等差数列ppt
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标题：等差数列
一、引言
数列是数学中的一个概念，是由一组按一定顺序排列的数依次组成的序列。而等差数列是其中一种常见的数列。本次演讲主题为等差数列，将主要介绍等差数列的定义、性质以及实际应用。
二、等差数列的定义
等差数列是指数列中的相邻两项之差是一个常数。首先，我们来看等差数列的一般形式：an = a1 + (n-1)d。其中，an 表示第n个数，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。等差数列的公差是数列中相邻两项之间的差别。
三、等差数列的性质
1. 公差的性质：等差数列中，所有相邻两项之差都相等。
2. 总和的公式：等差数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = (n/2)(a1+an)进行计算。即，前n项和等于项数n与首项和末项之和的乘积的一半。
3. 通项公式：等差数列的第n个数（通项）可以通过公式an = a1 + (n-1)d得到。
4. 等差中项：若等差数列的项数n是奇数，则中间项是n/2+1；若n是偶数，则中间两项分别是n/2和n/2+1。
四、等差数列的应用
1. 排列组合：等差数列的应用在排列组合中是很常见的。通过等差数列的性质，可以轻松解题。
2. 数学建模：等差数列在数学建模中有广泛应用。例如，用等差数列可以描述连续变化的数据，从而进行预测和分析。
3. 经济学：等差数列的应用在经济学中也很重要。例如，用等差数列可以对某一指标的连续变化进行分析和预测，从而为经济决策提供参考。
五、总结
通过本次演讲，我们简要介绍了等差数列的定义、性质以及应用。等差数列在数学中起到了很重要的作用，通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地理解和应用数学知识。让我们一起探索更多有趣的数学概念吧！
等差数列_高中数学教师资格证面试试讲逐字稿
等差数列 上节课，老师给同学们留了一个小任务，预习等差数列并完成导学案，写出你们得到的4个数列，那上课之前老师先请一位同学将他的成果投影到大屏幕上来，第1排的这位同学你来吧，好，我们已经看到了，这位同学找到了4个数列分别是，第1个数列是0 5 10 15 20，第2个数列是-15 -12 -9 -6，第3个数列是18 15.5 13 10.5 8.5 5。那第4个数列是10,072 10,144 10,216 10,288 10,360。 好，非常完整，看来大家预习工作做的相当的充分，那接下来大家利用两分钟时间同桌合作交流，观察这4个数列都有什么特点，好？时间到了那最后这一排这位同学，你来说一下你们的发现，你说对于这4个数列，每个数列从第2项起，每一项与前一项的差都相等，而且啊都等于同一个常数，那这4个数它们分别都等于5 3 -2.5和72，总结的很全面，那老师把它投影到大屏幕上，同学们会发现这些数列有一个共同的特点，那就是从第2项起，每一项与前项的差都等于同一个常数，那这也就是我们今天要学习的特殊的一个数列等差数列，那一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么我们就把这个数列叫做等差数列，在这里啊，我们把这个常数叫做等差数列的公差，通常用小写字母d来表示，这里同学们要注意以下几点，第一点，从第2项起满足条件，第二点公差d一定是由后项减前项所得到的，而且可正可负也可以为0，当d等于零时，它就是一个常数列，第三点，每一项与它的前一项的差必须是同一个常数，好，这是我们对于概念的一个最关键的理解。 好，同学们，大家理解了等差数列的定义之后，请看老师PPT上呈现的这组练习，12，（）18，大家快速思考，括号当中加入一个什么数之后，这三个数就会成为一个等差数列，非常好，我听到大家说填入15，那谁能告诉我你是怎么得到这15的呢？好这位女生你说，你说你设括号处为x，那根据等差数列的定义，x-12=d，18-x也等于d，那就能够得到x-12=18-x，所以说我们解方程就能够得到x等于12+18÷2=15，非常棒，看来大家对于等差数列的定义理解得相当到位，在这里啊，老师给大家总结一下，其实括号这一项啊，在我们等差数列当中有一个专业的名称，我们说如果 a A b这三个数成等差数列，那我们把A就叫做 a 和b 的等差中项，而且就像刚才大家所推导出来的，它应该，这是我们等差中项大家一定要能够理解和掌握。 接下来我们一起看一下，我们说能否确定一个数列的通项公式，对于研究这个数列有非
人教版高中数学-等差数列
《等差数列》教学设计 一．教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时。借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式及其产生过程。通过本节课的学习,要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及应用。重点是理解等差数列的概念和掌握等差数列的通项公式及应用。本节课是在学生学习了函数以及数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓广，同时也是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，起着承前启后的作用。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在思想方法上都具有积极的意义。在实际生活中同样有着广泛的应用，同时也是培养学生数学能力的良好题材。因此它是本章的重点，也是高考考查的是重点内容之一，同时也是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养的落脚点。 二．教学目标设置 1．知识目标：理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的推导过程及应用。2．能力目标：通过实例理解并明确等差数列的定义；探索并掌握等差数列的通项公式，从中培养学生观察、归纳能力；会用“基本量法”求解简单问题“；会利用等差数 列的通项公式解决相关的应用问题。 3．情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，加强理论联系实际；培养学生善于观察的能力，进一步提高学生的推理、归纳以及计算能力；培养学生的数学 应用意识，强化数学建模素养，渗透方程的数学思想；通过实际问题体会数学 的价值，使学生会用数学的眼光去看世界，用数学的思维去分析世界，用数学 的语言去表达世界。 三．学生学情分析 本节内容针对的是高二学生，经过高中一年的学习，学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从经验性的逻
《等差数列》教案
（等差数列）教案 一、教学目标 （知识与技能） 能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。 （过程与方法） 在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。 （感情态度与价值观） 通过对等差数列的研究，具备主动探究、勇于发觉的求知精神;养成细心观察、认真分析、特长总结的良好思维习惯。 二、教学重难点 （重点） 等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。 （难点） 等差数列通项公式的推导。 三、教学过程 环节一：创设情境、导入新课 教师PPT展示几道题目： 1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，25 2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。 3.2022年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛工
程，该工程共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63。 教师提问学生这几组数有什么特点学生答复从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。 环节二：师生互动、探究新知 1.等差数列的概念 学生阅读教材，同桌商量，类比等比数列总结出等差数列的概念 如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢 强调：“从第二项起〞满足条件;公差d肯定是由后项减前项所得;每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数〞);数学表达式： 问题2：推断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。 (1)9，8，7，6，5，4，……; (2)0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……; (3)0，0，0，0，0，0，……; 引导学生发觉第—个数列公差小于0,第二个数列公差大于0，第三个数列公差等于0。由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0。 2.等差中项 问题3：给出的两个数24.6，，32.2参加什么数后，这三个数就会成为一个等差数列
高中数学等差数列教案大全
高中数学等差数列教案大全 等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。接下来是小编为大家整理的高中数学等差数列教案大全，希望大家喜欢! 高中数学等差数列教案大全一 “等差数列”教学设计 一、教学内容分析 等差数列是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，?数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。 二、教学目标 1、通过本节课的学习使学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列。 2、引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。 3、在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 三、教学重难点 重点： ①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点： ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。 四、学习者分析 普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 五、教学策略选择与设计 结合本节课的特点，我设计了从教法、学法两种方法对等差数列的通项公式进行推导，让学生更好的理解。通过引入实例来启发学生，挺高学生的学习兴趣，是学生更加形象、愉快的去学习这堂课。下面是我教学设计： 1.教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2.学法 引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能
2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第五章 第二节 等差数列及其前n项和
Earlybird 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级基础夯实练 1．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3 ＝3，a5＝5，则S7 的值是() A．30B．29 C．28 D．27 a5－a3 解析：选C.由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1， 5－3 7a1＋a77 ×2a4 故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C. 2 2 2．(2018·唐山统考)等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11＝22，则a3＋a7＋a8 等于() A．18 B．12 C．9 D．6 11a1＋a11112a1＋10d 解析：选D.由题意得S11＝＝＝22，即a1 2 2 ＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D. S12 3．在等差数列{a n}中，a1＝－2 017，其前n项和为S n，若－ 12 S10 ＝2，则S2 020＝() 10 A．2 020 B．－2 020 C．4 040 D．－4 040 S n
解析：选C.设等差数列{a n}的前n项和为S n＝An2＋Bn，则＝ n
Earlybird S n S12 S10 S n An＋B，∴{是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，n}10 {n} 12 S1 a1 S n 又＝＝－2 017，∴是以－2 017 为首项，1 为公差的等差数1 1 {n} S2 020 列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C. 2 020 4．(2018·山西太原模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n ∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{b n}满足b n＋b n＋1＝a n(n ∈N*)，其前n项和为T n，则下列结论正确的是() A．S n＜2T n B．b4＝0 C．T7＞b7 D．T5＝T6 解析：选D.因为点(n，S n)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以S n＝n2－10n，所以a n＝2n－11，又b n＋b n＋1＝a n(n∈N*)，数列{b n}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以b n＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D. 5．(2018·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一 根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为() 67 A．1 升B．升 66 47 37 C. 升D．升 44 33 解析：选B.设该等差数列为{a n}，公差为d， 由题意得Error!即Error!
等差数列前n项的和有最大值
等差数列前n项和Sn＞0时，求n最大值的几种解题思路 题目：等差数列{An}的前n项和为Sn，|a7|＞|a8|，S7＞S8＞S6。若Sn＞0，求n最大值。 解法一 设公差为d，首项为a。 通项an=a+(n-1)d Sn存在最大值，所以a>0, d<0 最大值取在n=7，所以 a7=a+6d>0 a8=a+7d<0 -6d
因此使Sn>0的n的最大值为14。 解法三（an-n图象法） 1、零点n0:7.5
4.2.1-2 等差数列的概念(二)课时教学设计(蒙丽)-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+
4.2.1-2 等差数列的概念（二）课时教学设计（蒙丽）-高中 数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频 +教案） 教学内容：等差数列的概念（二） 适用年级：高中一年级 教学时长：1课时 教材参考：人教版高中数学必修二 教具准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT 教学目标： 1. 理解等差数列的概念，知道等差数列的通项公式和前n项和 公式。 2. 能够运用等差数列的通项公式和前n项和公式解决实际问题。 教学步骤： 步骤一：导入新课 1. 老师进入教室后，向学生问好并询问他们上一节课的收获。 2. 老师提出一个数列：3，5，7，9，11…，让学生思考它们之 间的关系。 3. 通过学生们的思考，引导他们猜测这个数列是否是等差数列。如果是，为什么？ 4. 老师引入等差数列的概念，简述等差数列的定义及其性质， 并列出等差数列的前几项公式。 步骤二：讲解等差数列的通项公式
1. 通过实例展示等差数列的通项公式的求法。 2. 详细讲解等差数列的通项公式的含义，以及如何根据已知的 信息求出任意项的值。 3. 通过例题演示如何利用通项公式求一个等差数列中的某一项，并适当加以引导。 步骤三：讲解等差数列的前n项和公式 1. 引导学生思考如何求等差数列的前n项和，并给出等差数列 的前n项和公式的表达式。 2. 通过实例演示如何利用前n项和公式求等差数列的前n项和，并在解题中注重培养学生的逻辑思维和数学推理能力。 步骤四：练习和巩固 1. 老师出一些练习题，在课堂上让学生们独立或小组合作解答。 2. 老师适当引导学生，解答问题的方法和思路，提高学生的解 题思维和解题能力。 3. 老师进行课堂点评，展现一些优秀的解题方法和思路，并指 出一些易错点和需要注意的地方。 步骤五：作业布置 1. 布置一些练习题让学生自己练习。 2. 布置一些练习题让学生自己思考，并在下一堂课上展示他们 的答案。 教学重点： 1. 理解等差数列的概念及其性质。 2. 掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，能够使用它们解 决实际问题。
等差数列求和及练习题整理
等差数列求与 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第 二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数， 我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 与=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数（1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）练习1、填空：
例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，与是多少？（博易P27例2）（看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99（2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100（3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的与是多少？例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求与练习题 一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项及公差写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差 1.2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2.1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3.5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4.3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（） 二、请计算下列各题。 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的与。 （4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的与。 （其他作业：练习册B 1题、4题、6题）
等差数列第二课时教案
教学目标 1. 知识与技能 在理解等差数列定义及如何判定等差数列，学习等差数列通项公式的基础上，掌握等差中项的定义及应用，明确等差数列的性质，并用其进行一些相关等差数列的计算. 以等差数列的通项公式为工具，探究等差数列的性质，同时进一步培养学生归纳，总结的一些数学探究的方法. 3.情感、态度与价值观 在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值. 教学重点 （1）明确等差中项的定义及应用. （2）理解并掌握等差数列的性质. 教学难点 理解等差数列的性质的应用. 教辅手段 PPT,多媒体投影幕布 教学过程 一、复习引入——温故知新 【内容设置与处理方式】
借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识 1. 等差数列的定义 2. 等差数列的通项公式与公差 二、 新知探究 （一） 等差中项 【内容设置与处理方式】 直接给出等差中项的定义：由三个数b A a ,,组成的等差数列是最简单的等差数列，此时A 叫做a 和b 的等差中项.b a A +=2 同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立. 等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列. （二） 等差数列的性质 1. 列举几个数列，观察数列的特点，研究公差与数列单调性的关系. 问题1： 数列1: 1,3,5,7,9,11，…… 数列2： 30，25,20，15,10,5，…… 数列3： 8,8,8,8,8,8，…… 引导学生观察，得到等差数列的一个性质. 性质1：若数列}{n a 是等差数列，公差为d .若d >0,则是}{n a 递增数列；若d <0,则}{n a 是递减数列；若d =0,则}{n a 是常数列. 2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+= 参考证明：由等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=得
人教A版高中数学高一必修5作业 2-2-1等差数列的概念、通项公式
课时作业(九) 1．已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为() A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案 C 解析可得a n＋1－a n＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2. 2．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0，则数列的通项a n等于() A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n 答案 D 3．等差数列－3，－1,1，…，的第1 000项为() A．1 990 B．1 995 C．2 010 D．2 015 答案 B 4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为() A．92 B．47 C．46 D．45 答案 C 5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是() A．第7项B．第8项 C．第9项D．第10项 答案 B 6．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若a n＝2 011，则n等于() A．671 B．670
C ．669 D ．668 答案 A 7．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为( ) A ．0 B ．lg 3－2 3＋2 C ．lg(5－26) D ．1 答案 A 解析 等差中项为lg (3－2)＋lg (3＋2) 2 ＝lg[(3－2)(3＋2)]2 ＝lg12＝0. 8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始的负数，则它的公差是( ) A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．－6 答案 C 9．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1 d 2＝( ) A.32 B.23 C.43 D.34 答案 C 解析 ∵d 1＝b －a 4－1，d 2＝b －a 5－1 ，∴d 1d 2＝4 3. 10．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范
数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法 构造法求数列通项公式 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中，1a =1 2 ，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式. 解析：由31 3n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得， =-+n n a a 11 1 31 ， 设b n =n a 1 ，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列， 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53 +n 例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1 2 22-n n S S (n ≥2)， 求S n 与a n 。 解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =12 22-n n S S 得，S n -S n-1=12 22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1？两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={2 11 3 8422 ≥=+--n n n n 二、构造等比数列求数列通项公式
等差数列求和公式Sn
等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an 化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立 当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1 得 2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2) 当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列 和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 末项=首项+（项数-1）×公差 性质：等差数列求是求数列中所有项的和 若m、n、p、q∈N ①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq
二、例题 例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除， ∴要求的数是30、60、75的公约数。 又∵要求符合条件的最大的数， ∴就是求30、60、75的最大公约数。 解：∵ （30，60，75）=5×3=15 这个数最大是15。 例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。 解：∵［3，4，5］=3×4×5=60， ∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
高中数学_《等差数列的前n项和公式》教学设计学情分析教材分析课后反思
《等差数列的前n 项和公式》教学设计 【教学目标】 知识技能：1.了解等差数列的前n 项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n 项和公式及其应用. 过程与方法：通过对等差数列的前n 项和公式的推导过程，渗透倒序相加法求和的教学方法，并培养学生运用公式提高学生类比化归、数形结合的能力。 情感、态度与价值观：结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 核心素养： 1.通过等差数列的前n 项和的有关计算及n a 与n S 关系的应用，培养数学运算素养. 2.借助等差数列的前n 项和公式的应用，培养学生数学建模及数学运算素养. 【教学重点】 等差数列的前n 项和公式推导和应用。 【教学难点】 探究等差数列的前n 项和公式的推导方法及公式应用。 【教学方法与手段】 1.通过对具体问题的抽象，将实际问题化归为数学问题，让学生体会化归思想。 2.采用由特殊到一般的教学策略.利用类比、化归、数形结合、方程的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路。 3.借助多媒体课件、视频、几何画板软件，帮助学生理解，师生互动。 【教学过程】 一．情境引入： 1. 视频引入 设计意图：针对掌握等差数列前n 项和公式的推导和应用的目标，将实际问题简单化，凸显解决问题的一般方法；营造出轻松愉悦的学习氛围，学生自然合理地提出问题解决的思路；经历实际问题中抽象出数学问题的过程，学生体会数学与生活的关联、提升数学抽象核心素养，渗透数学文化。 2.图片引入 （一）观察大桥拉绳，猜想这些等距离的平行线段长度有何联系？ （二）1.用初中相似三角形的知识推理得出其长度成等差数列； 2.通过几何画板动画演示，从变与不变的数据中模拟分析出线段长成等差数列的特征。 （三）因工程造价预算时需估算出绳索的总长度，即数学上的数列求和问题。引出本课课题
数列基础知识点和方法归纳
数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有
1-2-1-1 等差数列的认识与公式运用.学生版
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。 一、等差数列的定义 ⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列． 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+ -⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =- -⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其 实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d = -÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、L 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． 知识点拨 教学目标 等差数列的认识与公式运用
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