中国科学大学随机过程（孙应飞）复习题及答案
中国科学大学随机过程（孙应飞）复习题及答案中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案（1）
设是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为，且是一个周期为的函数，即，求方差函数。
解：由定义，有：
（2）
试证明：如果是一独立增量过程，且，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：
，有形式上我们有：
因此，我们只要能证明在已知条件下，与相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当时，增量与相互独立，由于在条件和下，即有与相互独立。由此可知，在条件下，与相互独立，结果成立。
（3）
设随机过程为零初值（）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个，，问过程是否为正态过程，为什么？解：任取，则有：
由平稳增量和独立增量性，可知并且独立因此是联合正态分布的，由可知是正态过程。
（4）
设为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。
解：标准布朗运动的相关函数为：
如果标准布朗运动是均方可微的，则存在，但是：
故不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。
（5）
设，是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：
其相关函数为：，由于在，连续，故均方积分存在。
（6）
在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误
差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：
试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。
解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为。
（7）
设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下：
（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；
（b）求步转移概率矩阵；
（c）试问此马氏链是平稳序列吗？为什么？解：（a）略（b）
（c）此链不具遍历性（8）
设，其中为强度为的Poission过程，随机变量与此Poission过程独立，且有如下分布：问：随机过程是否为平稳过程？请说明理由。
由于：
故是平稳过程。
（9）
设，其中与独立，都服从（a）此过程是否是正态过程？说明理由。
（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。
证明：（a）任取，则有：
由于与独立，且都服从，因此可得服从正态分布，由上式可知随机向量服从正态（高斯）分布，所以过程是正态（高斯）过程。
（b）由：
由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。
（10）
设，是零初值、强度的泊松过程。
（a）求它的概率转移函数；
（b）令，说明存在，并求它的二阶矩。
解：（a）
（b）先求相关函数：
对任意的，在处连续，故均方连续，因此均方可积，存在。
将代入计算积分即可。
由，得：
（11）
设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表示第次取出球后的累计积分，（a），是否齐次马氏链？说明理由。
（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；
如果是，写出它的一步转移概率和两步转移概率。
（c）令，求。
解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：。
（b）
（c）即求首达概率，注意画状态转移图。
（12）
考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；
是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若与独立，求与的互相关函数。
解：（a）
，（b）
（13）
令谐波随机信号：
式中为固定的实数；
是内均匀分布的随机变量，考察两种情况：
（a）幅值为一固定的正实数；
（b）幅值为一与独立，分布密度函数为的随机变量；
试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？（a）如12题（b）略（14）
设是一强度为的Poission过程，记，试求随机过程的均值和相关函数。
解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：
（15）
研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。
（a），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为；
（b），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为。
略（16）
求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。
（a），其中是参数为1的Wienner过程。
（b）,其中是参数为的Wienner过程。
解：（a）
连续，故均方连续，均方可积。
（b）
均方连续，均方可积。
（17）
讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。
解：略。
（18）
设有平稳随机过程，它的相关函数为，其中为常数，求（为常数）的自协方差函数和方差函数。
解：略。
（19）
设有实平稳随机过程，它的均值为零，相关函数为，若，求的自协方差函数和方差函数。
解：
（20）
设和是参数分别为和的时齐Poission过程，证明在的任一到达时间间隔内，恰有个事件
发生的概率为：
证明：令为的任一到达时间间隔并且，即的分布密度为：
由此可知：
（21）
设随机振幅、随机相位正弦波过程，其中随机变量和相互独立，且有分布：
令：
试求过程的均值函数。
解：由定义，随机过程的均值函数为：
而由于当时，随机变量的分布密度为：
因此有：
即：
（22）
设有一泊松过程，固定两时刻，且，试证明证明：由于，有其中所以（23）
设为零均值的标准布朗运动，和为两个待定的正常数（），问在什么情况下仍为标准的布朗运动？说明理由。
解：由为标准布朗运动可知为正态过程，由正态分布的性质可知为正态过程，令，则有因此，要使仍为标准的布朗运动，必须，即：
（24）
设有无穷多只袋子，各装有红球只，黑球只及白球只。今从第1个袋子随机取一球，放入第2个袋子，再从第2个袋子随机取一球，放入第3个袋子，如此继续。令（a）试求的分布；
（b）试证为马氏链，并求一步转移概率。
解：（a）的分布为：
（b）的一步转移概率为：
（25）
设有随机过程，与是相互独立的正态随机变量，期望均为0，方差分别为和。证明过程均方可导，并求导过程的相关函数。
证明：计算得：
由于相关函数的导数为：
它是一连续函数，因此过程均方可导，导过程的相关函数由上式给出。
（26）
设是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数。
解：由标准维纳过程的定理：设为标准维纳过程，则对任意，的联合分布密度为：其中：
可知：当时，的联合分布密度为：
的分布密度为：
因此（27）
设有微分方程，初值为常数，是标准维纳过程，求随机过程在时刻的一维概率密度。
解：方程的解：
由于为维纳过程，故为正态过程，因此有：
故的一维概率密度为：
（28）
设给定随机过程及实数，定义随机过程试将的均值函数和自相关函数用过程的一维和二
维分布函数来表示。
解：由均值函数的定义，有：
由自相关函数的定义，有：
（29）
设是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，问是否仍为平稳过程，为什么？不是平稳过程（30）
设为平稳过程，其自相关函数是以为周期的函数，证明：是周期为的平稳过程。
证明：由于由切比雪夫不等式有：
由相关函数的周期性，可知：对于，有：
因此即是周期为的平稳过程。以下资料为赠送资料：
《滴水之中见精神》主题班会教案
活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每
个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：
1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”
主持人口述谜语：
“双手抓不起，一刀劈不开，
煮饭和洗衣，都要请它来。”
主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”
一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用
处可大了，是真的吗？”
主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”
甲：如果没有水，我们人类就无法生存。
小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。
花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不
能为美化环境做贡献了。
主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》
竹板一敲来说话，水的用处真叫大；
洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，
煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。
栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；
鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；
采煤发电要靠它，京城美化更要它。
主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？
甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。
乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。
丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。
2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？
（1）（生）：我要节约用水，保护水源。
（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。
（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能
浪费水了。
（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。
3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。
（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。
（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。
（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）
（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？
主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》
大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙
丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”
旁白：“那又是谁家的呢？”
主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？
甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。
乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。
主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？
齐：主动关好。
小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？
主持人：可以。
小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？
答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。
小记者：请这位同学谈谈好吗？
答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。
小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！
水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！
主持人：你们还有发言的吗？
答：有。
生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。
动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！
花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！
水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。
主持人：水伯伯，您这是干什么呢？
水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！
主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！
4.主持人：大家欢迎老师讲话！
同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。
5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。
6.活动效果：
此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵
以下资料为赠送资料：
《滴水之中见精神》主题班会教案
活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：
1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”
主持人口述谜语：
“双手抓不起，一刀劈不开，
煮饭和洗衣，都要请它来。”
主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”
一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”
主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”
甲：如果没有水，我们人类就无法生存。
小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。
花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。
主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》
竹板一敲来说话，水的用处真叫大；
洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，
煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。
栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；
鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；
采煤发电要靠它，京城美化更要它。
主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？
甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。
乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。
丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。
2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？
（1）（生）：我要节约用水，保护水源。
（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。
（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能
浪费水了。
（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。
3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。
（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。
（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。
（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）
（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？
主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》
大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙
丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，
又说：“反正不是我家的。”
旁白：“那又是谁家的呢？”
主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？
甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。
乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。
主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？
齐：主动关好。
小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？
主持人：可以。
小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？
答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。
小记者：请这位同学谈谈好吗？
答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。
小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！
水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！
主持人：你们还有发言的吗？
答：有。
生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。
动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！
花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！
水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。
主持人：水伯伯，您这是干什么呢？
水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！
主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！
4.主持人：大家欢迎老师讲话！
随机过程作业题及参考答案(第一章)
第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。
00 11101222 11
上海大学随机过程第六章习题及答案
第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 2 2 1 0000 20222020 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+??++??????P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i = 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i = 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i = 是否为Markov 链？ 解（1）由于
11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ======== 因此，{,1,2,}n Y n = 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++ 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++ 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数 1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而 122111221111112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑ 因此{,1,2,}n X n = 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i = 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j === ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=- ， 其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n = 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n = 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足 ........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<< 故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且
随机过程考试题及答案(精选.)
2010级硕士生《随机过程》考试题
解：状态转移概率如下图所示： ，， （1）由图可知： 状态空间S 可分为C1：{1 ,2,3}，C2：{4,5}，C3：{6}三个不可约闭集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1。 （2） 21)1(11=f 2723132312131313221)4(11 =???+???=f （3） 由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。 平稳分布的计算公式为：
???? ?≥==∑∑∈∈I j j j I i ij i j p 0,1ππππ 对C1：{1 ,2,3} ???????? ???=+++=+=+=1 32313221312132132 32 12311ππππππππππππ 解得： 838 341 321= ==πππ，， 对C2：{4 ,5} ??? ?? ? ???=++=+=121212121545 45544ππππππππ 解得： 2154= =ππ 对C3：{6} 易得：16=π （4）C1：{1 ,2,3}中， 各状态的平均返回时间分别是：
4 1 1 1== πμ 3 81 2 2= =πμ 3 81 3 3= =πμ C2：{4 ,5}中， 2 1 4 4== πμ 2 1 5 5==πμ C3：{6}中， 1 1 6 6== πμ 1.
5.设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动，到达0点或者4点后以概率1停留在原处，在其他整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或者停留在原处，画出转移概率图并求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解： 转移概率图如下：
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案 主讲教师：何松华 教授 1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为 1()()0 ()X t x Y t X t x ≤?=? >? 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ= 证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则 [()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() () X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =?=+?====≤==根据平稳性 (2)根据相关函数定义，有 ()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) () Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=??+==+??+==+??+==+??+===+===+≤≤=+=根据平稳性 2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程 ()X t ，其概率密度函数为 2 2 ()()}2X X x a f x σ-= - 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。 解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为： 00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+- 其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、 方差为2 X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号
随机过程试题及答案
1. 设随机变量X 服从参数为A 的泊松分布，则X 的特征函数为 2. 设随机过程X(t)二Acos( a t+①),-ocvtv 处 其中为正常数，A 和①是相互独 立的随机变量，且A 和①服从在区间［0,1］上的均匀分布，则X(t)的数学期望 为 。 3. 强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。 4. _ 设｛W n ，n >1｝是与泊松过程｛x(t),t >0｝对应的一个等待时间序列，则 W n 服 从 分布。 程的状态空间 6 .设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p jj )，n 步转移矩阵P ⑺=(pj)，二者之间 的关系为 7.设｛X n ,n >0｝为马氏链，状态空间I ，初始概率P i = P(X 0=i)，绝对概率 P j (n) = P ｛X n =j ｝， n 步转移概率p jn)，三者之间的关系为 ___________ 。 9. 更新方程K (t )=H (t )+J ；K (t -sdF (s )解的一般形式为_ 10. 记卩=EX n ,对一切 a>0，当 t TK 时，M (t+a )—M (t 户 、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32 分) 1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 5.袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回, 对每一个确定的t 对应随机变量X(t) 3’ L e t , 如果t 时取得红球，则这个随机过 如 果t 时取得白球 2. 设｛X(t), E>0｝是独立增量过程,且X(0)=0,证明｛X(t), t30｝是一个马尔科夫 过程。 8 .设｛X(t),t > 0｝是泊松过程，且对于任意t^> 0则 P{X (5) =6|X (3) = 4} = 3. 设｛X n ,n >0｝为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n>0,1W l vn 和 i,产 I ， n 步转移概率p j n) =2 P 聘p kj -l) ，称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程, 证明并说明其意义。
(完整版)随机过程习题答案
(完整版)随机过程习 题答案 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
随机过程部分习题答案 习题2 2.1 设随机过程 b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、 均值和相关函数。 解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以 ),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π，),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st += 2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率 密度及),(),(21t t R t EX X 。 解 对于任意0>t ，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法， }ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=- )ln (1}ln {1}ln {t x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=- ≥= 对x 求导得 )(t X 的一维概率密度 xt t x f t x f Y 1)ln ();(- =，0>t 均值函数 ⎰ ∞ +--===0 )(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t Y X 相关函数 ⎰+∞ +-+---====0 )()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X
通信原理期末考试复习题及答案 (1)
通信原理期末考试复习题及答案 一、填空题 1. 数字通信系统的有效性用 衡量，可靠性用 衡量。 2. 模拟信号是指信号的参量可 取值的信号，数字信号是指信号的参量可 取值的信号。 3. 广义平均随机过程的数学期望、方差与 无关，自相关函数只与 有关。 4. 一个均值为零方差为2n σ的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从 分布，相 位的一维分布服从 分布。 5. 当无信号时，加性噪声是否存在？ 乘性噪声是否存在？ 。 6. 信道容量是指： ，香农公式可表示为：带通 滤波器 相乘器 低通滤波器 抽样判决器定时脉冲 输出 ) (DPSK 2t e t c ωcos 码反变换器 a b c d e f 。 7. 设调制信号为f （t ）载波为 带通 滤波器 相乘器 低通滤波器 抽样判决器定时脉冲 输出 DPSK 延迟，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 t t f c ωcos )(，频域表达式为)]()([2 1 c c F F ωωωω-++。 8. 对最高频率为f H 的调制信号m （t ）分别进行AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调信号的带宽分别为 2f H 、 2f H 、 f H 。 9. 设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为 波特。 10. PSK 是用码元载波的 来传输信息，DSP 是用前后码元载波的 来传输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11. 在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的 ，二是传输中叠加的 。 12. 非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时，A 律对数压缩特性采用 折线近似，μ律对数压缩特性采用 折线近似。 13. 通信系统的两个主要性能指标是 和 。 14. 时分复用中，将低次群合并成高次群的过程称为 ；反之，将高次群分解为低次群的过程称为 。 15. 设输入码元波形为s (t )，其持续时间0~T s ，其频谱函数为S (f )，若选择抽样时刻为t 0 = T s ，则匹配滤波器的冲激响应可写为()t T s k s -? ，相应传输函数为
随机过程作业题及参考答案(第一章)
随机过程作业题及参考答案(第一章) LT
—2—
—3—
—4—
—5— ()1212111122⎧⎫⎛ ⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ ，；，，F x x P X x X x 12121212001 1 0110122112 <<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x 3. 设随机过程(){}X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线 ()11 X t ω=，，()2 sin X t t ω=，，()3 cos X t t ω=， 且()()()1 2 3 13P P P ωωω===。试求数学期望()EX t 和相关函数()1 2 X R t t ，。 解： ()() 1111 1sin cos 1sin cos 3333EX t t t t t =⨯+⨯+⨯=++. ()()()1212X R t t E X t X t =⎡⎤⎣⎦ ， 1212111 11sin sin cos cos 333t t t t =⨯⨯+⨯+⨯ ()12121 1sin sin cos cos 3t t t t =++ ()1211cos 3 =+-⎡⎤⎣⎦t t .
—6— 4. 设随机过程()Xt X t e -=，（0t >），其中X 是具有分 布密度()f x 的随机变量。试求()X t 的一维分布密度。 解： () X t 的一维分布函数为： ()(){}{}{}1ln ln -⎧⎫=≤=≤=-≤=≥-⎨⎬ ⎩⎭ ；Xt F x t P X t x P e x P Xt x P X x t 111ln 1ln ⎧⎫⎛⎫ =-<-=--⎨⎬ ⎪ ⎩⎭⎝⎭ P X x F x t t . X 具有分布密度()f x ， () ∴X t 的一维分布密度为： ()()11111ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ '==--⋅⋅-=-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；；f x t F x t f x f x t x t tx t . P40 5. 在题4中，假定随机变量X 具有在区间()0T ，中的均匀分布。试求随机过程的数学期望()EX t 和自相关函数()1 2 X R t t ，。 解：由题意得，随机变量X 的密度函数为
中科院考研真题及答案
中科院考研真题及答案 【篇一：1993-2016年中国科学院大学852细胞生物学考研真题及答案解析汇编】 ass=txt>学长寄语 2017版中国科学院大学《852细胞生物学》考研复习全书 是中科院高分已录取的学长收集整理的，全国独家真实、可靠， 是真正针对中科院考研的资料。我们将所有的资料全部word化，高清打印。真题编写了详细的答案解析，即使是小题也明确指出了考察的知识点，对于做题帮助更大。同时，我们在分析历年考研真题的基础上，针对中科院考研，编写了详细的复习备考讲义，明确列出考研的重点、难点和考点，可在短时间内快速把握重点，提升成绩。初试大家只需要准备我们的资料 +教材+配套辅导书就足够了，不用再四处寻找其它资料。学长现在就在中科院读研，跟大家一样也经历过考研。不仅掌握了第一手的高参考价值复习资料，而且对于复习备考也有很多的经验、总结，大家报考中科院，有任何疑问均可以咨 询我，能帮助大家的，我一定会尽力。此外，我们还提供vip一对一辅导，特别适合在职考研、二战、本科不好、基础较差的同学，可以在短时间内快速把握重点。具体信息大家可以访 问布丁考研网。 2017版中国科学院大学 考研资料 《细胞生物学》考研复习全书
（备考经验、真题及答案解析、高分版笔记） 配套教材： 1、《细胞生物学》（2011年，第四版）翟中和，高等教育出版社。 2、《细胞生物学》（2002年，第一版）刘凌云，高等教育出版社。目录 第一部分：备考 篇 (1) 一、中国科学院大学介 绍 (1) 二、中国科学院各院所复试分数线（2014~2016） .......... (3) 1、生态环境研究中 心 (3) 2、生命科学学 院 (4) 3、植物研究 所 ...................................................................................................... 5 4、动物研究 所 ...................................................................................................... 6 5、生物物理研究 所 (7)
随机过程作业题及参考答案(第一章)
第一章 随机过程根本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω⎛⎫= + ⎪⎝⎭ 〔k z ∈〕时， ()0X t ≡，那么(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω⎛⎫ ≠ + ⎪⎝⎭ 〔k z ∈〕时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 那么( )2202cos x t f x t ω- =；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π⎧=⎨ ⎩，出现正面 ，出现反面 假定“出现正面〞和“出现反面〞的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ，；，。
00 11101222 11 <⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫ ⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x ()(){}0111112212 <-⎧⎪⎪ ∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x 随机矢量()112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭ ，X X 的可能取值为()01-，，()12，. 而()1101122⎧⎫⎛⎫==-= ⎨⎬ ⎪⎝⎭ ⎩⎭，P X X ，()1111222 ⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X . ()1212111122⎧⎫⎛ ⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ ，；，，F x x P X x X x 12121212001 1 0110122112 <<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x 3. 设随机过程(){} X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线 ()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=， 且()()()1231 3 P P P ωωω===。试求数学期望()EX t 和相关函数()12X R t t ，。
随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年 1.隐马尔可夫链的三类基本问题不包括_____________. 答案: 识别问题 2.有限状态时齐马氏链的任意一个状态都不是零常返的 答案: 正确 3.接上题。试用切比雪夫不等式估计小王在一个小时完成的概率最大是________？ 答案: 0.06 4.小王同学要做一个社会调查，为此他打算到某公共场所发放调查问卷。他先 去该场所观察人群到达情况，发现到达的人流可以用强度为1000人/小时 的泊松过程拟合。由于人手不够，小王只能在到达的人群中随机发放问卷， 每个人拿到问卷的可能性是30%，另外，不是所有人都会配合调查问卷， 根据经验每个人拿到问卷的人都有50%的可能配合完成调查。小王要获得 200份已完成的调查问卷，请问配合小王完成调查问卷的人群所构成的泊松 过程的强度是______人/小时。 答案: 150 5.【图片】表示相继两列列车之间的等待时间(单位：小时)，服从(1, 2)上的 均匀分布，乘客按强度为100人/小时的泊松过程到达火车站，问乘上某列 火车的乘客中等待时间超过1个小时的乘客数量。
答案: 50 6.已知随机游动【图片】的步长分布为【图片】. 那么【图片】=—————— (用小数表示，四舍五入，保留4位小数)。 答案: 0.0288 7. 2. .若N(t)是个等待时间分布为F(t)的更新过程，g是一个定义在正整数上的 函数, 满足g(0)=0, g(n+1)=g(1)+rg(n), 【图片】, 其中r是个常数，那么函数h(t)=E(g(N(t)))满足_____. 答案: 8.平稳独立增量过程一定是平稳过程 答案: 错误 9.努利过程既是平稳过程也是严平稳过程 答案: 正确 10.若随机变量序列【图片】为独立增量过程，那么【图片】. 答案: 错误
(成都大学)通信原理期末复习题及部分答案
1. 调制信道对信号的干扰分为 乘性干扰 和 加性干扰 两种。 2. 根据乘性干扰对信道的影响，可把调制信道分为 恒参信道 和 随参信道 两大类。 3. 随参信道中的多经传播对信号传输的影响有：产生瑞利型衰落、引起频率弥散 、造成频率选择性衰落 。 4. 常见的随机噪声可分为 单频噪声 、 脉冲噪声 和 起伏噪声 三类。 5. 数字基带信号 ()t S 的功率谱密度()ωS P 可能包括两部分即 连续谱 和 离散谱 。 6. 二进制数字调制系统有三种基本信号，分别为 振幅键控 、 频率键控 和 相位键控 。 7. 模拟信号是利用 抽样 、 量化 和 编码 来实现其数字传输的。 8. 模拟信号数字传输系统的主要功能模块是 模数转换器 、 数字传输系统 和 数模转换器 。 9. 在数字通信中，同步分为 载波同步 、 位同步 、 群同步 和 网同步 。 10. 通信系统按调制方式可分 连续波调制系统 和 脉冲调制系统 ；按信号特征可分为 模拟通信系统 和 数字通信系统 。 11. 若系统功率传输函数为 ()ωH ，则系统输出功率谱密度() ( )ωξO P 与输入功率谱密度()()ωξI P 关系为 ()()ωξ O P ＝ ()()ωξ I P ｜H （W ）｜2 12. 随参信道的传输媒质的三个特点分别为 对信号的耗衰随时间而变、传输的时延随时间而变、多径传播 。 13. 二进制振幅键控信号的产生方法有两种，分别为 模拟幅度调制法 和 键控法 。 14. 衡量通信系统的质量指标主要有 有效性 和 可靠性 ，具体对数字通信系统而言，前者常用 码率 来衡量，后者常用 误码率 来衡量。 15. 在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的 码间串扰 ，二是传输中叠加的 加性噪 声 。 16. 根据香农公式，理想解调器的输入信噪比 i i N S 和带宽c B 与输出信噪比o o N S 和带宽s B 之间满足 c B lb(1+ i i N S ) = s B lb(1+ o o N S ) 。 17. 包络检波法的系统误码率取决于 系统输入信噪比 和 归一化门限值 。 18. 基带传输系统的总误码率依赖于 信号峰值 和 噪声均方根值 之比。 19. 一个连续信道的信道容量受 信道带宽 、 噪声单边功率谱密度 、 信道输出的信号功率 “三要素”的限制。 20. 起伏噪声可分为 热噪声 、 散弹噪声 及 宇宙噪声 。 21. 恒参信道的传输特性通常可以用 幅频失真 和 相频失真 来表征。 22. 信道传输信息的速率与 单位时间传送的符号数目 、 信息源的概率分布 以及 信道干扰的概率 分布 有关。 23. 设一分组码（010111），则它的码长是 6 ，码重是 4 ，该分组码与另一分组码（110010）的码距是 3 。 24. 通断键控信号（OOK ）的基本的解调方法有 非相干解调 及 相干解调 。 25. 一个均值为零的平稳高斯窄带随机过程的包络的一维分布是 端利分布 ，而其相位的一维分布是 均匀分 布 。 26. 数字通信系统的主要性能指标是 传输速率 和 差错率 。 1. 信息与消息在概念上是一致的，即信息就是消息，消息就是信息。（ ⅹ ）
孙应飞随机过程答案
孙应飞随机过程答案 【篇一：随机过程第18-19讲】 lass=txt>（四）随机分析（续） 5．随机微分方程初步 设{y(t);t?t}是一均方连续的二阶矩过程，x0是一存在一、二阶矩的随机变量，假设{y(t);t?t}和x0是独立的，考虑以下随机微分方程： ?dx(t) ?y(t)? ?dt ??x(t0)?x0 试研究{x(t);t?t}的统计特性。 解：方程两边在均方意义下积分，有： x(t)?x(t0)??ty(u)du t 并且该解是唯一的。由于： e{x(t)}?e{x(t0)}??te{y(u)}du t 所以，当e{y(t)}?0时， e{x(t)}?e{x0} 又相关函数为： rx(t1,t2)?e{x(t1)x(t2)} ?e{x0}?e{x0}?te{y(u)}du?e{x0}?te{y(u)}du 2t2t1 ??t t2 ? t1 t0 ry(u,v)dudv 所以，当e{y(t)}?0时，有： rx(t1,t2)?e{x0}??t 设有一阶线性微分方程： 2t2 ? t1 t0 ry(u,v)dudv
?dx(t) ?a(t)x(t)?y(t)? ?dt ??x(t0)?x0 其中a(t),t?t是一确定性函数，{y(t);t?t}是一均方连续的实二阶矩过程， x0是存在一、二阶矩的随机变量，则此线性方程有唯一的解： x(t)?x0exp{?ta(u)du}??ty(v)exp{?va(u)du}dv ttt 下面研究其均值函数和相关函数 ?x(t)?e{x(t)} ?e{x0}exp{?ta(u)du}??te{y(v)}exp{?va(u)du}dv ttt rx(t1,t2)?e{x(t1)x(t2)} ?e{x}exp{?ta(u)du}exp{?ta(v)dv} 20 t1t2 ?exp{?ta(u)du}?te{x0y(v)}exp{?va(u)du}dv t1t2t2 ?exp{?ta(u)du}?te{x0y(v)}exp{?va(u)du}dv t2t1t1 ??t t1 ? t2 t0 ry(v1,v2)exp{?va(u)du}exp{?va(u)du}dv1dv2 1 21 t1t2 （五）各态历经性 1．各态历经性 本节主要讨论根据试验记录（样本函数）确定平稳过程的均值和相 关函数的理论依据和方法。 一般地，计算平稳过程的均值和相关函数有各种不同的方法，例如： 1n ?x(t1)??xk(t1) nk?1rx(t1,t2)?rx(t1?t2)? 1
随机过程习题和答案
随机过程习题和答案 一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解： 当时，＝＝ 设离散型随机变量X 服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t =时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分 布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。解：（1） 与无关 （2）， 所以（3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 ，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数 B
A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的 指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)!
随机过程复习课及考试要求
考试要求： 第一章：随机过程及其分类 （1）了解随机过程和有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的n维分布函数、分布密度的概念。 （2）理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质，并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。 （3）了解随机过程的分类方式及分类。 （4）了解两个随机过程的联合分布的概念。会计算联合随机过程的互协方差函数和互相关函数。 第二章：Markov过程 （1）理解马氏链及其转移概率的定义和性质。理解齐次性的概念。了解独立增量过程与马氏过程的关系。 （2）掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。 （3）了解状态的常返性、遍历性的概念。掌握遍历性的主要定理的条件和结论。能对简单齐次马氏链的状态进行分类。 （4）掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。（5）掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念，掌握转移率矩阵（Q矩阵）的定义和求法。（6）掌握前进方程、后退方程及福克－普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。（7）理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的Q矩阵。 第三章：Poission过程 （1）掌握独立增量过程、正交过程及计数过程的定义。 （2）掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。 （3）掌握Poission过程与指数分布之间的关系。
第四章：二阶矩过程、平稳过程和随机分析 （1） 掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。 （2） 了解均方极限、均方连续、均方导数和均方积分的概念，会判断一个随机过程的均 方连续性及均方可导性。掌握均方导数过程的相关函数于原过程的相关函数之间的关系。 （3） 掌握平稳过程各态历经性的概念。了解判断均值、相关函数具有各态历经性的定理。 第五章：平稳过程的谱分析 （1） 掌握平稳过程功率谱的定义及性质，会对简单的随机过程求其功率谱。 （2） 掌握功率谱与相关函数之间的关系。 （3） 掌握随机信号通过线性系统后输入信号与输出信号的功率谱之间的关系。 （4） 了解平稳过程的谱分解定理和采样定理。 （5） 了解窄带平稳随机信号的表示方式。 第六章：高斯（Gauss ）过程 （1） 掌握n 维正态随机变量的分布密度、特征函数及基本性质。 （2） 掌握正态过程的定义。了解窄带平稳实正态过程的表示法。 （3） 了解正态马氏过程的概念，掌握正态实平稳过程实马氏过程的充要条件。 （4） 掌握维纳过程的定义，会求标准维纳过程的数字特征。会求偏移系数为μ，强度为 2σ的维纳过程的相关函数。 （5） 了解维纳积分、Ito 随机积分的定义和基本性质。会解简单的随机微分方程。 典型复习题 （1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为
第2章-随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤x 1和ξ(t 2) ≤x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ(t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂ 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ(t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ(t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ(t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ(t )在任意给定时刻t 的取值ξ(t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =⎰
中国石油大学(华东)大学物理2-1第八章习题答案及中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
习题 8 8-1．选择题 1．一定量的理想气体，分别经历习题8-1(1)(a) 图所示的abc 过程(图中虚线ac 为等温线)和习题 8-1(1)(b) 图所示的def 过程(图中虚线df 为绝热线)，试判断这两过程是吸热还是放热（ ） (A) abc 过程吸热，def 过程放热 (B) abc 过程放热，def 过程吸热 (C) abc 过程def 过程都吸热 (D) abc 过程def 过程都放热 2．如习题8-1(2) 图所示，一定量的理想气体从体积V 1膨胀到体积V 2分别经历的过程是：A-B 等压过程；A-C 等温过程； A-D 绝热过程。其中,吸热最多的过程（ ） (A) A-B (B) A-C (C) A-D (D) 既是A-B ，也是A-C ，两者一样多 3．用公式E =νC V ，m T (式中C V ，m 为定容摩尔热容量，ν为气体的物质的量)计算理想气体内能增量时，此式( ) 习题8-1(1)图 习题8-1(2)图
(A) 只适用于准静态的等容过程(B) 只适用于一切等容过程 (C) 只适用于一切准静态过程(D) 适用于一切始末态为平衡态的过程 4．要使高温热源的温度T1升高ΔT，或使 低温热源的温度T2降低同样的ΔT值，这两 种方法分别可使卡诺循环的效率升高Δ1和 Δ 。两者相比有（） 2 习题8-1(5)图 (A) Δ1>Δ2 (B) Δ <Δ2 1 (C) Δ1= Δ2 (D) 无法确定哪个大 5.理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小(如习题8-1(5)图中阴影所示)分别为S1和S2，则两者的大小关系是（） (A) S1 > S2 (B) S1 = S2 (C) S1 < S2 (D) 无法确定 6. 热力学第一定律表明（） (A) 系统对外做的功不可能大于系统从外界吸收的热量 (B) 系统内能的增量等于系统从外界吸收的热量 (C) 不可能存在这样的循环过程，在此循环过程中，外界对系统做的功不等于系统传给外界的热量 (D) 热机的效率不可能等于1 7. 根据热力学第二定律可知（）
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过 程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程， 且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤∀ 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知1 1 )(--=n n x t X 条件 下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。