概率统计 复习题
1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A )=0.8.则P(B )A 0.7 . 2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= 1/60 .
3. 设随机变量2(,)X μσN ，X Y e =，则Y 的分布密度函数为 .
4. 设随机变量2(,)X μσN ，且二次方程240y y X ++=无实根的概率等于0.5， 则μ= .
5. 设()16,()25D X D Y ==，0.3X Y ρ=，则()D X Y += 53 .
6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两. 则100
个该型号螺丝钉重量不超过
10.2
斤的概率近似为
（答案用标准正态分布函数表示）.
8.
设1,,X X X 是来自总体(0,1)X N 的简单随机样本，统计量
12()/
~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = .
1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？
2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为
/5
(1/5)0()0
x e x f x -⎧>=⎨
⎩其它
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥.
3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：
(1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . .
4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.
三. （10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
其中,0μθ>是未知参数，12,,,n x x x 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
四. （8分）假设ˆθ是θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>试证2ˆθ2ˆ()θ=不是2
θ的无偏估计.
五. （8分）设1
12,,,n X X X 是来自总体2
11~(,)X N μσ的一组样本，2
12,,,n Y Y Y 是来自
总体222~(,)Y N μσ的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为22
12,S S ，且设
221212,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22012:H σσ=，22
112:H σσ<，显著性水平α事先给定.
试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
1．设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则
=)(A B P .
2. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率
为 .
3. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为 .
4. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 .
5. 设随机变量22~()n χχ，则2()E χ ，2()D χ .
6. 设()3D X =，31Y X =+，则,||X Y ρ= .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.
8. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++-则当C = 时,C Y ～2(2)χ.
1．将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为 。 2． 已知41
)(,2
1)|(,3
1)(=
=
=
B P A B P A P ，则=)|(B A P _________________。
3.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若
4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为_________ 。
4.设随机变量X 的数学期望EX=4,方差DX=20,则EX 2＝ 。
5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,
10,0,6),(≤≤≤⎩⎨
⎧=
则=≤+}1{Y X P _________ 。
1.（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
2.（10分）一篮球运动员的投篮命准率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.
3.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2
(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
4.（10分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为
2
2
11(,)0x y f x y π
⎧+≤⎪
=⎨⎪⎩
其它
(1) 求随机变量X ,Y 的边缘密度及,X Y 的相关系数,X Y ρ； (2) 判定,X Y 是否相关是否独立.
5.（10分） 假定一条生产流水线一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日中无故障这条生产线可产生利润20万元，一周内如果发生一次故障仍可产生利润6万元，发生两次或两次以上故障就要亏损两万元，求一周内这条流水线产生利润的数学期望.
三. （10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为.
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
其中,0μθ>是未知参数， 12,,,n x x x 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
四. （8分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为0λ>的泊松(Poisson)分布，证明X Y +仍服从泊松分布，参数为2λ.
五. （8分）设1
12,,,n X X X 是来自总体2
11~(,)X N μσ的一组样本，2
12,,,n Y Y Y 是来自
总体2
22~(,)Y N μσ的
一组样本，两组样本独立. 其样本方差分别为2212,S S ，且设22
1212,,,μμσσ均为未知. 欲检验
假设22012:H σσ=，22
112:H σσ>，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出
拒绝域（临界点由分位点给出）.
六、盒子中有4个红球，2个白球。
（1） 从中任取3个，至少一个白球的概率。
（2） 有放回地取3次，每次取一球，以X 表示取出的白球数，求X 的概率分布以及
期望EX 和方差DX 。（10分）
1．设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(A|B)=0.8，则下列结论正确的是( )。
A. 事件A 与B 相互独立
B. 事件A 与B 互斥 C ．B A D. P(A+B)=P(A)+P(B)
2. 一批产品共50个,其中45个是合格品，5个是次品，从这些产品中任取3个,其中有次
品的概率有( )。 A
350
3
5
C C B
3
50
3
5
3
50C C C - C
3
50
3
45C C D
3
50
3
45
3
50C C C -
3．若随机变量X 的概率密度为2
442
21)(-+-=
x X
e
x f π
, 则E(X)=( )。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （0，1）和N （1，1），则以下结论成立的是( )。
A. 1{0}2P X Y +≤= ；
B. 1{1}2P X Y +≤=
C. 1{0}2
P X Y -≤=
D. 1{1}2
P X Y -≤=
5. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立 B. X 和Y 不独立 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)
1．设A ,B ,C 是三个随机事件，事件：“A,B,C 中至少有两个发生”，可以用A,B,C 表示为 .
2. 已知事件A,B 相互独立且互不相容，{}min P(A),P(B)= .
3. 设随机变量ξ服从泊松分布，且(1)(2),p p ξξ===则(4)p ξ= .
4. 设二维随机变量(,)ξη的联合分布函数为(,)F x y ，概率(,)p a b d ξη≤<<可以用(,)F x y 表示为 .
5. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .
6. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两。则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.
1.（8分）设有甲乙两袋，甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球.今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少？
2.（8分）二维随机变量),(ηξ的联合分布律为
2
2
(,)(1)
2,3,,
1,2,1,01
j P i j p p j i j p ξη-===-==-<<
（1）.求边际分布律i P 和P j ；（2）.求条件分布律ξ|ηP (|)i j
3.（8分）设(,)ξη的联合密度函数为
1,
01,02
(,)2
0,
x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩
求（1）ξ与η中至少有一个小于1/2的概率；（2）ξη+大于1的概率.
4.（8分）设随机变量),X N μσ 2（,),Y N μσ 2（,且设X 与Y 相互独立，试求
1Z X Y αβ=+与2Z X Y αβ=-的相关系数（其中α、β是不为零的常数）.
5.（8分）某商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为
,
0()0,
x e x f x x λλ-⎧≥=⎨
<⎩
设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的密度函数.
三. （15分）设总体X 的分布密度为
1,
0(,)0,x f x θ
θθ
⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它
其中0θ>是未知参数， 12(,,,)n X X X =X 是来自总体X 的样本，求：
（1）θ的矩法估计量1ˆθ；
（2）验证 1θ、2
ˆ[(1)/]n n M θ=+都是θ的无偏估计量(其中1m ax{,}n M X X = )； （3）比较 1
θ
、2
ˆθ两个无偏估计量的有效性.
四. （7分）假设总体的分布密度为
2
222exp(),0(;)00
x x
x f x x θθθ
⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
其中0θ>是未知参数，试求参数θ的极大似然估计量.
五. （8分）设总体20~(,)X N μσ分布， 12(,,,)n X X X =X 为一组样本。欲检验假设00:H μμ=，10:H μμ≠，
显著性水平α事先给定，(,)μ∈-∞+∞未知，2
00σ>已知. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
六、某公司在第一和第二个厂生产电视机显象管，每周产量共3000个，其中第一厂生产1800个有1%为次品，第二厂生产1200个有2%为次品。现从每周生产的产品中任选一个，求下列事件的概率：（1）选出的产品为次品；（2）已知选出的产品为次品，它是第一厂生产的概率。（10分）
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）
1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则()()P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为
4．设随机变量X 的期望()3E X
=,方差()5D X =,则期望()2
4E X ⎡⎤+=⎣
⎦
5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得
{}
22P X -≥≤ .
6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时,
()()2
2
123422Y a X X a X X =++-~()2
2χ
.
三、甲袋中3个球的编号分别为1，2，3，乙袋中3个球的编号分别为4，5，6， 今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为偶数号球的 概率为多少？
四 设随机变量X 与Y 的联合概率密度为
()22
21,0
,0x y y f x y π
⎧+<>⎪
=⎨⎪⎩
其它
试证：随机变量X 与Y 不独立，而且X 与Y 不相关。 （10分） 五．设二维随机变量Y 与X 的联合分布密度⎩⎨
⎧<<<<=其它
,
01
0,,
6),(2
x x y x y x f
分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数。 六．设连续型随即变量X 的概率密度⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤-+=其它
,010,
101,1)(x x x x x f ，
求E(X ),D(X )
七．设甲乙两人加工同一种零件，其零件的直径分别为随机变量为X,Y,且
),(~),,(~2
222
11σμσμN Y N X ，今从它们的产品中分别抽取若干进行检测，测得数据如
下：397.4,50.21,7,216.2,93.20,82
222111======s y n s x n
试比较两人加工精度（方差）在显著性水平05.0=α 下有无显著差异。 （查表：12.5)7,6(,70.5)6,7(025.0025.0==F F ）
八． 设随机变量X 与Y 独立，且X 服从（0，1）上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数
分布，求：
（1）2Z X Y =+的概率密度；
（2）max(,)M X Y =的概率密度。（10分）
六. 设X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，又设X 和Y 相互独立，试求Z=X+Y 的密度函数。（10分）
七．袋中有2只白球，3只黑球，现在进行无放回模球，定义：
⎩⎨
⎧=，第一次摸出黑球
第一次摸出白球0,1X
⎩⎨
⎧=，第二次摸出黑球第二次摸出白球0,1Y 试求：（1）（X,Y ）的联合概率分布;(2) X 与Y 的边际分布。
（3）问X 与Y 是否独立？（10分）
八．设一个系统由两个相互独立的灯泡连接而成，两个灯泡的寿命分别为X 和Y ，且都服从参数为1的指数分布，求：（1）当这两个灯泡并联时，系统的寿命的概率密度；（2）当这两个灯泡串联时，系统的寿命的概率密度。（10分）
九．设随机变量服从拉普拉斯分布，其密度函数为∞<<-∞=-x e x f x
,2
1)(
试求：（1）求E （X ）和D （X ）；（2）求X 与x 的协方差，并问X 与x 是否不相关？（3）问X 与x 是否独立？（10分）
1．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿
A ．
B A ⊂ B ． A B ⊂ Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P 2．设随机变量的概率密度21()0
1
x x f x x -⎧T >=⎨
≤⎩，则T=（ ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2
3．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是
＿＿＿＿＿
A ． 0()1F x ≤≤
B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x == Ｄ．{}()P X x f x == 4．设1X ，2X 独立，i 1{0}2
P X ==
，i
1{1},
(i 1,2)2
P X ==
=，下列结论正确的是
＿＿＿＿＿
Ａ．1X =2X B ．1{P X =2}1X = C ．1
{P X =21}2
X =
D ．以上都不对
5设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统
计量的是＿＿＿＿ Ａ．4
1
1
4
i i X X ==
∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．4
2
2
1
1
()i
i K X
X σ
==
-∑
Ｄ．4
2
1
1()3
i
i S X
X ==
-∑
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分
1 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”
2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是 3．设随机变量X 与Y 相互独立，()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数
4．已知()2~2,0.4,X N -则()2
3E X +=
5.设()~,4X N μ，容量9n =，均值 4.2X =，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为 (查表0.025 1.96Z =)
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）
1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
2．设连续型随机变量X 的密度为 ⎩⎨
⎧≤>=-.
0,
00,)(5x x Me
x f x
(1)确定常数M (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).
3、设二维随机变量(X,Y) 的协方差矩阵为
944
4-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
而且()()1,2E X E Y ==，试求()()2223,367D X Y E X Y XY -+--
（10分）
4. 设1,,n X X 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为
()()1010x x f x θ
θ⎧+<>=⎨
⎩
其它
其中0θ>未知，求θ的矩估计和最大似然估计。 （10分） 5．设样本1
21,,,,=n n X
X X X 来自总体），（2
~σμN X ，∑==n
i I
X
1
n
1
X
∑
=-=
n
i i X X S
1
2
2
)(1
-n 1 ，试证：)1(~1
S
1
-+-=
+n t n n X X
t n 。 （10分）
6．设12n X ,X ,X ⋯,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1,
010,
x x f x ββ-⎧<<=⎨
⎩其他
，
0β>.求参数β的矩估计量和极大似然估计量。
四、证明题（本大题共2小题，共10分）
1. 设三个事件,,A B C 满足A B C ⊂,试证明:()()()1P A P B P C +≤+
2. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立
一 填空题（每题3分，共15分）
1．从含有6个红球，4个白球和5个蓝球的盒子里随机地摸取一个球，则取到的是红球的事件的概率等于 。
2．若()()520,0,0x y Ae
x y x y ϕ-+⎧>>⎪=⎨⎪⎩
其它为随机变量(),ξη的联合概率密度，则常数
A=________________。
3. 设(),X R a b ，则()2D X =
4. 当()2
,X N μσ 时，Y
kX c =+ ，其中,0k c k ≠为常数，且。
5.
设),,,(21n Y Y Y 是来自总体
Y 的样本,Y
的分布密度为
⎩
⎨
⎧∉<<=-)1,0(01
0),(1x x x
x f θθθ则参数
θ的矩法估计为θ=.
______,,
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6
个小题，每小题3分，总计18分）
1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( )
(A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) ()|P A B ; (D) ()P AB
2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( )
(A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈
3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( )
(A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续
4. 设4{1,1}9
P X Y ≤≤=
,5{1}{1}9
P X P Y ≤=≤=
,则{min{,}1}P X Y ≤=( )
(A)
23
; (B) 2081
; (C)
49
; (D) 13
5. 设随机变量(),X Y 的方差
()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差
()32D X Y -= ( )
(A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6
6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~()2
,N μσ
的样本,其中σ
已知,μ未知,则下列不是统计
量的是( )
(A) 1max k k n
X ≤≤; (B) 1m in k k n
X ≤≤; (C) X μ-; (D)
1
n
k
k X σ
=∑
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）
1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,
(1) 求恰有2位同学不及格的概率；
(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.
2．已知连续型随机变量X 的分布函数为220,0
(),
x x F x A B e x -≤⎧⎪
=⎨⎪+>⎩,
求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x
;(3) )
2P X <<
3．设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:
,
()0,
0x X e x f x x -⎧>=⎨
≤⎩,1,01
()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩
其他,
求随机变量Z X Y =+的概率密度
4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：,02,(,)0,
A x y x
f x y ⎧<<<=⎨
⎩其他
（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；
（3）X 和Y 是否独立?
5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数：3,0,01
(,)0,
y x y y f x y <<<<⎧=⎨
⎩其他
求（1）数学期望()E X 与()E Y ；（2）X 与Y 的协方差(),Cov X Y
6 . 设总体X 概率密度为()1,01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩
其他，1θ>-未知，12,,n X X X 为来
自总体的一个样本. 求参数θ的矩估计量和极大似然估计量. 四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）
1. 设,,A B C 任意三个事件,试证明:()()()()P AB P BC P B P AC +-≤
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）
1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B = ,则()|P A B =
2．设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是
3．设X ~(10,3),N Y ~(1,2)N , 且X 与Y 相互独立, 则(32)D X Y -= 4．设随机变量[0,6]X 在区间上服从均匀分布,则关于未知量x 的方程2210x Xx ++=有
实根的概率为_________
5. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得
{}212P X <<≥ .
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）
1．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,，则有
(A) ()|0P B A =; (B) ()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =; (D) ()()P AB P A =
2. 设X ~2
(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+
(A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小；
(C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小
3. 设1{0,0}5
P X Y ≥≥=
,2{0}{0}5
P X P Y ≥=≥=
,则{max{,}0}P X Y ≥=
(A)
15
; (B) 25
; (C)
35
; (D) 45
4．设,X Y 相互独立，X 服从()0,2上的均匀分布，Y 的概率密度函数为
,0
()0,0
y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩，则{}1P X Y +≥=＿＿＿＿
(A) 1
1e
--; (B) 2
1e
--; (C) 212e --; (D) 1
10.5e --
5. 设总体X ,12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ
的无偏估计量的是
(A) X ; (B) 123X X X +-; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D)
1
n
i i X =∑
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）
1．某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别
为80％，10％，10％，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率. 2．已知随机变量X 的密度为,
01()0,
ax b x f x +<<⎧=⎨
⎩其它
,且{1/2}5/8P x >=,
求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x
3．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：21
,01,02;
(,)3
0,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩
其他 （1）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（2）求条件密度()()|||,|X Y Y X f x y f y x ；
（3）求概率{}P X Y >.
4 . 设随机变量,X Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设
2U X Y =+,2V X Y =-, 求随机变量U 与V 的相关系数U V ρ
5 . 设总体X ~(100,)b p 为二项分布，01p <<未知，12,,n X X X 为来自总体的一个样
本. 求参数p 的矩估计量和极大似然估计量。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立
2. 设总体为X , 期望()E X μ=,方差()2
D X σ=,12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, 样本均值1
1
n
i i X X n
==∑,样本方差()
2
2
1
11
n
i
i S X
X
n ==
--∑,证明:2S 是参数2σ的无偏估
计量
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题
共5小题，每小题3分，总计15分）
1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为（ ）。
(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 2．设随机变量的概率密度⎩⎨
⎧≤>=-1
1)(2
x x Bx x f ，则B=（ ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量Y X ,，若)()()(Y E X E XY E =，则（ ）。 (A) )()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ (C) Y X ,一定独立 （D ）Y X ,不独立
4．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 (A) )(~22221n χχχ+ （B ）~2221χχ+)1(2-n χ (C) ~2221χχ+t(n) （D ）~2221χχ+)(212n n +χ
5．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设A 、B 为互不相容的随机事件,5.0)(,2.0)(==B P A P 则=⋃)(B A P （ ）。 2．设有9件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ ）。 3．设随机变量X 的概率密度⎩⎨ ⎧≤≤=其它 , 010,1)(x x f 则{}=>3.0X P （ ）。 4．设D(X)=9, D(Y)=16, 5.0=xy ρ，则D(x+y)=（ ）。 5．设),(~2σμN X ，则 ~n X σμ -（ ）。 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 2．设连续型随机变量X 的密度为 ⎩⎨ ⎧≤>=-. 0, 00,)(5x x Me x f x (1)确定常数M (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x). 3．设二维随机变量Y 与X 的联合分布密度⎩⎨ ⎧<<<<=其它 , 01 0,, 6),(2 x x y x y x f 分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数。 4．设连续型随即变量X 的概率密度⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<≤-<≤-+=其它 ,010, 101,1)(x x x x x f ， 求E(X ),D(X ) 5．设甲乙两人加工同一种零件，其零件的直径分别为随机变量为X,Y,且 ),(~),,(~2 222 11σμσμN Y N X ，今从它们的产品中分别抽取若干进行检测，测得数据如 下：397.4,50.21,7,216.2,93.20,82 222111======s y n s x n 试比较两人加工精度（方差）在显著性水平05.0=α 下有无显著差异。 （查表：12.5)7,6(,70.5)6,7(025.0025.0==F F ） 6．在上题的基础上，求21μμ-的置信度为90％的置信区间。)7709.1)13((05.0=t 四．证明题（本大题共2小题，总计10分） 1．设t ˆ是参数t 的无偏估计，且0)ˆ(>t D ，证明: 2ˆt 不是2t 的无偏估计量。 2．设 ,,,,21n ξξξ是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，试证对它成立大数定 理的充要条件为)()(221n o D n =+++ξξξ 。 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题 共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设随机变量的概率密度⎩⎨⎧≤>=-10 1 .)(2x x x x f θ，则θ=（ ）。 (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ ）。 (A) 3/6 (B)2/3 (C)1/6 (D) 1/3 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 (A) )(~22221n χχχ+ （B ）~2221χχ+)1(2-n χ (C) ~2 22 1χχ+t(n) （D ）~2 22 1χχ+)(212 n n +χ 4．对于任意随机变量z ,y ，若)z ()y ()yz (E E E =，则（ ）。 (A) )z ()y ()yz (D D D = （B ）)z ()y ()z y (D D D +=+ (C) z ,y 一定独立 （D ）z ,y 不独立 5．设)4,1(~N X ，且6179.0)3.0(=Φ，6915.0)5.0(=Φ，则P{0 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设有5件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ ）。 2．设A 、B 为互不相容的随机事件,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=⋃)(B A P （ ）。 3．设D(X)=4, D(Y)=9, 5.0=xy ρ，则D(x+y)=（ ）。 4．设随机变量X 的概率密度⎩⎨ ⎧≤≤=其它 , 010,1)(x x f 则{}=>2.0X P （ ）。 5．设),(~2σμN X ，则 ~n X σμ -（ ）。 三、计算题（本大题共6小题，每小题12分，总计60分） 1．设连续型随机变量X 的密度为 ⎩⎨ ⎧≤>=-. 0, 00, B )(5x x e x f x (1)确定常数B (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x). 2．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，35％，25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 3．设连续型随机变量X 的概率密度⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≤-<≤-+=其它 ,010, 101,1)(x x x x x f ， 求E(x),D(x) 4．设二维随机变量（X, Y ）的分布密度⎩⎨ ⎧<<<<=其它 , 01 0,, 6),(2 x x y x y x f 求关于X 和关于Y 的边缘密度函数。 5．有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值503.75x =克，样本方差 6.2022S =。求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。（0.05α=，查表 ()0.025152.1315t =） 6.某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布()2 ,N μσ ,μ =40cm/s, 2/cm s σ=。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃烧率的样本 均值为41.25/x cm s =。设在新方法下总体均方差仍为2cm/s ，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平0.05α=。（查表 0.05 1.645Z =） 四．证明题（本大题共1小题，总计10分） 设}{k X 为相互独立且同分布的随机变量序列，并且k X 的概率分布为P{k X =2i-2lni }=2-i (i=1,2,…), 试证}{k X 服从大数定理。 ★编号：重科院（ ）考字第（ ）号 第 1 页 复习题一 一、选择题 1．设随机变量X 的概率密度21 ()0 1x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（ ）。 A ．1 Ｂ. 12 C. -1 Ｄ. 3 2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。 A ．12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 13 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2 221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2 221χχ+)1(2 -n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212 n n +χ 4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。 A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。 A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题 1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y += 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010, 1)(x x f 则{}0.2P X >= 三、计算题 1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0 ()0, 0x Be x f x x -?>=?≤? (1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。 2．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％， 25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取 ;第一章 一、填空题 1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。 2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为 0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。 3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为 （AB AC BC ++ ）。 4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8， 0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。 5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。 7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为 （ AB AC BC I I ） ； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求 敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。 12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 1. 对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为（ D ） Ａ、样本空间 Ｂ、必然事件 Ｃ、不可能事件 D 、随机事件 2. 某工厂每天分3个班生产，i A 表示第i 班超额完成任务(1,2,3)i =，那么至少有两个班超 额完成任务可表示为（ B ） 概率与统计期末复习题（含参考答案） 1. 假设某种疾病在人群中的患病率为0.05。现在从该人群中随机抽取100人，按以下方式计算： a. 计算恰好有5人患病的概率。 b. 计算至少有5人患病的概率。 答案： a. 恰好有5人患病的概率为二项分布的概率，计算公式为 C(100,5)×0.05^5×0.95^95≈0.031。 b. 至少有5人患病的概率可以通过计算不患病的概率，即 P(不患病)=0.95，然后利用二项分布的概率计算公式计算至少 有5人患病的概率为1-P(0人患病)-P(1人患病)-P(2人患病)- P(3人患病)-P(4人患病)，其中P(k人患病)为二项分布的概率，计算公式为C(100,k)×0.05^k×0.95^(100-k)。根据计算可得至少有5人患病的概率约为0.184。 2. 假设某服装店在一年内的销售额服从正态分布，且均值为100万元，标准差为20万元。求： a. 销售额超过120万元的概率。 b. 销售额在80万元到120万元之间的概率。 答案： a. 销售额超过120万元的概率可以利用标准正态分布的性质进 行计算。首先，将销售额标准化为Z值，即Z=(X-μ)/σ=(120-100)/20=1，其中X为销售额，μ为均值，σ为标准差。然后查 表可得，标准正态分布下Z值大于1的概率为0.1587。因此，销售额超过120万元的概率为0.1587。 b. 销售额在80万元到120万元之间的概率可以转化为标准正 态分布下Z值在-1到1之间的概率。首先，将80万元和120 万元对应的Z值分别计算出来，即Z1=(80-100)/20=-1和 Z2=(120-100)/20=1。然后查表可得，标准正态分布下Z值大 于-1且小于1的概率为0.6826。因此，销售额在80万元到 120万元之间的概率为0.6826。 3. 假设某电信公司在某地区的用户流失率为0.2，现在从该地 区用户中随机抽取200人，计算以下几个问题： a. 流失人数介于30到40之间的概率。 b. 流失人数不超过50的概率。 c. 流失人数不少于20的概率。 答案： a. 流失人数介于30到40之间的概率可以利用泊松分布来计算。根据题意，λ=np=200×0.2=40，其中λ为泊松分布的参数，n 为抽取的样本量，p为流失率。因此，使用泊松分布的概率公 式计算流失人数介于30到40之间的概率为 P(30≤X≤40)=ΣP(X=k)，k从30到40求和，其中P(X=k)为泊 松分布的概率，计算公式为e^(-λ)×λ^k/k!。根据计算可得流失 人数介于30到40之间的概率约为0.105。 b. 流失人数不超过50的概率可以利用泊松分布的性质进行计算。由于λ=np=200×0.2=40，因此可使用泊松分布的近似公式，即使用正态分布来近似计算泊松分布的概率。将λ和标准差 σ=√λ代入正态分布的概率公式中，计算出Z=(50.5- 40)/6.324=1.75，其中50.5为50.5为50.5为50.5为50.5为 50.5为50.5为50.5为50.5=50.5=50.5为50.5为50.5=50.5为 概率论与数理统计复习题 一、选择题 （１）设0)(,0)(>>B P A P ，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 。 （ａ）A 与B 互不相容；（ｂ）A 与B 相互独立； （ｃ）A 与B 互不独立；（ｄ）A 与B 互不相容 （２）１０个球中有３个红球，７个白球，随机地分给１０个人，每人一球，则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 。 （ａ）)103(13 C ；（ｂ）2)107)(103(；（ｃ）213)107)(103(C ；（ｄ）3 10 2713C C C （３）设X ~)1,1(N ，概率密度为)(x f ，则有 。 （ａ）5.0)0()0(=≥=≤X P X p ；（ｂ）),(),()(∞-∞∈-=x x f x f ； （ｃ）5.0)1()1(=≥=≤X P X P ；（ｄ）),(),(1)(∞-∞∈--=x x F x F （４）若随机变量X ，Y 的)(),(Y D X D 均存在，且0)(,0)(≠≠Y D X D ， )()()(Y E X E XY E =，则有 。 （ａ）X ，Y 一定独立；（ｂ）X ，Y 一定不相关； （ｃ）)()()(Y D X D XY D =；（ｄ）)()()(Y D X D Y X D -=- （５）样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，已知μ=)(X E ，但)(X D 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是 。 （ａ）∑==4 1 41i i X X ；（ｂ）μ241-+X X ； （ｃ）∑=-=4 1 2 2)(1 i i X X K σ；（ｄ）∑=-=412 2 )(31i i X X S （６）假设随机变量X 的密度函数为)(x f 即X ~)(x f ，且)(X E ，)(X D 均存在。另设 n X X ,,1 取自X 的一个样本以及X 是样本均值，则有 。 （ａ）X ~)(x f ；（ｂ）X n i ≤≤1min ~)(x f ； （ｃ）X n i ≤≤1max ~)(x f ；（ｄ）（n X X ,,1 ）~ ∏=n i x f 1 )( 1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8.则P(B )A . 2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译 出的概率是= . 3. 设随机变量2(,)X μσN ，X Y e =，则Y 的分布密度函数为 . 4. 设随机变量2(,)X μσN ，且二次方程240y y X ++=无实根的概率等于0.5， 则 μ= . 5. 设()16,()25D X D Y ==，0.3X Y ρ=，则()D X Y += . 6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 . 7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两. 则100 个该型号螺丝钉重量不超过 10.2 斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）. 8. 设125,, X X X 是来自总体(0,1)X N 的简单随机样本，统计 量 12()/~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = . 1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？ 2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为 /5 (1/5)0 ()0 x e x f x -?>=? ?其它 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥. 3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求： (1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . . 4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2 (160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）. 5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望. 三. （10分）设12,, n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为 1,(;,)0,x e x f x μ θ μθμθ --?>?=??? 其它 〈概率论〉试题 一、填空题 1．设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生 2．设A、B为随机事件，，，.则＝ 3．若事件A和事件B相互独立, ，则 4。将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量分布律为则A=______________ 7。已知随机变量X的密度为,且，则________ ________ 8。设～，且,则_________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是 11.设，，则 12。用（)的联合分布函数F（x,y）表示 13。用（）的联合分布函数F（x，y）表示 14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15。已知，则＝ 16.设，且与相互独立,则 17。设的概率密度为，则＝ 18。设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 19。设，则 20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有 ~ 或～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～. 21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么 依概率收敛于。 22.设是来自正态总体的样本，令则当 时～。 23。设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 24。设X1，X2，…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从 二、选择题 1。设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是 （A）P （A+B） = P (A);（B） （C）（D） 2。以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 （A）“甲种产品滞销,乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销"; （D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球.则第二人取到黄球的概率是 （A）1/5 （B）2/5 （C)3/5 （D）4/5 4。对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A,B互不相容，则与也互不相容。 (B）若A,B相容,那么与也相容. 概率与数理统计复习题 一、填空题 1．已知事件A 与B 相互独立，并且3.0)(,4.0)(==B P A P ，则=)(B A P ． 2．在书架上任意放上20本不同的书，其中指定的两本书放在首未的概率是 ． 3．已知,2 1 )|(,31)|(,41)(=== B A P A B P A P 则=)(B A P ． 4．已知，A , B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P ． 5．设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，如果已知A 至少出现一次的概率等于27 19 ， 则事件A 在一次试验中出现的概率为 ． 6．同时抛掷3枚硬币，以X 表示出正面的个数，则X 的概率分布为 ． 7．设随机变量X 的概率密度为⎩ ⎨⎧<<=,,0, 10,2)(其他x x x f 用Y 表示对X 的3次独立重复观察 中事件⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ ≤21X 出现的次数，则{ }==2Y P ． 8．设随机变X ，Y 服从同一分布，X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=,, 020,83)(2 ，x x x f 其他 设{}a X A >=与{ }a Y B >=相互独立，且{}4 3 =B A P ，则=a ． 9．设随机变量X ～),2(2 σN ，且{}3.042=< 《概率论与数理统计》复习题及答案 《概率论与数理统计》复习题 一、填空题 1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。2．未知a,b互相矛盾，则a与b 的关系就是互相矛盾。 3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6， 4.已知 p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。 25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。 36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。 7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。8.设立某 教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___ 26____。339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件， 抽出 1___。611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的 5343概率为______。 5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___ 11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3 235cp(1?p)7次顺利的概率为______。 12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为 1事件a顺利的概率p?______。 319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则 常数c?__。 24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。 15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为 __??pi?1x?0?0??__。0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则 概率统计复习题 第一章：事件与概率 1.1随机事件和样本空间 1.2概率和频率 1.3古典概率 1.4概率的公理化定义及概率的性质 1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 1.6独立性 1.7贝努里模型 本章要求掌握： ●利用古典概率和可加性定理计算概率。 ●利用条件概率与乘法公式计算概率 ●利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率 第二章：离散型随机变量 2.1一维随机变量及分布列 2.2多维随机变量、联合分布列和边际分布列 2.3随机变量函数的分布列 2.4数学期望的定义及性质 2.5方差的定义及性质 2.6条件分布与条件数学期望 本章要求掌握： ●清楚一维随机变量及分布列，清楚多维随机变量及联合分布列和边际分布列、并且 会计算各种分布列 ●会计算随机变量函数的分布列 ●清楚数学期望和方差的定义，会计算。 ●清楚条件数学期望 第三章：连续型随机变量 3.1随机变量及分布函数 3.2连续型随机变量 3.3多维随机变量及其分布 3.4随机变量函数的分布 3.5随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式 3.6条件分布与条件期望、回归与第二类回归 本章要求掌握： ●清楚连续型随机变量及分布函数，清楚多维随机变量及分布、并且会计算各种分布 ●会计算随机变量函数的分布 ●清楚数学期望和方差的定义，会计算。 第四章：大数定律与中心极限定理 4.1大数定律 4.2随机变量序列的两种收敛性 4.3中心极限定理 本章要求掌握： ●清楚中心极限定理、并会计算。 ●随机变量序列的两种收敛性的区别 ●清楚中心极限定理。 第五章：数理统计的基本概念 5.1母体与子样、经验分布函数 5.2统计量及其分布 5.3次序统计量及其分布 本章要求掌握： ●母数理统计的一些基本概念。 ●统计量 ●次序统计量。 第六章：点估计 6.1矩法估计 6.2极大似然估计 6.3罗–克拉美不等式 概率统计复习题 1. 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： (1)A发生，B，C都不发生； (2) A与B发生，C不发生； (3)A，B，C都发生； (4) A，B，C至少有一个发生； (5)A，B，C都不发生； (6) A，B，C不都发生； (7)A，B，C至多有2个发生； (8) A，B，C至少有2个发生. 2. 设A，B是两事件，且P（A）=,P(B)=,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值 （2）在什么条件下P（AB）取到最小值 3.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率. 5.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的） 6.已知5%的男人和%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半） 7.设P（A）=,P(B)=,P(A B)=，求P（B｜A∪B） 8.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 9. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努 力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人 概率统计复习题（1） 一、填空 1. 已知()A P =0.4,()B P =0.3，则当A 、B 互不相容时，()B A P = ，()AB P = 。 当A 、B 相互独立时，()B A P = ，()AB P = 。当B A ⊃时，()B A P = ，()AB P = 。 2. 已知()A P =0.92,()B P =0.93,()A B P =0.85，则()B A P = ， ()B A P = 。 3. 若X 服从二项分布()1.0,5B ，则()X D 21-= 。 4. 三次独立射击中，若至少有一次击中的概率为64 37，则每次击中的概率 为 。 5. 若()4,1~N X ，则()2>X P = 。（用标准正态分布的分布函数表示） 6. 已知()Y X ,的联合密度函数为 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它 1 0,202 3 ,2 y x xy y x f ，则 EX = 。 7. 若()1,1~N X ，1021,,,X X X 是来自总体X 的样本，则()∑=-10 1 21i i X 服 从 。 8. 若()2 ,~σ μN X ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，则要检验假设 0:σ σ=H 可采用检验统计量是 。 9. 设T 服从自由度为n 的t 分布，若()αλ=>T P ，则()λ 二、单项选择题 1. 掷二枚均匀硬币，出现一正一反的概率为（ ）。 （A ） 3 1 （B ） 2 1 （C ） 4 1 （D ） 4 3 2. 若C A B A ⊃⊃,,()A P =0.9,()C B P =0.8，则()BC A P -= 。 （A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.7 （D ）0.8 3. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则事件A 表示（ ）。 （A ）甲乙产品均畅销 （B ）甲种产品滞销，乙种产品畅销 （C ）甲种产品滞销 （D ）甲种产品滞销或乙种产品畅销 4. 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于零，则D （X + Y ）= DX + DY 是X 和Y （ ）。 （A ）不相关的充分而非必要条件 （B ）独立的必要而非充分条件 （C ）不相关的充要条件 （D ）独立的充要条件 5. 设321,,X X X 是来自总体X 的样本，EX=μ，则（ ）是参数μ的最有效估计。 （A ）32 11213161ˆX X X ++=μ （B ）32 12525251ˆX X X ++=μ （C ）3 2 132 14141ˆX X X + + =μ （D ）3 2 143 13 13 1ˆX X X + + =μ 三、随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问（1）每一班级各分配到一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？ 四、假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取得的产品是一等品的概率。 五、设随机变量X 的密度函数为：()x x e e A x f +=-，求： （1）常数A ；（2）⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ < <3ln 21 0X P ； （3）分布函数()x F ；（4）DX EX , 六、把一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中正面出现的次数，Y 表示的三次 中出现正面的次数与反面次数之差的绝对值，试求 （1）（X,Y ）的联合分布律；（2）X,Y 的边际分布律；（3）X+Y 的分布律； 概率统计综合复习题 一、单选题（共30题；共60分） 1、学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在 （单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在（单位：元）的同学人数是（） A、100 B、120 C、30 D、300 2、某连队身高符合建国60周年国庆阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁 -19岁的士兵有15人，20岁-22岁的士兵有20人，23岁以上的士兵有10人， 若该连队有9个参加阅后的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队 年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为（） A、5 B、4 C、3 D、2 3、将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…,600. 采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) A、26, 16, 8, B、25，17，8 C、25，16，9 D、24，17，9 4、一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（） A、20 ,10 , 10 B、15 , 20 , 5 C、20, 5, 15 D、20, 15, 5 5、两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A、模型1的相关指数为0.98 B、模型2的相关指数为0.80 C、模型3的相关指数为0.50 D、模型4的相关指数为0.25 6、已知一组观测值具有线性相关关系,若对于,求得,则线性回归方程是（） A、B、C、D、 7、废品率和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为，这表明（） A、y与x的相关系数为2 B、y与x的关系是函数关系的充要条件是相关系数为1 C、废品率每增加1%，生铁成本增加258元 D、废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加2元 8、某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（） A、5000名学生是总体 B、250名学生是总体的一个样本 C、样本容量是250 D、每一名学生是个体 9、对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是（） A、回归分析 B、相关系数分析 C、残差分析 D、相关指数分析 x 0 1 2 3 《概率论与数理统计》综合练习题 第一章﹑事件与概率 1．事件之间的关系与运算：事件的积、和、差，事件的包含，尤其是对互不相容（互斥）事件，互逆（对立）事件，事件的独立性等概念的理解及其应用；交换律，结合律，分配律，对偶律等的运用 例1．设A﹑B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中哪些是正确的：（B、D） A、P(AB)=P(A)P(B), B、P(A+B)=P(A)+P(B), C、P(A¯B¯)=0, D、P(A-B)=P(A), E、P(A∪B)=1， F、P(AB) > 0 解：由题意：P(A)>0, P(B)>0，A、B互不相容有P(AB)=0， A中，P(AB)=0，而P(A)P(B)>0,不正确，当A、B独立时选项A是对的；A不对； B中，由加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)= P(A)+P(B)，或根据有限可加性直接得到，B对； D中，由减法公式P(A-B)=P(A)- P(AB)= P(A)，D对； 可类似讨论其他选项均不对。 2．古典概型的计算：公式P(A)=N(A)/N(Ω) 例2．将四个不同的球随机地放入五个不同的杯中，求(1)出现四个空杯的概率；(2)杯中球的个数最 多为一个的概率。 解：此题为古典概型中的分房模型： 将四个不同的球放入五个不同的杯子，每个球有五种不同的放法， 则Ω中含有54个基本事件，即N(Ω)= 54， (1)事件A：出现四个空杯，即四个球放入同一个杯子中，将五个杯子选出一个放入四球，共有五种选法，即N(A)= C51， 由公式得P(A)=N(A)/N(Ω)= C51/ C544！=1/125. (2)事件B：杯中球的个数最多为一个，即四个球放入四个不同的杯子中，还剩一个空杯，即先从五个杯子中选出四个，共C54种选法，再把四个不同的球放入，共有4！种方法，根据乘法原理得N(B)= C54A44，由公式得P(B)=N(B)/N(Ω)= C54A44/ 54=24/125. 3．伯努利概型，二项概率公式的应用，其公式：X~B(n,p), P{X=k}= C n k p k(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n。 例3．一批产品的次品率为p (0 概率论与数理统计复习题（一） 一．填空 1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。 2．)()(B A p AB p =且 2.0)(=A P ，则=)(B P 。 3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= 概率统计复习题 基本概念题型 1．设A ，B 为随机事件，P(A)=0.8，P(A-B)=0.2，求)(AB P ． 2.设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，()0.6P B =，P(B A)=0.8， 求P(B )A ． 3. 若()1P B A =，求()P A B -。 4．设工厂A 和工厂B 的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品属A 生产的概率． 5．设X 和Y 为两个随机变量，且 7 4}0{}0{,73}0,0{=≥=≥= ≥≥Y P X P Y X P 求P{max(X, Y)≥0}。 6.已知X~N(150,9),Y~N(100,16), 且X 与 Y 相互独立，设 Z=-2X+Y ,求D(Z)。 7． 设DX=16，DY=1，ρXY =0.3，则D （3X- 2Y ）。 8．设随机变量X 和Y 独立同分布，记U=X-Y ，V=X+Y ，求UV ρ。 9.设容量n = 10 的样本的观察值为（5，8，7，6，9，8，7，5，9，6），求样本均值和样本方差。 10.设 1234 ,,,X X X X 是来自正态总体 2(0,2) N 的样本，令 221234()(),Y X X X X =++- 有CY ～2(2)χ，求C 。 11.1216,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一简单随机样本，设： 2222 18916 Z X X Y X X =++=++，求Y Z 服从何种分布。 综合应用题型 1. 设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车来的概率分别为0.3、0.2、0.5，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为1/4,1/3,1/12。 （1）求此人迟到的概率；（2）现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 解（1）设=B {此人迟到 } =1A {此人乘火车来 }，=2A {此人乘轮船来 }，=3A {此人 乘汽车来 } )|()()|()()|()()(332211A B p A p A B p A p A B p A p B p ++= 概率统计复习题 概率统计复习题 1．设a、b为随机事件，p(a)=0.5，p(b)=0.6，p(ba)=0.8.则p(b?a).2.三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是=. 3.设随机变量x??(?,?)，y?e，则y的原产密度函数为. 4.设随机变量x??(?,?)，且 二次方程y?4y?x?0无实根的概率等同于0.5，则 222x??. 5.设d(x)?16,d(y)?25，?xy?0.3，则d(x?y)=. 6.投掷硬币n次，负面发生次数的数 学希望为.7.某型号螺丝钉的重量就是相互单一制同原产的随机变量，其希望就是1两， 标准差就是0.1两.则100 个该型号螺丝钉重量不超过 10.2 斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数则表示）. 8.设x1,x2,?x5是来自总体x??(0,1)的简单随机样本，统计量 1.（10分后）设立袋中存有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均存有国徽)，从袋中余因子一只硬币，将它丢掷r次，未知每次都获得国徽.反问这只硬币就是正品的概率就是多少？ 2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）x服从指数分布，其概率密度函数为 2c(x1?x2)/x32?x4?x52~t(n)，则常数c=,自由度n?. (1/5)ex/5f(x)0x0其它 某顾客在窗口等候服务，若少于10分钟，他就返回.他一个月至银行5次.以y则表 示一个月内他未要到服务而返回窗口的次数，写下y的原产律，ZR19p{y?1}. 3.（10分）设二维随机变量(x,y)在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求： (1)谋随机变量x,y的边缘概率密度；(2)谋条件概率密度fx|y(x|y).. 概率论与数理统计复习题 一、单项选择题 1. 对任何二事件A 和B ，有=-)(B A P （ C ）. A. )()(B P A P - B. )()()(AB P B P A P +- C. )()(AB P A P - D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件，若当B 发生时A 必发生，则一定有（ B ）. A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为0.5,0.8，则目标被击中的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.8 C. 0.9 D. 0.85 4. 则a b 分别等于（ A ）. A. 4161== ,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D. 3 141==,b a 5. 设函数0.5,()0, a x b f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度，则区间],[b a 可 以是（ ）. A. ]1,0[ B. ]2,0[ C. ]2,0[ D. ]2,1[ 6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则==}0{XY P ( D ). A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有（ D ）. A. 12(-X E np 2)= B. 14)12(-=-np X E C. 1)1(4)12(--=-p np X D D. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ，且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为（ ） A.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p == D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)X N ，则下式中不成立的是（ ） A. 1EX = B. 2DX = C. {1}0P X == D. {1}0.5P X ≤= 10. 设X 为随机变量，1, 2=-=DX EX ，则)(2X E 的值为（ A ）. A ．5 B. 1- C. 1 D. 3 11. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨ ⎧≤≤+=其它, 01 0,)(x b ax x f ，且EX=0，则（ A ）. A. 6,4a b =-= B. 1,1a b =-= C. 6,1a b == D. 1,5a b == 12. 设随机变量X 服从参数为0.2的指数分布，则下列各项中正确的是（ ） A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 不相关的充分必要条件是（ D ）. A. X 与Y 相互独立 B. ()()()E X Y E X E Y +=+ C. ()()()E XY E X E Y = D. 22 1212(,) (,,,0)X Y N μμσσ 14. 设样本1234,,,X X X X 来自正态总体X ，()E X μ=已知，()2 D X σ=未知，则下 列随机变量中不是统计量的是（ C ）. A. 4 1 14i i X X ==∑ B. 12M X X μ=+- C. ()4 2 2 1 1 i i R X X σ== -∑ D. ()4 22 1 13i i S X X ==-∑ 15. 设总体22(,),X N μσσ未知，且12,,,n X X X 为其样本，X 为样本均值，S 为样 本标准差，则对于假设检验问题00:H μμ=，10:H μμ≠，应选用的统计量为（ A ）.概率与数理统计复习题及答案
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