概率统计习题及答案
1、已知P （A ）=0.7, P （B)=0.8，则下列判断正确的是（ D )。
A 。 A ，
B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ⊂B D 。 A ，B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（
C ）
A 。 1/2
B 。 1/12 C. 1/18 D. 1/9
3、某人进行射击，设射击的命中率为0。2，独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ）
A 。91
9
9
100
98.02.0C
B.i i i i
C -=∑1001009
10098.02.0 C 。
i
i i i C
-=∑100100
10
100
98
.02.0 D.i i i i C
-=∑-
1009
100
98.02.01
4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)()3
1
253(321=++
X X X E B
A. 0 B 。 25.5 C. 26.5 D 。 9
5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25
24
2
3
21X
X X X X c +++⋅
服从t 分布.（ C ）
A 。 0
B 。 1 C.
26
D 。 —1
6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A )
A.
6
)14(2
61--
x e
π
B.
3
2)14(2
61--
x e
π
C.
6
)14(2321--
x e
π
D 。
2
3)14(2
61--
x e
π
7、321,,X X X 为总体),(2
σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ）
A 。
3212110351X X X ++ B 。 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X +
+ D 。 3216
1
3131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为
则常数C 为（ C ）
（A ）0 （B)3/8 (C ）5/8 （D ）－3/8
9 、设随机变量X~N （4,25）, X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本，则样本均值X 近似的服从（ B )
（A ） N （4，25） （B)N(4，25/n ） （C ） N （0,1） (D ）N （0，25/n ）
10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设
00μμ=：H ，则在显著水平a=0。01下，（ B ）
A 。 必接受0H B. 可能接受，也可能拒绝0H C 。 必拒绝0H D 。 不接受，也不拒绝0H
二、填空题（每空1。5分，共15分) 1、A ， B ， C 为任意三个事件，则A,B ，C 至少有一个事件发生表示为：__AUBUC_______； 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8，0。6,则密码能被破译的概率为_____0。92____；
3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A ＝＿1/2＿＿,B ＝＿1/3。14＿＿＿；
4、随机变量X 的分布律为k
C x X P )3
1()(==,k =1，2,3, 则C=__27/13_____； 5、设X ～b （n,p ）。若EX=4，DX=2.4，则n=____10_____，p= ____0。4_____。 6、X 为连续型随机变量，
1 ， 0〈x<1
f （x ）= ,则P(X ≤1) = ____1___。 0 ， 其他
7、在总体均值的所有线性无偏估计中，___样本均值____是总体均值的无偏估计量。 8、当原假设H0为假而接受H0时，假设检验所犯的错误称为___第II 类错误____。
99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ 0150
.2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t
711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ
一。选择题（15分，每题3分)
1。 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （C )
)(A 独立； )(B 不独立; )(C 相容; )(D 不相容。
2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4； 0.3；0。2；0.1.现任选4人,则4
人血型全不相同的概率为: （ A )
)(A 0。0024； )(B 40024.0; )(C 0。 24; )(D 224.0.
3. 设~),(Y X ⎩⎨⎧<+=.,
0,
1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ C ）
)(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量； )(D 不独立也不同分布的随机变量。
4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0。75。 则射击次数的数学期望与
方差分别为 （A ）
)
(A 4934与； )(B 16934与; )(C 4941与； （D ） 9
434与． 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（D )
)(A 32112110351ˆX X X ++=μ
； )(B 32129
4
9231ˆX X X ++=μ
; )(C 321321
6131ˆX X X ++=μ
； )(D 32141254131ˆX X X ++=μ． 二. 填空题（18分，每题3分）
1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ,则
=⋃)(B A P 62.0 ．
2. 设随机变量X 的分布律为⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+c b a 4.01.02.04321，则常数c b a ,,应满足的条件 为 0,4.0,1.0,3.0≥≤-≥=+-c b a c b a 且 。 3。 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率
=>>),(b Y a X P
),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+； 。
4。 设随机变量)2,2(~-U X ，Y 表示作独立重复m 次试验中事件)0(>X 发生的次数，
则=)(Y E m/2 ，=)(Y D m/4 。 5．设),,,(21n X X X 是从正态总体),(~2
σμN X 中抽取的样本,则 概率 =≤-≤
∑=)76.1)(37.0(2220
1
20
1
2
σσ
X X
P i
i 985.0 .
6．设n X X X ,,,21 为正态总体),(2
σμN （2
σ未知）的一个样本，则μ的置信
度为1α－的单侧置信区间的下限为 )
1(--
n t n
S X α。 .
2、设二维随机变量（X,Y)的联合密度函数为
1,02,max{0,1}min{1,}
(,)0,x x y x f x y otherwise ≤≤-≤≤⎧=⎨
⎩
求:边缘密度函数(),()X Y f x f y 。
3、已知随机变量X 与Z 相互独立，且)1,0(~U X ，)2.0,0(~U Z ,Z X Y += 试求：(),(),XY E Y D Y ρ.
4、 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4。5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0。3,0.2，0.5。已知某天共售出200盒,试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。
概率论与数理统计B
一．单项选择题(每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12
(),()23
P A P B =
= 则()P AB 可能为（） (A ） 0; (B) 1; (C ） 0.6; (D) 1/6
2。 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字，则这两个数字不相同的概率为（）
(A)
12; (B) 225; （C ） 425; (D ）以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数,则点数之和为6的概率为( ）
（A ）
518; （B) 13; （C ） 1
2
; （D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x
x
a be F x e +=+，(a=0,b=1）则F （0）的值为（ ）
(A) 0.1； （B) 0.5； （C ） 0。25; (D ）以上都不对
5．一口袋中有3个红球和2个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）
（A ） 2.5； (B) 3.5; （C) 3。8； (D)以上都不对
二．填空题(每小题3分，共15分）
1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A ）=0.5， P (B ）=0。7， 则()P A B = .
2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==,则n =______.
3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2
()E ξ=_______。
4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0。8。先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22
a
f x x x =
++,a 为常数，则P （ξ≥0）
=_______.
三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; （2) 恰有一个盒子有2个球.
四．(本题10分） 设随机变量ξ的分布密度为
, 03()10, x<0x>3
A
x f x x
⎧⎪
=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1） 求常数A ； (2） 求P (ξ〈1）; （3） 求ξ的数学期望.
五．(本题10分）
(1） ξ与η是否相互独立? (2） 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；
六．（本题10分）有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％。随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少?
七．(本题12分） 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元。 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止。 若4次都未射中目标，则游戏停
止且他要付罚款100元。 若他每次击中目标的概率为0.3，求他在此游戏中的收益的期望. 八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品。问他至少应购买多少零件? (注:(1.28)0.90Φ=，(1.65)0.95Φ=）
九．(本题6分）设事件A 、B 、C 相互独立,试证明A
B 与
C 相互独立.
十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃)：
1820，1834，1831，1816,1824
假定重复测量所得温度2
~(,)N ξμσ。估计10σ=,求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注:(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)
一．一箱产品，A,B 两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％,2％。现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 二．设随机变量X 的密度函数为()x
f x Ae -= ()x -∞<<+∞，
求 （1）系数A, (2） {01}P x ≤≤ （3） 分布函数)(x F .
三．已知随机变量X 的密度函数为
⎩
⎨⎧<<+-=其它,01
0),144()(2x x x c x f
求（1)常数c ;(2）X 的分布函数)(x F ;（3)}5.01.0|2.0{≤<≤X X P
四、(本题满分10分）设2)(=X E ,4)(=Y E ,4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0=ρXY ，求 （1)3232
2
-+-=Y XY X U 的数学期望； （2）53+-=Y X V 的方差。 五、（本题满分18分）设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为：
⎩
⎨
⎧-<<<<=其它,0)
1(20,10,1),(x y x y x f 求：
（1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ; （2）)(X E 和)(X D ;
(3）条件概率密度函数)|(|y x f Y X ；
(4)Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z .
六、(本题满分16分）设总体X 的概率密度函数为
⎩⎨⎧<<+θ=θ其它,
010,)1()(x x x f
其中1->θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本.
（1）求θ的矩估计量M
θˆ; （2）求θ的极大似然估计量MLE θˆ；
七、（本题满分14分）水泥厂用自动包装机包装水泥,每袋额定重量为50公斤,某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下（单位：公斤)：
49.6 49.3 50.1 50。0 49。2 49。9 49。8 51。0 50.2
设每袋重量服从正态分布),(2
σμN 。
（1)试问该包装机工作是否正常?)05.0(=α
（2）若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为3.02
=σ，求水泥平均重量μ的置信度为95％的置信区间。 （已知:
;
5362.0,9.49==s x 283.11.0=z ,645.105.0=z ，960.1025.0=z ;3968.1)8(1.0=t ，3830.1)9(1.0=t ，3722.1)10(1.0=t ,8695.1)8(05.0=t ,8331.1)9(05.0=t ，8125.1)10(05.0=t ，3060.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ，2280.2)10(05.0=t )
答案
2解: ,
01()2,120,X x x f x x x otherwise ≤<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
[1,[0,1]()0,[0,1]X x f x x ∈⎧=⎨∉⎩
1,[0,1]()0,[0,1]Y y f y y ∈⎧=⎨
∉⎩ ［,
01()2,120,Y y y f y y y otherwise ≤<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
3解： 11111
(),()()()222020
E X E Y E X E Z =
=+=+=
cov(,)(())()()
1
()12
X Y E X X Z E X E X Z D X =+-+==
11101()()()()1212001200
D Y D X Z D X D Z =+=+=
+=
[15013
］
1
XY
ρ==2625] 4解：设i X 为第i 盒的价格(1,2,,200.)i =，则总价200
1i i X X ==∑
() 4.6,
()0.19i i E X D X ==
2001
()()200 4.6920i
i E X E X ==
=⨯=∑。
200
1
()()2000.1938i
i D X D X ==
=⨯=∑.
(910930)212(1.622)120.947410.8948P X P ≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=⨯-=
[ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ]
概率论与数理统计B 答案
一．1．(D ）、2。（D ）、3.（A ）、4。（C ）、5。(C) 二．1．0。85、2。 n =5、3。 2
()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4
三．把4个球随机放入5个盒子中共有54
=625种等可能结果-----——-—-—---3分 （1）A={4个球全在一个盒子里｝共有5种等可能结果，故
P （A ）=5/625=1/125—--—---————--—-----———-—---———--—
----—---———--—-—--——-5分
(2） 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
302415=C C 种方法————----——-----————---——-——------—-—----—-————-—————7分
4个球中取2个放在一个盒子里,其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此,B={恰有一个盒子有2个球｝共有4×3=360种等可能结果。故
125
72
625360)(==
B P --—-----—-——-—-———----—-----——--——---—-——-------—-10分
四．解：（1）⎰⎰
∞
∞
-=
=+=3
4ln 1
,4ln 1)(A A dx x A dx x f ——-——--———-—-—————---3分
(2)⎰==+=<1
21
2ln 1)1(A dx x A P ξ--———-—-——-—---——--—-—--—-——-—-6分
（3）3
300
()()[ln(1)]1Ax
E xf x dx dx A x x x ξ∞
-∞
=
==-++⎰⎰
13
(3ln 4)1ln 4ln 4
=
-=-—---——---—-——-—--—-—-——————-----——--10分
五．解:（1)ξ的边缘分布为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛29.032.039.02 1
0-————-—-———-—-————------—-—--———2分 η的边缘分布为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1——-----———-—--—-———-———-—-—4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立———-—--5分 （2）ξη⋅的分布列为
因此，
16
.310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(=⨯+⨯+⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯=⋅ηξE
—-—-——-10分
另解：若ξ与η相互独立，则应有
P （ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0）P(η＝1）; P(ξ＝0,η＝2）＝P(ξ＝0）P （η＝2）； P （ξ＝1，η＝1）＝P(ξ＝1)P(η＝1）; P(ξ＝1,η＝2)＝P （ξ＝1）P(η＝2)； 因此，
)
1()
0()2,1()2,0()1,1()1,0(============ξξηξηξηξηξP P P P P P
但
10
.012
.003.005.0≠
，故ξ与η不相互独立。 六．解:由全概率公式及Bayes 公式
P (该种子能发芽）＝0。1×0。9+0。9×0.2＝0。27——-----————----—---—--————-——-—-—-—5分
P （该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0。9)/0.27＝1/3-—--———-—-—-—--——-—--10分
七．令A k =｛在第k 次射击时击中目标}，A 0={4次都未击中目标}。
于是P （A 1）=0。3； P （A 2)=0。7×0.3=0.21; P (A 3)=0.72
×0.3=0。147
P （A 4)= 0。73×0.3=0.1029； P (A 0)=0。74
=0.2401-————--————-——--———-————-——————---—6分
在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。—-——--——-—-——-—-———-———-—-—--—-—--------————-——-——--——-—-——--——-—-—-—---—-—-—----—-—-—-----8分
因此，
65
.26)140(2401.0601029.070147.08021.0903.0)(=-⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
-----—-—-—----——--—-12分
八．解：设他至少应购买n 个零件，则n ≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n ，p), p=0。95。 因n 很大，故B （n ，p)近似与N （np ,npq ） -——————----—4分
由条件有
(2000)10.95P
ξ≥≈-Φ=——--—-----——-———-————-—-———-——--——-——-—-——-8分 因(1.65)0.95Φ= 1.65
=-,解得n=2123,
即至少要购买2123个零件。 --——----———--———-——-————--—-——------——-—--—--—————-————------12分
九． 证：因A 、B 、C 相互独立，故P(AC)=P （A ）P （C)， P(BC ）=P （B ）P(C), P （AB ）=P （A)P(B ）， P(ABC ）=P(A) P(B ）P(C)。
(())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ==+--———--2分
()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+---—-———---—-———-—-——————
———4分
[()()()()]()()()P A P B P A P B P C P A B P C =+-=
故A
B 与
C 相互独立。 -—-—-—-—-—------——-----————---—--—--—-—-—-————--——----—6分
一．（取出产品是B 厂生产的可能性大。)
二． （1)A ＝1/2 , (2）1
1(1)2e -- ， （3）1,02()11,02
x
x e x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
三。(1）由1)(=⎰+∞∞
-dx x f ,又=
⎰
+∞
∞
-dx x f )(3)144(1
2c
dx x x c =
+-⎰, 所以3=c ； （
2)
当0
≤x 时， )
(x F =0
；
当1
0≤ )(x F ⎰⎰ +-==∞ -x x dx x x dx x f 0 2)144(3)(x x x 3642 3 +-=, 当1>x 时， )(x F =1, 所以X 的分布函数为)(x F ⎪⎩ ⎪⎨⎧ >≤<+-≤=1,110,3640,02 3x x x x x x . (3)⎰=≤<=≤<≤2.01 .0)(}2.01.0{}5.01.0,2.0{dx x f X P X X P ⎰ =+-=2 .01 .023)24(dx x x x 0。148 ⎰ =≤<5.01 .0)(}5.01.0{dx x f X P ⎰ =+-=5 .01 .023)24(dx x x x 0。256, 所以 }5.01.0|2.0{≤<≤X X P 256 .0148.0}5.01.0{}5.01.0,2.0{=≤<≤<≤= X P X X P =0。5781. 四。（1）)323()(22-+-=Y XY X E U E 3)()(2)(322-+-=Y E XY E X E 3)]()([])()()()([2)]()([322-++ρ+-+=Y E Y D Y D X D Y E X E X E X D XY =24； (2）),cov(6)()(9)53()(Y X Y D X D Y X D V D -+=+-=)()(645Y D X D XY ρ-==27。 五。（1)⎰ +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(⎪⎩ ⎪⎨⎧<<-==⎰-其它,010),1(21)1(20 x x dy x , ⎰ +∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩ ⎪⎨⎧<<-==⎰-其它,02 0,2 11210y y dx y (2)⎰+∞ ∞-=dx x xf X E X )()(⎰-⋅=10)1(2dx x x =3 1 , ⎰+∞∞-=dx x f x X E X )()(22⎰-⋅=102)1(2dx x x =61, 所以 )()()(22X E X E X D -=18 1 9161=-= （3）当20< ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧- <<-=-=其它,0210,222 11y x y y ； (4) } {}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=⎰⎰≤+= z y x dxdy y x f ),( ⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎨⎧ ≤<≤+≤≤<=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----z z dy dx dy dx z dy dx z x z x z z x z z 2,121,1110,10,0) 1(2012020 00 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧ ≤<≤-+---≤≤<=z z z z z z z z z 2,121,)1()2(2 1)2(10,20,0222，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤==其它,021,210,)()(z z z z dz z dF z f Z Z 。 六。（1)因⎰+∞ ∞ -=dx x xf X E )()(dx x 1 1 )1(+θ⎰+θ=21 +θ+θ= ，令X X E =)(即X =+θ+θ2 1,解得X X M --=θ112ˆ. (2）设n x x x ,,,21 是样本n X X X ,,,21 的观测值，则似然函数为 n i i x f L 1 )()(==θ,当 0 n i i x L 1 )1()(=θ +θ=θ,取对数得∑=θ++θ=n i i x n L 1 ln )1ln(ln ,故由 0ln 1ln 1 =++θ=θ∑=n i i x n d L d 解得∑=--=θn i i MLE x n 1 ln 1ˆ,从而θ的极大似然估计量为 ∑=- -=θn i i MLE X n 1 ln 1ˆ (3)因为12 .00 2.0)1(}2.0{+=+= <⎰ θθθdx x X P ,所以}2.0{>X P 的极大似然估计为1ˆ 2.0+θMLE , 又 16ln 1-=∑=n i i x ，所以2 1 168 1ˆ-=-- -=θMLE ，故}2.0{>X P 的极大似然估计为 2.02.01ˆ =+θMLE . 七.（1)构造假设50:00=μ=μH ，50:1≠μH ,取检验统计量)1(~/00-μ-=n t n S X T H 为真 ,由 α =->α)}1(|{|2/n t T P 得拒绝域为： ) 1(||2/->αn t T 。又9=n ， 9.49=x ,29.02=s ,05.0=α,3060.2)8(025.0=t , 3060.256.09 /29.0|509.49|<=-= T ,故应接受 0H ,即认为包装机工作正常。 (2)因为3.02=σ已知，所以总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为),(2/2 /n z x n z x σ+σ-αα，又96.1025.02/==αz z ，故 ),(2 /2/n z x n z x σ+σ-αα=)9 3 .096.19.49,93.096.19.49(⨯+⨯ -)2578.50,5422.49(=. 统计与概率 限时:45分钟满分:100分 一、选择题 1.下列调查中,最适宜采用普查方式的是() A.对我国初中学生视力状况的调查 B.对量子科学通信卫星上某种零部件的调查 C.对一批节能灯管使用寿命的调查 D.对“最强大脑”节目收视率的调查 2.一枚质地均匀的骰子,其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次,朝上一面的数字是偶数的概率为() A.1 6B.1 3 C.1 2 D.2 3 3.如图D8-1是根据某市某七个整点时的气温绘制成的统计图,则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是() 图D8-1 A.30,28 B.26,26 C.31,30 D.26,22 4.已知一组数据1,2,3,x,5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.正方形ABCD的边长为2,以各边为直径在正方形内画半圆,得到如图D8-2所示阴影部分,若随机向正方形ABCD内投一粒米,则米粒落在阴影部分的概率为() 图D8-2 A.π-2 2B.π-2 4 C.π-2 8 D.π-2 16 6.三名初三学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就座,恰好有两名同学没有坐回原位的概率是() A.1 9B.1 6 C.1 4 D.1 2 二、填空题 7.一组数据:2,5,3,1,6,则这组数据的中位数是. 8.在一个不透明的口袋中放入6个红球,2个黑球,n个黄球,这些球除颜色不同外,其他无任何差别.若搅匀后随机从中摸出 ,则放入口袋中的黄球总数n=. 一个恰好是黄球的概率为1 3 9.已知一包糖果共有5种颜色(糖果只有颜色差别),如图D8-3是这包糖果分布百分比的统计图,在这包糖果中任意取一粒,则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是. 图D8-3 10.一次数学考试中,九年级(1)班和(2)班的学生人数和平均分如表所示,则这两个班的平均成绩为分. 班级人数平均分 (1)班5285 (2)班4880 11.经过某十字路口的汽车,可直行,也可向左转或向右转,如果三种可能性大小相同,则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是. 12.两组数据3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6,若将这两组数据合并为一组数据,则这组新数据的中位数为. 三、解答题 13.(10分)一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球,球面上分别标有数字1,2,3,4. (1)搅匀后从中任意摸出1个球,求摸出的乒乓球球面数字为1的概率; (2)搅匀后先从中摸出1个球(不放回),再从余下的3个球中任意摸出1个球,求两次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率. 14.(14分)今年某市为创评“全国文明城市”称号,周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加. 抽签规则:将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,梁老师从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名. (1)该班男生“小刚被抽中”是事件,“小悦被抽中”是事件(填“不可能”或“必然”或“随机”);第一次抽取卡片,“小悦被抽中”的概率为; (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出“小惠被抽中”的概率. 概率与统计大题练习 一、解答题 1.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召,某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高,根据以往的经验,随着温度的升高,其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数: 经计算:1266i i x x ===∑1,336i i y y ===∑, 1()()557i i i x x y y =--=∑, 2 1()84i i x x =-=∑ , 6 2 1 ()3930i i y y =-=∑,6 21 ()23.6ˆ64i i y y =-=∑ ,8.0605e 3167≈其中,i i x y 分别为试验数据中的温度和死亡株数, 1,2,3,4,5,6i = 1.若用线性回归模型,求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+ (结果精确到0.1); 2.若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为0.23030.06ˆx y e =,且相关指数为20.9522R =. (i)试与1中的回归模型相比,用2R 说明哪种模型的拟合效果更好; (ii)用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数(结果取整数). 附:对于一组数据1122(,),(,), ,(,)n n u v u v u v c,其回归直线ˆˆˆv u α β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:1 2 1 ()() ,() ˆˆˆn i i i n i i u u v v a v u u u β β==--==--∑∑;相关指数为: 2 21 2 1 (ˆ()1) n i i i n i i i v v R v v ==-=--∑∑ 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A 2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A 365 B 364 C 363 D 36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 A )(1)( B P A P -= B )()()(B P A P AB P = C 1)(=+B A P D 1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为⎩ ⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EX A 21 B1 C2 D 4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是 A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 01)(2 x x x x x F C +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 D +∞<<∞-+ =x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度 )(y f Y 为 A )2(2y f X - B )2(y f X - C )2 (21y f X -- D )2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 6 1818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 8 3 C 4 1 D 3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则 =-)2(Y XY E A3 B6 C10 D12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是 A X 与Y 相互独立 B X 与Y 不相关 C 0),cov(=Y X D DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ 习题一 （A ） 1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。 2. 记三事件为C B A ,,。试表示下列事件： （1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。 3.指出下列事件A 与B 之间的关系： （1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。 4.请叙述下列事件的互逆事件： （1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”； （4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。 5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。 6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。 7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。 8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。 9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ?；)(A B p 。 10.已知41)(=A p ，31)(=A B p ，2 1)(=B A p ，求)(B A p ?。 11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。 12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。 ;第一章 一、填空题 1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。 2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为 0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。 3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为 （AB AC BC ++ ）。 4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8， 0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。 5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。 7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为 （ AB AC BC I I ） ； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求 敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。 12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 1. 对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为（ D ） Ａ、样本空间 Ｂ、必然事件 Ｃ、不可能事件 D 、随机事件 2. 某工厂每天分3个班生产，i A 表示第i 班超额完成任务(1,2,3)i =，那么至少有两个班超 额完成任务可表示为（ B ） ·151· 《概率论与数理统计》习题及答案 选 择 题 单项选择题 1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ）. （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； （D ）“甲种产品滞销”. 解：设B =‘甲种产品畅销’，C =‘乙种产品滞销’，A BC = A BC B C ===U ‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’. 选C. 2．设,,A B C 是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）. （A ）()A B B A B -=U U ; （B ）()A B B A -=U ; （C ）()A B AB AB AB -=U U ; （D ）()()()A B C A C B C -=--U U . 解：()()()A B B AB B A B B B A B -===U U U I U U ∴A 对. ()()A B B A B B AB BB AB A B A -====-≠U U U B 不对 ()()().A B AB A B B A AB AB -=--=U U U C 对 ∴选B. 同理D 也对. 3．若当事件,A B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）. （A ）()()()1P C P A P B ≤+-； （B ）()()()1P C P A P B ≥+-； （C ）()()P C P AB =； （D ）()().P C P A B =U 解：()()()()()()()1AB C P C P AB P A P B P A B P A P B ??≥=+-≥+-U ∴ 选B. 4．设(),(),()P A a P B b P A B c ===U ，则()P AB 等于（ ）. （A ）a b -； （B ）c b -； （C ）(1)a b -； （D ）b a -. 解：()()()()()()()P AB P A B P A P AB a P A P B P A B c b =-=-=--+=-U 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81 ,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 16 1,81,41,21 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 41414121 (B) 161 8141 21 (C) 163161412 1 (D) 8 1 834121 - 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0,10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 2 1 )21(== X P (C) 21)21(= 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2, ,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为 21011811515515 k X p -- 则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则 =λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的 分布是 . 9、设总体()~10,X b p ,12,,,n X X X 是来自总体X 的样本,则参数p 的矩估计量 为 . 10、设123,,X X X 是来自总体X 的样本,12311 ˆ23 X X X μ λ=++是()E X μ=的无偏估计,则 λ= . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12 件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪ =-≤≤⎨⎪⎪⎩其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求712P X ⎧ ⎫<≤⎨⎬⎩ ⎭. 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为 \012 10.10.20.1 20.10.2 Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 (),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪ =-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X . 1、已知P （A ）=0.7, P （B)=0.8，则下列判断正确的是（ D )。 A 。 A ， B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ⊂B D 。 A ，B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A 。 1/2 B 。 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0。2，独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A 。91 9 9 100 98.02.0C B.i i i i C -=∑1001009 10098.02.0 C 。 i i i i C -=∑100100 10 100 98 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 100 98.02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)()3 1 253(321=++ X X X E B A. 0 B 。 25.5 C. 26.5 D 。 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 2 3 21X X X X X c +++⋅ 服从t 分布.（ C ） A 。 0 B 。 1 C. 26 D 。 —1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A. 6 )14(2 61-- x e π B. 3 2)14(2 61-- x e π C. 6 )14(2321-- x e π D 。 2 3)14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A 。 3212110351X X X ++ B 。 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X + + D 。 3216 1 3131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B)3/8 (C ）5/8 （D ）－3/8 概率论与数理统计试题库 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则 α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===⋅⋅⋅则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩ ⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 《概率统计》试题及答案 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答 案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8), 8a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2 Y X =的分布律是 . 21011811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设1 2 9 ,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品. 甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两 (3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫ <≤=-=-= ⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ ............................... 12分 四、 解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.21a +++++= 故0.3a = ........................................................................... 4分 (2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为 012 0.40.30.3X p ......................................................... 6分 12 0.40.6 Y p .............................................................. 8分 (3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. ................................................. 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 (),01,2,12, 0,.x x f x x x ≤<⎧⎪ =-≤≤⎨⎪⎩ 其他 求()(),E X D X . 解 2 1 3 1 2 2 3201011()()d d (2)d 1. 33x E X xf x x x x x x x x x +∞ -∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ............. 6分 122232017 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-= ⎰⎰⎰ ............................... 9分 221 ()()[()]. 6 D X E X E X =-= ................................................... 12分 一、 ....................................... 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k == =则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则 =λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪ =-≤≤⎨⎪⎪⎩其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求 712P X ⎧ ⎫<≤⎨⎬⎩ ⎭. 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 (),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪ =-≤≤⎨⎪⎩ 其他 求()(),E X D X 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或A B C 2、0.6 3、21 56311 C C C 或4 11或0.3636 4、1 5、13 6、 2014 1 315 55 k X p 7、1 8、(2,1)N - 二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则 由已知有 1212 606505121101 (),(),(|),(|)1101111011605505 P A P A P B A P B A = ======= .................. 2分 (1)由全概率公式得 1122 61511 ()()(|)()(|)1151155 P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 概率练习题（含答案） 概率练习题（含答案） 1 解答题 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第 2 颗正四面体玩具出现的点数.试写出： （1 ）试验的基本事件； （2 ）事件“出现点数之和大于3”； （3 ）事件“出现点数相等”. 答案 （1）这个试验的基本事件为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4） （2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13 个基本事件： （1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4） （3）事件“出现点数相等”包含以下 4 个基本事件： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4） 2 单选题 “概率”的英文单词是“Probability ”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字 母，则取到字母“b”的概率是 1. A. 2. B. 3. C. 4. D. 1 答案 C 解析 分析：先数出单词的所有字母数，再让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率． 解答：“Probability ”中共11 个字母，其中共 2 个“b”，任意取出一个字母，有11 种情况可能出 现，取到字母“ b ”的可能性有两种， 故其概率是； 故选C． 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A ）= ． 3 解答题 一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球， 2 只黑球.现从口袋中每次任取一球， 每次取出不放回，连续取两次.问： （1 ）取出的两只球都是白球的概率是多少？ （2 ）取出的两只球至少有一个白球的概率是多少？ 答案 （1）取出的两只球都是白球的概率为3/10 ； （2）以取出的两只球中至少有一个白球的概率为9/10 。 解析 本题主要考查了等可能事件的概率，以及对立事件和古典概型的概率等有关知识，属于中档题 （1）分别记白球为1，2，3 号，黑球为4，5 号，然后例举出一切可能的结果组成的基本事件，然后例 举出取出的两只球都是白球的基本事件，然后根据古典概型的概 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的 概率统计练习参考答案 概率论与数理统计 习题册 第一章概率论的基本概念（1） 专业_______________班级_______________学号___________________姓名______________ 一．单选题 1、对掷一颗骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为（ C ） （A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件 2、下列事件属于不可能事件的为（ D ） （A ）连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4；（B ）连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8；（C ）连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12；（D ）连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16。 3、将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（B ）（A ）{（正，正），（反，反），（正，反）} （B ）{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} （C ）{（正，反），（反，正），（反，反）} （D.）{（正，反），（反，正）} 4、在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件的必然事件是（ D ） （A ）3件都是正品；（B ）至少有1件是次品；（C ）3件都是次品；（D ）至少有1件是正品。 5、甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则 A B 表示（ C ）（A ）二人都没射中；（B ）二人都射中；（C ）二人没有同时射中；（ D ）至少一个射中。 6、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为（ D ）（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、 乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销。 7、设A 和B 是两事件，A B ?，则A B = （ B ） （A ） A ；（B ） B ；（C ）AB ；（D ）AB 。 8、若AB =Φ,则 ( D ). （A ）A,B 为对立事件.；（B ）B A =；（C ）AB =Φ；（D ）P(A －B)=P(A)。 9、若AB ≠Φ，则下列各式中错误的是（ C ）. （A ）()0P AB ≥；（B ）()1P AB ≤ ；（C ）P(A+B)=P(A)+P(B)；（D ） P(A-B)≤P(A)。 10、事件A 的概率 P(A)必须满足（ C ） （A ）0＜P(A)＜1；（B ）P(A)=1；（C ）0≤P(A)≤1；（D ）P(A)=0或1 二．填空题 11、记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制整数得分);的样本空间为 0,1,2,,100k S k n n ??== 。 12、在单位圆内任取一点,则它的坐标的样本空间为{} 22 (,)|1S x y x y =+< 。 13、设样本空间为 ()|02,S x x =≤≤11,2A x x ??=<≤ 1 3,42B x x ?? =≤< 则事件AB =1 13,1422x x x ?? ≤≤<< ；AB =1 342x x ??≤< 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率； （Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望． 2.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体． （Ⅰ）求该总体的平均数； （Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 3.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）. 4.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 5.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 6.已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取l 只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 7.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510 克的产品为合格产品，且视频率统计与概率 题及答案
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