高一数学复习考点知识讲解课件32---等差数列前n项和的性质及应用
高一数学复习考点知识讲解课件
第2课时等差数列前n项和的性质及应用
考点知识
1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
3.理解并应用等差数列前n项和的性质．
一、等差数列前n项和的实际应用
问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．
例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%
＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．
所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．
所以a 10＝60－9×12＝55.5，
a 20＝60－19×12＝50.5.
所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20
＝10×(60＋50.5)＝1 105.
所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．
答案1629
解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公
差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．
二、等差数列中前n 项和的最值问题
问题2根据上节课所学，等差数列前n 项和公式有什么样的函数特点？
提示由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，可知S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，S n 是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n ∈N *，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为S n ＝An 2＋Bn .
知识梳理
等差数列前n 项和的最值
(1)在等差数列{a n }中，
当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1
≤0确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧
a n ≤0，a n ＋1≥0
确定． (2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．
注意点：(1)当a 1>0，d >0时S n 有最小值S 1，当a 1<0，d <0时S n 有最大值S 1；(2)S n 取得最大或最小值时的n 不一定唯一．
例2在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．
解方法一因为S 8＝S 18，a 1＝25，
所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2
d ， 解得d ＝－2.
所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.
所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.
方法二同方法一，求出公差d ＝－2.
所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.
因为a 1＝25>0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤1312，
n ≥1212.
又因为n ∈N *，
所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.
方法三因为S 8＝S 18，
所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.
由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.
因为a 1>0，所以d <0.
所以a 13>0，a 14<0.
所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得
a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，
解得d ＝－2，
所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，
所以S n 的最大值为169.
方法四设S n ＝An 2＋Bn .
因为S 8＝S 18，a 1＝25，
所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，
所以当n ＝13时，S n 取得最大值．
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝－1，
B ＝26，
所以S n ＝－n 2＋26n ，
所以S 13＝169，
即S n 的最大值为169.
反思感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形
①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和； ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎨⎧
a n ≤0，a n ＋1≥0
来寻找； ②运用二次函数求最值．
跟踪训练2在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解(1)设等差数列的公差为d ，
因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15， 所以⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝18，
5a 1＋52×4×d ＝－15，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－9，d ＝3，
所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，
所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12
(3n 2－21n )
＝32⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，
前n 项和S n 取得最小值为S 3＝S 4＝－18.
三、等差数列中的片段和问题
问题3等差数列{}a n 的前n 项和S n ，你能发现S n 与S 2n 的关系吗？ 提示S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n ＝S n ＋(a 1＋nd )＋(a 2＋nd )＋…＋(a n ＋nd )＝2S n ＋n 2d ，同样我们发现S 3n ＝3S n ＋3n 2d ，这里出现了一个有意思的数列S n ，S 2n －S n ＝S n ＋n 2d ，S 3n －S 2n ＝S n ＋2n 2d ，…，是一个公差为n 2d 的等差数列． 知识梳理
1．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .
2．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 3．在等差数列中，若S n ＝m ，S m ＝n ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． 例3已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
∵S 10＝100，S 100＝10，
∴⎩⎨⎧
10a 1＋10(10－1)2d ＝100，100a 1＋100(100－1)2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1099100，d ＝－1150.
∴S 110＝110a 1＋110(110－1)2
d ＝110×1099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1150＝－110. 方法二∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，
∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，
∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.
方法三由⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列，构造新的等差数列b 1＝S 1010＝10，b 10＝S 100100＝110， 则d ＝19(b 10－b 1)＝19⎝ ⎛⎭
⎪⎫－9910＝－1110， 所以b 11＝S 110110＝b 10＋d ＝110＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1110＝－1， 所以S 110＝－110.
方法四直接利用性质S n ＝m ，S m ＝n ，S m ＋n ＝－(m ＋n )，可知S 110＝－110. 反思感悟利用等差数列前n 项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
跟踪训练3等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m.
解方法一在等差数列中，
∵S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二在等差数列中，S m
m
，S2m
2m
，S3m
3m
成等差数列，
∴2S2m
2m
＝S m
m
＋S3m
3m.
即S3m＝3(S2m－S m)＝3×(100－30)＝210.
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和的实际应用．
(2)等差数列前n项和的最值问题．
(3)等差数列中的片段和问题．
2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．
3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．
1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为()
A ．11或12
B ．12
C ．13
D ．12或13
答案D
解析∵a n ＝26－2n ，
∴a n －a n －1＝－2(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列{a n }为等差数列．
又a 1＝24，d ＝－2，
∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，
∴当n ＝12或13时，S n 最大．
2．等差数列{}a n 中，S 3＝3，S 6＝9，则S 12等于()
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
答案D
解析根据题意，得在等差数列{}a n 中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，…也成等差数列，
又由S 3＝3，S 6＝9，得S 6－S 3＝6，
则S 9－S 6＝9，S 12－S 9＝12，
则S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝3＋6＋9＋12＝30.
3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为()
A.825两
B.845两
C.865两
D.885两
答案C
解析设10个兄弟由大到小依次分得a n ()n ＝1，2，…，10两银子，由题意可得 设数列{}a n 的公差为d ，其前n 项和为S n ，
则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＝6，S 10＝100，即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝6，10a 1＋10×92d ＝100，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝865，
d ＝－85.所以长兄分得865两银子．
4．已知S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝－2，S 20222022－S 20202020＝2，则S 20212021＝________.
答案2018
解析∵S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，
∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，设其公差为d .
∵S 20222022－S 20202020＝2，∴2d ＝2，d ＝1.
∵a 1＝－2，∴S 11＝－2.
∴S n n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.
∴S 20212021＝2018.
课时对点练
1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66
＝2，则S 10等于() A ．10B ．100C ．110D ．120
答案B
解析∵{a n }是等差数列，a 1＝1，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，
∴S10＝100.
2．若等差数列{a n}的前m项的和S m为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为()
A．30B．70C．50D．60
答案C
解析∵等差数列{a n}中，S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，
∴2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，
∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，
∴S2m＝50.
3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和S n()
A．有最大值且是整数B．有最小值且是整数
C．有最大值且是分数D．无最大值和最小值
答案B
解析易知数列{2n－19}的通项公式为a n＝2n－19，
∴a1＝－17，d＝2.
∴该数列是递增的等差数列．
令a n＝0，得n＝19
2.
∴a1 ∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81. 4．已知在等差数列{}a n 中，前n 项和为S n ，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，则当S n 取最大值时，n 等于() A ．1010 B ．1011 C ．2020 D ．2021 答案A 解析在等差数列{}a n 中，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，故公差d <0，所以a 1010>0，a 1011<0，所以当S n 取最大值时，n ＝1010. 5．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为() A ．45 B ．36 C ．28 D ．21 答案D 解析由题意分析可得a 1＝1，a 2＝1＋2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通 项公式a n ＝n ()n ＋12，a 6＝6×() 6＋12 ＝21. 6．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5 () A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为S n的最大值 答案ABD 解析∵S5 ∴a6>0，a7＝0，a8<0. ∴d<0. ∴S6与S7均为S n的最大值． S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0. ∴S9 7．已知等差数列前n项和为S n，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________. 答案－13 解析由性质S n＝m，S m＝n，S m＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13. 8．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________. 答案5 解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列， 而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7， ∴S 9－S 6＝5. 9．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为 a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 10．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 解(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0， 解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)方法一a 1＝9，d ＝－2， S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 方法二由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0， ∴{a n }是递减数列． 令a n ≥0， 则11－2n ≥0， 解得n ≤112. ∵n ∈N *， ∴当n ≤5时，a n >0； 当n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 11．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3S 6＝14，则S 6S 12 等于() A.18B.726C.14D.12 答案C 解析由等差数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列， 设S 3＝k ，S 6＝4k ()k ≠0，则S 9＝3S 6－3S 3＝9k ，S 12＝3S 9－3S 6＋S 3＝16k ， 所以S 6S 12 ＝14. 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为() A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案B 解析设数列{a n }是公差为d 的等差数列， 则⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8， 故可得8×d 2＝－8， 解得d ＝－2； 则a 1＝a 2－d ＝13， 则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49， 故当n ＝7时，S n 取得最大值． 13．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 4＝S 9，当S n 最大时，n 等于() A ．6 B ．7 C ．6或7 D ．13 答案C 解析因为S 4＝S 9，所以4a 1＋4×32d ＝9a 1＋9×82d ，化简得a 1＋6d ＝0， 所以a 1＝－6d ， 因为a 1>0，所以d <0， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－6dn ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2－132dn ， 它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n ＝132， 因为n ∈N *，所以当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值． 14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________． 答案10 解析由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 15．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层() A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案C 解析设电梯所停的楼层是n (2≤n ≤12)， 则S ＝1＋2＋…＋(n －2)＋2[1＋2＋…＋(12－n )] ＝(n －2)(n －1)2＋2×(12－n )(13－n )2 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－533n ＋157＝32⎝ ⎛⎭ ⎪⎫n －5362－53224＋157， 开口向上，对称轴为n ＝536≈9， 故S 在n ＝9时取最小值S min ＝3×92－53×9＋3142 ＝40. 16．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 的前n 项和T n . 解设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 第二节 等差数列及其前n 项和 突破点一 等差数列的基本运算 [基本知识] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等 差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ＝n a 1＋a n 2 . [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N * ，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、填空题 1．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________． 答案：3 2．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为________． 答案：14 3．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是________． 答案：4 4．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，S 100＝10 000，则S n ＝________. 答案：n 2 [典例感悟] 1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5 ＝( ) 高一数学复习考点知识讲解课件 第2课时等差数列前n项和的性质及应用 考点知识 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质． 一、等差数列前n项和的实际应用 问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等． 例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， 所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1% ＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)． 所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列． 所以a 10＝60－9×12＝55.5， a 20＝60－19×12＝50.5. 所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20 ＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)． 反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现． 跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)． 答案1629 解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公 高一数学复习考点知识讲解课件 等差数列前n 项和性质的综合问题 考点知识 1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n 项和的特点. 2.掌握含绝对值的等差数列的前n 项和的求法． 一、等差数列中奇、偶项的和 问题1我们知道等差数列前n 项和公式中的n 表示等差数列的项数，你能利用公式表示S 2n ，S 2n －1吗？ 提示S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝n (a 1＋a 2n )，S 2n －1 ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2，由等差数列的性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 可知，a 1＋a 2n ＝a n ＋a n ＋1，a 1＋a 2n －1＝2a n ，即S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示． 问题2当总项数为2n 项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？ 提示S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1) 2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n ) 2＝na n ＋1， 则有S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝na n ＋1na n ＝a n ＋1a n . 问题3当总项数为2n －1项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？ 提示S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1) 2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n －2＝ (n －1)(a 2＋a 2n －2) 2 ＝(n －1)a n ， 则有S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. 知识梳理 1．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ， S 偶S 奇＝a n ＋1a n . 2．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1 T 2n －1 . 注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半． 例1(1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝11 13 ，则公差d ＝________. 答案2 解析由⎩⎪⎨⎪ ⎧ S 奇＋S 偶＝120，S 奇S 偶＝11 13， 得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＝55，S 偶＝65， 所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2. §2.3.2 等差数列前n项和公式的变形及应用 学习目标 1. 会利用等差数列性质简化求和运算. 2. 会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 知识点一 等差数列前n 项和与等差中项的关系 思考 等差数列{a n }中，若a 3＝2，求S 5. 答案 S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5·a 1＋a 5 2＝5a 3＝10. 梳理 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2，其中a 1＋a n 2为a 1，a n 的等差中项，若结合性质“m ＋n ＝p ＋q 得a m ＋a n ＝a p ＋a q ，”还可把a 1＋a n 换成a 2＋a n －1，a 3＋a n －2，…. 知识点二 等差数列前n 项和的最值 思考 我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d 2n 2＋????a 1－d 2n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的前n 项和S n 何时有最大值？何时有最小值？ 答案 由二次函数的性质可以得出：当a 1<0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1＞0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值. 梳理 等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关. (1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值. (2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值. (3)若a 1>0，d >0，则{S n }是递增数列，S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则{S n }是递减数列，S 1是{S n }的最大值. 等差数列前n 项和的性质（三） ——奇数项和与偶数项和之间的关系 【教学目标】 知识与技能：理解等差数列中奇数项和与偶数项之间的关系;会用它解决相关问题. 过程与方法：通过探究，引导学生归纳出等差数列中奇数项和与偶数项和之间的关系， 并解决相关问题. 情感态度与价值观:通过对等差数列奇数项和与偶数项和的研究,培养学生的知识迁移和主动探索勇于发现的求知精神. 【重点和难点】 重点：等差数列中奇数项和与偶数项和之间的关系及应用. 难点:推导等差数列的奇数项和与偶数项和之间的关系及灵活应用. 【教学过程】 一、回顾 在等差数列 ｛a n ｝中，d 为公差， 1.若m+n=p+q,则 . 2.s n = . 二、推进新课 探究一：若等差数列｛a n ｝的项数为2n,则 s 2n = , S 奇= , S 偶= ,S 偶-S 奇= ， =偶 奇s s . 例1. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差. 练习： 1.在等差数列｛a n ｝中，已知公差d= 2 1 ，且 a 1+a 3+a 5+…+a 99=60,则a 1+a 2+a 3+…+a 100等于（ ）. A.170 B.150 C.145 D.120 2.一项数为偶数的等差数列，奇数项之和为24，偶数项 之和为30， 若最后一项比第一项大 2 21 ，求此数列的公差、及项数. 探究二：若等差数列｛a n ｝的项数为2n-1,则 S 2n-1= , S 奇= , S 偶= ,S 奇-S 偶= ， =偶 奇s s . 例2 项数为奇数的等差数列，奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的中间项及项数. 练习： 1.等差数列共有２n ＋１项，所有奇数项之和为１３２，所有偶数项之和为１２０，则n 等于______. 2.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为s n ，若m ＞1且a m-1+a m+1-a m 2 =0,s 2m-1=38,求m. 探究三： 若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则 n n b a = . 例3两等差数列{a n },b n }的前n 项和分别是Sn 和Tn,若n n T S =2741 7++n n , 求 5 5 b a 的值. 练习: 1.两等差数列{a n },｛b n ｝的前n 项和分别是Sn 和Tn,若 n n T S =32 7++n n ,求44b a 的值. 2.两等差数列{a n },｛b n ｝的前n 项和分别是Sn 和Tn,若 n n T S =3 552++n n ,求99b a 的值. 三、课堂小结 1.若等差数列｛a n ｝的项数为2n,则S 偶 －S 奇= , =偶 奇s s . 2. 若等差数列｛a n ｝的项数为2n-1,则S 奇-S 偶= ， =偶 奇s s . 3. 若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则n n b a = . 四、作业布置 1.作业本:《专家伴读》第20页打基础第1题和第21页第11题. 2.思考:等比数列｛a n ｝中，奇数项和及偶数项和之间的关系. 【教学反思】 3.3 等差数列的前n 项和（2） 教学目的： 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题. 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点：灵活应用求和公式解决问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+ = 3.n )2 d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用n a : 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 （2） 利用n S ：由n )2 d a (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 二、例题讲解 例1 .求集合M ={m |m =2n －1,n ∈N *,且m ＜60}的元素个数及这些元素的和. 解：由2n －1＜60,得n ＜ 261,又∵n ∈N * ∴满足不等式n ＜2 61的正整数一共有30个. 即 集合M 中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以1a =1, 30a =59,n =30的等差数列. ∵n S =2)(1n a a n +,∴30S =2 )591(30+=900. 答案：集合M 中一共有30个元素，其和为900.S 8，则下列结论正确的是高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案
高一数学复习考点知识讲解课件32---等差数列前n项和的性质及应用
高一数学复习考点知识讲解课件63---等差数列前n项和性质的综合问题
必修五等差数列前n项和公式的变形及应用
等差数列前n项和的性质
高考数学单元考点复习等差数列的前n项和(2)
2023年新高考数学一轮复习7-2 等差数列及其前n项和(知识点讲解)含详解
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- 人教课标A高考一轮复习精品课件6.4数列的通项及数列求和
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