随机过程第二章复习题及其解答基本概念
第二章
1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程四类.
2、若｛X(t), teT｝是零均值的二阶矩过程，若对任意的tKtWtKs 则X(t)为正交增量过程的充分条件是E[X⑷-x fi][x(t4)-x(t3)J = 0
3、设随机过程X(t)=Y+Zt, t>0,其中Y, Z是相互独立的N (0,1) 随机变量，求｛ X(t), t>0｝的一维和二维概率密度族.
解：由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态
随机变量，要计算｛X(t), t〉0｝的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征叫(/)、D x (?)和Px (s, t)即可.iDx(t)=E (Y+Zt)=EY+tEZ=0, Dx (t)=D(Y+Zt)二DY+t'DZ 二1+F,
B x(s, t)=EX(s)X(t)- m x(s) m3£(t)=E(Y+Zs) (Y+Zt)=l+st,
t) _ 1 十st
(
PxG丿’瓦⑤叵貢血十旳(屮2)，
故随机过程｛X(t), t>0｝的一、二维概率密度分别为
I Y2
ft(x)=7^?W xp｛-
绪d'X* 2兀如旳二片讦 -eXP(令 [ 昙—2p j(】+：；；；+t2)+悬]｝，s,t>0,其中p = Px(s,t)
4、设｛X(t), tMO｝是实正交增量过程，X(0)=0, V是标准正态随机变量，若对任意的tMO, X(t)与V相互独立，令Y(t)=X(t)+V,求随机过程(Y(t), tMO｝的协方差函数.
解：依题意知EX(t)=O, EV=O, DV=1,所以
EY (t) =E [X (t)+V] =EX (t) +EV=O,
12)=E(X(ti)+V) (X(t2)+V)
=E [X (tD X (t2)) ]+EV2= O \(min (t b t2)) +1.
5、试证明维纳过程是正态过程。
证明：设｛B(t), t^O｝是参数为。$的维纳过程，对于任意的n,任取0^ti B(t2) •I 0 1 1 •• ... o' …0 ■ ■ B(tJ _ • • _B(J •• •• 1 1 • • • • • ...1 ■ 即[B(tJ,B(tJ,…,B(t n)] 是n维正态随机向量[B(tJ,B(t2)- B(S,…,B(tAB(tQ]的线性变换，所以[B(ti), B(t2)，…,B(t…)]是n 维正态随机向量,n=l, 2, •••,故｛B(t), tN 0｝是正态过程. 6、设£方是两个随机变量.试求随机过程X(t)=At+B,te (-oo,+s) 的均值函数和自相关函数。如果A, B相互独立，且A〜N(O,1),B〜U(0, 2),问X (t)的均值函数和自相关函数又是什么？ 7、求随机相位正弦波X (t) =acos (曲 + O), tU (-oo,+co)的均值函数，方差函数和自相关函数，其中a和。是正常数，O〜U(0,2”)。 8、设X(t)二Acosm+BsinQ , t^T (-s,+s),其中A, B 相互独立， 且都服从正态分布N(0, ^2)的随机变量，。是实常数。证明X(t)是正态过程，并求它的均值函数和自相关函数。 9.设随机过程{X(『),隹(y,p)}只有两条样本曲线 x(6?r/) = «cosr, , /)=° cos(/+ 其中G > 0,且p(®)=吕,p(fy2)=|,试求随机过程{X (r),r e (- s，T}的均值函数，相关函数和方差函数。 解：X⑴的均值函数 相关函数 R x(5j) = £*[X (S)X (r) | = («cos5)(ncosr) — + (-«cos5)(-ncosz) - = a2cosjcos6 协方差函数 li x (sj)=R x(5,r)-m t (s)m t (/) = «' cos^cosr - —cos5—cosf =二/cosscosr 均方值函数％ (r) = EX2(t) = Rx (-)=/co宀 10.设随机i±Sx(r) = sinOr,/eT ,其中&服从均匀分布“03). (1)如果T={1, 2,...},试求X(t)的均值函数和相关函数，并由此证明X(t)是平稳随机序列。 ⑵如果T = [0,^),试求X(t)的均值函数，并由此证明X(t)不是平稳随机过程. 解： (1)如果7、= {12・・},那么 「¥〔cos&加一cos（2刃+ /«）&] d& 0./H>0. 因为随机过程x⑴的均值为常数，相关函数仅与时间差值m有关，所以X⑴是平稳随机序列。 （2）当T = [0,+oo）时，均值函数 m x⑴=E[sin Or] = ^ [ sin 0fJ0 =、]-c°s2s>o Inn 0,t=0. 均值函数不是常数，因此X（『）不是平稳随机序列。 1、随机过程()0,≥+=t Bt A t X ，其中A 和B 是独立随机变量，分别服从正态分布()1,0N 。求()t X 的一维和二维分布。 答案：一维分布为 ()21,0t N + 二维分布是数学期望矢量为() τ 0,0，协方差阵为? ? ? ? ??++++222 1212 11111t t t t t t 的二维正态分布 2、设随机过程)(t X 只有两条样本曲线 t a w t X cos ),(1= t a t a w t X cos )cos(),(2-=+=π， +∞<<∞-t 其中常数 0>a ，且 3 2)(1= w P ，3 1)(2= w P 。试求)(t X 的一维分布函数)0(；x F ， ) 4 (π ；x F 和二维分布函数)4 ,0,(21π ； x x F 。 答案：? ??? ?? ???≥<≤- -<=a x a x a a x x F 22,122 22,3 122 ,0)4(π； ???? ???? ? ≥ ≥≥ <≤-< ≤- -≥- <-<=??? ? ?a x a x a x a x a a x a a x a x a x x x F 22122,2 22 231 2 204,0;,2121212121和当和和当或当π 3、设一随机过程 X (t )=A cos(wt +Ф), t ∈R ，其中A 和w 都是常数，Ф~U [-π,π]。试求：(1) X (t )的一维分布；(2) X (t )的数字特征。 答案：（1）一维概率密度为 R t A t x A t x A t x f t X ∈?? ? ?? <<--=, , 0)(,)(1))((2 2 )(其它 π 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时， ＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀 分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 1 2 2 121 2 1 11221 11222100 12()exp() exp()(1)! (1)! N N t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞ --<=----?? 标准教材： 随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著 索书号：O211.6/Z35-2 备用教材：（这个非常多，内容一样一样的） 工程随机过程/彭秀艳编著 索书号：TB114/P50 历年试题（页码对应备用教材） 2007 一、习题0.7（1） 二、习题1.4 三、例2.5.1—P80 四、例2.1.2—P47 五、习题2.2 六、例3.2.2—P99 2008 一、习题0.5 二、习题1.4 三、定理2.5.1—P76 四、定理2.5.6—P80 五、1、例2.5.1—P80 2、例2.2.2—P53 六、例3.2.3—P99 2009（回忆版） 一、习题1.12 二、例2.2.3—P53 三、例1.4.2与例1.5.5的融合 四、定理2.5.3—P76 五、习题0.8 六、例3.2.2 2010 一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1 三、例2.1.4 四、例2.2.2 五、习题2.6 六、习题3.3 引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式 ()2 22E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 证明： ()()()()2 222 2 22 2 2220 440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 例1.4.2 解法详解 已知随机过程(){} ,X t t T ∈的均值为零，相关函数为 ()12 1212,,,,0a t t t t e t t T a --Γ=∈>为常数。求其积分过程 ()(){} ,t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函 数()12,Y t t Γ。 解： ()0Y m t = 不妨设12t t > () ()()()()()1 2 1 2 2 2 2 1 12121122 1 2 2 1 00 ,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττ Γ===Γ⎰⎰⎰⎰ () () ()()()2 2 2 1 21122 2 2122211 2222 21222121212 1212 00 022 00220022 00222211||111111 ||211ττττττ ττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰ ⎰ ⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at e d d e d d e d e d a a e d e d a a t t e e a a a a t e e e a a ⎤⎦ 同理当21t t >时 ()()211 2112221,1a t t at at Y t t t e e e a a ----⎡⎤Γ= ++--⎣⎦ （此处书上印刷有误） 例1.5.5解法同上 例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导： (){}() () ()()()()()()()()()1 lim ! lim 1!! !1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换： →∞ -→∞ -→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣ ⎦⎣⎦ ⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N k k N N k k N N k N k q t qt N N k N k k k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣ ⎦-⎣⎦ N k k k k k N k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!! N k k N k qt P X t k N q t q t N k k qt e k -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦-⎣⎦⎣⎦= 例2.1.2 解法详解 设(){} ,X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且 ()()2 212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦， 令()()()1Y t X t X t =--， 试证明(){} ,Y t t -∞<<+∞为平稳过程。 证明： 第二章 1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程四类. 2、若｛X(t), teT｝是零均值的二阶矩过程，若对任意的tKtWtKs 则X(t)为正交增量过程的充分条件是E[X⑷-x fi][x(t4)-x(t3)J = 0 3、设随机过程X(t)=Y+Zt, t>0,其中Y, Z是相互独立的N (0,1) 随机变量，求｛ X(t), t>0｝的一维和二维概率密度族. 解：由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态 随机变量，要计算｛X(t), t〉0｝的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征叫(/)、D x (?)和Px (s, t)即可.iDx(t)=E (Y+Zt)=EY+tEZ=0, Dx (t)=D(Y+Zt)二DY+t'DZ 二1+F, B x(s, t)=EX(s)X(t)- m x(s) m3£(t)=E(Y+Zs) (Y+Zt)=l+st, t) _ 1 十st ( PxG丿’瓦⑤叵貢血十旳(屮2)， 故随机过程｛X(t), t>0｝的一、二维概率密度分别为 I Y2 ft(x)=7^?W xp｛- 绪d'X* 2兀如旳二片讦 -eXP(令 [ 昙—2p j(】+：；；；+t2)+悬]｝，s,t>0,其中p = Px(s,t) 4、设｛X(t), tMO｝是实正交增量过程，X(0)=0, V是标准正态随机变量，若对任意的tMO, X(t)与V相互独立，令Y(t)=X(t)+V,求随机过程(Y(t), tMO｝的协方差函数. 解：依题意知EX(t)=O, EV=O, DV=1,所以 EY (t) =E [X (t)+V] =EX (t) +EV=O, 12)=E(X(ti)+V) (X(t2)+V) =E [X (tD X (t2)) ]+EV2= O \(min (t b t2)) +1. 5、试证明维纳过程是正态过程。 证明：设｛B(t), t^O｝是参数为。$的维纳过程，对于任意的n,任取0^ti 习题1 1. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)] 都不依赖s. 证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知 EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关 必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明 EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数 2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1 定义 I( t , x)=⎩ ⎨⎧>≤，，，，t x t x 01 并记X(t)=),(11 ∑=n k k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。 试求过程X （t ）的均值和协方差函数。 解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D ()),(k U t I = EI ()k U t ,－()2 ),(k U t EI = t －2 t = t(1－t) j k ≠， cov () ),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0 k = j ， cov () ),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－st EX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=n k t n 11= t cov ())(),(s X t X =()()) ,(),,(cov 1),(),,(cov 12 1 2 j k j k n k k k U s I U t I n U s I U t I n ∑∑≠=+ =[]∑=n k st t s n 1 2 ),min(1 － =()st t s n －),min(1 第二章随机过程的基本概念 说明与解释 2.1 随机过程的定义 ◆{X(t), t∈T}称为随机过程，是定义在样本空间Ω和参数集T上的一个二 元函数 ◆当t=t0固定时，X(t0)为一个随机变量，当样本点ω固定时，X(ω,t)随时 间变化，称为样本函数，在平面上为一条曲线，或折线段 2.2 随机过程的分布 ◆对于随机过程{X(t), t∈T}，当参数t取有限n个不同值时，则得到一个n维随机向量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))，它的概率分布即为概率论中多维随机向量的联合概率分布。 ◆定理2.2.1的说明 （1）对称性随机过程的n维分布函数 F(x1,x2⋯,x n;t1,t2⋯,t n)=P[(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,⋯,X(t n)≤x n] 上面大括号内是n个事件的积，事件的积运算满足交换律，所以对称性成立。（2）相容性以二维随机向量(X,Y)为例，有 F X(x)=F XY(x,∞) 所以，相容性成立。 ◆例2.2.1的说明 因为U、V相互独立且同分布，都服从标准正态分布，因此它们的线性组合也服从正态分布，只需求出X(t)=U+tV的数学期望和方程即可。 （1）一维密度函数根据期望与方差的性质，有 E(X(t))=E(U+tV)E(U)+tE(V)=0 D(X(t))=D(U+tV)=D(U)+D(tV)=1+t2D(V)=1+t2而一维正态随机变量的密度函数为 f(x)= 1 √2πσ {− (x−μ)2 2σ2 } （2）n维密度函数可以根据定理1.2.2证明(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))服从n维正态分布，所以下面只需求出其数学期望向量μ和协方差矩阵Σ 根据（1）的计算结果，μ=E(X(t))为0向量 cov(X(t i),X(t j))=cov(U+t i V,U+t j V) =cov(U,V)+t i cov(V,U)+t j cov(U,V)+t i t j cov(V,V) =D(U)+0+0+t i t j D(V)=1+t i t j 记σij=1+t i t j,( i,j=1,2,⋯,n),Σ=(σij)n×n,x=(x1,x2,⋯,x n) 由定理1.2.1知n维正态变量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))的密度函数为 f(x)= 1 √2π n√|Σ| {− 1 2 (x−μ)TΣ−1(x−μ)} ◆如果随机过程{X(t),−∞ 考研随机过程知识点串讲 随机过程是概率论与数理统计中的重要分支，也是考研数学的一项重要内容。理解和掌握随机过程的知识点对于考研数学题目的解答至关重要。本文将对考研随机过程的知识点进行串讲，以帮助考生更好地理解和掌握相关知识。 一、随机过程的基本概念 随机过程是指一类由随机变量所组成的描述某个随机现象随时间变化的数学模型。随机过程可分为离散型随机过程和连续型随机过程。 离散型随机过程是指在离散的时间点上定义的随机过程，如泊松过程、马尔可夫链等。连续型随机过程则是在连续的时间区间上定义的随机过程，如布朗运动、随机微分方程等。 二、泊松过程 泊松过程是一种重要的离散型随机过程，它描述了在给定时间段内某一事件发生的次数。泊松过程具有无记忆性、独立增量和稀疏性等特点。 泊松过程的定义可以通过其强度函数或事件发生的时间间隔来进行描述。其强度函数λ(t)表示单位时间内事件发生的平均次数，事件发生的时间间隔服从指数分布。 三、马尔可夫过程 马尔可夫过程是一种描述具有马尔可夫性质的随机过程。马尔可夫性质指的是在给定当前状态下，未来状态的条件概率只与当前状态有关，而与过去状态无关。 马尔可夫链是一种特殊的马尔可夫过程，其状态空间为有限或可列集合。马尔可夫链具有平稳转移概率、不可约性、非周期性和列遍性等性质。 四、布朗运动 布朗运动是一种重要的连续型随机过程，它是由时间和随机变量构成的连续时间随机过程。布朗运动具有平稳增量、独立增量和高斯性等特点。 布朗运动的定义可以通过其均值和方差进行描述，其中均值为0，方差为t。 五、随机微分方程 随机微分方程是一种描述带有随机项的微分方程。它将确定性微分方程中的常数项替换为随机过程，引入了随机性因素。 随机微分方程具有解的存在唯一性、马尔可夫性、连续依赖于初值等性质。常见的随机微分方程模型包括随机一阶线性微分方程和随机线性方程组等。 六、蒙特卡洛方法 第2章随机过程习题及答案 第二章随机过程分析 1.1学习指导1.1.1要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。2.随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值某1的概率为P[ξ(t1)≤某1]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为 F1(某1,t1)=P[ξ(t1)≤某1](2-1) 如果F1(某1,t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为 F1(某1,t1)f1(某1,t1)(2-2) 某1 对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1)≤某1和ξ(t2)≤某2同时成立的概率 F2(某1,某2;t1,t2)P(t1)某1,(t2)某2(2-3) 称为随机过程(t)的二维分布函数。如果 2F2(某1,某2;t1,t2)f2(某1,某2;t1,t2)(2-4) 某1某2存在，则称f2(某1,某2;t1,t2)为随机过程(t)的二维概率密度函数。 对于任意时刻t1，t2，…，tn，把 Fn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)P(t1)某1,(t2)某2,称为随机过程(t)的n维分布函数。如果 ,(tn)某n(2-5)nFn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)fn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)(2-6) 某1某2某n存在，则称fn(某1,某2,…,某n;t1,t2,…,tn)为随机过程(t)的n维概率密度函数。3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程(t)在任意给定时刻t的取值(t)是一个随机变量，其均值为E(t)某f1(某,t)d某(2-7) 其中，f1(某,t)为(t)的概率密度函数。随机过程(t)的均值是时间的确定函数，记作a(t)，它表示随机过程(t)的n个样本函数曲线的摆动中心。 随机过程(t)的方差的定义如下： D[(t)]E[(t)a(t)]2(2-8) 随机过程(t)的方差常记作σ2(t)。随机过程(t)的方差的另一个常用的公式为 22DξtEξt2atξtat2E[ξ2(t)]2atEξta(t) 随机过程与应用习题二答案 随机过程与应用习题二答案 随机过程是概率论中的一个重要分支，它研究的是随机事件随时间的演变规律。在实际应用中，我们经常会遇到一些与随机过程相关的问题。本文将给出一些 随机过程与应用习题二的答案，帮助读者更好地理解和应用随机过程的相关知识。 题目一：某商场每天的顾客数量服从泊松分布，平均每天有10个顾客到访。求在一个星期内，商场每天至少有5个顾客到访的概率。 解答：首先，我们知道泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!， 其中λ为平均到访数量。所以，商场每天至少有5个顾客到访的概率可以表示 为P(X>=5)。 根据泊松分布的性质，我们可以使用其补事件的概率来计算P(X>=5)。即， P(X>=5) = 1 - P(X<5)。 P(X<5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = e^(-10) * 10^0 / 0! + e^(-10) * 10^1 / 1! + e^(-10) * 10^2 / 2! + e^(-10) * 10^3 / 3! + e^(-10) * 10^4 / 4! 计算得到P(X<5) ≈ 0.067 因此，商场每天至少有5个顾客到访的概率为P(X>=5) ≈ 1 - 0.067 ≈ 0.933。 题目二：某工厂生产的产品合格率为80%。现在从该工厂连续抽取10个产品， 求恰好有8个产品合格的概率。 解答：根据二项分布的概率质量函数，我们可以得到恰好有8个产品合格的概 率为P(X=8)。 P(X=8) = C(10, 8) * (0.8)^8 * (1-0.8)^(10-8) = 45 * 0.8^8 * 0.2^2 ≈ 0.302 因此，恰好有8个产品合格的概率为P(X=8) ≈ 0.302。 题目三：某地区每天的降雨量服从指数分布，平均每天降雨量为2毫米。求连续两天降雨量总和超过4毫米的概率。 解答：假设X和Y分别表示第一天和第二天的降雨量，且X和Y相互独立。根据指数分布的性质，我们可以得到连续两天降雨量总和超过4毫米的概率为 P(X+Y>4)。 P(X+Y>4) = 1 - P(X+Y<=4) 由于X和Y相互独立，所以P(X+Y<=4) = P(X<=4) * P(Y<=4)。 P(X<=4) = 1 - P(X>4) = 1 - ∫(4, ∞) λe^(-λx) dx = 1 - e^(-4λ) P(Y<=4) = 1 - P(Y>4) = 1 - ∫(4, ∞) λe^(-λy) dy = 1 - e^(-4λ) 因此，P(X+Y>4) = 1 - (1 - e^(-4λ))^2。 根据平均每天降雨量为2毫米，即λ=1/2，代入计算可得： P(X+Y>4) = 1 - (1 - e^(-2))^2 ≈ 0.593 因此，连续两天降雨量总和超过4毫米的概率为P(X+Y>4) ≈ 0.593。 通过以上习题的解答，我们可以看到随机过程在实际问题中的应用。随机过程的研究可以帮助我们更好地理解和解决与随机事件相关的问题，为实际应用提 第二章 Markov 过程习题 完整答案，请搜淘宝 1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为： 01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ 定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=========----; 1,1, 3;0,1,2; 1,0,1; 0,0, 01111n n n n n n n n n X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ 试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。不是的话，请说明理由。 2、 天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有 雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。试求此马氏链的转移概率矩阵。 3、 设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为}2,1,0{=S ，它的初始状态的概率分布 为：4/1}0{0==X P ，2/1}1{0==X P ，4/1}2{0==X P ，它的一步转移转移概率矩阵为： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=434 1031313104341 P （1） 计算概率：}1,1,0{210===X X X P ； （2） 计算) 3(12) 2(01,p p 。 4、 独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以n ξ表示前n 次抛掷出的最大点数，试证明 }1;{≥n n ξ是一马氏链，并求其n 步转移概率矩阵。 5、 设有一个三个状态}2,1,0{=S 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为： 随机过程测试题一答案 每题10分 1.在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固三只 螺栓，其二是焊接两处焊点。以X 表示由机器人紧固的螺栓不良的数目， 以Y 表 示由机器人焊接的焊点不良的数目。据积累资料知 （X,Y ）具有分布律： (1)求 EX ；(2)求 E[X|Y = j], j=0,1,2；(3)验证 EX =£ E[X |Y = j]P{Y = j}. i=0 9 E[X |Y =1] =0.4； 2 1 L 、’ ' E[X |Y = j]P{Y = j} = >0.9 0.4 0.08 0.8 0.02 =0.148 = EX . 化 9 _ ............ ..... a" n Y ^ \/ 2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 门又肘二产。， ^y, k J (1) 求 EX ;(2) 对任意 y>0 ,求 E[X|Y = y]:⑶ 验证 EX =「E[X|Y =y]f Y (y)dy . 解：(1)当 x 》0 时，X 的概率密度为 fX (x) =「f(x,y)dy= j*e —y dy = e". 4 .关丁独立随机变量序列｛X/,下列哪些命题是正确的. (1)若E|X k| 《概率论与随机过程》第二章习题答案 2.4 利用投掷一枚硬币的试验定义随机过程为 ()()⎩ ⎨ ⎧==-=⎩⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎩⎨ ⎧=50250115015 00212t cos t .p ,.p ,.p ,.p t X X πX ，＝出现负面出现正面 假设出现“正面”和“反面”的概率各为21 ，试确定()t X 的一维分布函数 ()121;x F ;x F X X ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛以及二维分布⎪⎭⎫ ⎝⎛ 12121,;x ,x F X 解： ()()1505021-+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛x .x .,x f δδ }{}{()() 121211500502 125025021-+=≥+≥=⎩⎨⎧⎭⎬⎫ ≤+⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛x u x u x p .x p .x *p .x cos p .,x F x π()()()22 1 1211-++=x x ,x f x δδ ()}{}{}{}{()() 22 1 121250150250501-++=≥+-≥=≤+≤=x u x u x p .x p .x p .x cos p .,x F x π()()()()2150150121212121--++=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ x x .x x .,;x ,x f x δδδδ }{} {()()()()212 1 121215010501212121212121--++=≥≥+-≥≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛ x u x u x u x u x ,x p .x ,x p .,;x ,x F x 2.6随机过程()t X 由下图三个样本函数组成，并以等概率出现。试求 ()[]()[]()()[]()()()6262626221，；，；；x x F ,x F ,x F ,,,X X X X X E X E X E 。 t 解: X1 x2 x3 T1=2 3 4 6 T1=6 5 7 2 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ,U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数; 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量,所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布, 且: {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+ 故: （1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2） )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+ 协方差函数为:(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪ +⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭ = 2、(12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平 均到达率线性增长到最高峰每小时80人,从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人.问在10：00-14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00-14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少? 解: 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤⎧=⎨ <≤⎩ 在10：00—14：00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=⎰⎰⎰ 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=48 31481348 436133616367164167 165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(242 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值 = 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+⨯⨯-+⨯⨯=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 )(t X 的均方值2 121)0()(2-= =ψX X R τ 8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均 匀分布的随机变量，则0 )(>= 湖南大学本科课程《随机过程》习题集 主讲教师：何松华 教授 第一章：概述及概率论复习 1。1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品,从这一批产品中任意抽取3个，求其 中有次品的概率。 1。2 设一批零件共100个，次品率为10％，每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回， 求第3次才取得合格品的概率。 1。3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球,求乙取得红 球的概率（甲取出的球不放回)。 1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连 续n 次取得合格品的概率。 1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且 0()00 x A Be x F x x λ-⎧+≥=⎨ <⎩ 其中0为常数，求常数A 、B 的值。 1.6设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞ （1） 求系数A 、B ；（2）求随机变量落在（-1，1）内的概率；(3)求其概率密度函数。 1.7已知二维随机变量(X,Y ）的联合概率密度分布函数为 6(2)0,1 (,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨ ⎩ （1）求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2）问X 、Y 是否相互独立? 1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为 2 2 ()()]22X X X X x m f x σπσ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c,b 为常数.求Y 的概率密度分布函数。 1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为 101 ()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨ ⎩，0()0 y Y e y f y elsewhere -⎧<=⎨⎩ 求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。 1。10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为 Y 的正态分布，求X 的概率密度分布. 1。11随机变量X 服从标准正态分布2 1()exp{}22X x f x π =-，求随机变量n Y X =（n 为正整数） 的数学期望及方差。 1。12随机变量X 服从均值为m X 、标准差为 X 的正态分布，X 通过双向平方率检波器，Y=cX 2(c>0)， 求Y 的概率密度分布。 1。13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为 (,)sin() (0,0)2 2 XY f x y A x y x y π π =+≤≤ ≤≤ (1) 求系数A ，(2）求数学期望E ［X]、E[Y ］,方差D[X]、D[Y]；（3）求X 、Y 的相关函数及相 关系数. 1。14设X 为拉谱拉斯随机变量，||() (-) (0)2 x X f x e x αα α-= ∞<<∞>;求：（1）X 的特征函数,（2） 利用特征函数求X 的均值与方差，（3）讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。 第二章：随机过程的基本概念 2。1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 、B,从t=1s 开始,每隔1s 有一名乘客到达车站。如 果每名乘客以概率1/2登上A 车,以概率1/2登上B 车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用X j 表示第j 秒到达的乘客的登车状态，即登上A 车则X j =1，登上B 车则X j =0；设t=n 时A 车上的乘客数为Y n .（1)求离散时间随机过程Y n 的一维概率分布率；(2)当公共汽车A 上的乘客达到10个时，A 即开车，求A 车出发时刻n 的概率分布。 2.2一个正弦振荡器,由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦波可以看 西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后 答案 随机过程习题解答 第一章习题解答 1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===L 。求X 的特征 函数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 解 0 ()()jtx jtk k X k f t E e e pq ∞ === ∑Q 0 ()k jtk k p q e ∞ ==∑ =0 ()1jt k jt k p p qe qe ∞ ==-∑ 又20 ()k k k k q q E X kpq p kq p p p ∞∞ ======∑∑Q 222 ()()[()]q D X E X E X P =-= （其中 00 (1)n n n n n n nx n x x ∞ ∞ ∞ ====+-∑∑∑） 令 0 ()(1)n n S x n x ∞ ==+∑ 则 1 00 ()(1)1x x n n k n x S t dt n t dt x x ∞ ∞ +=== += =-∑∑⎰⎰ 2 220 1()()(1)11(1)1(1)x n n d S x S t dt dx x x nx x x x ∞ =∴= = -∴=-= ---⎰∑ 同理 2 (1)2k k k k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞ =====+--∑∑∑∑ 令20 ()(1)k k S x k x ∞ ==+∑ 则 21 1 ()(1)(1)x k k k k k k S t dt k t dt k x kx ∞∞ ∞ +====+=+=∑∑∑⎰）W 2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为 1,0()0,0() 0,0p p bx b x e x p x b p p x --⎧>⎪ =>>Γ⎨⎪≤⎩ （2） 其期望和方差； （3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。 解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 10 ()() p jtx p bx X b f t e x e dx p ∞ --=Γ⎰ 1()0 ()p p jt b x b x e dx p ∞ --=Γ⎰ 101 ()()()()(1) p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b ∞ ----==Γ---⎰ 1 (())x p p e x dx ∞ --Γ= ⎰Q （2）'1()(0)X p E X f j b ∴= = 2''221(1) ()(0)X p p E X f j b += = 2 2 2()()()P D X E X E X b ∴=== （4） 若(,)i i X p b Γ: 1,2i = 则 121212() ()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b -++==-随机过程复习题
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