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随机过程课后习题答案

标准教材：

随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著

索书号：O211.6/Z35-2

备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）

工程随机过程/彭秀艳编著

索书号：TB114/P50

历年试题（页码对应备用教材）

2007

一、习题0.7（1）

二、习题1.4

三、例2.5.1—P80

四、例2.1.2—P47

五、习题2.2

六、例3.2.2—P99

2008

一、习题0.5

二、习题1.4

三、定理2.5.1—P76

四、定理2.5.6—P80

五、1、例2.5.1—P80

2、例2.2.2—P53

六、例3.2.3—P99

2009（回忆版）

一、习题1.12

二、例2.2.3—P53

三、例1.4.2与例1.5.5的融合

四、定理2.5.3—P76

五、习题0.8

六、例3.2.2

2010

一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1

三、例2.1.4

四、例2.2.2

五、习题2.6

六、习题3.3

引理1.3.1 解法纠正许瓦兹不等式

()2

22E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦

证明：

()()()()2

222

2220

440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦

例1.4.2 解法详解

已知随机过程(){}

,X t t T ∈的均值为零，相关函数为

()12

1212,,,,0a t t t t e

t t T a --Γ=∈>为常数。求其积分过程

()(){}

,t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函

数()12,Y t t Γ。解：

()0Y m t =

不妨设12t t >

()

()()()()()1

12121122

,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττ

Γ===Γ⎰⎰⎰⎰

()

()()()2

21122

2122211

2222

21222121212

1212

022

00220022

00222211||111111

||211ττττττ

ττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at e

d d e

d d

e d e d a a

e d e d a a t t e e a a a a t e e e a a

⎤⎦

同理当21t t >时

()()211

2112221,1a t t at at Y t t t e e e a a

----⎡⎤Γ=

++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）

例1.5.5解法同上

例1.5.6 解法详解普松过程公式推导：

(){}()

()

()()()()()()()()()1

lim !

lim 1!!

!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：

→∞

-→∞

-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣

⎦⎣⎦

⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N k

N N k k

N N k

N k

q t qt

N N k N k

k k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣

⎦-⎣⎦

N k k k k k

N k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!

N k

qt P X t k N q t q t N k k qt e

k -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣

⎦-⎣⎦⎣⎦=

例2.1.2 解法详解

设(){}

,X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且

()()2

212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，

令()()()1Y t X t X t =--，

试证明(){}

,Y t t -∞<<+∞为平稳过程。证明：

()()()()10Y m t EY t EX t EX t ==--= ()()()

()()()()()()()()()()()()(){

}

()()()(){}

()()()()121211222112112212212

21221,1191,,1111111Y Y t t EY t Y t E X t X t X t X t t t t t E X t X t X t X t E X t X t X t X t X t X t X t X t

E X t X t X t X t Γ==----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-<Γ=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

=---⎡⎤⎡⎣⎦此处讨论方法同第二章习题第题不妨设其他情况计算方法相同

()()()()()()()()()()()()1212212121121111111E X t X t X t X t E X t X t X t X t E X t X t X t X t ⎤⎣⎦ +----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ +----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ +-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

()()()()

121221010011E X t X t t t t t =+--++⎡⎤⎣⎦=--=--

同理可解出其他情况，整理得：

()212112211,1

,0,1Y t t t t t t t t ⎧-- -<⎪Γ=⎨ -≥⎪⎩

例2.1.3 印刷有误

()(){}()[]()22

112212220

24211

12cos sin exp 211

E Y t Y t x x x x dx dx d d π

τγσγργθθθρργσ∞

∞

⎧⎫⎡⎤--+⎪⎪⎣⎦⎨⎬-⎪⎪⎩⎭

-⎧⎫--⎪⎪

⎨⎬-⎪⎪⎩⎭

-⎰

⎰

例2.2.2 解法详解

设(){}

,X t t -∞<<+∞为平稳正态过程，()0EX t =，且()X

B τ为已知，求作用于平方滤波器时，输出过程

()(){}2

,Y t X t t =-∞<<+∞的统计性质。

()()()()

()()()()()()()()()()()()()()

()()()

222

22222

0,000000Y X Y Y Y X X X X X X

m t EY t EX t B B t t E Y t m t Y t m t E X t B X t B E X t X t B B B E X

t X t B ττττττ===+=+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦

⎡⎤=+--+⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦此处利用第一章习题第5题结论

()()()

()

200X

B B

B B ττ⎡⎤-⎣⎦==2+2

例2.2.3 解法详解

()()

()()()()

()()()()cos cos 11

cos 22cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2cos 20sin 200

EX t X t E t t E t E E t E t E E t E E t E t τηητθηθηητθητηητθηητθηητθ

ηητηητ +=+++⎡⎤⎣⎦=

+++ ++=+-+=+⋅-+⋅=2222cos 1

cos 11cos 1112121jx jx E x dx x

x dx x e e dx dx

x x ττ

ητ

πτπππ+∞

-∞+∞-∞-+∞+∞

-∞-∞ =+=+=+++⎰⎰⎰⎰

()()

()()()()

21111111jx jx s s jx

j j s j j e dx x e dx jx jx e s

s s j e j ds

s s τ

τττ

+∞

-∞+∞-∞=+∞

-∞+∞

-∞

+=+-=

+-=+-⎰⎰⎰

⎰

()()

()()()()

21111111jx jx s s jx

j j s j j e dx x e dx jx jx e s

s s j e j ds

s s τ

τττ

-+∞-∞-+∞-∞-=+∞

-∞-+∞

-∞

+=+-=

+-=+-⎰⎰⎰

⎰

()()2111,0,0,0,0jx s j j e dx x e j ds s s e s e s τ

τττπτπτ+∞

-∞+∞-∞- +=+-⎧ ><⎪=⎨ <>⎪⎩⎰⎰ ()()2111,0,0,0,0

jx s j j e dx x e j ds s s e s e s ττ

τπτπτ-+∞-∞-+∞-∞- +=+-⎧ >>⎪=⎨ <<⎪⎩⎰⎰

()()22cos 1121211,021,02jx jx E e e dx dx x x e e e e e

ττ

τττ

ητ

ππππτπππτπ-+∞+∞-∞-∞--- =+++⎧+ >⎪⎪=⎨

⎪+ <⎪⎩=⎰⎰()()

()11

cos 22cos 2211022EX t X t E t E e e

ττ

τηητθητ-- +=

+++=+=

例2.3.1解法纠正

()()()()()0

B E X t EX t X t EX t τττ=+-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦此处老师解释为常值函数默认为

()()()B E X t X t ττ=+⎡⎤⎣⎦

例2.3.1，例2.3.2 解法详解

()()002j e

d ωωτ

τπδωω+∞

--∞

=-⎰

，

()δω为狄拉克δ-函数，为e +∞而产生

定理2.5.1 印刷有误，解法详解

()()()()

()()()()()()()()()

()()()()()()()12

111

21211221

2121lim 21lim 2120T

T T T

T T

T T T

T T

T T T T E X t dt T

E X t dt X t dt T T E d j d j S d S d E X t dt T S d S d S ωφωφωζωζωφωφωωδωωω

πφωωω

φωωωπδωωωπ---+∞+∞

-∞

-∞+∞

+∞

-∞

=-∞

+∞

-∞

-→∞+∞-∞→∞+∞-∞ =←⎡⎤=⎣⎦=- ←= ===⎰⎰⎰

⎰

∑⎰⎰

⎰⎰⎰此处出错此处出错()()()()()()()()()()()()00002

10210021100021

lim 002T

T d S d S d S C S E X t dt m S T

ωωδωωωωωπδξξππ-+

-++∞-∞+--→∞++=-⇐=⋅⋅<∞⋅=∴-=<∞⎰⎰⎰⎰

积分中值定理与等价

定理2.5.2 解法详解

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

20220X X Y X X X X X Y t X t X t B EY t EX t X t B B EY t Y t E X t X t B X t X t B B B B τττττττττττττ=+-=+-==+=++-⎡⎤⎣⎦ ⋅+-⎡⎤⎣⎦

(){},Y t t ∴-∞<<+∞为平稳随机过程，

以下步骤同定理2.5.1

定理2.5.3 印刷有误

多处连续错误，可直接覆盖

充分性：将（2.5.18）式展开，有

()()()()()()()()()2

12212,11

22112

101

111210212021

k N N k k l l k N l l k N l l N

l N

l M l M E X k N EX k EX l X k N NB B l k N B NB N l B l N l N ννννεε

==<==-==-==-=+==+⎡⎤ ⎢

⎥⎣⎦

⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭

⎧⎫

=+-⎨⎬

⎩⎭⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭

≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑

定理2.5.4 解法详解

即证()()1

lim 0lim 0N k N i B k B i N -→∞→∞==⇒=∑ ()()()()

()()1

11111

01lim 0

,,0,,1lim 11lim 00k N N i K N N i i K B k K k K B k k K B k c

B i N

B i B i N N c N

→∞

-→∞=-→∞==+=∴∃>=≤≤ ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

≤+=∞∑∑∑

剩余步骤同定理2.5.3充分性证明。

定理2.5.5 解法详解记(){

},,1,0,1,

X n n =

-为平稳随机序列，

()0EX n =，中心相关函数为()B ν，

记()()()Y k X k X k ν=+进一步假设(){

}

,,1,0,1,

Y k k =-为平稳随机序列，

记

()()()

()()()()

()()

()()()()()()()()()10

1ˆN N k N N

k Y B X k X k N

B EX k X k EY k B Y k N

B i E Y n i EY n i Y n EY n E Y n i B Y n B ννννννν-=-==

+=+===+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

∑∑

则()()2

ˆlim 0N N E B B νν→∞

⎡⎤-=⎣⎦成立的充要条件是()1

lim 0N Y N i B i N

-→∞==∑

证明：

必要性：“⇒”：

()()()()()()()()()

()()()()()()()()()()()2

202

2120

11111

ˆ1

lim lim N Y i N i N i N i N i N N Y N i B i N E Y n i B Y n B N E Y n i Y n B N

EY k Y k i EY k EY k N EY k E Y k i EY k N

EY k E B B B i EY k N

ννννν-=-=-=-=-=-→∞=⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦

⎧⎫

=+--⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫=+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭

⎧

⎫

=+-⎨⎬⎩⎭

⎧⎫

≤⋅+-⎨

⎬⎩⎭

⎡⎤=⋅-⎣⎦=⋅∑∑∑∑∑∑()()2

ˆ0N N E B B νν→∞

⎡⎤-=⎣⎦

充分性：“⇐”：

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2

222

001222

10122101

012ˆˆˆ2112120221

022N N N N N i i N l Y Y l N l Y Y l N

l Y

l M l Y Y E B B E B B B B E Y k Y k B B N N B NB B B N

B B B N N B N

B B ννν

νννννννννννννννν--==-==-==-==-⎡⎤ -⎣⎦

⎡⎤=-+⎣⎦⎧⎫⎡⎤

⎪⎪

=-+⎨⎬⎢

⎥⎣⎦

⎪⎪⎩⎭

⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=--≤=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑1

N l -⎧⎫⎨⎬∑∑

()()()()2

11210102ˆlim 2lim 2

00N N M l N l Y Y N l l M E B B B B N A N

νννννν→∞

--→∞===+=⎡⎤ -⎣⎦⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭=+⋅=∞∑∑∑∑

印刷出错（3.2.4）()()j k e d G j ωλλλω+∞

-∞=-⎰ （3.2.5）

()()j k e d G j ωηηηω+∞

--∞

=⎰

（3.2.21）2

12n n k k k I βα==∑

（3.4.39）

()()()()()

()()

()()*1

2lim

Y t k t X t X X t d d t Y X t d t X t Y t dt T τττττπ

τπ

ττπ

+∞

-∞

+∞

-∞

-→∞= =

-=--=⎰

⎰

例3.2.3 解法详解

()()()()()()()()2

222,00

()

j e e j E X t t X E X t X t t B S s d ds ξξσστδτωσωω+∞

+∞

-∞

==⎡⎤⎣⎦∴-==⎡⎤⎣⎦

∴=∴===

⎰

此处出错

书后习题

概率论（第0章）：

1. 设随机变量(),,ξηζ的联合密度函数为

()()3

1sin sin sin ,0,,2,,80,x y z x y z p x y z ξηζππ⎧- ≤≤⎪

=⎨⎪ ⎩其他，

试证,,ξηζ两两独立，但不相互独立。

解：

()()()(

)2320

,,,111sin sin sin 84p x y p x z p y z x y z dx ξηξζηζπ

π===-=⎰

()()()22

24p x p y p z dx π

ξηζππ

====⎰

()()()

()()()()()()

,,,p x y p x p y p y z p y p z p x z p z p x ξηξηηζηζξζζξ⎧=⋅⎪⎪

=⋅⎨⎪=⋅⎪⎩∴,,ξηζ两两独立； ()()()(),,p x y z p x p y p z ξηζξηζ≠⋅⋅,,ξηζ∴不相互独立。 2. 设ξ服从普松分布，参数为λ，

试求（Ⅰ）a b ηξ=+（Ⅱ）2

ηξ=的分布。

解：

()!

k e

p k k λ

λξ-==

（Ⅰ）,()a b b a ηξξη=+=- (),()!

k k b

e e p k p ak b a

k k λ

ηλλη---==

=+=

；

（Ⅱ）2,ηξξ==

),()!

k k e e p k p k k k λ

λλη--==

。

3. 设,ξη为相互独立且均服从正态()0,1N 分布的随机变量，试求ζξη=的分布密度函数。解：

()(

)22

x f x f x ξη⎛⎫

- ⎪⎝⎭

,ξη为相互独立

∴()()()221

,exp 22v u f v u f v f u ξηξηπ⎛⎫+=⋅=- ⎪⎝

⎭ ()()

()

()()()()()2222,1

exp 2211,v ux

f x f x d ux f ux u du dx

d ux f ux f u du dx

u x u u du x x ζξηξηξηπ=+∞

-∞

+∞

-∞+∞

-∞

=⋅⋅

⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

=+-∞<<+∞

⎰

⎰⎰

∴ζξη=服从柯西分布。

4. 设,ξη为相互独立且均服从()0,1N 正态分布的随机变

量，试证22

U ξη=+与V ξη=相互独立。

证明：

()(

)2122x f x f x ξη⎛⎫

==- ⎪⎝⎭

设22

112y x x =+，212y x x =，120,y y ≥-∞<<+∞

解得

1121x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩

，

22x y x ⎧=-⎪⎨

⎪=⎩

,1212,1212,12,121111*********

1222212122221

,12,11211,122221(,)(,)(,)(,)12(1),12(1)

(,)(,)(,)1exp 2U V U V U V f y y dy dy f x x dx dx f y y f x x J

x x x x y y y y J y J y x x x x y y y y f y y f x x J f x x J y ξηξηξηξηπ==⋅∂∂∂∂∂∂∂∂==-+==-+∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-()()()

()()()12222112221111002222212111exp 222212111exp ()()

2211exp()122111(),()U V U V U V y y y y f y f y y y f y dy dy f y dy dy y f y f y U V U V πππ+∞

+∞+∞+∞-∞-∞

⎛⎫⎛⎫

+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫=

-⋅⋅ ⎪+⎝⎭⎧=-=⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩

∴∴⎰⎰⎰⎰是与的密度函数。与独立

5. 设随机变量X 分布函数为

0,(),1,X x a F x p a x b b x ≤⎧⎪

= <≤⎨⎪ ≤⎩

，

试求特征函数()X f t 试求特征函数()X f t 。解：

()()()()()()()()()()()111X X jxt jat jbt

X X F x p u x a p u x b p x p x a p x b f t e p x dx p e p e δδ∞∞+∞-∞

=⋅-+-⋅-=⋅-+-⋅-==⋅+-⋅⎰

6. 如果随机变量X 的密度函数为 (),0,02

X a p x e a αα-=

>>，试求特征函数()X f t 。解：

()()002222jxt X X jxt x jxt x f t e p t dx

a a

e e dt e e dt αα+∞

-∞

+∞--∞==+⎰⎰⎰

7. 设有如下特征函数：

()()()()

()12

2311111

1jt jnt jt

f t t e e f t n e

f t jt

=+-=

-，

试求分布密度函数()()()123,,p x p x p x 。解： 1)

()()()()()()

()()()()()()()112111

21121112111

2111

2Re ,21111,0,01111,0,0111

exp 2

jtx

s jt

j sx

j sx x

x p x e

f t dt

e dt t e dt jt jt j

e ds

s s j

j f e s s s e x s e x s x πππ

πππ+∞

--∞+∞

--∞+∞--∞=+∞--∞

----+=

=+=+⋅-=

+⋅-⎡⎤=⋅⋅⎢⎥

+⋅-⎢⎥⎣⎦⎧-⋅+⋅

<<⎪⎪--=⎨

⎪

-⋅-⋅>>⎪⎩+=-⎰

⎰⎰⎰

2)()()

111jt jnt n jkt jt k e e e n n e =-=-∑

()()()()

()

()()()221

1211211212121121jtx jt jnt jtx

jt n jtx jkt k n

jt k x k n s jt

j s k x

j k n j s k x j k n

k p x e f t dt e e e

n e e e dt

n e

n e ds n j e ds n j k x n π

πππ

ππδ+∞

--∞+∞

--∞

+∞

--∞

=+∞--∞

==+∞--∞=+∞--∞=∞==

-=-=

====

-⎰⎰

∑⎰

∑⎰∑⎰∑⎰∑

()()()

()()()3311

211

211211

2Re ,210,0,0

11,0,00,0,0

jtx jtx

s jt

j sx j sx x

p x e f t dt e dt jt j e ds s j

j f e s s x s e

x s x e x ππ

πππ+∞

--∞+∞

--∞=+∞--∞--+-=

=-=-⎡⎤=⋅

⋅⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ <<⎧⎪=⎨-⋅-⋅>>⎪⎩ <⎧=⎨>⎩⎰

⎰⎰

8. 设随机变量,ξη均服从柯西分布，其密度函数()p x 为

()()221p x x λ

πλμ=

⋅

++，

0λ>，x -∞<<+∞，且0μ=，1λ=，ξη=，试证对特

征函数有()()()f t f t f t ξηξη+=⋅，但,ξη并不独立。解：

()()()

()

()()()()()()()()

221

()exp 0,1()exp 2exp 2exp exp X X p x x f t j t t f t t f t f t f t t t t f t f t ξηξξξξλ

πλμμλμλξη

⋅

++=-==∴=-=∴= = =- =-⋅- =⋅

对c ∀<+∞，

()()

,p c c p c p c p c ξηξηξη<<==<≠<⋅<

∴,ξη并不独立。

9. 设()f x 是()0,+∞上的连续、单调上升函数，且

()00f =，()0

sup x f x ≥<∞，试证()0,n P ξ→的充要条件是()lim 0n n E f ξ→∞

⎡⎤=⎣⎦，其中,1,2,,n n ξ=为随机变量序列。

证明：

即证()()lim 0lim 0n n n n p E f ξεξ→∞→∞

⎡⎤≥=⇔=⎣⎦ 必要性：“⇒”：

设()0

sup x c f x ≥= ()()()

()()()()()()()

()()

n n n n x x n n x x n E f f x dF x f x dF x f x dF x c dF x f dF x cp f ε

ξξ

ξεε+∞

-∞≥<≥<⎡⎤=⎣⎦=+<+<≥+⎰⎰

⎰⎰

⎰

对0,0δε∀>∃>使()2f εδ<，由于()lim 0n n

p ξε→∞

≥=，对于该0ε>，必N ∃，当n N >时有()2n p c ξεδ≥<， ∴对0δ∀>，必N ∃，当n N >时有 ()()()22n n E f cp f c c δδ

ξξεεδ⎡⎤<≥+<⋅+=⎣⎦

∴()lim 0n n E f ξ→∞

⎡⎤=⎣⎦ 充分性：“⇐”：

()()()

()()()()()()

n n n n x x n E f f x dF x f x dF x f x dF x f p εε

ξεξε+∞

-∞≥<⎡⎤=⎣⎦=+≥≥⎰⎰

⎰

∴()()

()1lim lim 0n n n

n p E f f ξεξε→∞

→∞

⎡⎤≥≤⋅=⎣⎦ 10. 设{},1,2,n n ξ=为独立随机变量序列，密度函数为

(

)

2,01n n x p x θθ⎧⎫

-⎪=<<⎨⎪⎩，

试问{},1,2,n n ξ=是否服从强大数定理。

解：

{},1,2,n n ξ=服从强大数定理；

证明：

(

,01n n x p x θ

θ⎧⎫

-⎪

=<<⎨⎪⎩

∴1,2,

n D n ξ==

()13

212n

n n n D n

k k ξ

∞

=====<∞∑∑∑

∴{},1,2,n n ξ=服从强大数定理。

11. 设{}

,1,2,

n n ξ=为独立随机变量序列且

()

ln 1n n D n ξ+=

+，试证{},1,2,n n ξ=服从大数定律但不服

从强大数定律。

证明：大数定律：

()()

()

212

2111

11ln 1111

1ln 1ln 1n

n k n k N n

k k N D n k k n k k k k n

n ξ====+ +=+++=+++∑∑

∑∑

()

()()()

()

()()()

()()()()

()()()()2

2112

12222

212

111

1ln 1ln 211

ln 12111

ln 2211

ln 1 1.5 1.51ln 22 1.5111

ln 1ln 221111

ln 1ln 22

k k N N

k N

k k k k N n n k k n N n n N N n k k n

n N N n n k k N n n k k N n

==+====+<+++++=++++⋅- +

++=+⎡⎤

+-+⎣⎦ ++++<++++<+++∑∑∑∑∑∑

对0ε∀>，必N ∃，使()11ln 222N ε

<+，必M N ∃>使

()

1ln 12N

k k k M ε=+<+∑，于是当n M >时，21

1lim 0n

n k D n ξ

→∞==∑

∴{},1,2,n n ξ=服从大数定律；

强大数定律：

()()

()

1211

1ln 11ln 11ln 11ln 11

ln 1k

k k k k k D k k k k k k k k k k dx x x ξ

∞

==∞

∞

==∞

=∞

=++=+++>+>→∞

+∑∑∑∑∑⎰

∴{},1,2,n n ξ=不服从强大数定律。

12. 设{},1,2,n n ξ=为随机变量序列且方差有界，即n D c ξ≤，如果相关系数满足0ij r →，i j -→∞，试证明

{}n ξ服从大数定理。

证明： ()212

2112

122112

122

011112

12122

k k n n

k k k k n

k k k n k ij i j

k i j n n

ij i j k i j n ij i j ij i j

j i N

D n

E E n E E n D r n n D r n

n nc r r n n

ξξξξξξσσξσσσσσσ=====≤<≤=≤<≤<-≤->⎛⎫

⎪⎝⎭

⎛⎫=- ⎪⎝⎭

⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦=+≤+≤++∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑

对第二项，当项数不超过()1n N -，由于1ij r ≤

，i σ<()2

202221ij i j j i N

r n Nc n n n

σσ<-≤<-<∑

对第三项，当项数不超过()()11n n N -⋅--，由于3ij r c

ε<

，

j i N ->，

()()

221133ij i j j i N

r n n N c n n εσσε-><

---<∑

∴211223n

k k c Nc D n n n ε

ξε=⎛⎫≤+

+= ⎪⎝⎭

∑ ∴{}n ξ服从大数定理。

13. 设(){},1,2,n F x n =为正态分布函数列，并且收敛于分布函数()F x ，试证()F x 是正态分布函数。证明：

(){}

()()

{}{}

22exp 2lim lim exp 2exp lim lim 2

n n n n n n n n n n n n f t ja t t f t f t ja t t j a t t σσσ→∞→∞

→∞→∞=-==-⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦

即证lim n n

a →∞和2

lim n n σ→∞

存在 ()f t 连续且()()01f t f ≤=，必1t 使()10f t ≠，

()22

11ln lim 2n n f t t σ→∞⎡⎤=-⎣⎦，

所以2lim n n σ→∞

存在且()2

212

lim ln n n f t t σσ→∞=-；

{}(){}

(){}

{}(){}

2222

lim exp exp lim 2exp 2lim exp exp 2n n n n n n ja t f t t f t t ja t f t t σσσ→∞→∞→∞

⎡⎤=⋅⎣⎦

=⋅=⋅

取积分线路为

{}(){}22:exp ,01:exp 2,01

n n n C Z ja t t C Z f t t t σ=≤≤=⋅≤≤，

lim n n C C →∞

=，且在积分路径上有1Z =，故

11lim lim n n n C C n n n

dZ dZ ja Z Z →∞→∞

==⎰

⎰，所以lim n n a →∞

存在且11

lim n C n a dZ a j Z

→∞

⎰。

14. 取(]0,1Ω=，F 为(]0,1中所有波雷尔点集所构成的σ代数，P 为勒贝格测度，则(),,F P Ω为一概率空间，令

()(]()(](]()(](]

1121221,0,11,0,120,12,10,0,121,12,1ηωωωηωωωηωω=∈⎧∈⎪=⎨

∈⎪⎩⎧∈⎪=⎨

∈⎪⎩ 一般地，把(]0,1分成k 个等长区间，令

()11,,,1,2,

,,1,2,,10,,ki i i k k k i i i i k k ωηωω⎧-⎛⎤

∈ ⎪⎥⎪⎝⎦

===⎨-⎛⎤⎪∉ ⎥⎪⎝⎦⎩

现定义

()()()()()()()()111221322431,,,,

ξωηωξωηωξωηωξωηω===

=则(){},1,2,

n n ξω=为随机变量序列，

试证(){},1,2,n n ξω=依概率收敛于零但不几乎处处收

敛于零。

证明： ()()

ki i i P k k k

ηωε-≥≤

=-，当n →∞有k →∞，()()

0ki P ηωε≥→∴()()0,n P ξω→；对(]00,1,k ω∀∈，必i ∃使01,i i k k ω-⎛⎤

∈

⎥⎝⎦

，即()()001n ki ξωηω∃==， ∴(){},1,2,

n n ξω=不几乎处处收敛于零。

15. 对于14题中所叙述的随机变量序列(){},1,2,n

n ξω=试证虽然()()0,,n a s ξω→不成立但却

有()()0,n r ξω→。证明：

()

(

)

1110,1,0,r

ki i i i i r E P P k k k k k

ηωωω⎧-⎫⎧-⎫

⎛⎤⎛⎤∀>=⋅∈+⋅∉=

⎨⎬⎨⎬ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎩⎭⎩

⎭当n →∞有k →∞，

()

(

)()

()1

lim lim lim 0r

n ki n k k E E k

ξωη

ω→∞

→∞

===， ∴()()0,n r ξω→；

()()001n ki ξωηω∃==， ∴()()0,,n a s ξω→不成立。

第一章：

1. 设(){},0≥X t t 为普松过程，()00X =，试求有限维分布函数族。解：

设10n t t ≤<<<∞，

()(){}(){}()(){}()()(){}()()()(){}

11112211331122112211,,||,|,,

,n n n n n n P X t k X t k P X t k P X t k X t k P X t k X t k X t k P X t k X t k X t k X t k -- ====⋅

==⋅

===⋅ ====

因为普松过程是马尔科夫过程，

()(){}

(){}()(){}()(){}()(){}()(){}()(){}()(){}()(){}

()()()1

1111112211332211112121323211111,,|||00!i i i n n n n n n n n n n k k i i t t t P X t k X t k P X t k P X t k X t k P X t k X t k P X t k X t k P X t X k P X t X t k k P X t X t k k P X t X t k k t t t e e k λλλλ---------- ====⋅

==⋅ ==⋅ ⋅===-=-⋅ -=-⋅ -=-⋅ ⋅-=--⎡⎤⎣⎦⋅=()1121,0!0i k n n

i i i k k k k -=-⎧⎪≤≤≤⎨-⎪

⎩

∏，其他

2. 设(){},0X t t ≥为随机过程，()X t A =，其中A 为随机变量且分布函数()()A F x P A x =<为已知，求有限维分布函数族。解：

()()()[]

()

1111111,,;,,,

,,,min min n n n n n i A i

i n i n F t t x x P X t x X t x P A x A x P A x F x ≤≤≤≤ =<<⎡⎤⎣⎦

=<<⎡⎤=<=⎣⎦

3. 设(){}

,X t t -∞<<+∞为二阶矩过程，试证自相关

函数()12,X t t Γ在任意1

12t t t R ==∈处连续等价于在任意11

12,t R t R ∈∈处连续。

证明：

充分性显然；必要性：

()12,X t t Γ在112t t t R ==∈连续，

∴

()()()()

110220

l i m ,

l i m h h x t h x t x t h x t →→⋅⋅+=⋅⋅+=

()()()()()()()()

12,0

12001212l i m ,l i m l i m l i m ,X h h h h h h X t h t h E X t h X t h E X t h X t h E X t X t t t '→'→'→→' ⋅⋅Γ++'=⋅⋅++⎡⎤⎣⎦

⎡⎤

'=⋅⋅+⋅⋅+⎣⎦

==Γ⎡⎤⎣⎦

∴必要性得证。

4. 设二阶矩过程(){}

,X t t -∞<<+∞的均值函数为

零，相关函数为()()22

1212,1,0X t t a t t a ⎡⎤Γ=+->⎣⎦

为

常数，试分析均方意义下的连续性，可积性和可微性。

解：

()

()()()12,0

212,02

21212l i m ,l i m11,X h h h h X t h t h a t h t h a t t t t '→'→' ⋅⋅Γ++⎡⎤'=⋅⋅++--⎣⎦⎡⎤=+-=Γ⎣⎦

∴均方连续；

()X t 为二阶矩过程，∴均方可积； ()()()()()()21212

,04

,l i m 2X h h t t t t X t h X t X t h X t E h h a

'→∂Γ

∂∂'+-+-⎧⎫

=⋅⋅⋅⎨⎬'⎩⎭==四项通分 ∴均方可微。

5. 设

(){}

,X t t -∞<<+∞为正态随机过程且

()0EX t =，

试证对任意()1234,,,,t t t t ∈-∞+∞，有

()()()()()()()()()()()()()()()()1234123413241423E X t X t X t X t E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t ⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

。

备注：（1）

()()()

()

1111

,11

,0n n

k k n k k k k x x n k k n

n E X t X t f t t j t t t t ++++⎡⎤ ⋅⋅⎣

⎦

∂

=-∂∂=

参见O211.6-42/L80，P7

（2）

()()()()()()()()()()()1,

,111111111,

,exp 12n

x x n T

n n T

n n n n n n f t t EX t t j t EX t t t EX t X t EX t X t t EX t X t EX t X t t ⎧⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝

⎭⎩⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎬

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝

⎭⎭

参见O211.6-44/Z85-2，P100

证明：

()()()()()()

()()()()()()()()()()()()14

12344

,141

123413241423,

,x x E X t X t X t X t f t t j t t E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t ⎡⎤⎣⎦∂=-∂∂=

=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣

⎦

详细步骤参见：

O211.6-42/L80，P17 O211.6-44/Z85-2，P114

6. 随机过程的切比雪夫不等式。设(){}

,X t a t b ≤≤为

实值均方可微随机过程，

记()

({

D t

E X t ()({

1D t E X '。

试证：

（Ⅰ）(){}

(){}

sup sup a t b

a t b

P X t E X t εε

≤≤≤≤>≤

（Ⅱ）

()()()()()()()2

22t

a b

X t X

a X X d X

b X X d ττττττ

'=+'=-⎰⎰ （Ⅲ）()()()()()2

222b

X t X a X

b X X d τττ'≤++

⎰

（Ⅳ）

()

{

}

()()2

sup 2a t b

E X

t EX a EX b τ

≤≤⎡⎤≤+⎣

⎦

+⎰

（Ⅴ）于是，随机过程的切比雪夫不等式为：

(){}

()()()()22

12sup 112a t b

b a

P X t D a D b D D d ε

τττε≤≤>⎧⎫⎡⎤≤++⎨⎬⎣⎦⎩⎭

⎰

证明：（Ⅰ）

()()22sup ,sup a t b a t b

Y X t Y X t ≤≤≤≤==设

()()()(){}

2222222Y Y Y y y Y y EY y dF y y dF y y dF y y dF y P y ε

εεε+∞

-∞>≤>==+≥=>⎰⎰

⎰

∴{}22

P y EY εε

>≤

∴(){

}

(){}

sup sup a t b

a t b

P X t E X t εε≤≤≤≤>≤

（Ⅱ）

()()()()()()

2222

22122

a t

a X a X X d X

a X dX X a d X X a X t X a X

t τττ

τττ' +=+=+⎡⎤

=+-⎣⎦

=⎰⎰⎰ 同理：()()()()2

t X b X X d τττ'=-⎰；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：

()()()()()()()()()()()()()()()()()2

222222t

a b

X t X

a X X d X

b X X d X a X X d X b X X d X

a X

b X X d ττττττττττττ

τττ'=+'+-'≤+'++'=++⎰⎰⎰⎰⎰

（Ⅳ）由（Ⅲ）得：

()()()()()(){}

()()()()22

21sup 21sup 2b a a t b

a t b

X t X a X b X X d E X t EX a EX b E X X d τττ

τττ

≤≤≤≤⎡⎤'≤++⎣⎦⎡⎤

≤+⎣⎦' +⎰⎰()()

EX a EX

b τ⎡⎤ ≤

++⎣⎦⎰由许瓦兹不等式得：

∴

(){}

()(

21sup 2a t b

E X t EX a EX b τ

≤≤⎡

⎤≤

+⎣

⎦

+⎰

（Ⅴ）由（Ⅰ）、（Ⅳ）得：

(){}

()()()()22

12sup 112a t b

P X t D a D b D D d ε

τττε≤≤>⎧⎫⎡⎤≤++⎨⎬⎣⎦⎩⎭

⎰

7. 试证明普松过程均方连续，均方可积，但不均方可微。证明：

()()()()()()()()()12121212122121212

,,,,min ,,,X X X t t B t t m t m t m t t B t t t t t t B t t t t λλλΓ=+==Γ=+ ∴对()12,B t t 的分析就等同于对()12,t t Γ的分析。

()

()()

lim ,lim min ,,h h h h B t h t h t h t h t B t t λλ'→'→' ++'=++==∴均方连续；∴均方可积；

()

()(){

()()}

121212,0,1

lim ,,,,h h B t t t t t

t t B t h t h B t t h h h B t h t B t t '→∂

==∂∂''=++-+⎡⎤⎣

⎦'⋅ -++⎡⎤⎣⎦

=∞

∴不均方可微。

8. 设(){},0,1,2,

X k k =为一阶滑动合序列， ()()()1X k k C k ξξ=+-，其中

(){},,1,0,1,

k k ξ=

-是相互独立服从正态()

0,1N

分布的随机变量序列0C >为常数，试问该过程是否为

正态过程，平稳过程，马尔科夫过程及独立增量过程？解：

()()()1X k k C k ξξ=+-，为()k ξ的线性组合；

∴(){},

0,1,2,X k k =为正态过程；

()()()10EX k E k CE k ξξ=+-=，为常数；且

()21,0,,10,X C k s k s C k s ⎧+-=⎪

Γ= -=⎨⎪

⎩其他

，只与时间差有关；

∴(){},

0,1,2,X k k =为平稳过程； ()()()1X k k C k ξξ=+-，只与最近时刻有关；

∴(){},

0,1,2,

X k k =为马尔科夫过程；

()()()()()()()()

()()()()()()

()()()()()()()()1122231112121123112X k k C k X k k C k X k X k k C k C k X k X k k C k C k X k X k X k X k ξξξξξξξξξξ-=-+--=-+---=+-------=-+---------与不独立

∴(){},0,1,2,X k k =不为独立增量过程。

9. 设()12,X t t Γ为随机过程(){}

,0X t t ≥的自相关函数，试证()2

12,X t t a Γ也是自相关函数，其中0a ≠为任

意实数。

证明：

设()(){}

,0Y t aX t t =≥，

()()()()

121212

12,,Y X t t aX t aX t dt dt a t t +∞

+∞

-∞-∞

Γ==Γ⎰

⎰

∴()2

12,X t t a Γ为(){},0aX t t ≥的自相关函数。

10. 设{},0,1,2,

n Z n =为正态随机变量序列，它均方

收敛于随机变量Z ，试证Z 是正态随机变量。证明：

(

)

n n n EZ EZ E Z Z E Z Z -=-≤-≤

=()()()()()()()

()()22

220

n n n n n n n n n n n n n n VarZ VarZ VarZ VarZ E Z EZ Z EZ VarZ VarZ E Z EZ Z EZ E Z EZ Z EZ E Z Z EZ EZ Var Z Z E Z Z E Z Z =+-≤+---≤+---=---⎡⎤⎣⎦=---⎡⎤⎣⎦=-=---=⎡⎤⎣⎦

∴lim n n EZ EZ →∞=，lim n n VarZ VarZ →∞

=； ()21exp 2n Z n n f t jtEZ t VarZ ⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦

()()

221lim lim exp 21exp 2n Z n n n n Z f t jtEZ t VarZ jtEZ t VarZ f t →∞→∞⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦

⎡⎤

=-⎢⎥

⎣⎦

= ∴Z 是正态随机变量。

11. 设(){}

,0X t t ≥为正态随机过程，且()X t '及

()()0

Y t X d ττ=⎰存在，试证()X t '及()Y t 也是随机

过程。证明：

备注：正态过程的线性组合为正态过程

→→→→过程序列过程非线性线性非线性

lim 0n n h →∞

= ()()()

lim

n n n

X t h X t X t h →∞+-'=为()X t 的线性组合

∴()X t '是随机过程；

()()()11

lim n n

n k k k k k n k k Y X u t t X u t -→∞

===-=∆∑∑

∴()Y t 是随机过程。

12. 设(){}

,X t t -∞<<+∞为平稳随机过程，且自相关函数()()()1212,X X X t t t t τΓ=Γ-=Γ及二维密度函数

()12;,f x x τ均为已知。

（Ⅰ）试证

()(){

}()()2

20P X t X t a

a ττ+-≥≤Γ-Γ⎡⎤⎣⎦

（Ⅱ）求出()(){

}

P X t X t a τ+-≥ （Ⅰ）证明：

由切比雪夫不等式

{}2

P E D ξξεξε-≥≤

，

设()()X t X t ξτ=+-，则0X X E m m ξ=-=，

()(){}

()()()()()()22

221120P X t X t a D X t X t a E X t X t a a

ττττ +-≥≤+-⎡⎤⎣⎦=+-⎡⎤⎣⎦=Γ-Γ⎡⎤⎣⎦

（Ⅱ）解：

()(){}

1P X t X t a

P a X t X t a ττ +-≥=--<+-<

设()()z x t x t τ=+-，z v u =-，

()u x t =，()v x t τ=+

(){}

()()()(),,,,Z v u z

z u

x v u

z z

F z P z Z f v u dvdu

f v u dvdu

f x u u dxdu

f x u u dudx

-≤+∞

+-∞

-∞

=-+∞

-∞-∞

+∞-∞-∞

=≤=

+=+⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰⎰

()()()()()(),;,Z Z x t x t f z dF z f z u u du f z z u u du

τ+∞-∞+∞

+--∞

==+=+⎰⎰

()(){}

()()()1;,a x t x t a P X t X t a f z z u u dudz

ττ+∞

+---∞

+-≥=-+⎰

⎰

13. 设(){

}

,X t t -∞<<+∞为随机过程，对任意

(),t ∈-∞+∞其一维分布密度函数为正态()0,1N 分布，

现规定()()Y t g X t =⎡⎤⎣⎦，试求函数[]g

使得[]Y t 在

[],a b 上具有均匀分布。

解：

{}{}()()()()())

()()()()()()()()1,,Y X Y X X x X P y Y y dy P x X x dx f y dy f x dx

f y f x d

g x b a dg x b a f x g x b a f u du C

g a g b C a

-∞

≤<+=≤<+===-⎡⎤⎣⎦=-=-+-∞=+∞==⎰

()()()(

)22x

X x

g x b a f u du a

u b a du a -∞=-+⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭

⎰⎰

参见O211.6-44/Z85-2，P68

14. 设A 是具有密度()A f a 的随机变量，现构成如下微分方程：()()0X t AX t '+=，()01X =，试求其解过程

(){},0X t t ≥的均值函数()X

m t ，相关函数

()12,X t t Γ及()X t 的一维密度函数(),X f t x 。

解：

()()()()()())()0001,At X t AX t sX s X AX s X s s A X t e -'+=-+==+=

()()()()()()()

()12

121212,At

at X A At At X a t t A m t EX t Ee

e f a da

t t E X t X t E e e

f a da

+∞

---∞

--+∞

-+-∞===⎡⎤Γ==⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⎰⎰

()(){}{}()ln ,,0ln 0,0At X x A t

F t x P X t x P e x f a da x x P A t x -+∞-=<=<⎧>-⎪⎧

⎫=>=⎨⎬⎨⎩

⎭⎪ ≤⎩⎰

()()ln 1,0,,0,0A X X x f x f t x F t x t tx

x ⎧⎛⎫-⋅>⎪ ⎪'==⎝⎭⎨⎪ ≤⎩

15. 设(){},0,1,2,X n n =是独立同分布随机变量序

列且(

)0E X n =

，()2

2EX

n σ=<∞

，又设

{},0,1,2,n a n =

为实数列，且2

n a ∞

=<∞∑，试证明()1

n a X n ∞

=∑必均方收敛。

证明：设()()1

i i Y n a X i ==

∑，n m >

()()()()()2

112

22110

n m

i i i i n

m i i n i m i m E Y n Y m E a X i a X i E a X i a σ==→∞

→∞

=+=+⎡⎤

-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

==→⎢⎥⎣⎦

∑∑∑∑

∴()()1

n i i Y n a X i ==∑，即()1

n n a X n ∞

=∑均方收敛。

第二章：

1. 判断下列函数能否成为平稳随机过程的自相关函数，若是的话，进一步判断所对应的平稳过程是否均方连续？均方可积？均方可微？

()()()()()()1234526,0cos 1,

10,1

1,10,1

,01220

B a a B B B B B e τ

τττττττττττξξτττττ-=>=⎧ <⎪=⎨

≥⎪⎩⎧-<⎪=⎨ ≥⎪⎩=>++ =⎧⎪=⎨≠⎪⎩（Ⅰ）为常数（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）（Ⅴ）为常数

，（Ⅵ）解：

平稳随机过程的自相关函数性质：

()()()()()()()(),100,000n

i j i j i j B B B B B B t t a a B B ττττττττ=≤<∞=-≤≥=⇔≠∑；；；；

在处连续在任意处连续

图见下页，结果自理。

2. 设(){}

,X t t -∞<<+∞为均方连续平稳过程，

()0EX t =，相关函数()X B τ与功率谱密度函数

()X S ω均为已知，取实常数,,1,2,

,k k a s k n =，定义

()()1

k k k t a X t s η==+∑，试证明()t η为均方连续平稳过

程，并求()B ητ，()S ηω。

解：

()()

()1

k k k n

k k k E t E a X t s a EX t s η===+=+=∑∑，

均值为常数；

()()()()()()()

()

11,1,1

n n j j k k j k n

j k

j k n

j k

k j k E t t E a X t s a X t s a a E X t s X t s a a B s

s B ηητηττττ==== +⎡⎤⎣⎦

⎡⎤=+++⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤=+++⎣⎦

+-∑∑∑∑

随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题 4 以下如果没有指明变量 t 的取值范围，一般视为 t R ，平稳过程指宽平稳过程。 1. 设 X(t) sinUt ，这里 U 为 (0,2 )上的均匀分布证明：(a)验证宽平稳的性质 0,t s 2 1 COV ( X (t ), X (t )) Esin 2 Ut 1 (b) EX(t) 2 t (1 cos(2 t)),与t 有关, 11 DX(t) sin(2 t)，与 t 有关，不平稳 . 2 8 t X n (1) X n X n 1,X n (2) X n (1) X n (1) 1 , ，证明：这些序列仍是平稳的证明：已知， EX n m,DX n 2,COV(X n t ,X t ) (t) EX n (1) EX n EX n 1 0,DX n (1) D(X n 22 X n 1 ) 2 2 (1) 12 COV ( X n (1) t , X (1) ) COV(X n t X n t 1,X n X n 1) COV(X n t ,X n ) COV(X n t 1,X n ) COV(X n t ,X n 1 ) COV(X n t 1,X n 1) 2 (t) (t 1) (t 1) 显然， X n (1) 为平稳过程同理可证， X n (2) ,X n (3) , 亦为平稳过程 a) 若 t 1,2, ，证明{ X (t),t 1,2, } 是宽平稳但不是严平稳， b) 设 t [0, ) ，证明 {X(t),t 0} 既不是严平稳也不是宽平稳过程 2 EX(t) E sin(Ut )2 1 dU COV ( X (t ), X (s)) E(sinUt ?sinUs) 12 ( cosUt ) 20 0,t 1 1,2, s)U) 1{ 1 [cos(t s)U ]02 t 1 s [cos(t 2 s)U }?21t 2. 设 { X n ,n 1,2, } 是平稳序列定义 {X n (i) ,n 1,2, },i

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）与无关

（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。试求它们的互协方差函 2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----

随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4 以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为R t ∈，平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=，这里U 为)2,0(π上的均匀分布. （a ）若Λ,2,1=t ，证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳，（b ）设),0[∞∈t ，证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明：（a ）验证宽平稳的性质 Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=? ==?t Ut t dU Ut Ut E t EX π π ππ ))cos()(cos(2 1 )sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?= t U s t s t U s t s t ππ π21}])[cos(1])[cos(1{212020? +++--= s t ≠=,0 2 1 Ut Esin ))(),((2= =t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21 )(有关与t t t t EX ππ-= .)2sin(81 21DX(t)有关，不平稳，与t t t ππ-= 2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列，定义Λ Λ,2,1},,2,1,{) (==i n X i n 为 Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ，证明：这些序列仍是平稳的. 证明：已知，)(),(,,2 t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+ 2 121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX ) 1()1()(2),(),() ,(),(),(),(111111) 1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然，) 1(n X 为平稳过程. 同理可证，Λ,,) 3()2(n n X X 亦为平稳过程. 3.设 1 )n n k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数，k=1，....n; 1,...n u u 是（0,2π）

随机过程习题和答案

一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝设离散型随机变量X 服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：所以：袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）与无关

（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。试求它们的互协方差函，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的

随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为 mx 和my ,它们的自相关函数分别为 Rx(.)和Ry( .)。( 1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；(2)求Z(t)=X(t)+Y(t) 的自相关函数。答案： (1) R z ()二 E lz(t . )z(t)丨-E X(t . )y(t . )x(t)y(t) I 利用x(t)和y(t)独立的性质:R z (.) = E X(t 亠 ”)x(t) E 〔y(t 亠”)y(t)丨 =R x ( )R y () (2) Rz( ) = E Z(t )z(t) I - E 〔x(t ?) y(t ) ] ■〔x(t) y(t) 1 =E 〔x(t )x(t) x(t )y(t) y(t )x(t) y(t )y(t)l 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质： R z (.) =Rx C ) 2m x m y R y () 答案: (1) 该系统的系统函数为 H (s) = 丫廻 X(s) Pg 兮该系统是一个线性移不变系统，所以输出 y(t)的功率谱密度函数为: 对P Y (f 1)求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数: 1 二「 1 R Y ()宁 'R(")e j ￡二 (2) 线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此，为了求输电压：x(t) 电压： y(t) 1 则频率响应为H(ji 」)= 1 jRC'1 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为 P Y (jO)=P x (j0)H(j0) n o /2 2二二 n 。/丫 2e j 「d 」 1 2、一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为 0、双边功率谱密度函数为 n o /2 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数； (2)求输出信号的一维概率密度函数。 * 电流：i(t) R C

(完整版)随机过程习题答案

随机过程部分习题答案习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。解因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以 ),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π，),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st += 2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。解对于任意0>t ，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法， }ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=- )ln (1}ln {1}ln {t x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=- ≥= 对x 求导得 )(t X 的一维概率密度 xt t x f t x f Y 1 )ln ();(- =，0>t 均值函数 ? ∞ +--===0 )(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t Y X 相关函数 ?+∞ +-+---====0 )()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X

随机过程习题和答案

、1.1设二维随机变量（X , F）的联合概率密度函数为: =—i—[l241-ι>?= "k" QTh Xl-JF) 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： Hm=(Ip)HP J t =U - 试求/的特征函数，并以此求其期望E(X)与方差I K X) ?0 = Efr ir) = ∑ e ? = *) 解：一 =?α-ri M P=√^∑^α-p)t U O-P) ?J 1—(I-JI)1—q/ (O)=α? 24(1-小丄 0

所以： -?(0)二丄 f P ZUr= J Er3-( J EIf)3=^^-^=4 PPp 2.1袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t 对应随机变量 x(t^3如果对t 时取得红球 e t如果对t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族 2.2设随机过程 W 加吨MIF)? gZ I叫，其中吗是常数，/与F是相互独立的随机变量，F服从区间(°2刘上的均匀分布，/服从瑞利分布，其概率密度为 x>0 x≤0 试证明Xu)为宽平稳过程。解:( 1)⑷+F)} q啊诚如+ f)} = 与无关（2）枚F（M 仪加血I（Q/伽说如"）汁F（才） , f _ t t ?(Q) =-J PQ ÷g)

= -te^t∣Γ÷p ^dt =-2σ1e^i∣Γ=2σ3所以必U）啟0⑴卜" （3）R lM壊M∞??+Hl∕∞Ψ?+y）］｝ =豺］￡｛oKs（A +Γ）∞<β（A +Γ）｝ =2^J tt 2{α≈(0A + β?+ y)-rasffl fc A)I^? 心’皿叫仏Z L)只与时间间隔有关，所以XU)为宽平稳过程 2.3设随机过程 X(t)=Ucos2t,其中U是随机变量，且 E(U)= 5, D(U)= 5.求: (1)均值函数； (2)协方差函数；(3)方差函数 2.4设有两个随机过程 X(t)=Ut2, Y(t)=Ut3,其中U是随机变量，且D(U) = 5. 试求它们的互协方差函数 2.5设代B是两个随机变量，试求随机过程X(t) =At ?3B,t? T =(」：「：)的均值函数和自相关函数若A, B相互独立,且A~ N(1,4), B ~U (0,2),则mχ (t)及Rχ(t1,t2) 为多少？

(完整版)随机过程习题答案

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随机过程部分习题答案习题2 2.1 设随机过程 b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。解因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以 ),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π，),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st += 2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。解对于任意0>t ，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法， }ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=- )ln (1}ln {1}ln {t x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=- ≥= 对x 求导得 )(t X 的一维概率密度 xt t x f t x f Y 1)ln ();(- =，0>t 均值函数 ⎰ ∞ +--===0 )(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t Y X 相关函数 ⎰+∞ +-+---====0 )()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X

随机过程课后习题答案

随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。 1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] = e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。由于该过程是平稳过程，所以 E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。 2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] = E[X(0)X(h)]。根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。

随机过程课后题答案

第一章习题解答 1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。求X 的特征函数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。解 ()()jtx jtk k X k f t E e e pq ∞ === ∑ ()k jtk k p q e ∞ ==∑ =0 ()1jt k jt k p p qe qe ∞ == -∑ 又 200 ()k k k k q q E X kpq p kq p p p ∞∞ ======∑∑ 222 ()()[()]q D X E X E X P =-= （其中 00 (1)n n n n n n nx n x x ∞ ∞ ∞ ====+-∑∑∑）令 0 ()(1)n n S x n x ∞ ==+∑ 则 1000 ()(1)1x x n n k n x S t dt n t dt x x ∞ ∞ +=== += = -∑∑⎰⎰ 20 220 1 ()()(1)11(1)1(1)x n n d S x S t dt dx x x nx x x x ∞ =∴= =-∴=-= ---⎰∑ 同理 2 (1)2k k k k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞ =====+--∑∑∑∑ 令20 ()(1)k k S x k x ∞ ==+∑ 则 21 1 ()(1)(1)x k k k k k k S t dt k t dt k x kx ∞∞ ∞ +====+=+=∑∑∑⎰）

2、（1）求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为 1,0()0,0() 0,0p p bx b x e x p x b p p x --⎧>⎪ =>>Γ⎨⎪≤⎩ （2）其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。解（1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 10 ()() p jtx p bx X b f t e x e dx p ∞ --=Γ⎰ 1()0 ()p p jt b x b x e dx p ∞ --=Γ⎰ 101 ()()()()(1) p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b ∞ ----==Γ---⎰ 10 (())x p p e x dx ∞ --Γ= ⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b ∴= = 2''22 1(1) ()(0)X p p E X f j b += = 2 2 2()()()P D X E X E X b ∴=== （4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则 121212() ()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b -++==- 1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+

随机过程习题答案

随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（a）（b）第二讲作业： P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业： P111/7．解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）

随机过程李媛课后习题答案

随机过程李媛课后习题答案随机过程李媛课后习题答案随机过程是概率论中的一个重要概念，它描述了随机事件在时间上的演化过程。而李媛老师的课后习题则是帮助学生巩固对随机过程的理解和应用的重要工具。在本文中，我将为大家提供一些随机过程李媛课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。 1. 试证明布朗运动是连续时间马尔可夫过程。答案：首先，我们需要知道马尔可夫过程的定义是指一个随机过程，其未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。布朗运动是一种连续时间的随机过程，其状态在任意给定时间点的取值是连续的。因此，只需要证明布朗运动满足马尔可夫性质即可。假设我们已经观测到了布朗运动在某个时间点t0的状态为x0。现在我们希望预测未来某个时间点t的状态x。根据布朗运动的性质，我们知道在时间间隔[t0, t]内的状态变化服从正态分布。因此，我们可以利用当前状态x0和时间间隔[t0, t]内的状态变化的均值和方差来预测未来状态x的分布。具体来说，我们可以利用布朗运动的性质，将时间间隔[t0, t]划分为多个小的时间段，每个时间段内的状态变化服从正态分布。然后，我们可以利用这些小时间段内的状态变化的均值和方差来计算未来状态x的分布。由于布朗运动的状态变化是连续的，所以我们可以通过无限细分的时间段来逼近未来状态x的分布。因此，布朗运动满足马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。 2. 试证明泊松过程是非齐次泊松过程的特例。答案：泊松过程是一种常见的随机过程，它描述了单位时间内随机事件发生的

次数。而非齐次泊松过程是泊松过程的一种扩展，它允许随机事件发生的概率在时间上变化。我们需要证明泊松过程可以看作是非齐次泊松过程的特例。假设我们已经观测到了一个非齐次泊松过程在某个时间段[t0, t]内随机事件发生的次数为N。现在我们希望将其转化为一个泊松过程。我们可以将时间段[t0, t] 划分为多个小的时间段，每个时间段内的随机事件发生的概率是相同的。然后，我们可以将每个小时间段内随机事件发生的次数相加，得到总的随机事件发生的次数。由于非齐次泊松过程允许随机事件发生的概率在时间上变化，我们可以将每个小时间段内的随机事件发生的概率设为λ(t)，其中λ(t)是时间t的随机事件发生的概率。然后，我们可以将每个小时间段内随机事件发生的次数设为N(t)，其中N(t)是时间t的随机事件发生的次数。由于非齐次泊松过程的性质，我们知道N(t)服从参数为λ(t)的泊松分布。现在，我们可以将每个小时间段内随机事件发生的次数N(t)相加，得到总的随机事件发生的次数N。由于非齐次泊松过程的性质，我们知道N服从参数为λ 的泊松分布，其中λ是时间段[t0, t]内随机事件发生的平均次数。因此，我们可以将非齐次泊松过程转化为一个泊松过程。综上所述，泊松过程可以看作是非齐次泊松过程的特例，其中非齐次泊松过程允许随机事件发生的概率在时间上变化。以上是我对于随机过程李媛课后习题的答案。希望这些答案能够帮助大家更好地理解和应用随机过程的知识。当然，这只是一部分习题的答案，如果大家还有其他问题，可以继续探讨和学习。祝大家在学习随机过程的过程中取得好成绩！

随机过程课后题答案

《随机信号分析》复习备考题第一章概率论简介

第二章随机信号概论

参考答案：（1）)(t X 的一个样本函数的草图（2）时间连续，状态离散，离散型随机过程。（3）一维概率密度函数： nT t T n A x A x t x p X <<-++-=)1(),(2 1)(21),(δδ 二维概率密度函数： [][]⎪⎩⎪⎨ ⎧>-<<<-++-++-<<-+++--=nT t T n t nT t T n A x A x A x A x nT t t T n A x A x A x A x t t x x p X 221 22112121212121)1(, )1(,)()()()(4 1, ,)1(),()(2 1)()(21) ,;,(或δδδδδδδδ 参考答案： [][]625.3341 683241181)()()(111=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E [][]625.214 1 283441581)()()(222=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E []() 875.7)13(4 1 )62(83)42(41)51(81,)()(212121=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==∑x x P x x t X t X E )1()3(4 1 )2()6(83) 4()2(4 1 )5()1(81),;,(212121212121--+--+--+--=x x x x x x x x t t x x p X δδδδδδδδ

参考答案： Φ的概率密度为 ⎪⎩⎪ ⎨⎧≤≤=Φ其它 ,020,21)(πϕπϕp 均值：[][]021 )cos()cos()()(2000=Φ⋅ Φ+=Φ+==⎰d t a t a E t X E t m X π π ωω 方差： 01(t)cos(t)cos(t)X a b ωω=+ 自相关函数： [] [12120102011202110102011202(,)()()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()][cos()cos()][cos()X R t t E X t X t E a t a t a t b t a t b t E a t a t E a t b t E a t b ωωωωωωωωωωω==+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅[[] [][]1 010******* 010201021112010222 01211cos(cos()cos()][cos()cos()cos()cos(2)cos()cos(2)22cos ()cos (22E a t a t E b t b t a b E t t t t E t t t t a b t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω≈+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=-+++Φ+-+++Φ=-+-222 01)cos ()cos ()22 a b ωτωτ=+ +

通原第三章随机过程课后题答案

第三章随机过程错误！未定义书签。．设()()()cos 2c Y t X t f t πθ=+，其中()X t 与θ统计独立，()X t 为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为()X R τ，()X P f 。 (1)若θ在()0,2π均匀分布，求()Y t 的均值、自相关函数和功率谱密度 (2)若θ为常数，求()Y t 的均值、自相关函数和功率谱密度解：无论是(1)还是(2)，都有 ()()()cos 20 c E Y t E X t E f t πθ=+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()()()()()()()()()()cos 2cos 22cos 2cos 221 cos 2cos 422211 cos 2cos 42222Y c c c c c c X c c c X c X c c R E Y t Y t E X t f t X t f t f E X t X t E f t f t f R E f f t f R f R E f t f ττπθτπθπττπθπθπττπτπθπττπττπθπτ=+⎡⎤⎣⎦ =++++⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦= +++⎡⎤⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦ 在(1)的条件下，θ的概率密度函数为 [)1 0,2()2 0 else p θπθπ⎧∈⎪=⎨⎪⎩ 于是 ()()20 1cos 422cos 4220 2c c c c E f t f f t f d π πθπτπθπτθπ ++= ++=⎡⎤⎣⎦⎰ 因此 ()()1 cos 22Y X c R R f ττπτ= ()()()()() 22cos 224 X c j f j f Y Y X c X c R f P f R e d e d P f f P f f πτ πττπττττ∞∞ ---∞-∞ ==-++= ⎰⎰ 在(2)的条件下 ()()()()11 cos 2cos 42222Y X c X c c R R f R f t f ττπττπθπτ= +++ 表明()Y t 是循环平稳过程。对时间t 平均，由于 ()cos 4220c c f t f πθπτ++=，所以()Y t 的平均自相关函数是 ()()1 cos 22Y X c R R f ττπτ= 因此平均功率谱密度是

钱敏平-龚光鲁-随机过程答案(部分)

随机过程课后习题答案第一章第二题：已知一列一维分布{();1}n F x n ≥，试构造一个概率空间及其上的一个相互独立的随机变量序列{(,);1}n n ξ⋅≥使得(,)n ξ⋅的分布函数为()n F x 。解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某一随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。所以可以假设有相互独立的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ，如果令1(,)()n n n F ξθ-⋅=，则有(,)n ξ⋅为服从分布()n F x 的随机变量。又由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ⋅≥之间相互独立，则其中任意有限个随机变量12(,),(,),...,(,)n i i i ξξξ⋅⋅⋅的联合分布为： 11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅ 再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯一的概率测度P 使得： 11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅ 则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。第八题：令{};1n X n ≥是一列相互独立且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。又令 1n n S X X =++ 22(1) n S n n ξ+= 1(,,)n n F X X σ= 试证明：,;1n n F n ξ≥（）是下鞅（参见23题）。证明：欲证明n ξ为一个下鞅，只需证明其具有适应性，可积性和下鞅性。适应性显然，下证其具有可积性和下鞅性。

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