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(完整版)随机过程习题答案

(完整版)随机过程习

题答案

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

随机过程部分习题答案

习题2 2.1 设随机过程

b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、

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随机过程习题和答案

一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝设离散型随机变量X 服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：所以：袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）与无关

（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。试求它们的互协方差函，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的

(完整版)随机过程习题答案

随机过程部分习题答案习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。解因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以 ),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π，),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st += 2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。解对于任意0>t ，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法， }ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=- )ln (1}ln {1}ln {t x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=- ≥= 对x 求导得 )(t X 的一维概率密度 xt t x f t x f Y 1 )ln ();(- =，0>t 均值函数 ? ∞ +--===0 )(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t Y X 相关函数 ?+∞ +-+---====0 )()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X

随机过程习题和答案

、1.1设二维随机变量（X , F）的联合概率密度函数为: =—i—[l241-ι>?= "k" QTh Xl-JF) 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： Hm=(Ip)HP J t =U - 试求/的特征函数，并以此求其期望E(X)与方差I K X) ?0 = Efr ir) = ∑ e ? = *) 解：一 =?α-ri M P=√^∑^α-p)t U O-P) ?J 1—(I-JI)1—q/ (O)=α? 24(1-小丄 0

所以： -?(0)二丄 f P ZUr= J Er3-( J EIf)3=^^-^=4 PPp 2.1袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t 对应随机变量 x(t^3如果对t 时取得红球 e t如果对t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族 2.2设随机过程 W 加吨MIF)? gZ I叫，其中吗是常数，/与F是相互独立的随机变量，F服从区间(°2刘上的均匀分布，/服从瑞利分布，其概率密度为 x>0 x≤0 试证明Xu)为宽平稳过程。解:( 1)⑷+F)} q啊诚如+ f)} = 与无关（2）枚F（M 仪加血I（Q/伽说如"）汁F（才） , f _ t t ?(Q) =-J PQ ÷g)

= -te^t∣Γ÷p ^dt =-2σ1e^i∣Γ=2σ3所以必U）啟0⑴卜" （3）R lM壊M∞??+Hl∕∞Ψ?+y）］｝ =豺］￡｛oKs（A +Γ）∞<β（A +Γ）｝ =2^J tt 2{α≈(0A + β?+ y)-rasffl fc A)I^? 心’皿叫仏Z L)只与时间间隔有关，所以XU)为宽平稳过程 2.3设随机过程 X(t)=Ucos2t,其中U是随机变量，且 E(U)= 5, D(U)= 5.求: (1)均值函数； (2)协方差函数；(3)方差函数 2.4设有两个随机过程 X(t)=Ut2, Y(t)=Ut3,其中U是随机变量，且D(U) = 5. 试求它们的互协方差函数 2.5设代B是两个随机变量，试求随机过程X(t) =At ?3B,t? T =(」：「：)的均值函数和自相关函数若A, B相互独立,且A~ N(1,4), B ~U (0,2),则mχ (t)及Rχ(t1,t2) 为多少？

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随机过程部分习题答案习题2 2.1 设随机过程 b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。解因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以 ),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π，),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st += 2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。解对于任意0>t ，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法， }ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=- )ln (1}ln {1}ln {t x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=- ≥= 对x 求导得 )(t X 的一维概率密度 xt t x f t x f Y 1)ln ();(- =，0>t 均值函数 ⎰ ∞ +--===0 )(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t Y X 相关函数 ⎰+∞ +-+---====0 )()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X

(完整word版)随机过程试题带答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 1．为it (e -1) e λ。2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。3． 1 λ 4． Γ 5． 2 12 t,t, ;e,e 33 ⎧⎫⎨⎬⎩⎭。 6．(n)n P P =。 7．(n)j i ij i I p (n)p p ∈=⋅∑。 8．6 18e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-⎰ 10. a μ 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程习题及答案

随机过程习题及答案第二章随机过程分析 1.1学习指导 1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1) 如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率称为随机过程?(t )的二维分布函数。如果存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程?(t )的二维概率密度函数。对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程?(t )的n 维分布函数。如果存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程?(t )的n 维概率密度函数。 3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。

随机过程课后习题答案

随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。 1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] = e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。由于该过程是平稳过程，所以 E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。 2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] = E[X(0)X(h)]。根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。

随机过程试题带答案

随机过程试题带答案 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1 λ 的同一指数分布。 4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ 分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X , , 3)(，则这个随机过程的状态空间。 6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。 7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率 {}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 (n) j i ij i I p (n)p p ∈=?∑ 。8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则

{(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 1．为it (e -1) e λ。2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。3． 1 λ 4．Γ 5． 2 12 t,t, ;e,e 33 。 6．(n)n P P =。 7．(n) j i ij i I p (n)p p ∈=?∑。 8．618e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-? 10. a μ 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<="">

随机过程作业题及参考答案(第一章)

—2— 第一章随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0 cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0 ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。解： 1 当0 cos 0t ω=，0 2 t k πωπ=+，即0 112t k πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0 cos 0t ω≠，0 2 t k πωπ≠+，即0 112t k πω⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭ （k z ∈）时， () ~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()0 cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦. ()[]()22000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦ . ()() 20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- =；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π⎧=⎨ ⎩，出现正面，出现反面

—3— 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12 。试确定()X t 的一维分布函数12 F x ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ；和()1F x ；，以及二维分布函数12 112F x x ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ，；，。解： 00 11101 222 11 <⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫ ⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x ()(){}01 11112 212 <-⎧⎪⎪ ∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x 随机矢量()112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭ ，X X 的可能取值为()01-，，()12，. 而()1101122⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬ ⎪⎝⎭ ⎩⎭ ，P X X ，()1111222 ⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭ ⎩⎭ ，P X X .

随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自相关函数分别为Rx(τ)和Ry(τ)。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。答案：（1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用（2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +⨯+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。答案：（1）该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +== 11 )()()( 则频率响应为Ω += ΩjRC j H 11 )( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0 n j P X = Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 2 02 12 /)()()(Ω+= ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()⎰⎰ ∞ ∞-Ω∞ ∞ -ΩΩΩ+= ΩΩ= d e RC n d e j P R j j Y Y τ τ π π τ22012/21 )(21 )( 电压：y(t) 电流：i(t)

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随机过程习题及部分解答习题一 1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo

随机过程作业题及参考答案(第一章)

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2 第一章随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω⎛⎫= + ⎪⎝⎭ （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω⎛⎫ ≠ + ⎪⎝⎭ （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- =；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π⎧=⎨⎩，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 1 2 。试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；和()1F x ；，以及二维分布函数12112F x x ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭，；，。

3 解： 00 11101222 11 <⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫ ⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x ()(){}01 11112212 <-⎧⎪⎪ ∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x 随机矢量()112⎛⎫ ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X X 的可能取值为()01-，，()12，. 而()1101122⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X ，()11 11222⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X . ()1212111122⎧⎫⎛ ⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ ，；，，F x x P X x X x 12121212001 1 0110122112 <<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x 3. 设随机过程(){}X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线 ()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=，且()()()1231 3 P P P ωωω=== 。试求数学期望()EX t 和相关函数()12X R t t ，。

(完整版)随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t ⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）与无关

（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。试求它们的互协方差函 2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----

随机过程习题答案

随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（a）（b）第二讲作业： P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业： P111/7．解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）

随机过程课后习题答案

标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2 备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50 历年试题（页码对应备用教材） 2007 一、习题0.7（1）二、习题1.4 三、例2.5.1—P80 四、例2.1.2—P47 五、习题2.2 六、例3.2.2—P99 2008 一、习题0.5 二、习题1.4 三、定理2.5.1—P76 四、定理2.5.6—P80 五、1、例2.5.1—P80 2、例2.2.2—P53 六、例3.2.3—P99 2009（回忆版）一、习题1.12 二、例2.2.3—P53 三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76 五、习题0.8 六、例3.2.2 2010 一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1 三、例2.1.4 四、例2.2.2 五、习题2.6 六、习题3.3

引理1.3.1 解法纠正许瓦兹不等式 ()2 22E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 证明： ()()()()2 222 2 22 2 2220 440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 例1.4.2 解法详解已知随机过程(){} ,X t t T ∈的均值为零，相关函数为 ()12 1212,,,,0a t t t t e t t T a --Γ=∈>为常数。求其积分过程 ()(){} ,t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。解： ()0Y m t = 不妨设12t t > () ()()()()()1 2 1 2 2 2 2 1 12121122 1 2 2 1 00 ,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττ Γ===Γ⎰⎰⎰⎰ () () ()()()2 2 2 1 21122 2 2122211 2222 21222121212 1212 00 022 00220022 00222211||111111 ||211ττττττ ττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰ ⎰ ⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at e d d e d d e d e d a a e d e d a a t t e e a a a a t e e e a a ⎤⎦ 同理当21t t >时 ()()211 2112221,1a t t at at Y t t t e e e a a ----⎡⎤Γ= ++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解普松过程公式推导： (){}() () ()()()()()()()()()1 lim ! lim 1!! !1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换： →∞ -→∞ -→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣ ⎦⎣⎦ ⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N k k N N k k N N k N k q t qt N N k N k k k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣ ⎦-⎣⎦ N k k k k k N k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!! N k k N k qt P X t k N q t q t N k k qt e k -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦-⎣⎦⎣⎦= 例2.1.2 解法详解设(){} ,X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且 ()()2 212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){} ,Y t t -∞<<+∞为平稳过程。证明：

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