
><=<>=-
1arcsin()
{0}2r P XY π>=+
1arcsin()
{0}2r P XY π<=-
4.4设线性系统的冲激响应为h （t ），输入为平稳高斯过程X(t)，系统的输出过程为Y(t ），证
明X （t ）与Y （t)为联合正态分布随机过程。
4.5设n 维高斯分布随机矢量12[,,...,]T n X X X X =的各个分量的均值为零，协方差矩阵为
111...
11122...2223...33322211n n n n n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥
--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（其他未注明的元素根据对称性确定） 求X 的一维与二维概率密度分布函数。
4.6功率谱密度函数为N 0/2的高斯白色噪声通过一个滤波器，其传输函数为
1
1()1/H j j ωωω=
+
求输出随机过程Y （t)在任意时刻的概率密度分布函数。
4.7白噪声的均值为0,功率谱密度为非零的常数N 0，求其相关函数。
4.8理想白噪声通过截止频率为f c 的理想低通滤波器(幅频特性为常数1），求输出过程的自相关函数。
4。9设X 、Y 是相互统计独立的高斯随机变量，且它们具有相同的该密度N(m,2
)；求随机变
量U=aX+bY 和V=aX —bY 的互相关系数以及U 、V 的二维联合概率密度.
4。10并联谐振电路如图所示,i N 代表噪声电流，它是白噪声，其功率谱密度为N 0，且为零均值，若t=0时电路开始工作，初始条件为i L (0-)=0,v(0—）=0；研究t 时刻电流i L 和i R 的统计特性。
4。11设X 、Y 为联合高斯分布的随机变量,均值分别为m X 、m Y ，根方差分别为X
、
Y
，互相关
系数为r ，已现知X=x ，求Y 的合理估计值。
4.12一个高斯随机过程的均值函数为()2X m t =、协方差函数为1212(,)8cos[()]X K t t t t π=-，写出t 1=0,t 2=1/2时刻的二维概率密度.
4.13一个平稳高斯随机过程的均值函数为()0X m t =、自相关函数为sin()
()X R πττπτ
=,写出
t 1=0,t 2=1/2、t 3=1时刻的三维概率密度。 4.14设随机过程0()cos()()Z t A t n t ω=+，其中A 、0
为常量，n （t)为零均值平稳高斯过程，相
关函数为R N （
）,写出Z(t)的一维、二维概率密度分布函数。
4.15考虑两个随机变量的去相关处理。设Y 1、Y 2为相关的零均值随机变量,方差分别为2212,σσ，互相关系数为ρ，考察下列变换
1122cos()sin()sin()cos()X Y X Y θθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
求使得变换后的变量不相关的条件.
4.16图示RC 低通滤波器的输入为白色噪声,物理功率谱密度为F X （
）=N 0（0
〈
),求输
出随机过程的物理功率谱密度及相关函数,并证明对于任意的t 3〉t 2>t 1,有
322131()()
()(0)
Y Y Y Y R t t R t t R t t R ---=
4。17 (与第3章第26题重复）。
4。18设有二维随机矢量[X 1,X 2]，其概率密度为
2211112222122222112212
()2()()()1
(,)[]}2(1)21X x m r x m x m x m f x x r r σσσσπσσ----=--+-- 在椭圆
2
2
21111222222
1122
()2()()() ()x m r x m x m x m λλσσσσ-----+=为常量 2
2
2
12
}2(1)
21r r λπσσ-
--，
称该椭圆为等概率椭圆,求随机矢量落在等概率椭圆内的概率。
4.19设n 维随机矢量X=［X 1，X 2，…,X n ]服从联合高斯分布，各个分量相互独立，且均值为0，
随机矢量的协方差矩阵为
222222200...00...0...0a a a σσσσσσσ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
求其N 维特征函数
4.20 （接上题）若各个分量的之间的协方差为
,||m i K n m i =--
设另一随机变量Y 为1
n
i i Y X ==∑，求Y 的特征函数
4.21设3维高斯随机矢量X=[X 1，X 2,X 3］各个分量的均值为0，其协方差矩阵的元素值为k ij (i ，j=1,2，3）,且k 11=k 22=k 33=
2
；求(1） 123[]E X X X ，（2） 222123[]E X X X ，(3)
222222123[()()()]E X X X σσσ---
4.22设3维高斯随机矢量X=[X 1,X 2，X 3］的概率密度为
22212311221331
(,,)exp{[22]}2
X f x x x C x x x x x x x =--+-+
(1) 证明经过线性变换
12311/41/2012/7001X Y AX X X --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
得到的随机矢量Y=［Y 1,Y 2，Y 3]，则Y 1,Y 2，Y 3是相互统计独立的随机变量；(2）求C 的值。 4。23设X 1、X 2是相互独立的零均值、单位方差高斯随机变量，定义二维随机矢量Y
12
112121[,||]0
[,][,||]0
X X X Y Y Y X X X ≤⎧==⎨->⎩ 证明：（1）Y 1、Y 2都是高斯分布的，（2）Y 不是联合高斯分布的。 4。24设某一线性系统的单位冲激响应为
0()0
at
e t h t t -⎧≥=⎨
<⎩ （a>0）
输入N (t)为零均值白色噪声，功率谱密度为N 0/2，输出为X （t)；()()()Y t X t X t T =--，假设输入从—
开始，求Y （t ）的一维概率密度函数.
4.25设随机变量X 、Y 是联合高斯随机变量，且具有边缘概率密度()X f x 、()Y f y ，[][]0E X E Y ==，
222[][]E X E Y σ==,[]E XY μ=；证明：
4
2
1[()()]24X Y E f X f Y πσμ
=
-
4.26设零均值高斯随机过程X(t)的相关函数为2||()a X R e ττσ-=，对其进行量化处理,得到时间连续但取值离散的随机过程Y （t ），即
() () (i=0,1,2,...)2
2
Y t iS if i X t i σ
σ
σσ=-
≤<+
±±
(1)求Y(t)的均值函数；（2)求Y(t)的一维概率密度函数。
4.27设线性系统的输入过程X(t)为零均值高斯随机过程,相关函数为2||()a X R e ττσ-=（a 〉0),系统的冲激响应为
0()0
bt
e t h t t -⎧≥=⎨
<⎩ (b>0,b a)
X （t)是在t=-接入系统的，（1)求在t=0时输出Y （0）大于y 的概率；（2)如果在t=—T 时,X(—
T ）=0，求条件概率{(0)|()0}P Y y X T >-=(T 〉0）；（3） 如果在t=T 时,观察到X （T ）=0，求条件概率{(0)|()0}P Y y X T >=（T 〉0)。
4。28 设有平稳高斯随机过程X （t)，其均值为0，功率谱密度函数为
00/2||/2
()0
X S G otherwise ωωωωωω-∆<<+∆⎧=⎨⎩ 求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3）该过程在单位时间内正穿越X=a （从水平线X=a 的下方向上穿过)的次数。 4.29设有平稳实高斯过程X(t)，均值为0,相关函数为R X （
)，该过程依均方意义可导,其导
数过程为'()X t ，求在t 1，t 2两个时刻1()X t ,1'()X t ,2()X t ,2'()X t 的四维概率密度。 4。30设X(n ）为均值为0、方差为
2
的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n ）的线性
时不变离散时间线性系统，Y(n ）为其输出,试证：
2[()()](0)E X n Y n h σ=，22
20
()Y n h n σσ
∞
==∑ 4.31均值为0、方差为
2
的离散白噪声X （n ）通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n
u(n)以及
h 2(n)=b n
u （n)的级联系统(|a|〈1，｜b ｜〈1)，输出为W （n)，求W
2。
4.32设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度. 4。33序列X （n)和Y(n)满足差分方程
()()()Y n X n a X n a =+--
其中a 为整常数,试用X （n ）的相关函数表示Y(n ）的相关函数. 4.34实值一阶自回归过程X(n ）满足差分方程
1()(1)()X n a X n V n +-=
其中a 1为常数，V （n)为方差为
2
的白噪声，输入从n=0开始,(1)0X -=.
（1）证明：若V(n)均值非零，则X （n)非平稳;(2）证明:若V(n ）均值为零、｜a 1|〈1，则当n 足够大时，2221[()]/(1)V E X n a σ=-；（3）若V （n ）均值为零，|a 1|<1，求X(n ）的自相关函数的平稳解。
4。35考察如下的二阶自回归过程X(n)
12()(1)(2)()X n a X n a X n V n =----+
(1)若已知随机过程的相关函数值(0)X R 、(1)X R 、(2)X R ，试写出用于计算系数a 1,a 2以及零均值白色噪声()V n 的方差2V σ的Yule-Walker 方程;（2)反过来，若已知a 1= —1，a 2=0.5, 20.5V σ=,求(0)X R 、(1)X R 、(2)X R 的值；（3)求相关函数的通解。 4.36察如下的二阶自回归过程X （n ）
12()(1)(2)()X n b X n b X n V n =---+
零均值白色噪声()V n 的方差为2V σ,22112|42b b b -<；求：(1)X （n)的功率谱密度；（2）根据Wold 分解求X(n)的自相关函数;（3）求Yule-Walker 方程
4.37考察如下的二阶MA 模型，输入X （n)的功率谱密度为2X σ，求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
12()()(1)(2)Y n X n a X n a X n =+-+-
4。38考察如下的ARMA 模型
()0.9(1)()0.2(1)X n X n V n V n --=--
其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X （n ）的自相关函数。
第五章：窄带随机过程
5.1证明：偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数.
5.2设一个线性系统的输入为()X t 时，相应的输出为()Y t ，证明:若该系统的输入为()X t 的希尔
伯特ˆ()X
t ，则其输出为()Y t 的希尔伯特ˆ()Y t 。 5.3设功率谱密度0/2N 为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为f ，带宽为2B （B f <）,滤波器输出为()n t ，求()n t 的自相关函数以及其同相分量与正交分量的自相关函数。
5.4设()()sin[()]a t A t t ϕ=与()()cos[()]b t A t t ϕ=为低频信号，即当||/2ωω>∆时，其频谱值为0，00/2ωω>∆，证明
0000{()cos[()]}()sin[()]{()sin[()]}()cos[()]
H A t t t A t t t H A t t t A t t t ωϕωϕωϕωϕ+=++=-+
5.5证明广义平稳随机过程()X t 与其希尔伯特ˆ()X
t 的相关函数存在如下关系 ˆˆ()()X XX R R ττ=，ˆˆ()()X XX R R ττ=- ˆ()()X X R R ττ=，ˆ()XX R τ为奇函数
5。6设()X t 的解释信号（复信号表示）为ˆ()()()Z t X t jX
t =+，证明: *ˆ[()()]2[()()],[()()]0X X
E Z t Z t R jR E Z t Z t ττττ-=+-= 并用()X t 的功率谱密度函数()X G ω来表示()Z t 的功率谱密度函数.
5。7在复随机过程()()()Z t X t jY t =+中，如果其均值[()][()][()]Z E Z t E X t jE Y t m =+=为复常数，且
其自相关函数*[()()]()Z E Z t Z t R ττ-=为仅与τ有关的复函数，则称()Z t 为复平稳随机过程，设
,1,2,...,k A k n =是n 个实随机变量，,1,2,...,k k n ω=是n 个实数。试问：k A 以及k A 之间应满足什么
条件，才能使1
()k
n
j t k k Z t A e ω==∑是一个复平稳随机过程。
5。8考虑窄带高斯过程()()cos()()sin()c c n t X t t Y t t ωω=-，假定其物理功率谱密度对称于载频c ω，求概率密度(,,,)t t t t f x x y y ττ--.
5。9设复随机过程为1()[cos()sin()]n
i i i i i Z t t j t αωβω==+∑，其中i α、i β为相互独立的零均值实随机变
量，222[][]i i i E E αβσ==,对于任意的i k ≠，i α、k α以及i β、k β相互正交,求该复随机过程的自相关函数.
5。10设窄带信号()X t 的物理带宽为Ω（/2/2c c ωωω-Ω≤≤+Ω)，证明其复包络模平方的物理带宽为Ω(0ω≤≤Ω）.
5。11设窄带平稳随机过程()()cos()()sin()c c n t X t t Y t t ωω=-，证明：
ˆ()()cos()()sin()Y n c n c
R R R ττωττωτ=+ 5。12对于调频信号()cos[()]c X t t m t ω=+，设|()/|c dm t dt ω<<,即为窄带信号，求该信号的复包络与包络的表示式。
5.13设窄带平稳随机过程()()cos()()sin()c c n t X t t Y t t ωω=-，证明其自相关函数为
()()cos()()sin()n X c XY c R R R ττωττωτ=+
5。14设窄带平稳随机过程()()cos()()sin()c c n t X t t Y t t ωω=-，若满足：
()0 (||2)n c G ωωω=>
证明()X t 的功率谱密度为
()()() (||)X n c n c c G G G ωωωωωωω=-++<
5.15将相关函数为2||0()cos()a X X R e ττσωτ-=的窄带平稳随机过程()X t 表示为
00**
()()cos()()sin()C S X t A t t A t t ωω=-
试在（1) 0
*0ωω=，（2) 0
*0ωω≠的条件下，分别求出相关函数()C R τ、()S R τ以及()CS R τ。
5.16考虑随机相位正弦波与窄带平稳实高斯随机过程()X t 之和
0()sin()()Y t A t X t ωθ=++
其中A 、0ω为常数，0ω为窄带实平稳随机过程()Y t 的功率谱密度的中心频率，θ为(0,2)π上均匀分布的随机变量，[()]0E X t =、2[()]D X t σ=，并假设()X t 、θ相互独立;
（1)对每一个固定的θ值，求()Y t 的均值和相关函数，判断()Y t 是否为高斯过程以及平稳过程；(2）当θ为(0,2)π上均匀分布的随机变量时，求()Y t 的均值和相关函数，判断()Y t 是否为高斯过程以及平稳过程。
5.17考虑图示RLC 带通滤波器，设其品质因素1Q >>,输入是功率谱密度为0/2N 的零均值高斯白噪声()w t ，求滤波器输出端的窄带过程()n t 及其同相分量、正交分量的功率谱密度()n G ω、
()nC G ω、()nS G ω，并以图示之。
5.18设()A t 为窄带平稳高斯平稳随机过程的包络，试证：
[()]2
X E A t π
σ=
、2[()](2)2
X
D A t π
σ=-
其中2X
σ为该窄带随机过程的方差。
5。19设窄带信号0()cos()()Z t A t n t ωθ=++，其中()n t 为高斯过程，θ为［0,2π］上均匀分布随机变量，且
00()()cos()()sin()n t X t t Y t t ωω=-
证明()Z t 的包络平方的相关函数为
4222222()444[()()()]Z X X XY R A A A R R R τσστττ=+++++
5。20χ变量为卡方分布变量的2χ的平方根，证明n 个自由度的χ变量的概率密度为
《概率论与随机过程》第1章习题答案
《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： { } ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放 在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的 长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ；
《概率论与随机过程》第6章习题解答
第6章习题答案 6.1 设)(t x 为实函数，试证 （1）)(t x 为t 的奇函数时，它的希尔伯特变换为t 的偶函数； （2）)(t x 为t 的偶函数时，它的希尔伯特变换为t 的奇函数。 证明（1）：)(t x =)(t x -- t t x t x π1 )()(?*= )(?1 )(1)()(1)()(1)()(?t x t t x t t x t t x t t x t x =*=*=-*-=-*-=-∴ππππ （2）)(t x =)(t x - )(?1 )()(1)()(1)()(?t x t t x t t x t t x t x -=*-=-*=-*-=-∴πππ 6.3 设)(t a ∞<<∞-t 是具有频谱)(ωA 的已知实函数，假定ωω?>||时，)(ωA =0，且满足 ωω?≥0，求 （1）t t a 0cos )(ω和 )ex p()(21 0t j t a ω的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系； （2）t t a 0sin )(ω 和 )ex p()(2 0t j t a j ω-的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系； （3）t t a 0cos )(ω 和 t t a 0sin )(ω的傅立叶变换关系。 解：（1）t t a t x 0cos )()(ω= 且 )exp()(2 1 )(0t j t a t y ω= )]()([21 )(00ωωωωω-++=∴A A X )(2 1 )(0ωωω-=A Y （2）t t a t x 0sin )()(ω= 且)ex p()(2 )(0t j t a j t y ω-= )]()([2)(00ωωωωω--+=∴A A j X )(2 )(0ωωω--=A j Y 6.4 对于窄带平稳随机过程t t Y t t X t Z 00sin )(cos )()(ωω-=。若已知 τωττ0cos )()(a R Z =，求证：)()(ττa R X =。 解法一、 证： ? ??+=-=t t Y t t X t Z t t Y t t X t Z 0000cos )(sin )()(?sin )(cos )()(ωωωω，故有 ???-=+=t t Z t t Z t Y t t Z t t Z t X 000 0sin )(cos )(? )(sin )(?cos )()(ωωωω
《随机过程答案》第二章习题答案
第二章 Markov 过程习题 完整答案，请搜淘宝 1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为： 01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ 定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=========----; 1,1, 3;0,1,2; 1,0,1; 0,0, 01111n n n n n n n n n X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ 试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。不是的话，请说明理由。 2、 天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有 雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。试求此马氏链的转移概率矩阵。 3、 设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为}2,1,0{=S ，它的初始状态的概率分布 为：4/1}0{0==X P ，2/1}1{0==X P ，4/1}2{0==X P ，它的一步转移转移概率矩阵为： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=434 1031313104341 P （1） 计算概率：}1,1,0{210===X X X P ； （2） 计算) 3(12) 2(01,p p 。 4、 独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以n ξ表示前n 次抛掷出的最大点数，试证明 }1;{≥n n ξ是一马氏链，并求其n 步转移概率矩阵。 5、 设有一个三个状态}2,1,0{=S 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：
《概率论与随机过程》第2章习题答案
《概率论与随机过程》第二章习题答案 2.4 利用投掷一枚硬币的试验定义随机过程为 ()()⎩ ⎨ ⎧==-=⎩⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎩⎨ ⎧=50250115015 00212t cos t .p ,.p ,.p ,.p t X X πX ，＝出现负面出现正面 假设出现“正面”和“反面”的概率各为21 ，试确定()t X 的一维分布函数 ()121;x F ;x F X X ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛以及二维分布⎪⎭⎫ ⎝⎛ 12121,;x ,x F X 解： ()()1505021-+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛x .x .,x f δδ }{}{()() 121211500502 125025021-+=≥+≥=⎩⎨⎧⎭⎬⎫ ≤+⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛x u x u x p .x p .x *p .x cos p .,x F x π()()()22 1 1211-++=x x ,x f x δδ ()}{}{}{}{()() 22 1 121250150250501-++=≥+-≥=≤+≤=x u x u x p .x p .x p .x cos p .,x F x π()()()()2150150121212121--++=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ x x .x x .,;x ,x f x δδδδ }{} {()()()()212 1 121215010501212121212121--++=≥≥+-≥≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛ x u x u x u x u x ,x p .x ,x p .,;x ,x F x 2.6随机过程()t X 由下图三个样本函数组成，并以等概率出现。试求 ()[]()[]()()[]()()()6262626221，；，；；x x F ,x F ,x F ,,,X X X X X E X E X E 。 t 解: X1 x2 x3 T1=2 3 4 6 T1=6 5 7 2
随机过程习题集
随机过程习题集 1. 引言 随机过程是概率论的一个重要分支，它研究的是随机变量在某个索引集上的一族随机变量的统计特性。在应用中，随机过程广泛应用于信号处理、金融工程、生物医学等领域。本文档将介绍一些关于随机过程的典型习题，并给出解答。 2. 基础概念 在开始解题之前，我们先回顾一下随机过程的基础概念。 2.1 随机过程定义 随机过程是定义在一个概率空间上的函数族。对于一个离散时间随机过程来说，它可以看作是一系列的随机变量序列；而对于一个连续时间随机过程来说，它是一个以时间为参数的随机变量。 2.2 随机过程的分类 随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种类型。离散时间随机过程的时间参数是一个离散集合，如
自然数集合；而连续时间随机过程的时间参数是一个连续集合，如实数集合。 3. 习题解答 接下来，我们将给出一些关于随机过程的习题，并提供解答。 3.1 离散时间随机过程 习题1 考虑一个离散时间随机过程$\\{X_n\\}$，其状态空间为有 限集合$S=\\{1,2,3\\}$。已知过程的转移概率矩阵为： 0.5 0.4 0.1 0.2 0.6 0.2 0 0.3 0.7 求状态转移概率矩阵的1步转移概率。 解答 根据给定的转移概率矩阵，我们可以计算1步转移概率矩阵：
0.5 0.4 0.1 0.2 0.6 0.2 0 0.3 0.7 3.2 连续时间随机过程 习题2 考虑一个连续时间随机过程X(X)，其概率密度函数为： $$ f(x,t) = \\begin{cases} e^{-x}, & x > 0, t > 0 \\\\ 0, & 其他 \\end{cases} $$ 求随机过程在X=1时的概率密度函数。 解答 根据给定的概率密度函数，我们可以计算在X=1时的概率密度函数： $$ f(x,1) = \\begin{cases} e^{-x}, & x > 0 \\\\ 0, & 其他\\end{cases} $$
随机过程习题集
随机过程习题集 1. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，且满足转移概率 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = P{X(s) = j | X(0) = i}。证明该随机过程是齐次马尔可夫过程。 2. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个连续时间马尔可夫链，其状态空间为非负整数集合。设转移速率为λi>0，即 P{X(t+s) = i+1 | X(t) = i} = λi·s + o(s)，其中 o(s) 表示当 s 趋于 0 时，o(s)/s 无界。证明该随机过程是无记忆的。 3. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为有限集合 S = {1, 2, ..., n}，转移概率矩阵为 P = [pij]，即 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = pij。证明当 t 趋于无穷大时，P(t) = [Pij(t)] 是一个稳态过程，即其转移概率与时间 t 无关。
4. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为非负整数集合。记τ0 = 0 且τ1 = inf{t > 0: X(t) = 0}。证明条件P{τ1 < ∞ | X(0) = i} = 1 当且仅当 i > 0。 5. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个服从泊松过程的随机过程，其到达速率为λ。证明对于任意t ≥ 0，有P{X(t) ≥ 2} = 1 - e^(-λt) - λt e^(-λt)。 这是一些关于随机过程的习题，希望能对你有帮助！如果 你还有其他问题，可以继续提问。
《应用随机过程》A卷及其参考答案
《应用随机过程》A卷及其参考答案 《应用随机过程》A卷 一、课程简介 《应用随机过程》是一门应用数学学科，旨在研究随机现象的变化规律。通过对这门课程的学习，我们可以掌握随机过程的基本理论和方法，并能够运用这些理论解决实际问题。本课程共分为两个部分：A 卷和B卷。 二、考试内容 1、随机过程的定义、性质和分类 2、随机过程的概率分布和数字特征 3、常见的随机过程，如泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等 4、随机过程的极限理论，如强大数定律、中心极限定理等 5、随机过程在各个领域的应用，如金融、生物、物理等 三、考试形式 1、试题类型：选择题、填空题、简答题、应用题 2、分值分配：选择题30分，填空题20分，简答题30分，应用题
20分 四、考试策略 1、理解基本概念：随机过程的概念、性质和分类是考试的重点，需要充分理解并熟练掌握。 2、掌握基本理论：考试中涉及的基本理论较多，需要平时多加学习和巩固。 3、应用实践：掌握基本理论后，需要能够将其应用于实际问题中，因此要多做练习和实际操作。 五、参考答案 选择题部分： 1、（1）B （2）C （3）A （4）D （5）C 2、（1）C （2）B （3）D （4）A （5）C 3、（1）D （2）A （3）B （4）C （5）D 填空题部分： 1、（1）正态分布（2）独立性（3）离散型随机变量 2、（1）均匀分布（2）连续型随机变量（3）二项分布
3、（1）泊松分布（2）几何分布（3）超几何分布 4、（1）马尔可夫过程（2）齐次性（3）有限性 5、（1）中心极限定理（2）强大数定律（3）大数定律 简答题部分： 1、简述随机过程的基本概念及分类。答：随机过程是指在一定条件下，随时间变化的随机现象的变化规律。它可以根据不同的分类标准分为连续型和离散型、定值型和随机场、马尔可夫性和非马尔可夫性等。 2、请列举几个常见的随机过程，并简述其应用场景。答：常见的随机过程有泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等。泊松过程在物理学、生物学、计算机科学等领域有广泛应用；马尔可夫过程在语音识别、天气预报等领域有应用；随机漫步在金融领域有应用。 3、什么是强大数定律？其在统计学中有何应用？答：强大数定律是指在独立同分布的大量观察中，其算术平均值几乎一定等于期望值。它是大数定律的一种形式，在统计学中有重要应用，如用于样本均值的估计和假设检验等。 4、请简述中心极限定理及其应用。答：中心极限定理是指在独立同分布的大量观察中，其标准化后的随机变量的分布逐渐趋近于正态分布。它是概率论中最重要的事实之一，广泛应用于统计学、金融学等
《随机过程及应用》教案-随机过程习题课四.doc
1.设{XG)/ = 0,l,2,・・・}为马氏链，证明 P{X(l) = x, | X(2) = x2,X(3) = x3,---,X(n) = x rt} =P{X(1)= X,|X(2)= X2} 即马氏链的逆序也构成一个马氏链. 2.如果马氏链的转移概率矩阵为 fO 1) P = U o丿 证明：此马氏链不是遍历的马氏链，但具有平稳分布. 3.—个开关冇两种状态：开或关，设它现在开着时，经过单位时间何后，它仍然开着的概 率为丄，关上的概率为丄；当它现在关着吋，经过单位吋间⑶后它仍然关着的概率 2 2 31 为2,它打开的概率为丄.假设开关的状态转移只在0丄23…⑶时进行.设心0时， 4 4 开关开着.求f = 3时，开关关着和开关开着的概率. 4.甲乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为“乙胜的概率为q,和局的概率为厂，p + q + 归，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记分，和局记“0”分.当两人中有一个获得2分时，结束比赛.以X(n)表示比赛至第z?局时，叩获得的分数. {X(n),n = 0,1,2,・・・}是一个齐次马氏链. (1)写出此马氏链的状态空间； (2)写出状态转移矩阵; (3)计算2步转移矩阵； (4)问在甲获得1分的情况卜-，再赛2局就结束比赛的概率为多少？ 5.A、B、C三家公司决定在某一时间推销一新产品.当时它们各拥有丄的市场，然而一年 3 后，情况发生了如下的变化： (1)A保住40%的顾客，而失去30%给B,失去30%给C； (2)B保住30%的顾客，而失去60%给A,失去10%给C； (3)C保住30%的顾客,而失去60%给A,失去10%给B. 如果这种趋势继续下去，试问第2年底各公司拥冇多少份额的市场？(从t远来看，情况又如何？) 6.一质点沿圆周游动，圆周上按顺时针等距排列五个点0, 1, 2, 3, 4,把圆周分成五格。质 点每次游动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针移动一格的概率为”，逆时针移动一格的概率为1叨，设X(n)表示经n次移动后质点所处的位置，贝iJ{XS),n = (),l,2,・・・}是一齐次马尔可夫链。试求： (1)状态空间； (2)一步转移概率矩阵； (3)极限分布。 7.赌徒甲冇G元，赌徒乙冇〃元，两人进行赌博.毎赌一局输者给胜者1元，没冇和局，直
《随机过程》第一章习题
第一章 随机过程及其分类 1、 设随机向量),(Y X 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布)1,0(N 。 （a ） 分别写出随机变量Y X +和Y X -的分布密度 （b ） 试问：Y X +与Y X -是否独立？说明理由。 2、 设1X 、2X 、3X 为独立同分布的随机变量，且服从标准正态分布。令： 2 33 211X X X X Y ++= （a ） 试求随机变量Y 的分布密度函数； （b ） 试问有限个独立正态分布随机变量经过非线性变换是否可以服从正态分布？ 3、 设),0(~2σN X ，对于0>∀b ，试证明正态分布尾概率估计不等式： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅≤≥≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-222232ex p 21}{2ex p 21σσ πσσσπb b b X P b b b 4、 设随机向量()()∑=,~,21μτN X X X ，其中：()()ττμμμ2,1,21==， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑15/45/41，令随机向量()X Y Y Y ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛==3223,21τ。 （a ） 试求随机向量Y 的协方差矩阵、{}12Y Y E 及{ }21Y Y E +； （b ） 试问{} 122X X E X -与1X 是否独立？证明你的结论。 5、 设}0),({≥t t X 是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，试求方差函数)]()([T t X t X D +-。 6、 考察两个谐波随机信号)(t X 和)(t Y ，其中： )cos()(),cos()(t B t Y t A t X c c ωφω=+= 式中A 和c ω为正的常数；φ是[]ππ,-内均匀分布的随机变量，B 是标准正态分布的随机变量。 （a ） 求)(t X 的均值、方差和相关函数； （b ） 若φ与B 独立，求)(t X 与)(t Y 的互相关函数。 7、 设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。 8、 设},2,1,{ =n n ξ是一列独立同分布随机变量序列，且p P n -=-=1}1{ξ，
随机过程大作业s
信息与通信工程学院 （小论文） 专业：信息与通信工程 2017年10月 看病排队分析 摘要:排队问题是生活中比较常见而且比较难解决的问题，因此研究如何解决排队问题对于生活有很大帮助。本文通过研究看病排队这一具体问题分析，来分析排队这一类的问题。看病排队问题的实质是解决需求和供给之间的关系，如何合理分配医疗资源是解决这个问题的关键。通过对实际看病过程中的排队数据进行分析来搭建相应的数学模型，利用数学模型来分析这一类问题是研究排队问题的一种常见思路。排队问题的模型有很多，这里采用泊松过程来进行分析。对数据进行处理来验证使用泊松过程解决看病排队问题的合理性。主要实用MATLAB这款数据处理软件进行数据分析，通过图形直观的显示验证结果。 关键词：泊松过程MATLAB 一、研究背景 排队等待是我们每个人都要经历的，比如等待交款、等候就餐、等电梯、等公交等。患者不同于健康人，患者的病情是拖不起的，同时排队等待对患者的身心不利，也会产生人群聚集而不利于系统的预防工作，“非典”疫情是使老百姓也充分意识到系统排队等待的一些弊端。随着人们防病意识的增加、生活节奏的加快和对医疗服务水平要求之高，排队等待的组织管理问题尤显重要。系统如果使患者等待，将会导致患者不满意或可能失去患者，甚至发生交叉感染。因此，患者排队等待问题是应该引起系统管理者高度重视的问题。
看病排队等待问题在生活中是不可避免的。等待绝对不发生的唯一条件是，规定患者在固定的时间间隔到达，而且服务时间是一定的。由于医疗服务能力与需求不可能完全匹配，比如多数系统受成本、设施、人员等客观条件的限制，不能轻易增加设备和人员，以适应和配合患者的需求变化，或者医疗需求较难预测而医疗服务能力缺乏相应的弹性。由于患者到达系统的时间是随机的，接受服务所需要的时间也是随机的，即使预约患者按照约定时间到达系统，但由于医生对疾病诊治时间的不确定性，后面的患者也不得不等待。所以排队是医疗服务过程中不可避免的就诊过程，特别是在大系统接受就诊，排队等待时间（特别是排队挂号、候诊、交款、等待检查）占就诊时间的很大部分。 在不可避免排队等待的情况下，怎样充分利用医疗资源对于解决排队等候排队有很大帮助。因此研究分析患者看病排队等候问题有利于分析患者看病需求和系统医疗资源的切合点，达到患者和系统都满意。排队论就是解决排队等待问题的一门学科，又称为等待线问题、随机服务系统理论等，是运筹学的一个分支。排队论的基本思量是由丹麦数学家、电气工程师爱而郎1909年将概率论应用于自动电话设计问题中，从而开创了排队论这一应用数学学科，并且为排队论建立了许多基本的原则。排队论通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或某些指标最优。本文由于受时间和水平的限制，不能对排队等待问题做深入的研究，仅根据所学随机过程这门课，对于排队这个问题用泊松过程来研究的理论验证。 二、基本原理 1、对研究排队系统来说，最关心排队系统的一些数量指标，主要包括： （1）单位时间到达系统的患者数的期望值，即单位时间内的患者到达率，记作 ，而
湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集 主讲教师：何松华 教授 第一章:概述及概率论复习 1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其 中有次品的概率。 1。2 设一批零件共100个，次品率为10％，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回， 求第3次才取得合格品的概率. 1。3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得 红球的概率（甲取出的球不放回）。 1.4 设一批产品有N 个,其中有M 个次品,每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续 n 次取得合格品的概率。 1。5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且 0()00 x A Be x F x x λ-⎧+≥=⎨ <⎩ 其中0为常数，求常数A 、B 的值。 1。6设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞ (1) 求系数A 、B;(2）求随机变量落在(—1，1）内的概率；(3）求其概率密度函数. 1.7已知二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度分布函数为 6(2)0,1 (,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨ ⎩ （1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ;（2）问X 、Y 是否相互独立？ 1。8已知随机变量X 的概率密度分布函数为 2 2 ()()]22X X X X x m f x σπσ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。求Y 的概率密度分布函数。
1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为 101 ()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨ ⎩，0()0 y Y e y f y elsewhere -⎧<=⎨⎩ 求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数. 1.10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln （X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为 Y 的正态分布，求X 的概率密度分布。 1。11随机变量X 服从标准正态分布2 1()exp{}22X x f x π =-，求随机变量n Y X =(n 为正整数）的 数学期望及方差。 1.12随机变量X 服从均值为m X 、标准差为 X 的正态分布，X 通过双向平方率检波器，Y=cX 2 （c>0)， 求Y 的概率密度分布。 1.13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为 (,)sin() (0,0)2 2 XY f x y A x y x y π π =+≤≤ ≤≤ （1） 求系数A ，（2)求数学期望E[X ］、E[Y ］，方差D[X ］、D ［Y]；（3）求X 、Y 的相关函数及 相关系数。 1。14设X 为拉谱拉斯随机变量，||() (-) (0)2 x X f x e x αα α-= ∞<<∞>；求：（1)X 的特征函数，(2） 利用特征函数求X 的均值与方差，（3）讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。 第二章：随机过程的基本概念 2。1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 、B ，从t=1s 开始，每隔1s 有一名乘客到达车站.如 果每名乘客以概率1/2登上A 车，以概率1/2登上B 车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用X j 表示第j 秒到达的乘客的登车状态，即登上A 车则X j =1，登上B 车则X j =0；设t=n 时A 车上的乘客数为Y n .(1）求离散时间随机过程Y n 的一维概率分布率;（2)当公共汽车A 上的乘客达到10个时，A 即开车，求A 车出发时刻n 的概率分布。 2.2一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦波可以
《随机过程》第二章题目与答案
第二章 一、填空题 1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四类. 2、＿＿是随机过程{X(t)，t∈T}在时刻t的平均值，＿＿是随机过程在时刻t对均值m x(t)的偏离程度，而＿＿和＿＿则反映随机过程{X(t)，t∈T}在时刻s和t 时的线性相关度. 3、若随机变量x服从（01）分布，即p k=p{x=k}=,k=0,1则其特征函数g(t)=＿＿. 4、若随机变量X服从参数为的指数分布，则其特征函数g(t)=＿＿. 5、若随机变量X服从退化分布，即p(X=c)=1，其中c为常数，则其特征函数g(t)=＿＿. 二、计算题 1、已知Γ分布，X～Γ(α，β)， 若 其中α，β>0，试求Γ分布的特征函数. 2、设随机变量X服从泊松分布,即p k=p(X=k)=,k=0,1,…,n,求其特征函数. 3、设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互独立的N（0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一，二维概率密度族.
4、设随机过程：0),sin()cos( )(>+=t t Z t Y t X θθ，其中Y 、Z 是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0，DY=DZ=δ2，求{X(t)，t>0}的均值函数、协方差函数和方差函数. 5、设随机变量Y 具有概率密度f(y)，令 )0,0(,)(>>=-Y t t X e Yt ， 求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t)，R x (t 1,t 2). 6、设随机过程Z t =，t 0，其中X 1,X 2,…,X n 是相互独立的，且服从 N(0, )的随机变量，ω1, ω2,…, ωn 是常数，求{Z t ，t }的均值函数m(t)和相关函 数R(s,t).
专升本《随机过程》_试卷_答案
专升本《随机过程》 一、（共52题，共151分) 1。描述随机过程的数字特征包括自相关函数。方差函数.均值函数以及(）（2分) A.协方差函数 B。样本函数； C.特征函数 标准答案：A 2. 对于维纳过程以下说法正确的是（) （2分） A.是平稳过程 B。是正交增量过程; C。是马尔科夫过程 。标准答案:B 3。对于非齐次泊松过程，以下说法正确的是（） (2分） A.单位时间内事件发生的平均次数是随时间变化的函数； B。单位时间内事件发生的时刻是随时间变化的函数; C。单位时间内事件发生的平均时间间隔是随时间变化的函数; 。标准答案：A 4. 高斯过程如果是宽平稳的,那么它必是(）（2分） A.独立增量过程; B。遍历； C。各态历经； D。严平稳 标准答案：D 5. 随机过程是正交增量过程的充要条件是(） (2分） A.，都有； B。，都有； C.，都有. D.，都有； 标准答案：D 6. 高斯过程通过线性系统后输出为，那么它必是（) （2分） A。严平稳； B。高斯过程； C。各态历经 D。以上均不对 标准答案：B 7。假设是参数为的泊松过程,那么复合泊松过程的方差函数可以表示为() (2分) A。 B.； C. D. 标准答案：A 8. 若是相互独立的随机变量,那么的特征函数描述，正确的是（）（2分） A.； B。； C。; D.以上均不对 。标准答案：B 9. 讨论某随机过程的各态历经性，前提条件是该随机过程必须() (2分) A.严平稳； B.宽平稳； C。非平稳 D.正交增量过程 。标准答案:B 10。以下条件可以作为判断马尔科夫链遍历的充分条件() （2分）A.，存在整数，使得； B。，存在整数,使得； C。，存在整数，使得 D。以上均不对 标准答案：B 11。随机过程一般可以理解为二元函数,变量分别为(）（3分）A。随机变量； B.随机模型; C。时间； D.某常数 标准答案：A，C 12。以下哪些自相关函数能够作为平稳过程的自相关函数（) （3分) A。； B.； C.; D.。 。标准答案： B，D 13。关于泊松过程（参数为）的时间间隔序列，以下说法正确的是() （3分） A。不同时间间隔之间是相互独立的； B。不同时间间隔之间是线性相关的； C.所有时间间隔是随机变量； D。所有时间间隔都不是随机变量； 。标准答案： A,C 14. 对于特征函数性质的描述,正确的是() （3分） A.； B.; C。； D。。 标准答案：A，B，C，D 15. 白噪声具有以下哪些特点（） (3分） A。均值函数； B.功率谱密度函数为常数； C.平均功率； D.自相关函数为冲击函数。 标准答案：A,B，D 16. 随机过程，其中是上均匀分布的随机变量，那么____，____，____. （6分) 。标准答案 :1. 0；2。 ;3。 ; 17。设平稳随机过程的自相关函数为，那么它的功率普密度函数 ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________，平均功率为 ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________ （4分） 标准答案：1。；2。 ; 18。随机过程，其中的概率分布如下：，,那么的____，____,____. (6分） 。标准答案： 1。 0;2。 ;3. ； 19。参数为的泊松过程，其特征函数表示为( ) （2分） A。; B.； C。 。标准答案 :B 20。设非齐次泊松过程的参数为，那么期望等于( ) （2分） A.; B。； C。
《概率论与随机过程》第3章习题答案
《概率论与随机过程》第三章习题答案 3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为 ()02 222 >= - a e a a P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常 数，试问X(t)是否为平稳过程。 解：由题意可得: ()[]()()002121020 02222 200 22 2 2=⇒+=*+= ⎰⎰⎰⎰∞ -- ∞ φφωπσφπσ φωX E π σσ πd t cos da e a a dad e a t cos a t a a ()()()[]()() ()() ()()[]()()()()()1202120212020 21202022212020 22021012022022 20 2010022 2 22 20020 1021212 1 22112210212212 121221212 2 2 2222 222 22 2t t cos t t cos t t cos de t t cos da e e a t t cos de a d t t cos t t cos a d e a d t cos t cos da e a a dad e a t cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==- ∞ ∞--- ∞ ∞ - ∞ - -∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφ φωωπσφπ φωφωσφ σ πφωφωX X E σσσσπ σπ σ σπ XX ） （，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。 ∴()t X 是平稳过程 另解： ()[][]0022000000[cos()][cos()][]; (,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦ [][][] ) cos()cos())cos((τωτωτωω02 00022 222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程 3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随 相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。 解：
《随机过程及应用》教案-习题课五答案.doc
1. （X （r ）,r （r ））是零均俏的二维正态过程.试证X 2（r ）也是二阶矩过程. 证明：MeT,XQ ）~ N （O,D ⑴），所以有 •••心]=2,申]=1 D ⑴ D(t) 空 2[渔]“ D\tY Z )(0 D\t) E[X 2(/)]2 = E[X 4(r)] = 3D 2(r) /.｛X 2（o ）为二阶矩过程。 2. 设｛x”, n 1｝是相互独立的随机变量序列，其分布律为: ,_ 7 试讨论此序列是否均方收敛。 其中 从而当mW n 时 lim E X m - X n lim 2-2 —— HT2 ^｛X H ,n>l ｝不均方收敛。 £[x ,J = m -r = - m m n n E X ： 一；E X ； (=m 2 -丄7 = 1 」 m" =zi 2 ~- = 1 n~ E[X m X n ] = E[X m ]E[X n ] mn < 4-00 解：EX m -X n =E X ； + 町 X^-2E[X m ]E[X n ]
3.证明若1 ,i.m X… = X，则X”的特征函数收敛于X的特征函数。H— 证因为对于函数f(x) = e itx xe R,有卩"(兀)| = ”严勻小从而 |/(x)-/(j)|
《概率论与随机过程》概率论部分习题答案
《概率论与随机过程》 概率论部分习题解答参考 一、ABC BC A C B A C AB C B A C B A .3;.2; .1 C B A C B A C B A C B A .4 二、填空 1．（1）0.2, (2) 5 2 ; 2．1 0.4 3．P （A ）+P （B ）－P （AB ） ， 1－P （A ）； 4．3213211,)1)(1)(1(1p p p p p p ----- ； 5．)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335++或或C C C ； 6．3125 864 )6.0()4.0(,6,,2,1,0,)6.0()4.0(333 6 66或C k C k k k =- ； 7．1 ， 4， +∞<<∞--- ∞-⎰x dt e t x ,2218 )1(2π ； 8．0.7612 ; 9．1 ； 10．3 ； 11．3ln 2 1 ； 12．1 ； 13． σπ 2 ； 14．9 1,92 ； 15． 2， 0。 三、单项选择题 1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 四、计算题 1. 解：设A 1、A 2表示第一、二次取出的为合格品 {}{} {} {}{}729604 95119 532321)()(1)(113 2121= ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-==⨯- =-=-=-==三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收P P A P A P A A P P P P 2. 解：（1）22535523, 51288883=⨯⨯⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛===⨯⨯=ΩA N N 44.0512 225 )(=== ΩN N A P A
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案 主讲教师：何松华 教授 1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为 1()()0()X t x Y t X t x ≤⎧=⎨ >⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ= 证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则 [()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() () X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性 (2)根据相关函数定义，有 ()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) () Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性 2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程 ()X t ，其概率密度函数为 2 2 ()()}2X X x a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。 解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为： 00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+- 其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、 方差为2 X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号