随机过程试题
第一单元
1. 下列常见的分布中属于离散型随机变量的分布有（）：(
2.0分)
A.二项式分布
B.均匀分布
C.泊松分布
D.正态分布
E.(0-1)分布
2. 下列常见的分布中属于连续型随机变量的分布有（）：(2.0分)
A.二项式分布
B.均匀分布
C.泊松分布
D.正态分布
E.(0-2)分布
3. 下列关于随机变量分布函数性质的描述，正确的是（）：(2.0分)
A.分布函数是一个不减函数
B.分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性
C.分布函数的最大值为无穷大
D.分布函数是右连续函数
E.离散型随机变量的分布函数是一系列冲激函数的线性组合
4. 下列关于随机变量概率密度性质的描述，正确的是（）：(2.0分)
A.概率密度是一个不减函数
B.概率密度能够完整地描述随机变量的统计规律性
C.只有连续型随机变量才存在概率密度
D.概率密度是非负的函数
E.随机变量的概率密度一定存在
5. 随机试验有什么特点？(2.0分)
6. 基本事件是随机试验中最简单的随机事件。(2.0分)
7. 两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以另一事件在此事件发生的条件下的条件概率。(2.0分)
8. 全概率公式用于在许多情况(B1，B2，…，Bn)下都可能发生事件A，求发生A 的全概率；贝叶斯公式则用于当A已经发生的情况下，求发生事件A的各种可能原因的条件概率。(2.0分)
9. 随机变量是样本空间上的单值实函数。(2.0分)
10. 两个随机变量如果相互独立，则它们的联合分布函数等于这两个随机变量的一维分布函数的乘积。(2.0分)
11. 如果要使两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量的数学期望之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。(2.0分)
12. 如果要使两个随机变量之和的方差等于这两个随机变量的方差之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。(2.0分)
13. 两个随机变量如果是不相关的，则它们必定是相互独立的。(2.0分)
14. 当一个随机变量的数学期望为零时，它的方差和均方值相等。(2.0分)
15. 复随机变量的数学期望和方差都是复数。(2.0分)
16. 协方差是反映两个随机变量相关关系的数字特征。(2.0分)
17. 相互独立的随机变量和的特征函数等于各变量的特征函数的乘积。(2.0分)
18. 数学期望、方差和协方差都是矩的特殊情况，其中数学期望是随机变量的＿＿＿＿矩，方差是随机变量的＿＿＿＿矩，协方差是两个变量的＿＿＿＿矩。(2.0分) 19. 离散型随机变量的统计规律可以用＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿来描述。(2.0分)
20. 连续型随机变量的统计规律可以用＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿来描述。(2.0分)
21. 数学期望表示＿＿＿＿运算。(2.0分)
22. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率。(2.0分)
23. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率。(2.0分)
24. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15, 刮风(用B表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P(A|B), P(B|A), P(A+B)。(2.0分)
25. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率。(2.0分) 26. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信息“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”。求当收报台收到“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率，以及收到“—”时，确系发出“—”的概率。(2.0分) 27. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果。写出它的概率函数和分布函数。
(2.0分)
28. 如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布。写出它的分布函数F(x), 画出F(x)的图形。(2.0分)
29. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+B arctgx, 求常数
A,B;P{|ξ|<1}以及概率密度φ(x)。(2.0分)
第二单元
1. 确定性信号可以用一个或几个时间t的确定性函数来描绘，而随机信号则不能。
(2.0分)
2. 对随机过程作重复多次的观测时，各次所得到的时间t的函数具有相同的形式。
(2.0分)
3. 随机过程实际上是随机变量。(2.0分
) 4. 可用研究多维随机变量的方法来研究随机过程。(2.0分)
5. 数学期望和方差不仅描述了随机过程在各个时刻上取值的特性，还能反映随机过程不同时刻取值之间的内存联系。(2.0分)
6. 具有相同的数学期望和方差的两个随机过程统计特性相同。(2.0分)
7. 自相关函数的绝对值越大，表示相关性越强。(2.0分)
8. 一般而言，自相关函数的两个时刻相隔越远，自相关函数的绝对值就越小。(2.0分)
9. 自相关函数可以反映随机过程两个时刻之间的相关性，协方差函数则不能。(2.0分)
10. 二阶矩过程的自相关函数必定存在。(2.0分)
11. 平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。(2.0分)
12. 如果随机过程X(t)的任意n维概率密度在时间上平移任意△t后，此函数不变，则称X(t)为广义平稳随机过程。(2.0分)
13. 狭义平稳随机过程的任意维概率密度与时间起点无关，即X(t) 与X(t +△t) 有相同的统计特性。(2.0分)
14. 狭义平稳随机过程的一维概率密度与时间无关。(2.0分)
15. 广义平稳随机过程必定是狭义平稳的，而狭义平稳的随机过程则未必是广义平稳的。(2.0分)
16. 相关时间小，意味着相关系数随τ的增大而迅速减小，这说明随机过程随时间而激烈变化；反之，相关时间大，则说明随机过程随时间变化缓慢。(2.0分)
17. 自相关函数是实偶函数。(2.0分)
18. 设随机过程X(t)=umsin(ω0t+Φ)，其中um和ω0皆为常数，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量。则X(t)为一平稳随机过程。(2.0
19. 设随机过程X(t)=At，A为在[0,1]上均匀分布的随机变量。则X(t)是平稳过程。(2.0分)
20. 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，－∞
21. 设随机过程X(t)=X (k) ，k=…-2, -1,0,1,2…，X (k)为相互独立且具有相同分布的随机变量序列，已知E[X (k)]=0，E[X2 (k)] = σ2。则X(t)既是广义平稳随机过程，又是狭义平稳随机过程。(2.0分)
22. 自然界的信号通常可以分两大类：＿＿＿＿信号和＿＿＿＿信号。(2.0分)
23. 随机过程X(t)的一维分布函数取决于＿＿＿＿和＿＿＿＿。(2.0分)
24. 随机过程的数学期望表示＿＿＿＿。(2.0分)
25. 随机过程的方差描述了＿＿＿＿。(2.0分)
26. 自相关函数反映了＿＿＿＿。(2.0分)
27. ＿＿＿＿、＿＿＿＿与＿＿＿＿是刻画随机过程在某个孤立时刻状态的数字特征，而＿＿＿＿和＿＿＿＿则是刻画随机过程自身在两个不同时刻状态之间的线性依从关系的数字特征。(2.0分)
28. 随机过程按状态和时间的连续性可以分成几类？(2.0分)
29. 随机相位信号包含了多少个样本函数？(2.0分)
30. 平稳随机过程的主要特点是什么？(2.0分)
31. 什么是相关理论？(2.0分)
32. 平稳随机过程的两个条件是什么？(2.0分)
33. 随机过程X(t)为各态历经过程的条件是什么？(2.0分)
34. 平稳过程X(t)=umsin(ω0t+ Φ)是否具有各态历经性？(2.0分)
35. 证明：当且仅当U与V是不相关的随机变量，并且均值都为0，方差相等时，过程X(t)=Ucosωt+Vsinωt是广义平稳过程。（提示：要分别证明充分性和必要性。）(2.0分)
36. 随机过程X(t)定义为X(t)=f(t+ε)，其中f(t)是具有周期T的周期信号，ε是在区间[0，T]内均匀分布的随机变量。证明X(t)是平稳随机过程。(2.0分)
37. 由联合平稳随机过程X(t)和Y(t)定义的过程W(t)表示为：
W(t)=AX(t)+BY(t)，其中A和B是实常数；1、求W(t)的功率谱密度；2、若X(t)和Y(t)不相关，求W(t)的功率谱密度；3、求W(t)与X(t)和Y(t)的互功率谱密度。(2.0分)
38. 设X(t)是平稳过程，Y(t)= A+B X(t)，其中A和B是常数，求Y(t)的功率谱密度。(2.0分)
39. 随机过程Y(t)定义为Y(t)＝X(t)cos(ω0t＋Θ)，其中X(t)是平稳随机过程，ω0是实常数；Θ是与X(t)不相关的随机变量，并且在区间（－π，π）上均匀分布。
1、求Y(t)的均值；
2、求Y(t)的自相关函数；
3、Y(t)平稳吗？(2.0分)
40. 设A和B是两个随机变量，X(t)＝Acosω0t＋Bsinω0t，其中ω0是实常数；
1、若A和B具有零均值，相同方差且不相关，证明X(t)是平稳随机过程；
2、求X(t)的自相关函数；
3、求X(t)的功率谱密度。(2.0分)
第三单元
1.联合平稳随机过程X1(t)和X2(t)作用到冲激响应为h(t)的线性时不变系统时
产生的输出分别为Y1(t)和Y2(t)，设Y(t)＝Y1(t)＋Y2(t)，1、求Y(t)的功率谱密度的表达式；2、若X1(t)和X2(t)统计独立，求Y(t)的功率谱密度的表达式。(2.0分)
2. 随机过程通过线性系统的三种分析方法各有什么特点？(2.0分)
3. 随机信号的功率谱密度从频域反映了随机信号的统计特性，它表示＿＿＿＿。(2.0分)
4. 随机过程通过线性系统的三种分析方法是＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿。(2.0分)
5. 平稳随机过程X(t) 可导的充要条件是＿＿＿＿。(2.0分
6. 平稳随机过程X(t) 依均方收敛意义下连续的充要条件是＿＿＿＿。(2.0分)
7. 线性变换的两个基本特性是＿＿＿＿和＿＿＿＿。(2.0分)
8. 平稳随机过程X(t)与其导数过程在同一时刻是不相关的。(2.0分)
9. 当随机过程X(t) 依均方收敛意义连续，则其均值mX(t)亦必为连续的。(2.0分)
10. 设随机过程X(t) 的相关函数为R(t1,t2)，如果RX(t1,t2)沿时间轴t1=t2 =t 处处连续，则随机过程X(t) 于每一时刻都是依均方收敛意义下连续的。(2.0分) 11. 如果随机变量序列{Xn}依均方收敛于随机变量X，则必依概率收敛于X；反之亦然。(2.0分)
12. 设有一线性时不变系统，如果输入过程X(t)是狭义平稳的，则输出过程Y(t)也是狭义平稳的；如果输入过程X(t)是广义平稳的，则输出过程Y(t)也是广义平稳的。(2.0分)
第四单元
1. 一正态随机过程的均值为mX(t)=3，协方差为K(t1,t2)=4cosπ(t1－t2)，求当t1=1/2、t2=1时的二维概率密度。(
2.0分)
2. 设随机过程X(t)=Ucosωt+Vsinωt，其中ω为常数，U和V是两个相互独立的高斯随机变量。已知E[U]=E[V]=0，E[U2]=E[V2]=σ2，求X(t)的一维和二维概率密度。(2.0分)
3. 什么叫噪声等效通能带？(2.0分)
4. 什么叫带通随机信号？(2.0分)
5. 什么叫低通随机信号？(2.0分)
6. 平稳白噪声有什么特点？(2.0分)
7. 什么叫白噪声？(2.0分)
8. 什么叫限带随机信号？(2.0分)
9. 什么是正态过程？(2.0分)
10. 系统的噪声等效通能带表示＿＿＿＿。(2.0分)
11. 当白噪声通过带通滤波器后，其输出是＿＿＿＿。(2.0分)
12. 当白噪声通过低通滤波器后，其输出是＿＿＿＿。(2.0分)
13. 常见的限带随机信号有＿＿＿＿和＿＿＿＿。(2.0分)
14. 一般平稳正态噪声与信号之和是非平稳的正态过程。(2.0分)
15. 对于正态过程而言，广义平稳与狭义平稳的概念是等价的。(2.0分)
第五单元
1. 复随机过程Z(t)= X(t)+jY(t)由联合平稳实过程X(t)和Y(t)定义，证明：
E[|Z(t)|2]=RX(0)+RY(0)。(2.0分)
2. 一个线性时不变系统输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)。证明：若该系统输入为X(t)的希尔伯特变换，则相应的输出为Y(t)的希尔伯特变换。(2.0分)
3. 证明：1、偶函数的希尔伯特变换为奇函数。2、奇函数的希尔伯特变换为偶函数。(2.0分)
4. 什么是窄带随机过程的准正弦表达式？(2.0分)
5. 将高频窄带信号表示成复信号有什么好处？(2.0分)
6. 什么是窄带随机过程？(2.0分)
7. AC(t)和AS(t)都是低频随机信号，称为窄带随机信号的＿＿＿＿分量和＿＿＿＿分量。(2.0分)
8. 希尔伯特变换器可以看作是一个冲激响应为＿＿＿＿的线性时不变网络。(2.0分)
9. 当窄带过程Y(t)的物理谱F(ω)对称于ω0时，其低频过程AC(t)和AS(t) 是相互正交的。(2.0分)
10. 在同一时刻，AC(t)和AS(t)之间是相互正交的。(2.0分)
11. AC(t)和AS(t)之间的互相关函数是偶函数。(2.0分)
12. AC(t)和AS(t)是联合平稳的。(2.0分)
13. 低频过程AC(t)和AS(t) 的平均功率等于窄带过程Y(t)的平均功率。(2.0分)
14. AC(t)和AS(t) 的方差相等，功率谱密度也相同。(2.0分)
15. 若Y(t)平稳，则AC(t)和AS(t) 也是平稳的。(2.0分)
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第一单元 1. 下列常见的分布中属于离散型随机变量的分布有（）：( 2.0分) A.二项式分布 B.均匀分布 C.泊松分布 D.正态分布 E.(0-1)分布 2. 下列常见的分布中属于连续型随机变量的分布有（）：(2.0分) A.二项式分布 B.均匀分布 C.泊松分布 D.正态分布 E.(0-2)分布 3. 下列关于随机变量分布函数性质的描述，正确的是（）：(2.0分) A.分布函数是一个不减函数 B.分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性 C.分布函数的最大值为无穷大 D.分布函数是右连续函数 E.离散型随机变量的分布函数是一系列冲激函数的线性组合 4. 下列关于随机变量概率密度性质的描述，正确的是（）：(2.0分) A.概率密度是一个不减函数 B.概率密度能够完整地描述随机变量的统计规律性 C.只有连续型随机变量才存在概率密度 D.概率密度是非负的函数 E.随机变量的概率密度一定存在 5. 随机试验有什么特点？(2.0分) 6. 基本事件是随机试验中最简单的随机事件。(2.0分) 7. 两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以另一事件在此事件发生的条件下的条件概率。(2.0分) 8. 全概率公式用于在许多情况(B1，B2，…，Bn)下都可能发生事件A，求发生A 的全概率；贝叶斯公式则用于当A已经发生的情况下，求发生事件A的各种可能原因的条件概率。(2.0分) 9. 随机变量是样本空间上的单值实函数。(2.0分) 10. 两个随机变量如果相互独立，则它们的联合分布函数等于这两个随机变量的一维分布函数的乘积。(2.0分) 11. 如果要使两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量的数学期望之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。(2.0分) 12. 如果要使两个随机变量之和的方差等于这两个随机变量的方差之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。(2.0分) 13. 两个随机变量如果是不相关的，则它们必定是相互独立的。(2.0分) 14. 当一个随机变量的数学期望为零时，它的方差和均方值相等。(2.0分) 15. 复随机变量的数学期望和方差都是复数。(2.0分) 16. 协方差是反映两个随机变量相关关系的数字特征。(2.0分) 17. 相互独立的随机变量和的特征函数等于各变量的特征函数的乘积。(2.0分) 18. 数学期望、方差和协方差都是矩的特殊情况，其中数学期望是随机变量的＿＿＿＿矩，方差是随机变量的＿＿＿＿矩，协方差是两个变量的＿＿＿＿矩。(2.0分) 19. 离散型随机变量的统计规律可以用＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿来描述。(2.0分) 20. 连续型随机变量的统计规律可以用＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿来描述。(2.0分) 21. 数学期望表示＿＿＿＿运算。(2.0分) 22. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率。(2.0分) 23. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率。(2.0分) 24. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15, 刮风(用B表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P(A|B), P(B|A), P(A+B)。(2.0分) 25. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率。(2.0分) 26. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信息“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”。求当收报台收到“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率，以及收到“—”时，确系发出“—”的概率。(2.0分) 27. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果。写出它的概率函数和分布函数。 (2.0分) 28. 如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布。写出它的分布函数F(x), 画出F(x)的图形。(2.0分) 29. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+B arctgx, 求常数 A,B;P{|ξ|<1}以及概率密度φ(x)。(2.0分) 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 随机过程复习 一、回答： 1、 什么是宽平稳随机过程？ 2、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？ 3、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？ 4、 什么是白噪声？性质？ 二、计算： 1、随机过程t A t X ωcos )(=+t B ωsin ，其中ω是常数，A 、B 是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0，E[2A ]=E[2B ]=2σ。求：)(t X 的数学期望和自相关函数？ 2、判断随机过程)cos()(φω+=t A t X 是否平稳？其中ω是常数，A 、φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 π ?φ21 )(=f π?20ππ； 2 22 )(σσa A e a a f - = 0φa 3、求随机相位正弦函数)cos()(0φω+=t A t X 的功率谱密度，其中A 、0ω是常数，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量。 4、求用)(t X 自相关函数及功率谱表示的)cos()()(0φω+=t t X t Y 的自相关函数及谱密度。其中，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量，)(t X 是与φ相互独立的随机过程。 5、设随机过程}),cos()({0+∞<<-∞+=t Y t A t X ω，其中0ω是常数，A 与Y 是相互独立的随机变量，Y 服从区间)2,0(π上的均匀分布，A 服从瑞利分布，其概率密度为 ?? ? ??≤>=-0 00)(2 2 22x x e x x f x A σσ 试证明)(t X 为宽平稳过程。 解：（1）)}{cos()()}cos({)(00Y t E A E Y t A E t m X +=+=ωω ?? =+=∞ +- π σωσ20 00 22 2 0)cos(2 2dy y t dx e x x 与t 无关 （2） )()}({cos )()}cos({)}({)(20222022 A E Y t E A E Y t A E t X E t X ≤+=+==ωωψ dt e t dx e x A E t x ? ? ∞ +- ∞ +- = =0 22 2 22 3 2 2 2 221)(σσ σ σ σ ， 2022 20 22|2| 2 2 2 σσσσ σ =-=+-=∞+- ∞ +- ∞ +- ?t t t e dt e te 所以+∞<=)}({)(22 t X E t X ψ （3）)]}cos()][cos({[),(201021Y t A Y t A E t t R X ++=ωω )}cos(){cos(][20102Y t Y t E A E ++=ωω dy t t y t t π ωωωσ π 21)](cos )[cos(212120201020 2 --++=? )(cos 1202t t -=ωσ 只与时间间隔有关，所以)(t X 为宽平稳过程。 6、 设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间 上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 、1.1设二维随机变量（X , F）的联合概率密度函数为: =—i—[l241-ι>?= "k" QTh Xl-JF) 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： Hm=(Ip)HP J t =U - 试求/的特征函数，并以此求其期望E(X)与方差I K X) ?0 = Efr ir) = ∑ e ? = *) 解：一 =?α-ri M P=√^∑^α-p)t U O-P) ?J 1—(I-JI)1—q/ (O)=α? 24(1-小 丄 0 所以： -?(0)二丄 f P ZUr= J Er3-( J EIf)3=^^-^=4 PPp 2.1袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t 对应随机变量 x(t^3如果对t 时取得红球 e t如果对t时取得白球 试求这个随机过程的一维分布函数族 2.2设随机过程 W 加吨MIF)? gZ I叫，其中吗是常数，/与F是 相互独立的随机变量，F服从区间(°2刘上的均匀分布，/服从瑞利分布，其概率密度为 x>0 x≤0 试证明Xu)为宽平稳过程。 解:( 1)⑷+F)} q啊诚如+ f)} = 与无关 （2）枚F（M 仪加血I（Q/伽说如"）汁F（才） , f _ t t ?(Q) =-J PQ ÷g) = -te^t∣Γ÷p ^dt =-2σ1e^i∣Γ=2σ3所以必U）啟0⑴卜" （3）R lM壊M∞??+Hl∕∞Ψ?+y）］｝ =豺］￡｛oKs（A +Γ）∞<β（A +Γ）｝ =2^J tt 2{α≈(0A + β?+ y)-rasffl fc A)I^? 心’皿叫仏Z L)只与时间间隔有关，所以XU)为宽平稳过程 2.3设随机过程 X(t)=Ucos2t,其中U是随机变量，且 E(U)= 5, D(U)= 5.求: (1)均值函数； (2)协方差函数；(3)方差函数 2.4设有两个随机过程 X(t)=Ut2, Y(t)=Ut3,其中U是随机变量，且D(U) = 5. 试求它们的互协方差函数 2.5设代B是两个随机变量，试求随机过程X(t) =At ?3B,t? T =(」：「：)的均值函数和自相关函数若A, B相互独立,且A~ N(1,4), B ~U (0,2),则mχ (t)及Rχ(t1,t2) 为多少？ 习题一 1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发 子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？ 2. 设随机变量X 的概率密度为 f （x ）＝??? ??≤>+0 01 2x x x A 求：（1）常数A; (2)分布函数F （x ）；（3）随机变量Y ＝lnX 的分布函数及概率分布。 3. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0≤x ,y ≤ 2 π 求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX ，EY ； （3） 方差DX ，DY ；(4) 协方差及相关系数。 4. 设随机变量X 服从指数分布 ?? ?<≥=-0 )(x x ke x f kx ()0>k 求特征函数)(x ?,并求数学期望和方差。 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为λ1 和λ2的泊松分布，试用特征函数 求Z = X ＋Y 随机变量的概率分布。 6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X 的矩母函数。 7． 设 （X ， Y ） 的分布密度为 （1） ?? ?<<<<=其他，, 01 0, 10xy 4),(y x y x φ （2） ?? ?<<<<=其他，, 01 0,10xy 8),(y x y x φ 问X ，Y 是否相互独立？ 8. 设（X ，Y ）的联合分布密度为 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=48 31481348 436133616367164167 165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(242 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值 = 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+⨯⨯-+⨯⨯=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 )(t X 的均方值2 121)0()(2-= =ψX X R τ 8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均 匀分布的随机变量，则0 )(>= 填空题(每空2分，共20分) /it 1设随机变量X 服从参数为 的泊松分布，则X 的特征函数为e (e -1) 2 •设随机过程X(t)=Acos( t+), - 1 •设A,B,C 为三个随机事件‘证明条件概率的乘法公 P 侣CA)=P(B A)P(C AB)。 P(A) P(AB) P(A) 证明：左边仝辱 P(ABC) P(AB) P(C AB)P(B A)=右边 随机过程习题 一、判断题：5个，10分 1、随机过程依照状态空间，可分为离散状态过程和连续 状态过程。 2、非齐次泊松过程一定是独立增量过程。 3、设{}(),0N t t ≥是一个更新过程，n T 是第n 次更新发 生的时刻，t T n t N n ≥?≤)( 4、任意马尔可夫链都存在极限分布。 5、时齐的连续时间马尔可夫链的转移速率ij q 有∑≠≥ i j ij ii q q 。 二、填空题：5个，15分 1、若随机变量X 的矩母函数为22 t e -，则其期望)(X E 为． 2、设随机过程),0(,)(∞∈+?=t C t R t X ,C 为常数， R 服从区间]1,0[上的均匀分布,则其均值函数为． 3、设某设备的使用期限为10年, 在前5年内它平均2.5年 需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次。 则它在使用期内只维修过一次的概率是． 4、人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄 段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今 年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，若某人投保时健 康, 3年后他仍处于健康状态的概率是． 5、设时齐连续时间马尔可夫链}0),({≥t t X 是正则的， 由状态i 经时间t 后转移到状态j 的概率为)(t P ij ， 则=→)(lim 0 t P ij t ．三、计算题：5个，40分 1、设数Y 在区间(0,1)上随机地取值,当观察到Y=y (0<1)时,<="" p=""> 数X 在区间(y ,1)上随机取值．求条件期望)(y Y X E =． 2、设1Z ，2Z 是独立同分布的随机变量，服从均值为 0，方差为2 σ的正态分布，t Z t Z t X sin cos )(21+=， 试判断}0),({≥t t X 是否是宽平稳的． 3、设{}(),0N t t ≥是参数为λ=3的泊松过程， 求}1)1(2)1({≥≥N N P 。 4、设{}(),0N t t ≥是一个更新过程，n X 是第1-n 次更新和第n 次更新相距的时间，且3 1)1(==i X P ， 3 2)2(==i X P ， ,2,1=i ，求}1)2({=N P 。 5、设马尔可夫链的状态空间}4,3,2,1{=S ，转移概率矩阵为 =000110000100 4141414 1P ，试判断状态1是否是常返态。 四、应用题：2个，1题10,2题15分，共25分 1、一队同学顺次等候体检，设每人体检所需要的时间服从均值为min 2的指数分布，并且与其他人所需时间是相互独立的，则h 1内平均有多少同学接受过体检？ 在这h 1内最多有40名同学接受过体检的概率是多少？ 2、我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（1表示畅销，2表示滞销）： 112122111212112211212111 如该商品销售状态满足马尔可夫性和齐次性. 1)确定销售状态的转移概率矩阵； 2)如果现在是畅销，预测这以后第四个季度的销售情况； 3)如果影响销售所有因素不变，预测长期的销售情况. 五、证明题：1个，10分 将2个红球放入盒子甲，4个白球放入盒子乙，每次从两个盒子中各取一球交换，以)(n X 记第n 次交换后 1．设随机变量X 听从参数为λ的泊松分布，那么X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程综合练习题 一、填空题(每空3 分) 第一章 1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则 X1 X2 X n 的特征函数是。 2．E E(X Y) 。 3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。 4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。 5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则 X1 X 2 X n 的特征函数是。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。9．正交增量过程满足的条件是。10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。 第三章 11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为； 方差函数为。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它 们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。 13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程， ( t)n e n! 14． n 15．240000 16．复合；17． 71 4 e P X(t s) X(s) n 14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程． 17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是． 第四章 18．无限制随机游动各状态的周期是。 19．非周期正常返状态称为。 20．设有独立重复试验序列{X n,n 1}。以X n 1记第n次试验时事件A发生，且n Y n X k,n 1，则{Y n,n 1}是链。 k1 答案 一、填空题 n 4．Y;是5．g i(t) ；6．等价 i1 7．时间差；8．独立增量过程； 9．E X(t2) X(t1) X(t4)X(t3)02 10．X2 (min{ s,t}) 11．t; t ；12．f (t)1e 1t t0 f (t) ( 1 2 3)e ( 1 2 3 )t t 0 0t00 t 0 n 0,1, P{X n 1} p ，以X n 0 记第n 次试验时事件 A 不发生，且P{ X n 0} 1p ，若有 n 1．g n (t)； 2．EX ；3．e ibt g(at) 13． 3 1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{, 1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立， 随机过程习题和答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3) ( .维分布函数族试求这个随机过程的一 设随机过程 ，其中 是常数，与是相 互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 ，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟 的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、 2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1N T 表示1()N t =1N 的 发生时刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp() (1)! N N N T f t t t N λλ-= --随机过程试题
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