等差数列复习课课件

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一、引言

等差数列是在数学中非常重要的一种数列类型，它在日常生活和自然科学中都有广泛的应用。掌握等差数列的概念和性质对于理解数列的一般规律和解决相关问题具有重要意义。本节课我们将重点回顾等差数列的定义、性质，并通过实例练习加深对等差数列的理解。

二、定义与性质

等差数列是一个整数序列，其中每个数字与其前一个数字之间的差相等，这个差被称为公差。用公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中n 表示序列中的第n项，a1表示序列中的第一项，d表示公差。

等差数列的性质：

1、在等差数列中，任意两个连续项的差都等于公差d。

2、如果一个等差数列的首项和公差已知，那么该数列的任意一项都可以用首项和公差表示。

3、等差数列的项数可以通过公式n=(a2-a1)/d+1得到。

三、举例

例1：1, 3, 5, 7, 9是这个等差数列的哪一项？

解：根据等差数列的定义，我们可以将问题转化为一个方程。设该数为an，公差为d，则有： an = a1 + (n-1)d 将a1=1，d=2代入上式得： an = 1 + (n-1)2 = 2n-1 将n=5代入上式得： a5 = 2(5)-1 = 9

例2：在一个等差数列中，已知首项为5，公差为2，求该数列的第20项。

解：根据等差数列的定义，设该数列的第n项为an，则有： an = a1 + (n-1)d 将a1=5，d=2代入上式得： an = 5 + (n-1)2 = 2n+3 将n=20代入上式得： a20 = 2(20)+3 = 43

四、复习课堂

下面我们将通过一些实例练习来加深对等差数列的理解。

练习1：求等差数列2, 4, 6, 8的第10项。

解：根据等差数列的定义，设该数列的第n项为an，则有： an = a1 + (n-1)d 将a1=2，d=2代入上式得： an = 2 + (n-1)2 = 2n 将n=10代入上式得： a10 = 2(10) = 20

练习2：在一个等差数列中，已知首项为-5，公差为3，求该数列的第25项。

解：根据等差数列的定义，设该数列的第n项为an，则有： an = a1 + (n-1)d 将a1=-5，d=3代入上式得： an = -5 + (n-1)3 = 3n-8 将n=25代入上式得： a25 = 3(25)-8 = 77

五、总结

本节课我们回顾了等差数列的定义、性质以及求解等差数列的方法。通过实例练习，我们加深了对等差数列的理解，掌握了如何求解等差数列的第n项以及如何根据首项和公差计算项数。希望同学们在今后的学习中能够进一步掌握等差数列的应用，为解决相关问题提供帮助。

《等差数列》教案优秀3篇

《等差数列》教案优秀3篇 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如计划报告、合同协议、心得体会、演讲致辞、条据文书、策划方案、规章制度、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as plan reports, contract agreements, insights, speeches, policy documents, planning plans, rules and regulations, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!

高一数学复习考点知识讲解课件32---等差数列前n项和的性质及应用

高一数学复习考点知识讲解课件 第2课时等差数列前n项和的性质及应用 考点知识 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质． 一、等差数列前n项和的实际应用 问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等． 例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， 所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%

＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)． 所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列． 所以a 10＝60－9×12＝55.5， a 20＝60－19×12＝50.5. 所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20 ＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)． 反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现． 跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)． 答案1629 解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公

2020年高考数学二轮复习第一篇专题四数列第1讲等差数列与等比数列教案

数 列 一、等差数列、等比数列的基本运算 1.等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n － 1. 等差数列的求和公式：S n ＝ n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2 d ； 等比数列的求和公式：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1， na 1，q ＝1. 2.等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q ； (2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n － 1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列； (3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算. 例1 (1)等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 C 解析 由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝54， 即a 1＋a 6＝a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝18,2d ＝a 2＋a 5－(a 2＋a 3)＝8，所以d ＝4. (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上(n ∈N *).数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝ S n ＋1 64，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________. 答案 －30 解析 ∵点(n ，a n )在函数y ＝2x －1 的图象上， ∴a n ＝2n － 1，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝1·(1－2n )1－2 ＝2n －1，则b n ＝n 2n －12， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列，∴由b n ≤0，得n ≤6. 即T n 的最小值为T 5＝T 6＝－10×6＋6×5×2 2 ＝－30. 跟踪演练1 (1)已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，若S 8＝S 10，则a 18等于( ) A.－4 B.－2 C.0 D.2

数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析

第2讲等差数列及其前n项和 ［考纲解读]1。理解等差数列的概念及等差数列 与一次函数的关系．(重点) 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟 练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数 列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相 应的问题．（重点、难点） ［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是 高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的 通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重 点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综 合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题 难度一般不大,属中档题型. 1．等差数列的有关概念 （1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等 错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等

差中项，且A＝错误!错误!. 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 （1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）． （2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n 2＝错误!na1＋错误! d(其中n∈N＊）． 3．等差数列的相关性质 已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和． (1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)． 特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)． （3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。 (4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。 4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 a n＝a1＋（n－1）d可化为a n＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，

等差数列

等差数列（1） 一学习目标 1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列； 2. 探索并掌握等差数列的通项公式； 3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法 2、新课导学 探究任务一：等差数列的概念 问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ①0，5，10，15，20，25，… ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366 新知： 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母 d 表示. 2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列， 这时数A叫做数a和 b 的等差中项，用等式表示为A= a+b/2 探究任务二：等差数列的通项公式 问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：n a = ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a . ※ 典型例题 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项； ⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第 几项？如果不是，说明理由. 小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？

高一数学复习考点知识讲解课件63---等差数列前n项和性质的综合问题

高一数学复习考点知识讲解课件 等差数列前n 项和性质的综合问题 考点知识 1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n 项和的特点. 2.掌握含绝对值的等差数列的前n 项和的求法． 一、等差数列中奇、偶项的和 问题1我们知道等差数列前n 项和公式中的n 表示等差数列的项数，你能利用公式表示S 2n ，S 2n －1吗？ 提示S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝n (a 1＋a 2n )，S 2n －1 ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2，由等差数列的性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 可知，a 1＋a 2n ＝a n ＋a n ＋1，a 1＋a 2n －1＝2a n ，即S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示． 问题2当总项数为2n 项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？ 提示S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1) 2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n ) 2＝na n ＋1， 则有S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝na n ＋1na n ＝a n ＋1a n . 问题3当总项数为2n －1项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？

提示S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1) 2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n －2＝ (n －1)(a 2＋a 2n －2) 2 ＝(n －1)a n ， 则有S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. 知识梳理 1．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ， S 偶S 奇＝a n ＋1a n . 2．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1 T 2n －1 . 注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半． 例1(1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝11 13 ，则公差d ＝________. 答案2 解析由⎩⎪⎨⎪ ⎧ S 奇＋S 偶＝120，S 奇S 偶＝11 13， 得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＝55，S 偶＝65， 所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.

第3讲 等差数列及其前n项和

第三讲 等差数列及其前n 项和 【自主归纳，自我查验】 一.自主归纳 1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项和它前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母______表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________________. 3.等差中项 如果________，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________，(n ，m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k +a l =_______________. 若m 1+m 2+……+m k =n 1+n 2+……+n k ，则a m 1+a m 2+……+a mk =___________________. (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列. (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为________的 等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝__________或S n ＝____________. 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋????a 1－d 2n . ∴数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数). 7.等差数列的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最____值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最____值. 8等差数列的判定 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 9.等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (3)S 2n －1＝(2n －1)a n . 二、自我查验

2020版高考数学(北京)一轮总复习 6.2 等差数列

6.2等差数列 挖命题 【考情探究】 分析解读从北京高考的情况来看,本节一直是热点,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中的分值为5分左右,属于中低档题.常以选择题、填空题的形式出现. 破考点 【考点集训】 考点一等差数列的有关概念及运算 1.已知等差数列{a n}满足a1=1,a n+2-a n=6,则a11等于() A.31 B.32 C.61 D.62 答案 A 2.(2013课标Ⅰ,7,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=() A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 3.已知等差数列{a n}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为() A. B. C.1 D. 答案 D 考点二等差数列的性质及其应用 4.在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为() A.6 B.12 C.24 D.48 答案 D 5.在等差数列{a n}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以S n表示{a n}的前n项和,则使S n取得最大值时n的值为() A.21 B.20 C.19 D.18 答案 B

炼技法 【方法集训】 方法1等差数列的基本运算技巧 1.数列{a n}为递增的等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则数列{a n}的通项公式为() A.a n=n-2 B.a n=2n-4 C.a n=3n-6 D.a n=4n-8 答案 B 2.在等差数列{a n}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则S13+2a7=() A.17 B.26 C.30 D.56 答案 C 3.(2018上海,6,4分)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=0,a6+a7=14,则S7=. 答案14 方法2等差数列的判定方法 4.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x), f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式 为. 答案f2 014(x)= 5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=. (1)求证:数列是等差数列; (2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n. 解析(1)证明:∵a n+1=,∴=, ∴-=, ∴数列是以2为首项,为公差的等差数列. (2)由(1)知a n=,∴b n==4-, ∴S n=4×--- =4×-=. 方法3等差数列前n项和的最值问题的求解方法 6.(2014江西,13,5分)在等差数列{a n}中,a1=7,公差为d,前n项和为S n,当且仅当n=8时S n取得最大值,则d的取值范围为. 答案--

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与 等比数列 理 第一讲 等差数列与等比数列 1．等差数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N * ，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式． 若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． 3．等差中项． 若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝ x ＋y 2 ，其中A 为x ，y 的等差中项． 4．等差数列的前n 项和公式． 若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋ n （n －1）d 2 ． 1．等比数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N * )⇔{a n }为等比数列． 2．等比数列的通项公式． 若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1 ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N * )． 3．等比中项． 若x ，G ，y 成等比数列，则G 2 ＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．

设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则 S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N * ，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N * ，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2 ＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2 ＋b 3 ＋b 4 ＋b 5 ＝1－b 51－b .(×) 1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故 S 5＝ （a 1＋a 5）×52＝6×5 2 ＝15. 2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0

高三数学一轮复习等差等比数列讲义

等差等比数列 【知识梳理】 一、通项公式 等差数列：，为首项，为公差. 等比数列：1 1-⋅=n n q a a ，为首项，为公比. 二、前项和公式 等差数列：或 等比数列：当1≠q 时， q q a S n n --=1) 1(1 或 q q a a S n n --=11 当1=q 时，1na S n = 三、差比数列的判定方法 1.定义法：（，是常数）是等差数列； q a a n n =+1 （，是常数）{}n a 是等比数列. 2.中项法：()是等差数列； 22 1++⋅=n n n a a a ()且0≠n a {}n a 是等比数列. 四、差比数列的常用性质 等差数列：若，则； 等比数列：若，则q p n m a a a a ⋅=⋅. 课中讲解 一、等差等比数列的判定 典型例题 1. 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1 a n －1 (n ∈N *)．求 ()d n a a n 11-+=1a d 1a q n ()2 1n a a S n n += ()d n n na S n 2 11-+ =d a a n n =-+1+∈N n d ⇔{}n a +∈N n 0≠q ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔{}n a +∈N n ⇔),,,(+∈+=+N q p n m q p n m q p n m a a a a +=+),,,(+∈+=+N q p n m q p n m

证：数列{b n}是等差数列。 2.若数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝1 2，求证：数列 ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ 1 S n 是等差 数列。 3.已知数列{a n}满足对任意的正整数n，均有a n＋1＝5a n－2·3n，且a1＝8，证明：数列{a n－3n}为等比数列。 4. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4，证明：{S n－n＋2}为等比数列。过关检测

三年级奥数第四讲等差数列

等差数列及其应用 教学目标： ⒈让学生理解等差数列的意义，知道等差数列中各部分的名称，掌握求尾项和项数的公式。 ⒉培养良好的审题习惯和思维习惯。 教学重难点： 理解并学会应用求和的公式及如何求项数，首项，末项及公差。 教学过程： 第一课时 一、理解等差数列的意义。 ㈠⒈师：同学们，喜欢做游戏吗？ 生：喜欢。 师：（课件出示：找规律，猜猜下一个数是谁。5，（），） 生：6 生：7 生：10 生：不确定，还要知道一个数才能发现规律呢。 （学生一齐鼓掌。） 【设计意图：通过学生喜欢的游戏形式，一开始就吸引学生的注意力，调动学生的学习积极性，让学生知道得出规律不能凭一种情况，至少要三个数，构成两种情况。】 ㈡师：老师再给你一个数，现在猜猜看。（课件出示：找规律，猜猜下一个数是谁。5，（），9） 生：7 师：怎么想的？ 生：7比5多2，9比7多2，（电脑同时出示） 师：下一个数是几？ 生：11 师：对吗？ 生：9+2=11 师：下一个？再一个？ 师：能说完吗？ 师：对，每加一个2，就会产生一个新数。 ㈢师：如果老师在这儿填6可以吗？（课件出示：5，（6），9 ） 生：可以

师：什么规律呢？ 生：加1、加3 师：哪下个数可能是多少？怎么想的？ 师：下个数呢？怎么想的？下个呢？能说完吗？ 师：人站队，我们叫队列，像这样把数排队我们把它叫数列。（板书课题：数列）请同学们比较这两个数列有什么区别。 生： 师：一个数列，从第个2数开始，依次与前一个数的差相同，这样的数列叫等差数列。（板书完善课题：等差） 师：谁来完整地说说什么叫等差数列。 【设计意图：通过同一道题目的两种填法，揭示不同的规律，培养学生创新思维的同时，让学生知道寻找规律的重要性，通过两种数列的比较养成遇到数列就先找规律的习惯。】 二、认识数列各部分的名称。 出示：一套书有5本，每隔5年出版一本，第三本是1998年出版的。其他几本书分别是哪年出版的？ 师：关键词有哪些？ 师：你认为哪个关键词比较难理解？ 生：每隔5年。 师：谁来说说（板书:1998年）第二本是哪年出版？你是怎么想的？ 生：隔5年就是减5年，第二本出版是1993年。 师：他说得对不对呢?想知道吗？ 师：（对着学生座位说）甲后面是乙、乙后面是丙，甲与丙之间隔几人？ 师：今天早上我和一个朋友遇见了，第二天早上又同这个朋友相遇了，我们之间隔1天了吗？ 生：没有。 师：对，要想隔1天，应是哪天见面？ 生：后天。 师：今天算1，后天算几？加几 师:所以每隔5年，就加几？ 生：加6。 师板书：1986、1992、1998、2004、2010 师：第五本书出版了吗？ 师：这个数列排列了几个数？我们一起来数数。 生：第一个数、第二个数、…

等差数列(自制)

等差数列 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 等差数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，同时也是培养学生数学能力的良好题材，且起着承前启后的作用。一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面等差数列是在学习了数列的有关概念和数列的两种表示方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列学习的进一步深入和扩展；同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习的依据。 2、教学目标 根据新课标的要求和学生的认知水平，我确定了本节课以下的教学目标 知识目标：1、理解并掌握等差数列的概念及性质，并能判断一个数列是否为等差数列；2、了解等差数列的通项公式的推导过程，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；3、初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 能力目标:1、培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；2、领会函数与数列的关系，把研究函数的方法迁移到研究数列中来，培养学生对知识和方法的迁移能力；3、通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 情感目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；并使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据以上的分析我确定本节课的教学重点为： ①等差数列的概念及性质； ②探索并掌握等差数列的通项公式及简单应用； ③体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点是通项公式推导过程中体现出的数学思想方法；同时学生对“数学建模”的思想比较陌生，因此用“数学建模”思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析 对于的高二学生，知识经验已较为丰富，并且具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，所以在授课时要注重引导、启发、和探讨等方法，以符合这类学生的心理发展特点，从而促进其思维能力的进一步发展。 三、教法设计 根据以上分析，在教学方法上我采用引导发现法和探索讨论法。 引导发现法主要采用启发、引导的方法，创造各种问题情景，使学生带着问题去主动思考、交流合作，进而达到对知识的发现和接受，使书本知识成为自己的知识。它能充分调动学生的主动性和积极性，也符合教学论中学生主体地位与教师主导地位相统一的原则。 探索讨论法主要是让学生独立思考、互相讨论、交流合作，使学生在探索讨论的过程中，寻找解决问题的方法。它有利于学生对知识的主动构建，有利于突出重点、突破难点，

等差数列复习

等差数列(一) 【知识要点】 1.等差数列的定义及通项公式 2.等差数列的两个重要性质 (1)等差数列｛。｝中，若m+n=p+q，则a+a=a+a nmnpq ⑵等差数列｛a｝的任意连续m项的和构成的数列：S,S-S,S-S,仍为等差数列nm2mm3m2m 3.等差数列的前n项和公式 【典型例题】Ml 1.基本训练题 ⑴求等差数列8,5,2,…的第20项. ⑵在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d. 53 (3)已知数列｛a n｝为等差数列，a3=4,a7=一彳，求a15的值. 4.等差数列性质的应用 ⑴已知等差数列｛a｝中，a+a=16,a=1,则a12的值是. 12 n794 ⑵等差数列｛a n｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为. ⑶一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于. 5.在等差数列｛a｝中n (1)已知a+a+a+a=36，求S. 25121516 (2)已知a=20，求S1r611

6.数列｛a｝的前n项和S=n2-7n-8，求数列通项公式.nn 【课堂练习】 1.设｛ a｝是公差为正数的等差数列，若a+a+a-15，aaa=80，则a+a+a=() n123123111213 A.120 B.105 C.90 D.75 2.数列｛a｝的前n项和S=n2+2n-1,则a+a+a+•••+a=() nn13525 A.350 B.351 C.337 D.338 3.在等差数列｛a｝中：n ⑴已知a=10,a=19,求a与d；471 ⑵已知a=9,a=3,求a. 3912 4.在等差数列｛a J中,若a3+仁a13-12，aaa 3813 =28，求｛a｝的通项公式. n

(复习指导)6.2等差数列及其前n项和含解析

第二节 等差数列及其前n 项和 【知识重温】 一、必记5个知识点 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于①____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的②________，一般用字母d 表示；定义的表达式为：③______________(n ∈N *)． 2．等差数列的通项公式 设等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝④________________.等差数列的通项公式是关于n 的一次函数形的函数． 3．等差中项 若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝⑤________. 4．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝⑥____________，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝⑦________________.等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数形的函数且无常数项． 5．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)a m ＝a n ＋(m －n )d 或a m －a n m －n ＝d .(m 、n ∈N *) (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋a n ；若2m ＝p ＋q ，则有a p ＋a q ＝⑧________，(p ，q ，m ，n ∈N *)． (3)d ＞0⇔{a n }是递增数列，S n 有最小值；d ＜0⇔{a n }是递减数列，S n 有最大值；d ＝0⇔{a n }是常数数列． (4)数列{λa n ＋b }仍为等差数列，公差为λd . (5)若{b n }，{a n }都是等差数列，则{a n ±b n }仍为等差数列． (6)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (7)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (8)S 2n －1＝(2n －1)a n . (9)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n 2 d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 二、必明2个易误点 1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 【小题热身】 一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

高考数学二轮复习专题4数列第1讲等差数列与等比数列理

第1讲等差数列与等比数列 等差、等比数列的基本运算 1.(2015新课标全国卷Ⅰ)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10等于( B ) (A)(B)(C)10 (D)12 解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d. 由题设知d=1,S8=4S4, 所以8a1+28=4(4a1+6), 解得a1=, 所以a10=+9=,选B. 2.(2015辽宁省锦州市质量检测(一))已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4-2+3a8=0,数 列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( D ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:因为a4-2+3a8=0, 所以a1+3d-2+3(a1+7d)=0, 所以4(a1+6d)-2=0, 即4a7-2=0, 又a7≠0, 所以a7=2,所以b7=2, 所以b2b8b11=b1q·b1q7·b1q10=(b1q6)3==8. 故选D. 3.(2015河南郑州第二次质量预测)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若27a3-a6=0,则 = . 解析:设等比数列公比为q(q≠1), 因为27a3-a6=0,

所以27a3-a3q3=0, 所以q3=27,q=3, 所以====28. 答案:28 等差、等比数列的性质及应用 4.(2015河南省六市第二次联考)已知数列{a n}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为( C ) (A)10 (B)20 (C)100 (D)200 解析:a7(a1+2a3)+a3a9 =a1a7+2a3a7+a3a9 =+2a4a6+ =(a4+a6)2=102=100. 故选C. 5.设等比数列{a n}中,前n项和为S n,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( A ) (A)(B)-(C)(D) 解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故选A. 6.(2015新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于( C ) (A)2 (B)1 (C)(D) 解析:法一根据等比数列的性质,结合已知条件求出a4,q后求解. 因为a3a5=,a3a5=4(a4-1), 所以=4(a4-1), 所以-4a4+4=0, 所以a4=2. 又因为q3===8, 所以q=2,

二轮复习 等差数列、等比数列 教案(全国通用)

二轮复习 等差数列、等比数列 教案（全国通用） 1．等差数列 (1)定义式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)； (2)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (3)前n 项和公式：S n ＝ n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －1 d 2 ； (4)性质：①a n ＝a m ＋(n －m )d (n 、m ∈N *)； ②若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．等比数列 (1)定义式：a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)； (2)通项公式：a n ＝a 1q n － 1； (3)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ na 1 q ＝1，a 11－q n 1－q q ≠1. (4)性质：①a n ＝a m q n －m (n ，m ∈N *)； ②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q (p 、q 、m 、n ∈N *)． 3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).学——科网 【误区警示】 1．应用a n 与S n 的关系，等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混． 3．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和a n ＝0的情形． 4．等比数列{a n }中，公比q ≠0，a n ≠0. 高频考点一、等差数列、等比数列的基本运算 例1、（2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若 ，则 A. B. C. D.

2020届高三复习经典教案：等差数列及其前n项和

第二节 等差数列及其前n 项和 [最新考纲] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n ) 2. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }和{a 2n ＋1}2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . [常用结论] 1．等差数列前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小． 2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则有a n b n ＝S 2n －1 T 2n －1 . 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ S n n 也是等差数列． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. ( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的． ( ) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 C [由题意知a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14，令－3n ＋14＝－49得n ＝21，故选C.] 3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6