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(完整版)高考数学函数专题习题及详细答案

函数专题练习

1。函数1()x y e x R +=∈的反函数是（）

A ．1ln (0)y x x =+>

B ．1ln (0)y x x =->

C ．1ln (0)y x x =-->

D ．1ln (0)y x x =-+>

2。已知(31)4,1

()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨

>⎩

是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是

(A ）(0,1) (B ）1(0,)3 (C ）11

[,)73

（D ）1

[,1)7

3。在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1

()f x x

（B )()||f x x = (C ）()2x f x =

(D ）2()f x x =

4。已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5

(),2

c f =则

(A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << (D ）c a b <<

函数2

()lg(31)f x x =

++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C 。 11(,)33

- D . 1(,)3

-∞-

6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A .3 ,y x x R =-∈

B . sin ,y x x R =∈

C 。 ,y x x R =∈

7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点

(0,2)P （如右图所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =

A 。4

B .3

C . 2

D .1

8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是

(A )()()f x f x -是奇函数（B )()()f x f x -是奇函数

（C ) ()()f x f x --是偶函数（D ） ()()f x f x +-是偶函数

9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则

A ．()22()x f x e x R =∈

B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>

C ．()22()x f x e x R =∈

D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>

)

10、设12

32,2()((2))log (1) 2.

x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，

则的值为，（A ）0 (B )1 （C ）2 （D )3

11、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩

⎨⎧≥b a b b

a a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x ＋1｜，｜x －2|｝（x ∈R )的最小值是

(A ）0 （B ）

12 (C ) 3

（D ）3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题: ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．

命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

（一）填空题（4个)

1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

2f x f x +=

，若()15,f =-则()()5f f =_______________。 2设,0.(),0.

x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1

(())2g g =__________

3。已知函数()1

,21

f x a =-

+，若()f x 为奇函数，则a =________。 4. 设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值,则不等式log (1)0a x ->的解集为。

（二）解答题（6个)

1。设函数54)(2--=x x x f .

（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；

（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A 。试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明；

（3）当2>k 时，求证:在区间]5,1[-上,3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方。

2、设f(x)＝3ax 0.2=++++c b a c bx b 若，f （0）＞0，f （1)＞0，求证:

（Ⅰ)a ＞0且－2＜

＜－1；（Ⅱ)方程f （x )＝0在（0,1）内有两个实根。 3. 已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a +-+=+是奇函数。

(Ⅰ）求,a b 的值；

(Ⅱ）若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；

4.设函数f (x ）＝,2

a ax x c ++其中a 为实数。 (Ⅰ)若f (x ）的定义域为R ，求a 的取值范围;

（Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f （x ）的单减区间。

5。已知定义在正实数集上的函数2

1()22

f x x ax =

+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点,且在该点处的切线相同．（I )用a 表示b ，并求b 的最大值； (II )求证：()()f x g x ≥（0x >)．

6. 已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x ）的导数；设11a =，

1()

'()

n n n n f a a a f a +=-

（n ＝1，2，……) (1）求,αβ的值;

（2）证明:对任意的正整数n ,都有n a ＞a ； (3)记ln

n n n a b a a

-=-（n ＝1，2，……），求数列{b n ｝的前n 项和S n .

解答:

一、选择题

1解：由1x y e +=得：1ln ,x y +=即x=-1+lny ，所以1ln (0)y x x =-+>为所求，故选D .

２解：依题意，有0a 1且3a －10，解得0a 1

，又当x 1时,（3a －1）x ＋4a

7a －1，当x 1

时，log a x 0，所以7a －10解得x

故选C ３解：2112121212x x 111

|||||x x x x x x |x x |－－＝＝－｜12x x 12∈

，（，）12x x ∴112

x x ∴

1 12

x x －||x 1－x 2｜故选A

４解:已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设644

()()()555

a f f f ==-=-，

311()()()222b f f f ==-=-,51

()()22

c f f ==＜0,∴c a b <<，选D 。

５解：由1310

1301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B .

６解：B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是

奇函数,是减函数；故选A 。７解：0)(=x f 的根是=x 2,故选C

８解：A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，

即函数()()()F x f x f x =-为偶函数,B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定,即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定，

C 中()()()F x f x f x =--,()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数，

D 中

()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。

９解：函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，所以()f x 是x y e =的反函数，即()f x ＝ln x ,∴ ()2ln 2ln ln 2(0)f x x x x ==+>，选D . １０解：f （f (2））＝f （1)＝2，选C

１１解：当x －1时，｜x ＋1|＝－x －1，｜x －2|＝2－x ，因为(－x －1)－(2－x ）＝－30，所以2－x

－x －1；当－1x 1

时，|x ＋1｜＝x ＋1,|x －2|＝2－x ，因为（x ＋1)－(2－x )＝2x －10，x ＋12－x ；

当12

x 2时，x ＋12－x ；当x 2时，｜x ＋1｜＝x ＋1，｜x －2|＝x －2,显然x ＋1x －2; 故2((,1)12([1,))

()11([,2))

1([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪

⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩

据此求得最小值为32。选C

１２解:关于x 的方程(

)

0112

=+---k x x 可化为(

)

211011x x k x x --+=≥≤（－）（或－）…（1）或()

22110x x k -+=＋（－）(－1

x 1） (2)

① 当k ＝－2时,方程(1)的解为

3，方程（2)无解，原方程恰有2个不同的实根

② 当k ＝

4时，方程(1)有两个不同的实根6

2，方程（2）有两个不同的实根2

,即原方程恰有4个不同的实根

③ 当k ＝0时,方程（1）的解为－1，＋1，

2，方程(2）的解为x ＝0，原方程恰有5个不同的实根 ④ 当k ＝

9时，方程(1）的解为153

,23

，方程(2)的解为33

，6

，即原方程恰有8个不同的实根选A

二、填空题。１解:由()()12f x f x +=

得()()

4()2f x f x f x +=

=+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()11

5(5)(1)(12)5

f f f f f =-=-=

=--+.

２解：1ln 2111

(())(ln )222

g g g e ===。

３解：函数1().21

f x a =-

+若()f x 为奇函数,则(0)0f =,即01021a -=+，a ＝21

. ４解：由0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值可知a 1,所以不等式log (1)0a x ->可化为x －

11，即x 2。

三、解答题１解：(1）

（2)方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，

在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此

(][)

∞++-∞-=,142]4,0[142, A .

由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.

（3)[解法一] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f 。 )54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x

436202422

+--

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--=k k k x , ∴

>,2k 124<-k

。又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ,即62≤

x -=

， min )(x g ()[]

64104

1436202

2---=+--=k k k .

064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ，则0)(min >x g 。 ② 当

4-<-k

,即6>k 时,取1-=x ， min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .

因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方。 [解法二］当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .

由⎩⎨

⎧++-=+=,

54),

3(2

x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ，令 0)53(4)4(2=---=∆k k ,解得 2=k 或18=k ，

在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(；当18=k 时,)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点.

如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-,当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点

)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.

2(I )证明：因为(0)0,(1)0f f >>,所以0,320c a b c >++>。

由条件0a b c ++=,消去b ，得0a c >>；

由条件0a b c ++=,消去c ，得0a b +<，20a b +>。

故21b

-<<-.

(II ）抛物线2

()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2

3(,

)33b ac b a a

--, 在21b a -<

<-的两边乘以13-,得12

333

b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a

c ac

f a a +--=-

< 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -

与(,1)3b

-内分别有一实根。故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根。

3解：(Ⅰ)因为()f x 是奇函数,所以(0)f ＝0，即1

11201()22

x b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f (1)＝－f (－1）知1

112

2 2.41

a a a -

-=-⇒=++

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ)知11211

()22221x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上

为减函数。又因()f x 是奇函数，从而不等式: 22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：

2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->,

从而判别式1

4120.3

k k ∆=+<⇒<-

解

法

二

：由

(

Ⅰ）知

12()22x

x f x +-=

+．又由题设条件得:

222221

1212022

t t

t k

t t t k ---+-+--=

<++,

即：2

221

2(22)(12)(22)(12)0t k t

t t

-+--+-+-++-<，

整理得 2

3221,t

t k

-->因底数2>1,故:2320t t k -->

上式对一切t R ∈均成立，从而判别式1

4120.3

k k ∆=+<⇒<-

4解:（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，20x ax a ∴++≠恒成立,240a a ∴∆=-<，

04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．

（Ⅱ)22(2)e ()()x

x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤．

由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a <<，

02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；

当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<, 即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，；

当24a <<时,()f x 的单调减区间为(20)a -，．

5解:（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．

()2f x x a '=+∵，2

3()a g x x

'=，由题意00()()f x g x =,00()()f x g x ''=．即22

0002

00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

，，

由20032a x a x +=得:0x a =，或03x a =-（舍去)．即有2222215

23ln 3ln 22b a a a a a a a =

+-=-．令225

()3ln (0)2

h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是

当(13ln )0t t ->,即13

0t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13

t e >时,()0h t '<．

故()h t 在130e ⎛⎫

⎪⎝⎭，为增函数，在1

3e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，

∞的最大值为12333

h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． (Ⅱ）设2

21()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->, 则()F x '23()(3)

2(0)a x a x a x a x x x

-+=+-=>．

故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，

于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥． 6解析：(1)∵2()1f x x x =+-,,αβ是方程f （x )＝0的两个根()αβ>， ∴1515

,αβ-+--=

； (2)'()21f x x =+，21

115

(21)(21)12

442121

n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ ＝5114

(21)4

212n n a a ++

+，∵11a =，∴有基本不等式可知2510a -≥>（当且仅当151a -=

时取等号），∴2510a ->

>同,样351a ->，……，51

n a α->=（n ＝1,2，……），

(3)1()()(1)2121

n n n n n n n n a a a a a a a a αββ

ββα+----=--=++++，而1αβ+=-,即1αβ+=-,

21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=，又113535

ln ln 2ln

135

b βα-++===-- 35

2(21)ln

n n S +=- 四、创新试题

１解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，x 1x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10x 1x 2，同理，x 3＝30

＋x 2－35＝x 2－5

x 3x 2故选C

2解：令c ＝π，则对任意的x ∈R ,都有f （x )＋f （x −c )＝2,于是取2

==b a ,c ＝π，则对任意的x ∈R ,af （x )＋bf (x −c )＝1，由此得

1cos -=a

b 。选Ｃ.

基本初等函数、函数与方程专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮基本初等函数、函数与方程（原卷+答案） 1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨ ⎧ax 2－x －14，x ≤1 log a x －1，x >1 ，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B ．⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，1 3．若不等式x 2 －log a x <0在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．116 ≤a <1 B ．1 16

的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的1 5 ，则信息传递速度C 大约增加了( ) (参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213% 6．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，8) C ．(0，8) D ．(0，＋∞) 7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8.