2013年全国研究生数学建模竞赛B题论文

参赛密码

（由组委会填写）

第十届华为杯全国研究生数学建

模竞赛

学校南京邮电大学

参赛队号10293015

队员姓名1.仲伟奇

2.卢诗尧

3.江爱珍

参赛密码

（由组委会填写）

第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛

题 目 功率放大器非线性特性及预失真建模

摘 要：

本文根据函数逼近Weierstrass 定理对功放的非线性特性建立多项式数学模型。对于无记忆功放，直接用matlab 中polyfit 函数或矩阵运算求解，用NMSE 值来评价不同阶数所得的多项式模型，最终将多项式模型的阶数定为4，此时47.13NMS dB E -=，系数详见4.1.3；根据线性原则和两个约束条件建立预失真的多项式模型，采用查表法求得预失真器的输入和输出，建立目标误差函数

21ˆmin |()(

)|N

n GE z n z n ==-∑，用polyfit 函数或矩阵运算求解，最终根据GE 值最小确定多项式阶数为12, 此时-50.877B NMSE d =，系数详见4.2.3。

对于有记忆功放，在无记忆的基础上建立模型，增加延迟项来表征记忆效应，通过矩阵运算求解，然后用NMSE 值评估确定记忆效应多项式阶数为4，记忆深度为3，此时44.3839NMSE dB =-，系数详见4.3.3；根据功放的非线性模型，，建立预失真器的有记忆效应多项式模型，利用功放的输入输出数据间接得到预失真器的输入输出，再用矩阵运算，用NMSE 值来评估确定阶数为4，记忆深度为3，系数详见4.4.3，此时19.0058NMSE dB =-。

运用自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对的性质，对自相关函数作傅里叶变换求得功率谱密度，分析得出传输信道范围，最终得出输入信号、

有无预失真补偿三类信号的A C P R 值分别为47.1212dB

-，37.4586dB -，38.7557dB -，得出预失真补偿后的ACPR 值要比补偿前要小。 关键词：数据拟合 查表法 NMSE/EVM 评价 矩阵运算 多项式模型

功率放大器非线性特性及预失真建模

一问题重述

1.1 问题引入

信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其实现模块称为功率放大器（PA，Power Amplifier），简称功放。功放的输出信号相对于输入信号可能产生非线性变形，这将带来无益的干扰信号，影响信信息的正确传递和接收，此现象称为非线性失真。传统电路设计上，可通过降低输出功率的方式减轻非线性失真效应。

功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义。目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等），但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。

本题从数学建模的角度进行探索。若记输入信号)(t

x，输出信号为)(t z，

t为时间变量，则功放非线性在数学上可表示为))

G

x

t

z ，其中G为非线

)

(

(

(t

性函数。预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化，输出功率得到充分利用。原理框图如图1-1所示。

图1-1 预失真技术的原理框图示意

1.2问题研究

在上述提供的背景材料以及自行查阅相关文献资料的基础上，请你们的团队研究下列问题。要求写出计算的过程、注明所用的优化方法、解释选择中间参数的理由、并附上所用的程序（C/C++/Java/Matlab等）。为保证所用模型的工程可实现性，请考虑选用适当复杂度的模型和算法。

以下各题中的数学建模鼓励创新，不局限于背景介绍的模型方法。

1. 无记忆功放

数据文件1给出了某功放无记忆效应的复输入-输出测试数据，其输入-输出幅度图为：

图1-2 功放输入/输出幅度散点图

请根据提供的数据，完成以下任务。

A ．建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用NMSE 评价所建模型的准确度。

B ．根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，建立预失真模型。写出目标误差函数，计算线性化后最大可能的幅度放大倍数，运用评价指标参数NMSE/EVM 评价预失真补偿的结果。

2. 有记忆功放

数据文件2给出了某功放的有记忆效应的复输入-输出数据，请完成以下任务。

A ．建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用NMSE 评价所建模型的准确度。

B ．根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，以框图的方式建立预失真处理的模型实现示意图（提示：可定义基本实现单元模块和确定其之间关系，组成整体图），然后计算预失真模型相关参数。运用评价指标参数NMSE/EVM 评价预失真补偿的计算结果。

3． 拓展研究

相邻信道功率比（Adjacent Channel Power Ratio ，ACPR ）是表示信道的带外失真的参数，衡量由于非线性效应所产生的新频率分量对邻道信号的影响程度。其定义为

（1-1）

其中)(f s 为信号的功率谱密度函数，],[21f f 为传输信道，],[32f f 为相邻信道。功率谱密度的计算可通过对信号的自相关函数进行Fourier 变换计算，也可以通过直接法等计算（假定本题涉及的信号为时间平稳信号）。

如果题2所附的数据采样频率1272.30⨯=s

F MHz ，传输信道按照

20MHz 来

算，邻信道也是20MHz 。根据给出的数据，请计算功放预失真补偿前后的功率谱密度，并用图形的方式表示三类信号的功率谱密度（输入信号、无预失真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号），最后用ACPR 对结果进行分析评价。

二模型假设

1. 假设题目所给的数据真实可靠；

2. 假设功放在无输入时仍有很小的输出值；

3. 假设功放的输入数据不会导致饱和溢出；

三符号说明

x t：输入信号；

()

x n：离散采样后输入信号；

()

z t：功率放大器的输出信号；

()

z n：离散采样后功率放大器的输出信号；

()

f t：预失真器的输出信号；

()

f n：离散采样后预失真器的输出信号；

()

H：功放非线性模型的各次幂系数组成的矩阵；

A：预失真器非线性模型的各次幂系数组成的矩阵；

g>；

g：功率放大器的理想“幅度放大系数”，1

()

G∙：功放的输入-输出传输特性；

()

F∙：预失真器的特性；

M：有记忆功放的记忆深度；

N：离散采样值的个数；

NMSE：归一化均方误差值；

四模型的建立和求解

4.1 无记忆功放模型的建立和求解

4.1.1 问题分析

该问题是建立无记忆功放的非线性数学模型，从而根据该模型来建立预失

真模型，使输出与输入呈线性。

该问题的某一时刻的输出仅与此时刻的输入有关，因此无延迟项，根据题中的背景介绍，可以根据函数逼近的Weierstrass 定理，建立简单的多项式来表示非线性函数模型，最终应用matlab 的数据拟合即可得出无记忆功放的非线性特性的数学模型

非线性失真主要有幅度失真和相位失真，但是根据问题一所给的数据分析得到输入与输出不存在相位上的失真，每组数据只是幅度放大的倍数是不一致的。因此在该问题中数据拟合时无需针对相位信息进行数据拟合，只需要针对幅度来拟合出适合的非线性模型，即多项式模型。最后通过NMSE 值的优劣来选择适合的非线性的阶数。

4.1.2模型建立

根据题目所给的背景资料，无记忆功放的非线性模型可以采用简单的多项式来表示。在该题中，无记忆功放在某一时刻的输出仅与此时刻的输入有关，因此，可以将此功放的非线性特性模型表示为

0()()K

k k k z t h x t ==∑ [0,]t T

∈ （4-1） 其中：()z t 为功放的输出值； ()x t 为功放的输入值；

K 为非线性的阶数（即多项式的次数）； k h 为第k 阶的系数。

在所给的题目中，所给的数据都是经过离散采样后的值，因此，对于式（4-1）

可用离散多项式来建立非线性数学模型：

2120()()()()()K

k K k K k z n h x n h x n h x n h x n ===++

+∑ 0,1,2,,n N = （4-2）

其中：()z n 为离散采样后功率放大器的输出信号；

()x n 为离散采样后功率放大器的输入信号；

K 为非线性的阶数（即多项式的次数）； k h 为第k 阶的系数；

N 为离散采样值的个数。

为了计算各次幂系数k h ，对于共有N 个时刻的输入输出关系，也可以将式（4-2）改写成矩阵的形式

1

2

()T

N Z XH X X X X ⎫⎪

=⎬=⎪⎭

（4-3）

其中：i X 表示用于第i 个时刻的建模输入向量，02()i i

i i K i X x x x x =；

H 是（1K +）个系数构成的纵向量，01

()T k H h h h =；

Z 共有N 个时刻的输出，即((1)(2)())T Z z z z N =

这时，通过NMSE 评价，得到系数矩阵H 的最优值

1()H H H X X X Z -= （4-4） 其中，H X 是矩阵的共轭转置； 1()-∙是矩阵的逆。 4.1.3模型求解

非线性失真主要分为幅度失真和相位失真，在该题中所给出的数据经过分

析后得出不存在相位上失真，每组输入输出数据的角度都是不变的，因此在求解该非线性模型时，无需对相位再进行分析，只需要针对幅度来求解各次幂的阶数以及非线性的阶数。

对于求解该非线性模型，其实就是数据拟合的过程。这里可以直接用matlab 中的ployfit 函数或者用式（4-4）的方法，即可得到各次幂的系数。对于模型的阶数，可以用NMSE 的值来评判，即不同阶数K 的模型的NMSE 值越小，该阶数就是越优的。

具体求解步骤：

Step1：设定不同的阶数，用polyfit 函数或式（4-4）求解出各次幂的系数； Step2：求出不同阶数时的NMSE 值； Step3：比较NMSE 值，得出最优的阶数。

根据以上的算法思路，可以得到不同阶数K 的NMSE 值，如图4-1。

k

N N S E

图4-1 阶数K 与NMSE 的关系图

如图4-1所示，在K =36时，所得的NMSE 值最小，也就是最优的阶数是36。但是考虑到在K =4时，NMSE =-47.13dB ，拟合程度已经相当好，再增加阶数，只会增加计算的复杂度，但效果不能再得到很明显的改善。因此将阶数K 定为4，此时系数矩阵[1.7595, 4.2755,1.5757,2.8476,0.0011]H =-。

此时，所得到的此功放的数学模型为：

432() 1.7595() 4.2755() 1.5757() 2.8476()0.0011

z n x n x n x n x n =-+++

0,1,2,

,n N = （4-5）

在此模型下，功放的输入—输出的幅度图如4-2所示，包含所得的ˆ()z n 与原数据()z n 。

|x(n)|

|z (n )|

图4-2 功放的输入—输出幅度图

由图4-2可以看出，拟合的数据与原数据的吻合程度很好，NMSE 表示归一化均方误差，表征所计算的精度。NMSE 越小，吻合程度越好，即计算精度越高。在30NMSE dB <-时，即可表明此时的计算精度已经相当高。当阶数4K =时，NMSE 值为-47.13dB （30dB <-），符合要求，因此所得到的非线性模型准确度很高。

4.2 无记忆功放预失真模型的建立和求解 4.2.1问题分析

该问题是在线性化原则（即保证功放不失真）的基础上，以“输出幅度限制”和“功率最大化”为约束条件，建立预失真模型，并构造出评价预失真模型的目标误差函数。

对于“输出幅度限制”就是限定预失真处理的输出幅度不大于所给出的功放输入的幅度最大值1.0553。

对于“功率最大化”，需要满足预失真处理后的输出幅度尽可能的高。 在该问题中，首先根据已建立好的无记忆功放模型，以及需要满足的线性化原则，得到((()))()G F x t g x t =（()G 是功放的输入-输出传输特性，

()F 是预失真器的特性，g 是整个系统最后理想的放大倍数）。然后通过估计

出(())F x t 的值（查表法），最后再通过数据拟合的方法得到预失真的模型。

对于目标误差函数，因为题目中没有给出无失真的数据，因此在本文中，可以通过比较ˆ()((()))z t G F x t =和()()z t g x t =，

从而得到最优的预失真模型。即设定目标误差函数21ˆmin |()(

)|N

n GE z t z t ==-∑。 最后将得到的预失真和功放的联合模型用NMSE 评价预失真补偿的结果。 4.2.2模型建立

在该问题中，最重要的就是要使得整个系统呈线性，保证输入与输出数据呈线性关系，也就是要保证

((()))()G F x t g x t = （4-6）

其中：()G ∙是功放的输入-输出传输特性；

()F ∙是预失真器的特性；

g 是整个系统理想的放大倍数；

()x t 为功放的输入值。

由式（4-6），可以看出预失真器也是非线性的，因此同样可以将预失真器

的线性模型设为

0()()K

k k k f t a x t ==∑ [0,]t T

∈ （4-7） 根据（4-7），预失真器模型的离散多项式为

2120()()()()()K

k K k K k f n a x n a x n a x n a x n ===++

+∑ 0,1,2,,n N = （4-8）

其中：()f n 为预失真器的输出； ()x n 为预失真器的输入； k a 为第k 阶的系数；

K 为非线性的阶数（即多项式的次数）； N 为离散采样值的个数。

式（4-8）写成矩阵的形式为

1

2

()T

N F XA X X X X ⎫⎪

=⎬=⎪⎭

（4-9） 其中：i X 表示用于第i 个时刻的建模输入向量，02

()i i

i i K i X x x x x =；

A 是（1K +）个系数构成的纵向量，01

()T k A a a a =； Z 共有N 个时刻的输出，即((1)(2)

())T Z z z z N =

除此之外，要有“输出幅度限制”，即() 1.0553f n ≤。“功率最大化”约束就是要使得预失真之后的输出要尽可能的大，即()f n 尽可能大。

由上述两个约束条件，可以知道在预失真最大输入为1.0553情况下，此时

为了保证预失真输出尽可能大，此刻的输出为 1.0553，经过PA 放大最多为1.9275，此时的放大倍数 1.8265g =，因此，在保证线性化原则以及两个约束条件的前提下，最大可能的放大倍数 1.8265g =。

对于目标误差函数的选择可以采用最小差平方来评判，即

21ˆmin |()(

)|N

n GE z n z n ==-∑ （4-10） 其中，()z n 为整个系统的理想输出，()()z n g x n =； ˆ()z n 为所建模型的输出，即ˆ()((()))z n G F x n =。 目标误差函数GE 值越小，吻合程度越好。 4.2.3模型求解

在该题中，题目没有直接给出预失真器的输出值，首先需要计算出对应于输入()x n 的预失真输出值()f n ，然后再通过数据拟合的方法计算出预失真器的系数矩阵A 。

对于()f n 值的计算，主要采用查表的方法。首先将PA 的输入—输出特性关系用确切的数值表示出，按顺序将其存入.mat 文件中，因此输入的精度应尽可能高。然后根据线性原则(())()G F n g x n =得到每个输入()x n 得到整个系统后的输出值()g x n ，通过查表找出与()g x n 最为接近的值，通过此时存储值的位置来确定()F n 值。

具体的求解步骤如下：

Step1：将输入()x n 在[0,1.0553]范围内每隔0.0001取值，用无记忆功放的非线性特性的模型计算出相对应的输出，按顺序存放于.mat 文件中（比如输入为0.0001，则结果存储在第1格中）；

Step2：通过线性准则得出当输入为()x n 时，输出为()g x n （ 1.8265g =），在.mat 文件中找出与()g x n 最接近的值，然后根据具体位置除以10000即可，当输入为0时，输出也为0；

Step3：找出与输入()x n 相对应的预失真输出()F n 后，用polyfit 函数即可拟合出预失真器的非线性模型。

Step4：通过目标误差函数GE 可以得出最优的非线性阶数，目标误差函数越小，阶数为最优。

根据上述的算法思路，可以得到当 1.8265g =时，得到的目标误差函数与阶数K 的关系图，如4-3所示。

0.1

0.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

阶数k

目标误差函数G E

图4-3 阶数K 与GE 的关系图

如图4-3所示，当12K 时，GE 最小，值为0.0011。此时的系数矩阵

A=[918.8,-4644,9910.2,-11509,7747.8,-2883,413.87,79.46,-37.44,4.05,-0.016,0.6,0]

在此模型下，预失真器输入—输出的幅度图如5-4，包含拟合的数据ˆ()f n 与原数据()g x n 。

|x(n)|

|z (n )|

图4-4 预失真器的输入—输出幅度图

由图4-4可以看出拟合的数据ˆ()f n 与原数据()g x n 两者拟合的程度很好。

|x(n)|

|z (n )|

图4-5 整个系统的输入—输出的幅度

如图4-5，可以看出整个系统的理想输出()g x n 和实际输出值两者有很好的重合效果，因此预失真器和功放组成的联合模型仍能保持线性，说明加入预失真器，可以保证整个系统无失真。因为当30NMSE dB <-时，就可判定精度

为优，此时，预失真补偿之后的-50.87730dB d M B N SE <-=，因此整体联合模型的线性效果很好，因此预失真的补偿效果比较可靠。

4.3 有记忆功放模型的建立和求解 4.3.1问题分析

该问题是建立有记忆功放的非线性数学模型，从而根据该模型来建立预失真模型，使输出与输入呈线性。

该问题的某一时刻的输出不仅与此时刻的输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，因此此时所建立的非线性模型必须含有延迟项，可以在问题一中A 题的基础上来建立模型，只需要增加记忆效应。因此在该题中，有非线性的阶数和记忆深度这两个参数需要确定，用NMSE 的值来决定所采用的阶数和记忆深度。

在该题中，输出数据与输入数据不仅在幅度上失真，在相位上也同样失真，此时，不能像问题一中的A 题一样只考虑幅度值，因此在该题中，直接对复数进行处理。因为该问题中还要考虑记忆深度的问题，所以用矩阵来表示有记忆功放的非线性模型，这样就可以直接对矩阵进行运算即可。

4.3.2模型建立

该问题针对的是有记忆功放的非线性模型，因此在某一时刻的输出不仅与此时刻的输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，因此此时所建立的非线性模型必须含有延迟项，可以在问题一中A 题的基础上来建立模型，只需要增加记忆效应。这时对式（4-2）增加记忆效应，可以写成

10111102222021201()()()(1)...()

()(1)...()...

......

()(1)...()

K

M

k km M k m M K K K K K KM z n h x n m h x n h x n h x n M h x n h x n h x n M h x n h x n h x n M ===-=+-++-++-++-++++-++-∑∑

0,1,2,,n N = （4-11）

其中：()z n 为离散采样后功率放大器的输出信号；

()x n 为离散采样后功率放大器的输入信号；

K 为非线性的阶数（即多项式的次数）； km h 为第k 阶、延迟m 的系数；

M 为记忆深度；

N 为离散采样值的个数。

为了便于计算，可以将式（4-11）改写成“和记忆多项式”模型

110()()|()|K

M

k km k m z n h x n m x n m -===--∑∑ 0,1,2,,n N = （4-12）

为了计算各次幂系数km h ，对于共有N 个时刻的输入输出关系，也可以将式（5-12）改写成矩阵的形式

1

2

()T

N Z XH X X X X ⎫⎪

=⎬=⎪⎭

（4-13） 其中：i X 表示用于第i 个时刻的建模输入向量，且

1

1

1

1

11(||

||||

)

i i

i i m

k k K i i i i i m i m X x x x x x x x x x ---------=；

H 是(1)M K +个系数构成的纵向量，

1011101

()T M K K KM H h h h h h h =；

Z 共有N 个时刻的输出，即((1)(2)())T Z z z z N =

这时，通过NMSE 评价，得到系数矩阵H 的最优值

1()H H H X X X Z -= （4-14） 其中，H X 是矩阵的共轭转置； 1()-∙是矩阵的逆。 4.3.3模型求解

在该问题中，由于数据量较大，因此在计算系数时，采用的是式（4-14）

来计算，直接通过矩阵的逆和共轭转置来求得系数矩阵H 。在求解的过程中通过取不同的阶数K 和记忆深度M 来找出相应的NMSE 值，从而相比较得出较优的系数矩阵H 、阶数K 和记忆深度M 。具体求解步骤如下：

Step1：构造如式（4-14）的矩阵X 以及系数矩阵H ； Step2：取不同的阶数K 和记忆深度M ，根据式（4-14）来计算系数矩阵H ； Step3：求出Step2中相对应的NMSE 值；

Step4：比较NMSE 值，从而选取较优的阶数K 和记忆深度M 。

根据上述的算法思路，可以得到不同的NMSE （dB ）值，具体如表4-1所

表4-1 不同阶数和记忆深度时值

如表4-1所示，纵向观察，当5K =时，NMSE 不再有显著改变；横向观察，当4M =时，NMSE 也不再有显著改变，因此可以取非线性的阶数5K =，记忆深度4M =，此时的系数矩阵为

14.3 - 3.2i,-22.7 + 6.25i,28.29 - 8.2i,-12 + 4.23i,9.77 + 5.3i,-1.57 - 0.5i,

4.99 + 1.68i,-2.68 - 0.3i,-17.33 - 12.39i,4.65 + 3.36i,-9.97 - 6.05i,

5.61 + 2.14i,7.67 + 8.2i,-2.59 - 3.58i,

6.29+ 5.,-[54i H = 3.7 - 2.31i] 在此情况下，44.383039NMSE dB dB <-=-，可以看出此时的吻合程度很好，因此在阶数5K =，记忆深度4M =，系数矩阵为上述H 时，所建有记忆功放的非线性模型准确度较好。

4.4 有记忆功放的预失真模型的建立和求解 4.4.1 问题分析

对于预失真器模型的建立问题，最主要的是要保证预失真器和PA 功放的联合模型最后的输出与输入保持线性关系，在此基础上，还要有“输出幅度限制”和“功率最大化”的约束条件，这时再求解预失真器的非线性模型。

要保证信号的无失真，即信号的线性放大，预失真器的特性应与PA 功放的特性相反，即假设功放的输入为X ，输出为Z ，那么预失真器应当满足输入为Z ，而此时输出应为X ，但是因为整个系统是需要有一定放大系数g ，因此可以将预失真器的输入修改为/Z g ，输出为X 。再用有记忆功放中矩阵求解的方法来求解预失真器的系数矩阵A 。

预失真模型的实现示意图就是将上述的假设用框图更为形象地说明。最后再用NMSE 来评价所得到的预失真器的模型即可。

4.4.2 模型建立

要使得预失真器和功放的联合模型是线性模型，预失真器的特性应与PA 功放的特性相反，即若输入为X ，输出为Z ，那么预失真器应当满足输入为Z ，而此时输出应为X ，但是因为整个系统是需要有一定放大系数g ，因此可以将预失真器的输入修改为/Z g ，输出为X 。如图4-6 所示，

()z n

图4-6 系统的等效模型图

根据图4-6，可以将预失真器模型实现的示意图定为如图4-7。

图4-7 预失真器的预失真器模型实现的示意图

在图4-7 中， z(n)表示无预失真功放输出，除以g 值之后作为预失真器A 的输入()u n ，无预失真功放输入作为预失真器A 的输出()v n ，这样可以估算出预失真器模型参数，然后将这些参数送给预失真器B 。将无预失真功放输入作为预失真器B 的输入()x n ,然后分别可以求出()y n 和ˆ()z n ，然后通过求z(n)和

ˆ()z n 的NMSE 来评价结果吻合度，和预失真器A 系数计算精度。

这里假设预失真的阶数以及记忆深度均与功放的相同，即阶数4K =，记忆深度3M =，则预失真器的非线性模型可以表示为

1

2

()T

N Y XA X X X X ⎫⎪

=⎬=⎪⎭

（4-15） 其中：i X 表示用于第i 个时刻的建模输入向量，且

1

3

3

3

3

11(||||

||)

i i

i i i i i i i m i m X x x x x x x x x x ------=；

H 是(1)M K +个系数构成的纵向量，

1011134041

43()T A a a a a a a =；

Y 共有N 个时刻的输出，即((1)(2)())T Y y y y N =

这时，通过NMSE 评价，得到系数矩阵H 的最优值

1()H H A X X X Y -= （4-16）

其中，H

X是矩阵的共轭转置；

1

()-

∙是矩阵的逆。

对于预失真器的输入值根据图4-6，即是原来功放输出的1

g

，而输出即是

原功放的输入值。此时根据式（4-16）可求出系数矩阵A。

对于g的估计，在满足“输出幅度限制”条件下，为了保证功放输出“功

率最大化”，预失真处理后的输出幅度需尽可能高，这样预失真器输入值也需尽可能高，这样输出值才会大，所以这里我们在评估最大功放倍数的时候，选取的输入点模值大于0.6。

一般情况下，g值的计算是通过功放输出的最大值与输入信号的最大值比值来完成的，所以这里我们就用筛选出来的值来评估g值。通过matlab仿真，得出9

g=左右。

4.4.3 模型求解

在该问题中，用()/

z n g来表示预失真器的输入，将原功放的输入值作为预失真器的输出，这时就已知预失真器的输入和输出，就可以通过式4- ，求解出系数矩阵A。具体的求解步骤如下：

Step1：根据题目所给的功放的输出值计算出()/

z n g；

Step2：用式（4-）计算出系数矩阵A；

Step3：通过所得的预失真模型和功放模型所组成的联合模型，求得输入信号()

x n经过整个系统的真实输出值；

Step4：将真实输出值和理想输出值()

g x n相比较得出NMSE值。

根据上述的算法思路，得到不同放大倍数g时的NMSE值，见表4-。

表4-2不同放大倍数g时的NMSE值

由表4-2可知，在8

g=时，所得到的NMSE值最小，因此在该题中取8

g=，此时的19.0058

NMSE dB

=-，与上文中的NMSE有一定的差距，可以通过改变阶数K和记忆深度M来使得NMSE的值降低即可。系数矩阵

0.63 + 0.44i,1.27 - 0.98i,-1.7 + 1.13i,0.77 - 0.5i,-0.59 - 0.43i,

-0.077 + 0.06i,-0.058 - 0.1i,0.13+ 0.02i,0.99 + 0.6i,-0.56 + 0.16i,

0.87 - 0.08i,-0.59 + 0.044i,-0.42 - 0.22i,0.53 - 0.23i,-0.8 .1[+ 0A 6i,0.5 - 0.05]此时，整个联合模型的输入—输出的关系如图4-8所示。

-0.8

-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

|x(n)|

|y (n )|

图4-8 整个联合模型的输入-输出的关系图

如图4-8，因为数据过多的缘故，整个图形比较粗，但是仍能看出输入—输出的关系呈现线性。

4.5 拓展研究 4.

5.1 问题分析

该问题是要用图形的方式表示出输入信号、有无预失真补偿三类信号的功率谱密度，然后用ACPR 对结果进行分析评价，分析预失真对由于非线性效应产生的带外失真的影响。

由于自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对，所以该题首先计算信号的自相关函数，然后通过傅里叶变换从而得到功率谱密度。之后再通过观察所作出的频谱图可以得出传输信道带宽范围，即12[,]f f 和23[,]f f ，这样再对功率谱密度积分求得功率，从而计算出ACPR 。而ACPR 是衡量非线性效应对林信道信号的影响程度，因此可以预失真器的效果进行分析评价。

4.5.2问题求解 在该题中，需要求解

3221

10

()10log ()f f f f s f df ACPR s f df

=⎰⎰

（4-17）

其中：()s f 为信号的功率谱密度函数；

12[,]f f 为传输信道， 23[,]f f 为相邻信道。

由于自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对，因此求信号的功率谱

密度，可以先求信号的自相关函数，然后再通过自相关函数求解功率谱密度。

本文的数据都是离散采样的，因此自相关函数同样为离散的，自相关函数为

1

()[()()]lim ()()21N

x N n N

R m E x n x n m x n x n m N →∞=-=+=++∑ （4-18） 其中：()x R m 为()x n 的自相关函数； []E 为求均值； 因此，所得的功率谱密度为

()()(())j j m x x x M s e R m e DTFT R m ω

ω∞

=-∞

=

=∑

（4-19） 其中：()DTFT 为求离散时间傅里叶变换。

算法思路为：

Step1：根据式（4-18）计算出输入信号、有无预失真补偿三类信号的自相关函数；

Step2：对自相关值作傅里叶变换（作完自相关之后为原来的两倍，因此在matlab 中的FFT 点数选取为182），即功率谱密度；

Step3：作出三类信号的功率谱密度；

Step4：计算三类信号的ACPR 值。

根据上述的算法，所得的三类信号的功率谱密度图4-9，4-10，4-11。

2013年全国大学生数学建模竞赛B题全国一等奖论文

碎纸片的拼接复原 【摘要】 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。本文主要解决碎纸机切割后的碎纸片拼接复原问题。 针对第一问，附件1、2分别为沿纵向切割后的19张中英文碎纸片，本文在考虑破碎纸片携带信息量较大的基础上，利用MATLAB对附件1、2的碎纸片图像分别读入，以数字矩阵的方式进行存储。利用数字矩阵中包含图像边缘灰度这一特征，本文采用贪心算法的思想，在首先确定原文件左右边界的基础上，以Manhattan距离来度量两两碎纸片边界差异度，利用计算机搜索依次从左往右搜寻最匹配的碎纸片进行横向配对并达成排序目的。最终，本文在没有进行人工干预，成功地将附件1、2碎纸片分别拼接复原，得到复原图片见附录2.1、2.2，纵切中文及英文结果表分别如下: 为先对本文 3、第4行及第9 Spearman 拼接复原 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。

2013年全国研究生数学建模竞赛B题论文

参赛密码 （由组委会填写） 第十届华为杯全国研究生数学建 模竞赛 学校南京邮电大学 参赛队号10293015 队员姓名1.仲伟奇 2.卢诗尧 3.江爱珍

参赛密码 （由组委会填写） 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 题 目 功率放大器非线性特性及预失真建模 摘 要： 本文根据函数逼近Weierstrass 定理对功放的非线性特性建立多项式数学模型。对于无记忆功放，直接用matlab 中polyfit 函数或矩阵运算求解，用NMSE 值来评价不同阶数所得的多项式模型，最终将多项式模型的阶数定为4，此时47.13NMS dB E -=，系数详见4.1.3；根据线性原则和两个约束条件建立预失真的多项式模型，采用查表法求得预失真器的输入和输出，建立目标误差函数 21ˆmin |()( )|N n GE z n z n ==-∑，用polyfit 函数或矩阵运算求解，最终根据GE 值最小确定多项式阶数为12, 此时-50.877B NMSE d =，系数详见4.2.3。 对于有记忆功放，在无记忆的基础上建立模型，增加延迟项来表征记忆效应，通过矩阵运算求解，然后用NMSE 值评估确定记忆效应多项式阶数为4，记忆深度为3，此时44.3839NMSE dB =-，系数详见4.3.3；根据功放的非线性模型，，建立预失真器的有记忆效应多项式模型，利用功放的输入输出数据间接得到预失真器的输入输出，再用矩阵运算，用NMSE 值来评估确定阶数为4，记忆深度为3，系数详见4.4.3，此时19.0058NMSE dB =-。 运用自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对的性质，对自相关函数作傅里叶变换求得功率谱密度，分析得出传输信道范围，最终得出输入信号、 有无预失真补偿三类信号的A C P R 值分别为47.1212dB -，37.4586dB -，38.7557dB -，得出预失真补偿后的ACPR 值要比补偿前要小。 关键词：数据拟合 查表法 NMSE/EVM 评价 矩阵运算 多项式模型

2013全国大学生数学建模比赛B题_答案

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

碎纸片的拼接复原 摘要 本文研究的是碎纸片的拼接复原问题。由于人工做残片复原虽然准确度高，但有着效率低的缺点，仅由计算机处理复原，会由于各类条件的限制造成误差与错误，所以为了解决题目中给定的碎纸片复原问题，我们采用人机结合的方法建立碎纸片的计算机复原模型解决残片复原问题，并把计算机通过算法复原的结果优劣情况作为评价复原模型好坏的标准，通过人工后期的处理得到最佳结果。 面对题目中给出的BMP格式的黑白文字图片，我们使用matlab软件的图像处理功能把图像转化为矩阵形式，矩阵中的元素表示图中该位置像素的灰度值，再对元素进行二值化处理得到新的矩阵。题目每一个附件中的碎纸片均为来自同一页的文件，所以不需考虑残片中含有未知纸张的残片以及残片中不会含有公共部分。鉴于残片形状分为“长条形”与“小长方形”，残片内容分为中文、英文，纸张的打印类型分为“单面型”、“双面型”，所以我们根据残片的类型对矩阵做不同处理。 针对问题一中给出的“长条形”碎纸片：对图片转化后的矩阵进行边缘检测，发现每一张图片的两短边在一定范围内全是白色，而仅有2张图片的长边在一定范围内全是白色，说明我们需要对长边进行拼接，一边包含全白的长边是原文件纸张的两端。由于考虑到模型应用的推广，我们在此问中的模型包含了图片倒置的情况（仅在问题一中考虑倒置情况，鉴于问题二、三中数据量的增多，二三问不再考虑倒置情况），对图片的长边及矩阵中的第一列和最后一列与其他矩阵的第一列和最后一列进行边缘匹配，根据边缘匹配度来确定图片复原，最后若发现拼接效果有偏差，在进行人工操作。 针对问题二中的“小长方形”碎纸片：由于数据量变多，盲目使用问题一中的方法不能保证准确度，所以这里要进一步约束使当前图片与少量图片进行匹配。观察两种文字的特点，我们可以发现中英文在位置上均有一定的特性，我们利用这种特性将有相同位置特性的碎纸片归类为一组，在问题一方法的基础上做少许修改后代入有相同位置特性的一组碎纸片中，根据边缘匹配度将他们连接、检查并做人工处理可得拼接后的横行纸片，再将横行纸片的长边用同样的方法做边缘匹配可将行与行之间拼接起来，再做人工调整得到最优结果。通过模型的建立求解过程可以发现中英文在本问题的求解方法中有着一定的不同，英文需要更多地人工判断处理。 针对问题三考虑到双面问题以及问题二中英文碎纸片的情况，我们把碎纸片两面匹配度之和作为判断碎纸片是否连接的评价标准，在问题一方法的基础上，在计算机每一步的匹配结果加以人工选择与判断，这样再次处理得到的结果，可以得到同问题二中一样的横行碎纸片，在根据新的横行碎纸片的两面边缘匹配度之和进行同样的操作处理可以将原纸张拼接复原。 关键词：残片复原 matlab图像处理二值化边缘匹配度倒置情况位置特性

2013全国大学生数学建模竞赛B题参考答案

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 本题要求对数据提取合适的特征、建立合理有效的碎纸片拼接复原模型。 可以考虑的特征有邻边灰度向量的匹配、按行或按列对灰度求和、行距等。 关于算法模型，必须有具体的算法过程（如流程图、算法描述、伪代码等）及设计原理。 虽然正确的复原结果是唯一的，但不能仅从学生提供的复原效果来评定学生解答的好坏，而应根据所建的数学模型、求解方法和计算结果（如复原率）三方面的内容做出评判。另一方面，评判中还需要考虑人工干预的多少和干预时间节点的合理性。 问题1. 仅有纵切文本的复原问题 由于“仅有纵切”，碎纸片较大，所以信息特征较明显。一种比较直观的建模方法是：按照某种特征定义两条碎片间的（非对称）距离，采用最优Hamilton路或最优Hamilton圈（即TSP）的思想建立优化模型。关于TSP的求解方法有很多，学生在求解过程中需要注意到非对称距离矩阵或者是有向图等特点。 还可能有种种优化模型与算法，只要模型合理，复原效果好，都应当认可。本问题相对简单，复原过程可以不需要人工干预，复原率可以接近或达到100%。 问题2. 有横、纵切文本的复原问题 一种较直观的建模方法是：首先利用文本文件的行信息特征，建立同一行碎片的聚类模型。在得到行聚类结果后，再利用类似于问题1中的方法完成每行碎片的排序工作。最后对排序后的行，再作纵向排序。 本问题的解法也是多种多样的，应视模型和方法的合理性、创新性及有效性进行评分。例如，考虑四邻近距离图，碎片逐步增长，也是一种较为自然的想法。 问题3. 正反两面文本的复原问题 这个问题是问题2的继续，基本解决方法与问题2方法相同。但不同的是：这里需要充分利用双面文本的特征信息。该特征信息利用得好，可以提升复原率。 在阅卷过程中，可以考虑学生对问题的扩展。例如，在模型的检验中，如果学生能够自行构造碎片，用以检验与评价本队提出的拼接复原模型的复原效果，可考虑适当加分。 阅卷时应有程序，程序的运行结果应和论文给出的结果一致。

2013全国大学生数学建模竞赛B题-碎纸片的拼接问题

承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组 日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

碎纸片的拼接复原问题 摘要 本文研究的是破碎文件的拼接复原问题。根据碎片仅为横纵切的情形，运用MATLAB软件对碎片图片进行灰度检测获取数据信息，得到各个碎片的边缘像素矩阵，引入匹配关联度，把关联度最大的两个边缘拼接在一起，进而建立了较为合理的碎片匹配规划模型。 针对问题一仅有纵向切割的碎片拼接复原问题，先运用MATLAB软件把各个碎片的像素矩阵转化为代表碎片属性的二值矩阵，即空白处为1，字迹处为0。再提取二值 矩阵的第一列和最后一列作为碎片图片的边缘像素列向量，引入匹配关联度 W，建立 ij 模型一。然而在模型一的求解过程中发现其具有一定的局限性，在此基础上对匹配关 联度 W重新定义，对模型一进行改进。改进后的模型以绝对值距离的和最小为原则进ij 行拼接，从而可以更准确的完成拼接复原工作。模型求解得到复原图由附图一和附图二所示，各碎片排列顺序由表1和表2所示。 针对问题二既有纵切又有横切的图片拼接复原问题，建立模型二。先根据模型一的方法，求出排在第一列的11个碎片图片，得到第一列部分碎片的拼接片段。基于每个碎片的行间距是一定的，引入行距接近度u，u定义为：任意两碎片的边缘行间距的和与固定行间距的差的绝对值。u越小，行距接近度就越大，拼接的准确性就越好；从而又得到另一部分碎片的拼接片段。此时，剩下3个碎片未进行拼接，这时就需要人工干预来完成第一列所有碎片的拼接任务。再运用MATLAB软件求出各个碎片的上下行间距，把上下行间距接近的碎片归为一行，从而把原209张图片分成了11行，结合模型一，用MATLAB软件对模型进行求解，确定出每组碎片的拼接顺序，由表7和表8所示，得到复原图如附图三和附图四所示。 针对问题三双面打印文件的碎片拼接问题，考虑到在碎片的原文件中，每个碎片的位置是唯一确定的，两面内容信息的完整度也是相互对应的，即如果一面的拼接内容是准确的，则另一面的内容拼接也将是完整的。本文以附件5中的正面碎片为研究对象，反面碎片用于模型的检验。首先将碎片图片导入MATLAB软件，利用模型一的方法求出最左边一列的11个碎片图片，根据模型一匹配关联度的方法，将原有正面的209个碎片的拼接问题转化为11行图片的拼接问题，对每行碎片的左右像素列向量进行匹配，从而实现正面所有碎片的拼接。考虑到模型三在研究单面时，另外一面的碎片图片可能会对单面研究造成约束，从而导致另外一面的复原效果可能并不是足够准确，为此，对模型二进行修正，引入修正系数 。借助MATLAB软件，得到单面碎片的拼接顺序，由表9和表10所示，得到的复原图如附图五和附图六所示。 最后，对所采用的模型和方法及其优缺点做出了中肯的评价，并对模型进行了相应的推广。 关键词：碎片拼接匹配边缘检测关联度边缘行间距

全国大学生数学建模优秀论文 B题：产品销量预测

承诺书 我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： 队员签名：1. 2. 3. 日期：年月_日

编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）： 评阅记录（评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注

B 题 产品销量预测 摘要 产品销量预测问题是当前世界上所有企业最关心的问题之一。企业若想长期生存发展，就必须做销量预测。本文对产品的销量及其影响因素进行了讨论。 对于问题一，鉴于比例系数未知，给出比例系数为每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，使其购买k 个该产品这一假设，建立Malthus 模型，预测出0t 时刻的产品销 量0()x t 。分析得Malthus 模型所得结果只与实际销售量在初始阶段的增长情况比较符合，不宜用于销售量的中、长期预测。 对于问题二，结合问题一并假设一个消费者仅购买一种该产品。此时问题可理解为在某时刻t 时，产品销量的增长率既与到时刻t 为止的已经购买该种产品消费者数目)(t x 成正比，也与尚未购买该产品的潜在消费者数目)(t x N 成正比。建立Logistic 模型，预测出0t 时的产品销量0()x t 。分析得，产品销售情形与此模型非常相似，特别在销售后期更加吻合。 对于问题三，根据产品生命周期理论，结合龚柏兹曲线，运用三段对数和法，建立模型，预测出市场容量N 。 对于问题四，考虑到影响产品销量的因素有广告、企业竞争、产品竞争、消费者的购买能力、国家的经济水平等。结合本文，选取广告、企业竞争、产品竞争三个因素分别建立独家销售的广告模型、竞争销售的广告模型、同类产品的竞争模型来预测0t 时的产品销量0()x t 。 关键词：Malthus 模型 Logistic 模型 龚柏兹曲线 广告模型 竞争模型 市场容量

数学建模B题优秀论文

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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1.王静茹 2.杨曼 3.朱元霞 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 2010年上海世博会经济影响力的定量评估 摘要 本文选取2010年上海世博会对上海经济的影响作为研究对象，首先，我们选择了五届影响力较大的世博会与上海世博会进行了定量的纵向评估。 利用互联网的相关数据，运用层次分析法确定了各级评价指标的相对权重，然后利用模糊综合评判法给这六届世博会的经济影响力进行了定量评估，利用MATLAB 计算出了1933年芝加哥世博会以来六届综合性世博会的经济影响力的综合评分依次为、、80、11、、、，由表我们可以肯定上海世博会的经济影响力是继1851年伦敦世博会以来较强的。 其次我们采用投入——产出模型模型的核心思想，以年份与GDP 的对数值的二次相关关系和上海市社会固定资产总投入与GDP 的对数值的线性关系，利用上海统计年鉴发布的数据，分别建立无世博影响的表达式i i i x x x e Q 21210904.01117.00032.06278.81-++=，与有世 博影响的表达式i i i x x x e Q 212 12955.00176.00019.01211.82+-+=，两式的预测误差均在%以内。与2008年真实值比较，用表达式1Q 预测2008年的GDP 的值可以得出世博会对2008年上海市经济贡献率达到%。并且在得知申办世博会后第i 年上海市固定投入总额的前提下由 %1002 1 2⨯-= Q Q Q η可求出世博会对上海地区经济的持续性积极影响。如假设2011年市固定资产总投资为5600亿元，则世博会对上海经济有16%的积极影响。 最后,经过对2010年上海世博会的经济影响力的两方面的评估,我们得知上海世博会在历届世博会的经济影响力的综合评分中是最高的。由此得出,上海世博会对上海经济的影响力是非常大的,此次世博会除了对上海的直接收益影响明显外,世博会对上海地区经济的持续性积极影响。 关键词：层次分析模糊综合评判投入——产出模型回归模型 一、问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。

全国大学生数学建模竞赛b题全国优秀论文

基于打车软件的出租车供求匹配度模型研究与分析 摘要 目前城市“出行难”、“打车难”的社会难题导致越来越多的线上打车软件出现在市场上。“打车难”已成为社会热点。以此为背景，本文将要解决分析的三个问题应运而生。 本文运用主成分分析、定性分析等分析方法以及部分经济学理论成功解决了这三个问 题，得到了不同时空下衡量出租车资源供求匹配程度的指标与模型以及一个合适的补贴 方案政策，并对现有的各公司出租车补贴政策进行了分析。 针对问题一，根据各大城市的宏观出租车数据，绘制柱形图进行重点数据的对比分 析，首先确定适合进行分析研究的城市。之后，根据该市不同地区、时间段的不同特点 选择多个数据样本区，以数据样本区作为研究对象，进行多种数据（包括出租车分布、 出租车需求量等）的采集整理。接着，通过主成分分析法确定模型的目标函数、约束条 件等。最后运用spss软件工具对数据进行计算，求出匹配程度函数F 与指标的关系式， 并对结果进行分析。 针对问题二，在各公司出租车补贴政策部分已知的情况下，综合考虑出租车司机以 及顾客两个方面的利益，分别就理想情况与实际情况进行全方位的分析。在问题一的模 型与数据结果基础上，首先分别从给司机和乘客补贴两个角度定性分析了补贴的效果。 重点就给司机进行补贴的方式进行讨论，定量分析了目前补贴方案的效果，得出了如果 统一给每次成功的打车给予相同的补贴无法改善打车难易程度的结论，并对第三问模型 的设计提供了启示，即需要对具有不同打车难易程度和需求量的区域采取分级的补贴政 策。 针对问题三，在问题二的基础上我们设计了一种根据不同区域打车难易程度和需求

量来确定补贴等级的方法。设计了相应的量化指标，以极大化各区域打车难易程度降低 的幅度之和作为目标，建立该问题的规划模型。目的是通过优化求解该模型，使得通过 求得的优化补贴方案，能够优化调度出租车资源，使得打车难区域得到缓解。通过设计 启发式原则和计算机模拟的方法进行求解，并以具体案例分析得到，本文方法相对统一 的补贴方案而言的确可以一定程度缓解打车难的程度。 关键词：主成分分析法，供求匹配度，最优化模型，出租车流动平衡 1

2013美赛数学建模B题论文

（声明：仅供参考!） 2013建模美赛B题思路 摘要 水资源是极为重要生活资料，同时与政治经济文化的发展密切相关，北京市是世界上水资源严重缺乏的大都市之一。本文以北京为例，针对影响水资源短缺的因素，通过查找权威数据建立数学模型揭示相关因素与水资源短缺的关系，评价水资源短缺风险并运用模型对水资源短缺问题进行有效调控。 首先，分析水资源量的组成得出影响因素。主要从水资源总量（供水量）和总用水量（需水量）两方面进行讨论。影响水资源总量的因素从地表水量，地下水量和污水处理量入手。影响总用水量的因素从农业用水，工业用水，第三产业及生活用水量入手进行具体分析。 其次，利用查得得北京市2001-2008年水量数据，采用多元线性回归，建立水资源总量与地表水量，地下水量和污水处理量的线性回归方程 yˆ=-4.732+2.138x 1+0.498x 2 +0.274x 3 根据各个因数前的系数的大小，得到风险因子的显著性为r x1>r x2 >r x3 (x 1 , x 2 ， x 3 分别为地表水、地下水、污水处理量)。 再次，利用灰色关联确定农业用水、工业用水、第三产业及生活用水量与总 用水量的关联程度r a =0.369852，r b = 0.369167，r c =0.260981。从而确定其风险显著 性为r a>r b>r c。 再再次，由数据利用曲线拟合得到农业、工业及第三产业及生活用水量与年份之间的函数关系，a=0.0019（t-1994）3-0.0383（t-1994）2-0.4332（t-1994）+20.2598; b=0.014（t-1994）2-0.8261t+14.1337; c=0.0383（t-1994）2-0.097（t-1994）+11.2116; D=a+b+c；预测出2009-2012年用水总量。 最后，通过定义缺水程度S=（D-y）/D=1-y/D，计算出1994-2008的缺水程度，绘制出柱状图，划分风险等级。我们取多年数据进行比较，推测未来四年地表水量和地下水量维持在前八年的平均水平，污水处理量为近三年的平均水平，得出2009-2012年的预测值，并利用回归方程 yˆ=-4.732+2.138x 1+0.498 2 x 2 +0.274x 3 计算出对应的水资源总量。通过预测的总用水量，水资源总量和缺水程度公式 S=（D-y）/D=1-y/D 计算出2009-2012年的缺水程度，根据划分的风险等级，判断出2009-2012年水资源风险等级均为中风险。 我们根据建立的模型，确定出农业用水量和地表水是最主要的风险因子，参考无法量化的风险因子如人口规模、产业结构、管理制度、水利工程设施等因素的

2013全国数学建模竞赛B题优秀论文

基于最小二乘法的碎纸片拼接复原数学模型 摘要 首先对图片进行灰度化处理,然后转化为0-1二值矩阵，利用矩阵行（列）偏差函数，建立了基于最小二乘法的碎纸片拼接数学模型，并利用模型对图片进行拼接复原。 针对问题一，当两个数字矩阵列向量的偏差函数最小时，对应两张图片可以左右拼接。经计算，得到附件1的拼接结果为： 08,14,12,15,03,10,02,16,01,04,05,09,13,18,11,07,17,00,06。 附件2的拼接结果为: 03,06,02,07,15,18,11,00,05,01 ,09,13, 10,08,12,14,17,16,04。 针对问题二，首先根据每张纸片内容的不同特性，对图片进行聚类分析，将209张图片分为11类；对于每一类图片，按照问题一的模型与算法，即列偏差函数最小则进行左右拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预，我们得到了11组碎纸片拼接而成的图片；对于拼接好的11张图片，按照问题一的模型与算法，即行偏差函数最小则进行上下拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预。我们最终经计算，附件3的拼接结果见表9，附件4的拼接结果见表10。 针对问题三，由于图片区分正反两面，在问题二的基础上，增加图片从下到上的裁截距信息，然后进行两次聚类，从而将所有图片进行分类，利用计算机自动拼接与人工干预相结合，对所有图片进行拼接复原。经计算，附件5的拼接结果见表14和表15 该模型的优点是将图片分为具体的几类，大大的减少了工作量，缺点是针对英文文章的误差比较大。 关键字：灰度处理，图像二值化，最小二乘法，聚类分析，碎纸片拼接

一、问题重述 碎纸片的拼接复原技术在司法鉴定、历史文献修复与研究、军事情报获取以及故障分析等领域都有着广泛的应用。近年来，随着德国“斯塔西”文件的恢复工程的公布，碎纸文件复原技术的研究引起了人们的广泛关注。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。对于一页印刷文档，针对不同的破碎方法，讨论下列三个问题： （1）将给定的一页印刷文字文件纵切，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。 （2）对于碎纸机既纵切又横切的情形，设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。 （3）对于双面打印文档，研究如何进行碎纸片的拼接复原问题。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。要求尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果。 二、模型的基本假设 （1）待拼接的碎纸片来自同一页印刷文字文件。 （2）待拼接复原的碎纸片是规整的矩形。 （3）模型中的碎纸片长度、宽度和面积都相等。 （4）附件中照片都是同标准拍摄。 三、符号说明

2013年全国数学建模比赛优秀论文汇编

车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 对于问题一，由于实际通行能力是建立在基本通行能力和可能通行能力之上的，所以在求解实际通行能力之前，需要算出基本通行能力和可能通行能力，针对问题一创建了一张流程图，从中可以清晰地看到这一递进过程，并且基本通行能力是理想状态下的，相当于是表示了最大的车流量，可能通行量是与修正关系有关的，对实际通行能力这一因素进行计算，创建一系列的算式模型，得出实际通行能力的变化过程，根据GREENSHIELD K-V线性算法得出道路越堵，车速越慢，则实际通行能力就越差，反之就会较好。 对于问题二，因为所占的车道不同，并且给的条件中有说明左转车流比例和右转车流比例不同，那只需验证两者是否存在显著性差异，运用配对样本t检验的方法就是要先满足这一方法的两个前提条件，首先必须验证是否满足正态分布，经过SPSS软件的验证可以得出符合正态分布。然后再进行配对，从配对的结果中可以看出存在显著性差异，再结合左右转的车流量比例，更加可以看出存在显著性差异。 对于问题三，主要是对所推出来的回归方程的判断和分析因变量和各因子之间的关系，在本问中要先求出排队长度，排队长度是根据堵塞密度，进出车辆数之间的差值来求解，再根据最小二乘法来判断所假设的这一模型是否符合多元线性回归关系，本问中得出符合多元线性回归关系。再在排队长度和最小二乘法的基础之上，运用SPSS软件，在进行结果分析时得出实际通行能力对于排队长度没有影响，所以可以剔除，而事故持续时间和上游车流量对排队长度都有明显的影响，然后得出他们的相关系数，求出最后的相关方程式。 对于问题四，题目中给出了事故发生点到上游路口的距离为140米，并且上游车流量为1500pcu/h，结合视频1中多次出现的120米这一个顶点，推算出120米内大概最大的堵塞车流量，然后按比例分配推算出140米的最大堵塞车流量，视频1中的可以通过加权平均来求出平均的实际通行能力，则事故持续时间就是要靠140米的最大堵塞车流量和平均实际通行能力来计算，最后得出事故持续时间为2.37min。 关键词：GREENSHIELD K-V线性模型正态分布配对样本t检验 最小二乘法多元线性回归最大堵塞车流量平均实际

全国大学生数学建模优秀论文---B题：产品销量预测

全国大学生数学建模优秀论文---B题：产品销量预测

承诺书 我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： 队员签名：1. 2. 3. 日期：年月_日

编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：

一、问题背景 据国外相关统计显示，销量预测与企业其他运行指标的关系是1:5，也就是销量预测提高1%，库存可以降低5%，生产和采购成本可以节约5%，客户准时交付率可以提高5%，资金使用效率提高5%这就是销量预测在企业管理中所起到的杠杆效应。 认识产品销量的变化规律，作出准确的预测是销量预测的主要任务。故研究销量预测问题具有非常重要的现实意义。 二、问题重述 一种新产品上市后，经销商自然十分关心它的销售情况，尤其是销售一段时间后，经销商往往需要根据前段时间的销售情况，预测该产品在本地区的总销售量，从而恰当的组织货源，提高销售服务质量。 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻的产品销量()x t 与t 有关且()x t 连续可微。。 问题一，在产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品，即每个产品在单位时间内平 均可以吸引k 个顾客使其购买k 个该产品, 并且在t 时刻产品销量的增长率dx dt 与)(t x 成 正比的条件下，建立模型，预测0t 时的产品销量0()x t 。 问题二，设产品销售存在一定的市场容量N , 即销量的上限。产品销量的增长率 dt dx 与该产品的潜在容量)(t x N 成正比, 一个消费者只购买一件该商品，并且经营者可通过其他方式推销产品，建立模型，对0t 时的产品销量0()x t 做出预测。 问题三，现要对问题二的产品销量做出精准预测，建立模型对市场容量N 进行预测。 问题四，试考虑影响产品销量的其他因素，如广告、竞争者、同类产品等，建立相应的模型，预测0t 时的产品销量0()x t 。 三、问题分析 3.1 对问题一的分析 由题意知，每个产品性能良好，且每个产品都是一个宣传品，这可以理解为售出的每一产品在单位时间内平均可以吸引k 个顾客，使其够买k 个产品,结合问题一所给条

2013年深圳杯数学建模B题参考论文

2013年深圳杯数学建模B题参考论文 2013年山西赛区数学建模联赛 承诺书 我们仔细阅读了山西赛区数学建模联赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B 我们的参赛报名号为： 参赛队员(打印并签名) ： 目录 一、摘要 (3) 二、关键词 (3) 三、问题重述与分析 (3) 四、模型假设 (3) 五、符号说明 (9) 六、模型的建立与求解 (9) 七、模型的检验 (10) 八、模型的优缺点分析 (10) 九、求解 (10) 十、合理化建议 (12) 参考文献 (13) 深圳关内外交通拥堵探究与治理 一、摘要

交通拥堵是目前中国各大城市面临的共同难题，但拥堵的成因各不相同，因而需要在摸清规律的基础上有针对性地提出解决方案。就深圳而言，交通堵塞对人们出行造成了较大的影响,造成深圳城市交通拥堵主要原因: 1、城市功能区构建。 2、城市公交发展相对迟缓，市民出行系统结构不合理。 随着深圳城市的不断扩大，市民出行距离的加大，公交车辆还远不能满足市民上下班或者出行的需要，城市公交发展却相对迟缓，市民出行系统结构不合理，导致了交通环境的进一步恶化。 3、城市道路交通规划滞后。 例如老城区路幅不宽，支路多、小街小巷多而且与主干道衔接相通，车辆交汇频繁致使交通不畅，成为“瓶颈”路口。 4、城市道路资源时常被侵占。 5、部分路段红绿灯过多。 6、市内停车供求矛盾突出。 7、市民交规意识薄弱。公共空间中以各种方式进行的空间移动（即交通）的需求，它具有需求时间和空间的不均匀性、需求目的的差异性等特征。伴随着城市居住人口的增长和经济速发展，人们对出行质量的要求也逐渐提高。城市机动车保有量持续攀升，居民出行机动化水平升高，交通需求总量不断增加。道路设施增长的速度远远赶不上机动车增长的速度，交通需求与交通供给不平衡，导致交通拥堵现象频频发生，给城市交通状况带来了新的挑战。交通拥堵是现代城市，尤其是大城市，不可避的交通问题。对路网进行交通拥堵状态的评价是改善其运行质量的前提和依据。我们通过图论和电路网络的知识对交通拥堵给予恰当的评价，从而提出合理化建议，解决交通堵塞问题。 二、关键词：图论、电路模型、线性拟合 三、问题重述与分析 1. 分析造成各关口拥堵的深层原因。以梅林关为例，考虑信息不完备的影响因素构建关口交通模型，分析造成关口广场区域高峰期拥

2013全国大学生数学建模比赛B题-答案

2013全国大学生数学建模比赛B 题-答案

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

碎纸片的拼接复原 摘要 本文研究的是碎纸片的拼接复原问题。由于人工做残片复原虽然准确度高，但有着效率低的缺点，仅由计算机处理复原，会由于各类条件的限制造成误差与错误，所以为了解决题目中给定的碎纸片复原问题，我们采用人机结合的方法建立碎纸片的计算机复原模型解决残片复原问题，并把计算机通过算法复原的结果优劣情况作为评价复原模型好坏的标准，通过人工后期的处理得到最佳结果。 面对题目中给出的BMP格式的黑白文字图片，我们使用matlab软件的图像处理功能把图像转化为矩阵形式，矩阵中的元素表示图中该位置像素的灰度值，再对元素进行二值化处理得到新的矩阵。题目每一个附件中的碎纸片均为来自同一页的文件，所以不需考虑残片中含有未知纸张的残片以及残片中不会含有公共部分。鉴于残片形状分为“长条形”与“小长方形”，残片内容分为中文、英文，纸张的打印类型分为“单面型”、“双面型”，所以我们根据残片的类型对矩阵做不同处理。 针对问题一中给出的“长条形”碎纸片：对图片转化后的矩阵进行边缘检测，发现每一张图片的两短边在一定范围内全是白色，而仅有2张图片的长边在一定范围内全是白色，说明我们需要对长边进行拼接，一边包含全白的长边是原文件纸张的两端。由于考虑到模型应用的推广，我们在此问中的模型包含了图片倒置的情况（仅在问题一中考虑倒置情况，鉴于问题二、三中数据量的增多，二三问不再考虑倒置情况），对图片的长边及矩阵中的第一列和最后一列与其他矩阵的第一列和最后一列进行边缘匹配，根据边缘匹配度来确定图片复原，最后若发现拼接效果有偏差，在进行人工操作。 针对问题二中的“小长方形”碎纸片：由于数据量变多，盲目使用问题一中的方法不能保证准确度，所以这里要进一步约束使当前图片与少量图片进行匹配。观察两种文字的特点，我们可以发现中英文在位置上均有一定的特性，我们利用这种特性将有相同位置特性的碎纸片归类为一组，在问题一方法的基础上做少许修改后代入有相同位置特性的一组碎纸片中，根据边缘匹配度将他们连接、检查并做人工处理可得拼接后的横行纸片，再将横行纸片的长边用同样的方法做边缘匹配可将行与行之间拼接起来，再做人工调整得到最优结果。通过模型的建立求解过程可以发现中英文在本问题的求解方法中有着一定的不同，英文需要更多地人工判断处理。 针对问题三考虑到双面问题以及问题二中英文碎纸片的情况，我们把碎纸片两面匹配度之和作为判断碎纸片是否连接的评价标准，在问题一方法的基础上，在计算机每一步的匹配结果加以人工选择与判断，这样再次处理得到的结果，可以得到同问题二中一样的横行碎纸片，在根据新的横行碎纸片的两面边缘匹配度之和进行同样的操作处理可以将原纸张拼接复原。 关键词：残片复原 matlab图像处理二值化边缘匹配度倒置情况位置特性人工处理

2013研究生数学建模B题建模

参赛密码 (由组委会填写) 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 学校广西民族大学 参赛队号10608008 队员姓名1.高洋洋 2.黄慧冬 3.李素娇

参赛密码 (由组委会填写) 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 题目功率放大器非线性特性及预失真建模 摘要 信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其非线性失真对无线通信系统将产生诸多不良影响.功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义.为了满足功率放大器线性度要求，功放线性化技术与预失真也就成为高效率发射机系统的关键技术之一.本文采用了正交多项式逼近函数、最小二乘法拟合、曲线拟合以及归一化以及NMSE评价法等. 问题一，对题1给出的数据进行曲线拟合可得功放的多项式表达式，然后利用正交多项式求得预失真特性函数，最后以“输出幅度限制”为约束条件进行Matlab求解，得到了预失真补偿的结果. 问题二，用一个无记忆的非线性系统来表征功率放大器的非线性，以“输出幅度限制”为约束条件进行Matlab求解，基于多项式的无记忆放大器的高效预失真结构推广到有记忆放大器的预失真中, 非线性多项式模型作为记忆预失真器模型实现了记忆非线性放大器的快速、高效的线性化. 针对问题三，相邻信道功率比(Adjacent Channel Power Ratio，ACPR)是表示信道的带外失真的参数，利用Fourier变换计算功率谱密度函数，衡量由于非线性效应所产生的新频率分量对邻道信号的影响程度. 文章中主要运用多项式曲线拟合的方法求出功放的非线性表达式的逼近形式，然后用NMSE参数评价了无记忆和有记忆的功放非线性模型, 结果相当乐观. 在满足预失真处理的“输出幅度限制”，且尽可能使功放的输出“功率最大化”的条件下，我们用最小二乘拟合的方法逼近功放模型的曲线，求出了无记忆和有记忆功放的放大倍数.建立预失真模型是我们还运用了正交多项式和间接学习结构，得到的预失真模型代入应用之后，结果与线性化的目标函数做归一化均方误差评价，得到的结果非常好，模型的精确度是很高的. 关键词：功率放大器, 有记忆功放, 无记忆功放, 非线性失真, 预失真

论数学建模竞赛对研究生能力的培养

数学建模竞赛对研究生培养模式改革的思考 摘要：全国研究生数学建模竞赛至今已经开展了十年，竞赛的影响力逐年提升，对全国各高校研究生的培养产生了广泛而积极的影响。本文分析了研究生数学建模竞赛自身的特点，并结合其特点论述了参加比赛应该具备的知识素养和能力；然后讨论了比赛过程对研究生能力培养的重要作用和意义；最后根据“以赛促教、以赛促改、赛培结合、重在培养”的竞赛理念提出了通过竞赛改进研究生培养模式的建议。 关键词：数学建模竞赛；竞赛意义；培养模式 一、引言 全国研究生数学建模竞赛自2004年正式开始以来，至今已连续开展了十年，竞赛活动得到了众多国内高校的支持和认可，参赛队从最初的480多队发展到今年的4000多队，参赛的院校也从24省84所高校增长到31省的600多所高校，竞赛的规模在全国范围内不断扩大，其影响力也逐年提升，对参赛研究生能力的提升起到了积极的促进作用。 与本科生教育相比，研究生的培养目标更加注重培养研究生的创新精神以及从事科学研究、教学、管理和独立担负专门技术工作的能力，而研究生数学建模竞赛的目的恰好与这一培养目标相契合，通过数学建模竞赛促进研究生科研能力的提升，改进研究生的培养方式和质量，对研究生人才的培养具有积极重要的意义。数学知识与数学思维对科研工作和工程实践有着不可替代的作用，在文献[1]中就已经提到可将数学建模思想融入大学数学基础课程教学当中，以此提高学生对数学知识的学习兴趣以及应用数学知识解决实际问题的能力；在文献[5]中也提到通过数学建模竞赛引导学生进行学习和思考，能够起到提升学习效率、拓宽知识面和培养创新能力的作用。 论文总结了研究生数学建模竞赛活动的特点，探讨了参加建模竞赛的重要作用，具体分析了竞赛对研究生能力培养的意义，并从多个方面论述了通过数学建模竞赛提升研究生培养质量的积极作用，最后结合当前研究生教育教学培养模式存在的不足提出了几条通过竞赛改进研究生培养模式的建议。 二、研究生数学建模竞赛特点 研究生数学建模竞赛起源于2003年，由26所高校研究生院一致决定联合发起国内部分高校研究生数学建模竞赛，开启了研究生数学建模竞赛的先河。随着数学建模对研究生能力与素养的促进作用日趋明显，该项竞赛在全国范围内得到了广大高校的认可，也得到了教育部研究生司的支持。在全国范围内积极开展研究生数学建模活动，不仅激发了研究生群体的学习活力，也能提升研究生数学建模和解决问题的能力，培育较强的团队意识和开放性的创新思维，对研究生的培养和长远发展起到了良好的推动作用。与全国大学生数学建模竞赛相比，研究数学建模竞赛具有如下三个区别于本科竞赛的特征：