高考数学(广东专用,文)大一轮复习课件：第六章数列3

要点梳巳/

知识回顾理漬教材

馬比数列的定义 如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

常叩、为㈢ ,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫

设等比数列仏｝的首项为" 公比为Q 贝怕的通项⑰

n-1 cgq

3 •等比中项 "（心0）,那么G 叫做。与〃的等比中项.

做等比数列的公比

,通常用字母」 表示. 2

4•等比数列的常用性质

(2)若｛aj 为等比数列，且氐+/=加+〃(匕I, m,

⑶若仏｝，仇｝倾数相同)是等比数列，则｛如少0), £｝, ｛怎｝

,仙如，备］仍是等比数列.要点梳理 知识回顾理清教材 (1)通项公式的推广:

n-m

* （n 9加丘

基础知识•自主学习

知识回顾理清教材

5•等比数列的前〃项和公式 等比数列仇｝的公比为g(gHO),其前兀项和为脇 当g=l 时，S n =na l ；

6 •等比数列前〃项和的性质

公比不为一啲等比数列仏｝的前〃项和为S“，则S“, n S2n — S n ，S3n~S2n 仍成等比数列，其公比为° •

当？工1时，S n

= 。1（1一

/）

5 2"—n— 1夯实基础突破疑难

(1)X (2) X(3) X (4) X (5) V (6) V

2 2"+1—2

题号答案解析;

题型—/ 等比数列的基本运算

(2)在等比数列仙｝中，若心 —02 = 6,対一41 = 15,贝!1么3 【例1】⑴设｛如是由正数组 成的等比数列，s“为其前〃项 和•已知。也4=1，S3 = 7,则

S5等于 15 31 A •㊁ B.& () 33 17

C —

D — J 4 2

题型—/ 等比数列的基本运算

思维启迪解析答案思维升华(2)在等比数列仙｝中，若心—02 = 6,対一41 = 15,贝!1么3

【例1】⑴设｛如是由正数组成的等比数列，s“为其前〃项和•已知。也4=1，S3 = 7,则

题型—/ 等比数列的基本运算

(2)在等比数列仙｝中，若心 —02 = 6,対一41 = 15,贝!1么3

S5等于

15 31 A •㊁ B.& () 33 17 C — D — J

4 2

思维启迪解析I答案思维升华

利用等比数列的通项公式

与前〃项和公式列方程（组）计

题型—/ 等比数列的基本运算

算.

(2)在等比数列仙｝中，若心—02 = 6,対一41 = 15,贝!1么3

【例1】⑴设｛如是由正数组成的等比数列，s“为其前〃项和•已知。也4=1，S3 = 7,则

题型—/ 等比数列的基本运算

(2)在等比数列仙｝中，若心

—02 = 6,対一41 = 15,贝!1么3

S5等于

15 31 A •㊁ B.&

() 33 17

C —

D — J

4 2

思维启迪 解析 答案 思维升华

。1妙1『=1 如(1一『)

\_q

（舍去），

1

.Q ⑷（1—『）4（1—刃 31

1 2

(1)显然公比 gHl ，由题意得 “1=4

解得＜ 1

a {=9

或］ 1

g=_3

题型—/ 等比数列的基本运算

(2)在等比数列仙｝中，若心

—02 = 6,対一41 = 15,贝!1么3

【例1】⑴设｛如是由正数组

成的等比数列，s“为其前〃项 和•已知。也4=1，S3 = 7,则

S5等于

15 31 A •㊁ B.& ()

33 17

C —

D — J 4 2

题型—/ 等比数列的基本运算

思维启迪解析答案思维升华

⑵设等比数列｛«…｝的公比为

T，则F叮晳;，两式

a、q _如=15

相除’得匸*孑=刍

即2『一5纟+2 = 0,解得q = 2或q 1

=2-

故 U 3=4 或 6/3 = —4.

c

ci\ —■

16

1 qp

所以

Cl\ 1 q ~~

题型—/ 等比数列的基本运算

【例1】⑴设｛如是由正数组成的等比数列，s“为其前〃项和•已知0也4=1，S3 = 7,则

S5等于(B )

15 31 33 17

A T C・a D.y

(2)在等比数列｛a“｝中，若血—02 = 6, 05—01 = 15,贝妝3 =4 或一4 •

31、2020版人教A版数学新优化大一轮试题：第六章数列课时规范练29Word版含答案

31、2020版人教A版数学新优化大一轮试题：第六章数列课 时规范练29Word版含答案 课时规范练29等比数列及其前n项和 基础巩固组 1.(2018北京师大附中期中)在等比数列{a n}中,a1=3,a1+a2+a3=9,则a4+a5+a6等于() A.9 B.72 C.9或72 D.9或-72 2.(2018湖南岳阳一中期末)等比数列{a n}中,a n a n+1=4n-1,则数列{a n}的公比为() A.2或-2 B.4 C.2 D. 3.(2018黑龙江仿真模拟十一)等比数列{a n}中,a n>0,a1+a2=6,a3=8,则a6=() A.64 B.128 C.256 D.512 4.在公比为正数的等比数列{a n}中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于() A.21 B.42 C.135 D.170 5.(2018重庆梁平二调)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下

问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 6.(2018衡水中学仿真,6)已知数列{a n}为等比数列,且a2a3a4=-=-64,则tan·π=() A.- B. C.± D.- 7.(2018陕西咸阳三模)已知数列{a n}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为. 8.(2018全国3,文17)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{a n}的通项公式; (2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m. 9.(2018北京城六区一模)已知等比数列{a n}满足以a1=1,a5=a2. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)试判断是否存在正整数n,使得{a n}的前n项和S n为?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由. 综合提升组 10.(2018河南六市联考一,10)若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为() A.-2 B.-4 C.2 D.4 11.(2018全国1,理14)记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a

2023年新高考数学大一轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列(含答案)

新高考数学大一轮复习专题： 第1讲 等差数列与等比数列 [考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼 等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N * ) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1 . (3)等差数列的求和公式：S n ＝ n a 1＋a n 2 ＝na 1＋ n n －1 2 d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1， na 1，q ＝1. 例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺B ．12.5尺C ．10.5尺D ．9.5尺 答案 A 解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7 ＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨ ⎪⎧ a 1＋3d ＝12.5， a 1＋11d ＝4.5，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝15.5， d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺． (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上(n ∈N * )．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝ 2 1 64 n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30 解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上， ∴a n ＝2 n －1 (n ∈N * )， ∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，

2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第六章 6.3等比数列及其前n项和

§6.3等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为 a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)前n 项和公式： S n ＝???? ? na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n － m (n ，m ∈N *)． (2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n · b n }，???? ?? a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . 4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考

2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第六章 数列与数学归纳法 高考专题突破三第2课时含解析

第2课时 数列的综合问题 题型一 数列与函数 例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N ＋，且a 1，a 2＋5,19成等差数列. (1)求a 1的值； (2)证明???? ??a n 2n ＋1为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (3)设b n ＝log 3(a n ＋2n )，若对任意的n ∈N ＋，不等式b n (1＋n )－λn (b n ＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围. 解 (1)在2S n ＝a n ＋1－2n ＋ 1＋1，n ∈N ＋中， 令n ＝1，得2S 1＝a 2－22＋1，即a 2＝2a 1＋3，① 又2(a 2＋5)＝a 1＋19，② 则由①②解得a 1＝1. (2)当n ≥2时，由????? 2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ③2S n －1＝a n －2n ＋1， ④ ③－④得2a n ＝a n ＋1－a n －2n ， 则a n ＋12 n ＋1＋1＝32????a n 2n ＋1， 又a 2＝5，则a 222＋1＝32????a 121＋1. ∴数列???? ??a n 2n ＋1是以32为首项，32为公比的等比数列， ∴a n 2n ＋1＝32×??? ?32n －1，即a n ＝3n －2n . (3)由(2)可知，b n ＝log 3(a n ＋2n )＝n . 当b n (1＋n )－λn (b n ＋2)－6<0恒成立时， 即(1－λ)n 2＋(1－2λ)n －6<0(n ∈N ＋)恒成立. 设f (n )＝(1－λ)n 2＋(1－2λ)n －6(n ∈N ＋)， 当λ＝1时，f (n )＝－n －6<0恒成立，则λ＝1满足条件； 当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立； 当λ>1时，由于对称轴n ＝－1－2λ2(1－λ) <0， 则f (n )在[1，＋∞)上单调递减， f (n )≤f (1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件， 综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞). 思维升华 数列与函数的交汇问题 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

2023年新高考数学大一轮复习专题三数列第4讲数列中的奇偶项问题(含答案)

新高考数学大一轮复习专题： 第4讲 数列中的奇、偶项问题 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列． 例 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *. (1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n . 解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0， 即a 2n ＋1－a 2n －1＝2， 又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2， 所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *. (2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0， 即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12 为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×1＋12n n －1×2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12 ＝n 2＋1－12 n ，n ∈N *. (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))； ②含有(－1)n 的类型； ③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题．

2022届高考数学大一轮总复习第六章 数 列：第六章 6

§6.4 数列求和 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q . (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1 2n －1－12n ＋1； (3) 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n .

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1 n ＋1 )．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋1 2 n .( × ) (5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1 2 .( √ ) (6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ ) 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 答案 A 解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，5a 1 ＋5×(5－1) 2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 2．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n － 1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B 解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋

2021-2022年高考数学一轮总复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和高考AB卷理

2021年高考数学一轮总复习第6章数列第3节等比数列及其前n 项 和高考AB 卷理 等比数列中的运算问题 1.(xx·全国Ⅱ，4)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21 B.42 C.63 D.84 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 答案 B 2.(xx·全国Ⅲ，17)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31 32 ，求λ. (1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝1 1－λ ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以 a n ＋1a n ＝λλ－1 . 因此{a n }是首项为1 1－λ ，

公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫λλ－1n －1 . (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132 ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝1 32 .解得λ＝－1. 3.(xx·全国Ⅱ，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3 2 . 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛ ⎭⎪⎫a n ＋12 又a 1＋12＝3 2 ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫a n ＋12是首项为32， 公比为3的等比数列. a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －1 2. (2)由(1)知1a n ＝23n －1 . 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3n －1 . 于是1 a 1＋1 a 2＋…＋1 a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32 .

2022版高考数学大一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和2

第六章 数 列 第二讲 等差数列及其前n 项和 1。［2021嘉兴市高三测试］数列{a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =n 2-n +a ，n ∈N *，则“a =0”是“数列｛a 2n }为等差数列”的 ( ) A .充分不必要条件 B 。必要不充分条件 C 。充分必要条件 D 。既不充分也不必要条件 2。[2021南昌市高三测试］已知S n 为等差数列｛a n }的前n 项和,3a 3=5a 2,S 10 =100,则a 1= ( ) A.1 B 。2 C .3 D.4 3.[2021洛阳市统考］已知等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，S 4=7a 1，则a 5a 2 = （ ） A .2 B .3 C .32 D .53 4。[2021江西红色七校联考]在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=36，a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9= （ ) A 。30 B 。35 C 。40 D.45 5。[2021湖北省四地七校联考］在等差数列{a n ｝中，已知a 7>0，a 3+a 9<0,则数列{a n ｝的前n 项和S n 的最小值为 ( ） A 。S 4 B 。S 5 C 。S 6 D .S 7 6.［2021陕西省部分学校摸底检测］数列{2a n +1 }是等差数列，且 a 1=1,a 3=-13 ，那么a 5= （ ） A 。35 B 。—35 C 。5 D .—5

7.[2021惠州市一调]《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466～485年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快,且每日增加的数量相同,已知第一日织布5尺,30日共织布390尺，则该女子织布每日增加的尺数为（) A。4 7B.16 29 C。8 15 D。16 31 8.［2020湖北部分重点中学高三测试］已知等差数列{a n｝满足4a3=3a2,则{a n｝中一定为零的项是(） A.a6B。a7C.a8D.a9 9。［2020大同市高三调研]若等差数列{a n}的前n项和S n有最大值，且a11 a10 <-1，则S n取正值时项数n的最大值为（) A。15 B。17 C.19 D.21 10。[2020武汉市六月模拟］已知数列｛a n｝是等差数列，公差为d,S n为数列{a n}的前n项和，a1+a7=-2,S3=15. （1)求数列{a n}的通项公式a n； （2)求数列｛｜a n|｝的前n项和T n。 11。[2021四省八校联考]已知公差非零的等差数列｛a n｝满足｜a3｜=|a8|,则下列结论正确的是（）

2023年新高考数学大一轮复习专题三数列第2讲用“不动点法”求数列的通项公式(含答案)

新高考数学大一轮复习专题： 第2讲 用“不动点法”求数列的通项公式 对于一个函数f (x )，我们把满足f (m )＝m 的值x ＝m 称为函数f (x )的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式． 例 (1)在数列{a n }中，a 1＝1, a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解 设f (x )＝12 x ＋1， 令f (x )＝x ，即12 x ＋1＝x ，得x ＝2， ∴x ＝2是函数f (x )＝12 x ＋1的不动点， ∴a n ＋1－2＝12 (a n －2)， ∴数列{a n －2}是以－1为首项，以12 为公比的等比数列， ∴a n －2＝－1×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12n －1， ∴a n ＝2－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12n －1，n ∈N *. (2)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝7a n －2a n ＋4 ，求该数列的通项公式． 解 由方程x ＝7x －2x ＋4 ，得数列{a n }的不动点为1和2， a n ＋1－1a n ＋1－2＝7a n －2a n ＋4－17a n －2a n ＋4 －2＝7a n －2－a n ＋47a n －2－2a n ＋4＝65·a n －1a n －2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －1a n －2是首项为a 1－1a 1－2＝2，公比为65的等比数列，所以a n －1a n －2＝2·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫65n －1， 解得a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫65n －1－1＋2＝4·6n －1－5n －1 2·6n －1－5n －1，n ∈N *. (1)若f (x )＝ax ＋b (a ≠0,1)，p 是f (x )的不动点．数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，则a n ＋1－p ＝a (a n －p )，即{a n －p }是公比为a 的等比数列．

2022版高考数学大一轮复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和1

第六章数列 第三讲等比数列及其前n项和 练好题·考点自测 1.下列结论中,错误的个数为（） ①满足a n+1=qa n（n∈N＊，q为常数)的数列｛a n｝为等比数列. ②a，b，c三个数成等比数列的充要条件是b2=ac. ③如果数列｛a n｝为等比数列,b n=a2n—1+a2n，则数列｛b n}也是等比数列. ④如果数列{a n｝为等比数列，则数列｛ln a n}是等差数列。A。1 B.2 C。3 D.4 2.［北京高考，5分]设{a n｝是公比为q的等比数列，则“q〉1"是“{a n｝为递增数列"的() A。充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件 3.［2019全国卷Ⅲ，6，5分］[文]已知各项均为正数的等比数列｛a n｝的前4项和为15,且a5=3a3+4a1，则a3=() A。16 B.8 C。4 D.2 4.［易错题］记等比数列｛a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=6,则S4=() A.10或8 B.-10 C。—10或8 D。—10或—8 5。[2020全国卷Ⅱ，6，5分]数列{a n}中,a1=2，a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+…+a k+10=215—25，则k=（）

A.2 B。3 C。4 D。5 6。[2020全国卷Ⅰ，10,5分]［文]设｛a n｝是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=（) A.12 B.24 C。30 D。32 7.［2017全国卷Ⅱ，3,5分]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(） A.1盏B。3盏 C.5盏D。9盏 8.[2016全国卷Ⅰ，15,5分］设等比数列{a n｝满足 a1+a3=10,a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为。 拓展变式 1。［2018全国卷Ⅰ，17,12分]［文]已知数列{a n｝满足 a1=1,na n+1=2(n+1)a n.设b n=a n 。 n (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列｛b n｝是否为等比数列,并说明理由; （3）求｛a n｝的通项公式. 2。(1）[2020全国卷Ⅱ，6,5分］[文]记S n为等比数列｛a n}的 =（）前n项和。若a5-a3=12,a6—a4=24,则S n a n A。2n-1 B.2—21-n C.2—2n—1 D。21—n-1

2022届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第六章 数列 学案31

学案31 数列的通项与求和 导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关学问解决相应的问题． 自主梳理 1．求数列的通项 (1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1 ， n ≥2. (2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)． (3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1 a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用__________求数列的通项a n ，常利 用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 . (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项． (5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法 ①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n 项和S n ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ ，q ＝1， ＝ ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝__________； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝__________； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝______； d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝__________； e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝__________________. (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭ ⎫12n －1－12n ＋1； ③1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 自我检测 1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的( ) A.32(3n －1) B.92(3n －1) C.38(9n －1) D.98 (9n －1) 2．(2021·邯郸月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 为 ( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．0 3．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，设b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 等于 ( ) A ．n 2＋n B ．2(n 2＋n ) C ．2n 2＋n D ．4(n 2＋n ) 4．(2022·天津高三十校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1 n ＋2 (n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为S n ， 则使S n <－5成立的自然数n ( ) A ．有最大值63 B ．有最小值63 C ．有最大值31 D ．有最小值31 5．(2021·北京海淀区期末)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． 6．数列1,412，714，101 8 ，…前10项的和为________. 探究点一 求通项公式 例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋ 1·a n a n ＋2n ＋1，a 1 ＝2，求数列{a n }的通项公式． 变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 探究点二 裂项相消法求和 例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1 ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n 0且q ≠1)的等比数列，b n ＝a n log 4a n (n ∈N *)． (1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；

2022版高考数学大一轮复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法2

第六章数列 第一讲数列的概念与简单表示法 1。［2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考］已知S n为数列{a n｝的前n项和,且S n=2a n—3n（n∈N*)，则（) A.｛a n}为等比数列 B。｛a n｝为摆动数列 C。a n=3×2n+1-9 D。S n=6×2n—3n—6 2.［2020唐山市模拟]已知S n为数列｛a n}的前n项和,3S n=a n+2,则数列｛S n｝（）A。有最大项也有最小项 B.有最大项无最小项 C。无最大项有最小项 D.无最大项也无最小项 3.［2021陕西省部分学校摸底检测]已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,2S n=a n+1+1，则S n=。 4。[2021河北衡水模拟］已知在数列{a n}中,a1=—ln 2,a n+1=a n+ln n+1 ,则a n=。 n+2 5。［2021江苏南通模拟］已知数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列,若数列｛b n}满足b1=a1，b n+1=a n b n，则｛b n｝的通项公式b n=。

6.［2021安徽安庆检测]在数列{a n｝中，a1=1，a n=2a n—1+ln 3（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=。 7。［2021长春市第一次质量监测］［双空题］已知数列｛a n}的前n项和S n=10n—n2,数列｛b n｝的每一项都有b n=｜a n|,设数列｛b n}的前n项和为T n,则T4=，T30=. 8.[2020贵阳市第二次适应性考试]［双空题]在数列{a n}中， a1+2a2+3a3+…+na n=2n,则a4=，数列｛a n n+1 ｝的前n项和为. 9。［2020安徽六校联考]已知正项数列｛a n｝的前n项和S n满 足2S n=a n 2+a n-2，则数列｛a n}的通项公式为. 10.[2020惠州市二调］已知数列｛a n}的各项均为正数,a1=2， a n+1—a n=4 a n+1+a n ,若数列｛1 a n+1+a n ｝的前n项和为5,则n=（） A.119 B。120 C。121 D。122 11.［条件创新］已知数列{a n}满足a n=n cos n 2 π，b n=a n+a n+1,则数列{b n｝的前50项和为。 12。［双空题]已知数列｛a n}满足a1=1 2 ，a2=1,2a n+2+a n=3a n+1,则a n=，若数列｛b n｝满足b n=(2-n)(a n-32) 2 ，则b n的最大值为。 13。［条件创新］已知数列｛a n｝的前n项和为S n,且a1=1,当n≥2 时，a n 2+2S n S n—1=n-1。若a m+a m+1+…+a t-1+a t=1（m≥2)且t-m=21,则m=。

2021版高考数学一轮总复习第六章数列题组训练34数列的基本概念理20210515482

2021版高考数学一轮总复习第六章数列题组训练34 数列的基本概念理20210515482 1．在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 应取( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 答案 C 解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，∴a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，∴x ＝8＋13＝21，故选C. 2．数列13，18，115，1 24，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝1 2n ＋1 B ．a n ＝1 n ＋2 C ．a n ＝1 n （n ＋2） D ．a n ＝1 2n －1 答案 C 解析 观看知a n ＝1（n ＋1）2 －1＝1 n （n ＋2） . 3．(2020·济宁模拟)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1 a 5等于( ) A.5 6 B.65 C.130 D ．30 答案 D 解析 ∵当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1），∴1 a 5＝5×(5＋1)＝30. 4．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2 017的值为( ) A ．－1 B.1 2 C ．2 D ． 3 答案 C 解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，因此a n ＋1＝1－1a n ，因此a 2＝1 2，a 3＝1－2＝ －1，a 4＝1＋1＝2，可知数列的周期为3.而2 017 ＝3×672＋1，因此a 2 017＝a 1＝2.故选C. 5．(2020·辽宁省实验中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( )

高考数学一轮复习(配最新高考+模拟)第六章数列单元测试 理

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试 第六章数列单元能力测试 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1、（2013年高考江西卷理）等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 2、（2013年高考新课标Ⅱ卷理）等比数列 的前项和为 ,已知 , ,则 (A) (B) (C) (D) 3、（广东省江门佛山两市2013届高三4月检测）已知数列 是等差数列,若 ,则数列}{n a 的公差等于（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．6 4、【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】设 是等差数列{a n }的前n 项和， ，则 的值为( ) A. B. C. D. 5、【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设 是公差不为0的等差数列 的前项和，且 成等比数列，则 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 6、【贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理】等差数列}{n a 的前项和为，已知 ，则（ ） ． ． ． ．

7、【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理】已知各项均为正数的等比数列{}中,则( ) A. B.7 C.6 D.4 8、（安徽安庆2013高三三模）在正项等比数列} { n a中， ,则的值是 ( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10 9、（福建福州2013高三5月模拟）已知等比数列的公比，且 成等差数列，则{}n a的前8项和为 A.127 B.255 C.511 D.1023 10．若m，n，m＋n成等差数列，m，n，m·n成等比数列，则椭圆x2 m ＋ y2 n ＝1的离心率为 ( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 11、已知，把数列的各项排列成如下的三角形状， 记表示第行的第n个数，则= A. B. C. D. 12 ．【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】已知定义在上的函数是 奇函数且满足，，数列满足，且 ，（其中 n S为{}n a的前n项和）。则( ) A．B． C．D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

2022版高考数学大一轮复习第6章数列第4讲数列求和及数列的综合应用2

第六章 数 列 第四讲 数列求和及数列的综合应用 1.［2021石家庄市重点高中模拟]已知1,a 1,a 2，3成等差数列,1,b 1,b 2，b 3,4成等比数列，则a 1+a 2b 2 的值为 ( ） A 。2 B 。—2 C 。±2 D 。54 2。［2020江西红色七校联考］在正项数列｛a n }中，a 1=2，且点P (ln a n ,ln a n +1）（n ∈N *)在直线x —y +ln 2=0上。若数列{a n ｝的前n 项和S n 满足S n >200,则n 的最小值为 （ ） A 。2 B 。5 C .6 D 。7 3.［2020贵阳市高三模拟］定义n ∑i=1 n u i 为n 个正数u 1，u 2,u 3,…，u n 的“快乐数"。若已知正项数列｛a n ｝的前n 项的“快乐数”为1 3n+1 ， 则数列｛ 36 (a n +2)(a n+1+2) ｝的前2 021项和为 （ ） A.20202021 B 。20212022 C.20212020 D 。 20211011 4.［2021蓉城名校联考]已知数列｛a n }对任意m ，n ∈N *都满足a m +n =a m +a n ,且a 1=1，若命题“∀n ∈N *，λa n ≤a n 2 +12”为真,则实数λ 的最大值为 . 5。［2021河北六校第一次联考]已知数列{a n }为正项等比数列，a 1=1，数列{b n }满足b 2=3,a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n =3+(2n —3）2n . （1)求a n ； （2)求{ 1b n b n+1 ｝的前n 项和T n .

最新版高考数学文北师大版大一轮复习讲义第六章 6.2.docx

1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列. (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1) 2d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值. 【知识拓展】 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列. 【思考辨析】

2020届高考数学一轮复习单元测试(配最新高考+模拟) 第六章数列 理

2020届高考数学（理）一轮复习单元测试 第六章数列单元能力测试 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1、（2020辽宁理）在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11= （ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 2．（2020新课标理）已知{} n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += （ ） A ．7 B ．5 C ．-5 D ．-7 3、【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N*，则S 10的值为（ ） (A). -110 (B). -90 (C). 90 (D). 110 4、【2020福建宁德质检理】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若241,5a a ==，则5S 等于 （ ） A ．7 B ．15 C ．30 D ．31 5．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 降低0.7 ℃，已知山顶的气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃.那么，此山相对于山脚的高度是( ) A ．1500 m B ．1600 m C ．1700 m D ．1800 m 6、【广东省惠州市2020届高三一模（四调）（理数）】公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项，832S =，则10S 等于 （ ） A ．18 B ．24 C ．60 D ．90 7 ．（2020等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8、【2020黑龙江绥化市一模理】已知数列{n a }，若点(,)n n a （*n N ∈）在经过点(5,3)的定直l l 上，则数列{n a }的前9项和9S =( ) A. 9 B. 10 C. 18 D.27 9．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2 n ＝1的离心率为( ) A.12 B.22 C.32 D.33