数与式的运算
第1节数与式的运算
（第1课时总第1导学案）【学习目标】
1．掌握绝对值的代数和几何意义，会解绝对值等式。
2．掌握几个乘法公式，并会运用
【教学过程】
：正数的绝对值是它的_______，负数的绝对值是它的_________，零的绝对值仍是______．即
_________________
2．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到______的距离．3．两个数的差的绝对值的几何意义：b
a-表示在数轴上，数a和数b之间的_______．
4．（1）立方和公式2233
()()
a b a ab b a b
+-+=+；
（2）立方差公式2233
()()
a b a ab b a b
-++=-；
（3）三数和平方公式2222
()2()
a b c a b c ab bc ac
++=+++++；
（4）两数和立方公式33223
()33
a b a a b ab b
+=+++；
（5）两数差立方公式33223
()33
a b a a b ab b
-=-+-．
1．解不等式：13
x x
-+-＞4．
2．计算：22
(1)(1)(1)(1)
x x x x x x
+--+++．
3．已知4
a b c
++=，4
ab bc ac
++=，求222
a b c
++的值．
|2x－13|＞5
，b为何实数，22248
a b a b
+--+的值恒为_____________
1．评价：
2．小结：绝对值的代数和几何意义,记住几个乘法公式
1．填空：
（1）若5
=
x，则x=_________；若4
-
=
x，则x=_________.
（2）如果5
=
+b
a，且1
-
=
a，则b＝________；若2
1=
-c，则c＝________. 2．填空：
（1）22
1111
()
9423
a b b a
-=+（）；
（2）(4m+22
)164(
m m
=++)；
(3 )2222
(2)4(
a b c a b c
+-=+++)．
3．若2
1
2
x mx k
++是一个完全平方式，则k等于_________________
【预习指导】
1.分母（子）有理化:把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．
2.
（第2课时总第2导学案）
【学习目标】
1．理解二次根式的意义，并会转化
2．掌握分母（子）有理化的方法
3. 会运用根式，分式进行简单的运算
【教学过程】
_____________-的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为__________.例如32
a b等是________
21
2
x
++，22
x y
++_________式
2．把分母（子）中的根号化去，叫做________________．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有_____________，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
一般地，_____________，b与__________互为有理化因式．
3a
==________________
4. 形如
A
B
的式子，若B中含有字母，且0
B≠，则称
A
B
为__________．当M≠0时，分式
A
B
具有下列性质：
A A M
B B M
?
=
?
；
A A M
B B M
÷
=
÷
．
上述性质被称为分式的基本性质．
1．试比较下列各组数的大小：
（1（2
2．化简：（1；（21)
x
<<．
3．若
54(2)2
x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．
4. （1）试证：
111(1)1
n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++???L ；
1
．化简：20042005+
?．
2．设c e a =
，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．
3.证明：对任意大于1的正整数n ， 有
11112334(1)2n n +++
1．评价：
2．小结：二次根式的意义，并会转化,分母（子）有理化的方法
1(3-．
2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；
3．对任意的正整数n ，
1(2)n n =+ (112
n n -+)；
【预习指导】
1. 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
2. 一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0），根与系数的关系（韦达定理）
【课后作业】
1．下列叙述正确的是 _______（填序号） ①若a b =，则a b = ②若a b >，则a b >
③若a b <，则a b < ④若a b =，则a b =±
2. 比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．
3. 1819(2(2＝________；
42=，则a 的取值范围是________；
5. 计算_________
6.
=________． 7. 12a =，13
b =，则2223352a ab a ab b -=+-_____________- 8. 若2220x xy y +-=，则22
223x xy y x y ++=+__ __； 9. 解不等式：
(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．
10. 已知：11,23x y =
=的值．
11. 解方程22112()3()10x x x x +
-+-=．
“数与式”中考数学专题复习
“数与式”中考数学专题复习 ?中考命题形势与趋势 翻阅手中近几年全国各地的中考试卷，仔细琢磨“数与式”的试题发现，这部分知识多考查实数、整式、分式以及二次根式的有关概念及其简单运算和求值，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题.由于数与式涉及的知识点比较多，围比较广，而且都是研究数学的基础知识，所以预计2010的中考中的基础知识的考查仍注重这些容，题型除了会加大创新的力度外，还将会沿袭传统的题型. ?数与式试题的特点 与数与式有关的试题的题型一般相对来说都比较小，而且大多出现在选择与填空中，即使出现个别的解答题，一般也是靠近较前面的，好让同学们下笔就能得分，个别探索型和开放型的题目也只需同学们略动一下脑筋就能解答，一般没有偏难的题目，更没有同学们没有遇到的问题，至于，试卷中会出现一些新定义，或简单的阅读理解问题，也会让同学们一看即会明了的，总之，数与式部分的试题大多属于送分题， 同学们只要注重基础知识的复习，不遗漏任何一个知识即可^ ?典型问题归类例析 专题1实数 一、知识点 1. 实数的分类：按定义来分类：有理数和无理数；按正、负数来分类：正实数、0、负实数. 2. 实数和数轴上的点是-- 对应的. 3. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.若a、b互为相反数，贝U a+b = 0,或—=-1（a、b乒0）. a a a 0 , 4. 绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 a = 0 a 0 , a a 0 . 5. 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，贝U ab= 1;反之，若ab= 1,则a与b 互为倒数.这里应特别注意的是0没有倒数. 6. 科学记数法、近似数和有效数字：把一个数记成 a X10n的形式，这种记法叫科学记数法.注意，科学 记数法的实质是有理数的乘方，其中 1 < a v 10, n是比原数的整数位数小1的正整数.近似数是指近似地 表示某一个量的数.一个近似数，四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位.由四舍五入得到的近似 数精确到某一位，那么从左边第一个不是零的数字起，到最后一位数字止，所以的都叫做这个数的有效数字. 7. 平方根、算术平方根和立方根：若x2= a （a> 0）,则x就叫做a的平方根.一个非负数a的平方根可 以符号表示为“土”；正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记为“ *2 ”.如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根. 8. 实数的开方运算：Va = a（a>0）, Va2 = a . 9. 实数的混合运算顺序：和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后 算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.有理数的运算律在实数围仍然适用. 10. 实数的大小估算与实数大小的比较：（1）数形结合法；（2）作差法比较；（3）作商法比较；（4）倒数法；（5）平方法.
中考数学第一轮复习资料重新整理(超经典)+中考数学总复习资料-数与式
中考数学第一轮复习资料 重新整理(超经典)+中考数学总复习资料-数与式 中考数学复习资料大全 目录 第一部分数与代数 第一章数与式 第1讲实数83 第2讲代数式84 第3讲整式与分式85 第1课时整式85 第2课时因式分解86 第3课时分式87 第4讲二次根式89 第二章方程与不等式 第1讲方程与方程组90 第1课时一元一次方程与二元一次方程组90 第2课时分式方程91 第3课时一元二次方程93 第2讲不等式与不等式组94 第三章函数 第1讲函数与平面直角坐标系97 第2讲一次函数99 第3讲反比例函数101 第4讲二次函数103 第二部分空间与图形 第四章三角形与四边形 第1讲相交线和平行线106 第2讲三角形108 第1课时三角形108 第2课时等腰三角形与直角三角形110 第3讲四边形与多边形112 第1课时多边形与平行四边形112 第2课时特殊的平行四边形114
第3课时 梯形116 第五章 圆 第1讲 圆的基本性质118 第2讲 与圆有关的位置关系120 第3讲 与圆有关的计算122 第六章 图形与变换 第1讲 图形的轴对称、平移与旋转124 第2讲 视图与投影126 第3讲 尺规作图127 第4讲 图形的相似130 第5讲 解直角三角形132 第三部分 统计与概率 第七章 统计与概率 第1讲 统计135 第2讲 概率137 第一部分 数与代数 第一章 数与式 第1讲 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= -b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
(完整版)初高数学衔接第一讲数与式的运算
第一讲 数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++= ∴等式成立 【例1】计算：2 2 )3 12(+-x x 解：原式=2 2 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 ))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((2 2 b ab a b a ++- 解：原式=3 3 3 3 2 2 )(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到： 【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：
数与式知识点总结
一、实数、二次根式的有关概念 1. 为了表示具有 的量我们引进负数。 2. 和分数统称为有理数， 叫无理数，有理数和无理数统称为 。 3. 整数可分为 和负整数。分数可分为 。有理数也可分为：正有理数、 和 。0既不是 ，也不是 。 4. 规定了 、 和 的直线叫做数轴。 5. 只有 不同的两个数称为相反数。绝对值最小的数是 ，互为相反数的两数的和为 ，在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到 的距离 。 6. 在数轴上，表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值。 ︱a ︱＝ _____________________________ 7. 等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作 ，其中a 是 。正数a 的正的平方根叫做a 的 ；一个正数的平方根有 个，它们是 ，0的平方根和算术平方根都是 ，负数 。求 的运算叫做开平方。（a>0）。 8. 如果一个数的 等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，求 的运算叫做开立方。 9、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 10、二次根式的性质： （1）2)(a = （a 0） （2）2a =a = _____________________________ （3）ab = · （a ≥0,b ≥0）; (4)b a = （a ≥0,b ≥0）. 11、最简二次根式要满足以下两个条件：（1）被开方数的因数是 数，因式是 式；（2）被开方数中不含能开得尽方的 数或 式。 12、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 ，这几个二次根式叫做同类二次根式。 二、实数、二次根式的运算 1、有理数的加减乘除、乘方、开方的法则分别是什么？ ①有理数的加法：同号两数相加，取与 相同的符号，并把 相加；绝对值不相等的异号两数相加，取
第一章 数与式典型例题讲解
第一单元《数与式》 一、实数的有关概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个相反数和为0. 2、倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为a 1.注意:0没有倒数. 3、绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=???≤-≥) 0()0(a a a a 4、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 5、实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小 6、无理数：无限不循环小数 7、实数分类：实数?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 8、科学记数法：把一个数写成a ×n 10的形式（其中1≤ a<10，n 是整数） 9、近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 经典例题解析： 1、下列判断中，你认为正确的是（ ） A 、0的绝对值是0 B 、是无理数 C 、4的平方根是2 D 、1的倒数是﹣1 2、如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则等于（ ）
A、﹣ B、 C、﹣2 D、2 3、在：1，﹣2，，0，π五个数中最小的数是_________． 4、如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，﹣a，1的大小关系表示正确的是（） A、a＜1＜﹣a B、a＜﹣a＜1 C、1＜﹣a＜a D、﹣a＜a＜1 5、如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（） A、a+b＞0 B、ab＞0 C、a﹣b＞0 D、|a|﹣|b|＞0 6、如图所示，数轴上表示2，5的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是() A．－ 5 B．2－ 5 C．4－ 5 D．5－2 7. 如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简||() -++2的结果等于__________ a b a b b a A. 2a B. 2b C. －2a D. －2b 8、下列各数：，0，，0.2，cos60°，，0.3000333…，1﹣中无理数个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 9、2010年上海世博会开园第一个月共售出门票664万张，664万用科学记数法表示为（） A、664×104 B、66.4×105 C、6.64×106 D、0.664×107 10、在显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是（）
数与式--知识点
科目:数学年级:初中 中考专题复习一 数与式 一、知识网络: 1、实数????????????????????数轴相反数有关概念绝对值倒数近似值及有效数字—科学记数法分类 2、实数的大小比较方法????????????????? 利用数轴直接法近似估计放缩法间接法分子有理化作商或作差比较 3、?→→?? 单项式：系数、次数代数式有理式整式多项式：次数、项数 4、????? 互 逆提取因式法整式乘法因式分解运用公式法分组解法 5、???????????????→?????→??????????????????????????整式概念有意义及值为０的条件有理式代数式分式基本性质约分运算通分分式混合运算无理式 6、n →→??→→??? 开平方平方根算术平方根乘方开方开立方立方根开次方
7 、 ?≥ ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? →=|| ? ?→ ? ? ? ? ? ? ? ?? a０） 最简二次根式 有关概念同类二次根式 互为有理化因式 分母有理化平方根二次根式a 运算化简求值 二、学习目标： 1．理解相反数、绝对值、有理数、无理数、数轴的意义,知道实数与数轴上的点一一对应. ２.掌握实数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）；理解实数的运算律，能运用实数的运算解决简单的问题. 3.了解近似数与有效数字的概念;在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值，会用科学记数法表示数. 4．在现实情境中理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示.会求代数式的值，会进行简单的整式混合运算. 会推导乘法公式,了解公式的几何背景，并能进行简单计算. 5. 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）. 6. 了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 三、命题热点: 1. 实数的有关概念历来是中考考查的基本内容，涉及相反数、绝对值、有理数、无理数、数轴等概念，多以填空、选择题的形式出现. ２.灵活运用实数运算法则和运算律进行化简与混合运算是中考的常考内容. 3. 科学记数法和近似数、有效数字往往以解决实际问题为背景，有较强的应用性，是近几年考查的热点. 4.因式分解主要考查会用提公因式法、公式法进行分解，直接考查的题型以填空、选择为主. ５. 分式作为单独的知识进行考查,其难度在逐年下降，重点考查对分式概念的理解和基本运算. 四、考点扫描: 考点Ⅰ.实数 1、实数的分类:
数与式知识点归纳
一、数的分类 实数????? ??????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数???????????负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。 二、 数轴 （１）三要素：原点、正方向、单位长度。 （２）实数???→←一一对应 数轴上的点。 （３）利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。 三、 绝对值 （１）几何定义：数轴上，表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a 。 （２）代数定义：a ＝?? ???<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 四、 相反数、倒数 （１）a 、b 互为相反数?a ＋b ＝０（或a ＝－b ）； （２）a 、b 互为倒数?a ·b ＝１（或a ＝ b 1）。 五、几个非负数 （１）a ≥０； （２）a 2≥０； （３）a ≥０（a ≥０）。
（４）若几个非负数之和为０，则这几个非负数也分别为０． 六、 （１）a n 叫做a 的n 次幂，其中，a 叫底数，n 叫指数。 （２）若x 2＝a （a ≥０），则x 叫做a 的平方根，记做±a ；算术平方根记做a 。 （３）若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，记做3a 。因此33)(a ＝a （４）算术平方根性质： ①（a ）2＝a （a ≥０）； ②2a ＝a ； ③b a ab =（a ≥０，b ≥０）； ④b a b a =（a ≥０，b ＞０）。 七、运算顺序： １． 同 级：左→右 ２． 不同级：高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减） ３． 有括号：里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号） 八、运算律： 九、运算法则 ①加法法则：
中考冲刺数学经典讲义：数形结合问题--知识讲解(基础)
中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（基础） 【中考展望】 1．用数形结合的思想解题可分两类: (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等； (2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等. 2. 热点内容： 在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容. 【方法点拨】 数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法. 数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结 合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，a的符号决定抛物线的开口方向,b与a 一起决定抛物线的对称轴的位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线图形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的有关变化. 在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识，提高解题能力．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中．数与形及其相互关系是数学研究的基本内容． 【典型例题】 类型一、利用数形结合探究数字的变化规律 1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是． 【思路点拨】 首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n． 【答案与解析】 第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；
小升初数学课程：第一讲 数与式的认识
第一讲数与式 一、知识梳理 第一部分数的意义、分类与性质 一、数的意义和分类 1、数的意义 （1）自然数：0、1、2、3、4……都是自然数。可以表示物体的个数或次数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 （2）0：一个物体也没有，用0表示。0是最小的自然数。0还有其他多种用法，在写数记数中，可以用0来占位；在测量活动中，用0表示起点；在相反意义量的记录中，用0作分界点。 负数：比0小的数是负数，比0大的数是正数。0既不是正数，也不是负数。 （4）小数：分母是10、100、1000……的分数可以写成小数。 （5）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。两个数相除的商可以用分数表示。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。 （6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。百分数是一种特殊的分数。 二、数的联系
1、整数与小数：整数和小数在计数方法上是一致的，都是用十进制计数法记录的。整数可以根据小数的基本性质改写成小数。 2、小数与分数：小数就是分母是10、100、1000……的十进分数，小数是特殊的分数。 3、分数与百分数：百分数虽然在形式上与分数是类似的，但在意义上有明显的不同。百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，所以也叫做百分比（百分率），而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以用来表示一个具体的数量。 4、正数与负数：以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数。0既不是正数，也不是负数。 三、数的性质 1、整除 （1）整除与除尽 整除：整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.。 除尽：数a除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽. 整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除. （2）因数和倍数 如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数. 倍数：一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数. 因数：一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身. 因数和倍数是相互依存的 （3）能被2.3.5整除的数的特征 能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,: 能被3整除的数的特征：个位上是0或5 能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除 能同时被2、5整除的数的特征：个位是0 能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除. （4）偶数和奇数 一个自然数,不是奇数就是偶数 偶数：能被2整除的数。最小的偶数是0 奇数：不能被2整除的数.最小的奇数是1.
2019年数与式知识点总结
2019年数与式知识点总结 数学需要学习的知识点有很多，那么，你会怎么总结数与式的知识点呢？本文是为大家收集整理的数与式知识点总结，欢迎参考借鉴。 数与代数A、数与式 1、有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 实数无理数 无限不循环小数叫无理数
数与式知识点归纳
第一章 数与式 一、数的分类 实数????? ??????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数???????????负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。 二、 数轴 （１）三要素：原点、正方向、单位长度。 （２）实数???→←一一对应 数轴上的点。 （３）利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。 三、 绝对值 （１）几何定义：数轴上，表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a 。 （２）代数定义：a ＝?? ???<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 四、 相反数、倒数 （１）a 、b 互为相反数?a ＋b ＝０（或a ＝－b ）； （２）a 、b 互为倒数?a ·b ＝１（或a ＝ b 1）。 五、几个非负数 （１）a ≥０； （２）a 2≥０；
（３）a ≥０（a ≥０）。 （４）若几个非负数之和为０，则这几个非负数也分别为０． 六、 （１）a n 叫做a 的n 次幂，其中，a 叫底数，n 叫指数。 （２）若x 2＝a （a ≥０），则x 叫做a 的平方根，记做±a ；算术平方根记做a 。 （３）若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，记做3a 。因此33)(a ＝a （４）算术平方根性质： ①（a ）2＝a （a ≥０）； ②2a ＝a ； ③b a ab =（a ≥０，b ≥０）； ④b a b a =（a ≥０，b ＞０）。 七、运算顺序： １． 同 级：左→右 ２． 不同级：高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减） ３． 有括号：里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号） 八、运算律： 九、运算法则 ①加法法则：
初中数学知识点总结大全(经典版)
初中数学必考知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数 有理数： ①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两 个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于 负数。 绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数 比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：
①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数。 平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数： ②实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：
中考总复习：数与式综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（提高） 【考纲要求】 (1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算 律，并能运用运算律简化运算； （2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算； （3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的有关概念、性质 1．实数及其分类 实数可以按照下面的方法分类：
实数还可以按照下面的方法分类： 要点诠释： 整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数． 有理数和无理数统称实数． 2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系． 要点诠释： 实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础． 3．相反数 实数a 和-a 叫做互为相反数．零的相反数是零． 一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等． 要点诠释： 两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a 和b 互为相反数，那么a+b ＝0；反过来，如果a+b ＝0，那么a 和b 互为相反数． 4．绝对值 一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即 如果a ＞0，那么|a|＝a ； 如果a ＜0，那么|a|＝-a ； 如果a ＝0，那么|a|＝0． 要点诠释： 从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数． 5．实数大小的比较 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大． （2）正数都大于0；负数都小于0，两个负数绝对值大的那个负数反而小. （3）对于实数,a b 、0=0=0a b a b a b a b a b a b ???-＞＞；-；-＜＜. 要点诠释：
(苏科版)2020年中考数学必考经典题学案-1.数与式问题
（苏科版）2020年中考数学必考经典题学案 专题1 数与式问题 【方法指导】 1.实数运算： （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． （3）实数大小比较：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 2.整式的化简求值： 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 常涉及到整体思想和乘法公式的灵活应用． 3.因式分解 （1）因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等 （2）实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． （3）因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 4.分式的化简求值问题： 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．分式化简求值时需注意的问题 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”． （2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
2018中考数学专题突破导练案第一讲数与式试题
第一讲数与式 【专题知识结构】 π????????????????????????定义：有理数和无理数统称实数.有理数：整数与分数分类无理数：常见类型(开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数）法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数运算运算定律：交换律、结合律、分配律数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法相关概念:单项式：系数与次数分类多项式整式数与式()01;;(),();();1;m m n m n m n m n m n mn m m m m p m p a a a a a a a a a a ab a b a a b b a +--??????=÷====== ? ???????? ?÷÷??：次数与项数加减法则：加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项幂的运算:单项式单项式；单项式多项式；多项式多项式乘法运算:单项式单项式；多项式单项式混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先22222()()()2;(a b a b a b a b a ab b a a m a a m b b m b b m ???????????????+-=-???±=±+????????÷??== ??÷??平方差公式：乘法公式完全平方公式：分式的定义：分母中含可变字母分式分式有意义的条件：分母不为零分式值为零的条件：分子为零，分母不为零分式分式的性质：通分与约分的根据）通分、约分，加、减、乘、除分式的运算先化简再求值（整式与分式 化简求值20).0.(0)(0)a a a a a a ??????????????????????≥??=???-≤????????的通分、符号变化）整体代换求值≥叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于二次根式的性质：最简二次根式（分解质因数法化简）二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式分母有理化（“单项式与多项式”型）加减法：先化最简，再合并同类二次 二次根式的运算222222()()2()()()()a b a b a b a ab b a b x a b x ab x a x b ????????????????==???????-=+-???±+=±???+++=++??根式定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底）平方差公式：分解因式公式法方法完全平方公式：十字相乘法：分组分解法：（对称分组与不对称分组）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
北师大版初中数学知识点分类数与式
数与式 一、有理数及其运算（七年级上册第二章） 1. 数怎么不够用了 ①借助生活中的实例，理解有理数的意义，体会负数引入的必要性。②会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。 ⑴正数与负数的意义：像5，，1/2，…这样的数叫做正数，它们都比0大；在正数的前面加上“－”号的数叫做负数，如，－10，－3，… 0既不是正数，也不是负数。 正数与负数的引入，是为了表示生活中相反意义的量。引入负数后，“0”的意义不仅仅表示“没有”了，它还是“正数”“负数”的分界线，是“基准”。 ⑵有理数的意义：正整数、零、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数，整数与与分数统称为有理数。 2. 数轴 ①通过与温度计的类比认识数轴，会用数轴上的点表示有理数。②借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系。③能用数轴比较有理数的大小。 ⑴数轴：原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴是一个非常有用的数学工具，它使数与数轴上的点建立起对应关系，可以用它提示数与形之间的内在联系，是数形结合的基础。 ⑵相反数：如果两个数只是符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，零的相反数是零。 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 ⑶有理数大小的比较：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3. 绝对值 ①助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，比较两个负数的大小。 ②应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 ⑴绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。例如， +2的绝对值等于2，记作|+2|=2，－3的绝对值等于3，记作|－3|=3。 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0绝对值是0。 ⑵负数大小的比较：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 负数大小的比较，除了用绝对值的方法比较以外，还可以运用数轴进行比较。 4. 有理数的加法 ①经历探索有理数加法法则和运算过程，理解有理数的加法法则和运算律；②能熟练进行整数加法运算，并能运用运算律简化运算。 ⑴有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数同0相加，仍得这个数。 ⑵在有理数运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。 a 、 b 、 c 为任意有理数。 加法的交换律：a b b a +=+； 加法的结合律：）（）（c b a c b a ++=++。 5. 有理数的减法 ①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则；②能熟练进行整数减法的运算。 有理数减法的法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 6. 有理数的加减混合运算 ①能进行包括小数或分数的加减混合运算；②能根据具体问题，适当运用运算律简化运算。 在进行加减混合运算时，可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算。
《数与式》知识点教学教材
第一部分《数与式》知识点 2a a π????????????????????????定义：有理数和无理数统称实数.有理数：整数与分数分类无理数：常见类型(开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数）法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数运算运算定律：交换律、结合律、分配律数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法相关概念:有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（，单项式：系数与次数分类多项式整式数与式()01;;(),();();1;m m n m n m n m n m n mn m m m m p m p a a a a a a a a a a ab a b a a b b a +--??????=÷====== ? ???????? ?÷÷??：次数与项数加减法则：加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项幂的运算:单项式单项式；单项式多项式；多项式多项式乘法运算:单项式单项式；多项式单项式混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先22222()()()2;(a b a b a b a b a ab b a a m a a m b b m b b m ???????????????+-=-???±=±+????????÷??== ??÷??平方差公式：乘法公式完全平方公式：分式的定义：分母中含可变字母分式分式有意义的条件：分母不为零分式值为零的条件：分子为零，分母不为零分式分式的性质：通分与约分的根据）通分、约分，加、减、乘、除分式的运算先化简再求值（整式与分式 化简求值20).0.(0)(0)a a a a a a ??????????????????????≥??==???-≤????????的通分、符号变化）整体代换求值≥叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于最简二次根式（分解质因数法化简）二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式分母有理化（“单项式与多项式”型）加减法：先化最简，再合并同类二次 二次根式的运算222222()()2()()()()a b a b a b a ab b a b x a b x ab x a x b ???????????????????????-=+-???±+=±???+++=++??根式定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底）平方差公式：分解因式公式法方法完全平方公式：十字相乘法：分组分解法：（对称分组与不对称分组）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考复习专题一：数与式
中考复习专题一：数与式 【知识要点】 1、实数的分类：有理数，无理数。 2、实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，反过来，数轴上的点都表示一个________。 3、 ______________________叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如）。 【典型考题】 1、把下列各数填入相应的集合内：有理数集{ }，无理数集{ }正实数集{ } 2、在实数中，共有_______个无理数 3、在中，无理数的个数是_______ 4、写出一个无理数________，使它与的积是有理数 【复习指导】 解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。考点2：数轴、倒数、相反数、绝对值 【知识要点】
1、若，则它的相反数是______，它的倒数是______。0的相反数是________。 2、一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________；0的绝对值是__________。 3、一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。 【典型考题】 1、___________的倒数是；0、28的相反数是_________。 2、如图1，数轴上的点M所表示的数的相反数为_________-10123图1M 3、 ,则的值为________ 4、已知，且，则的值等于________-2-1012图2 35、实数在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（）① ② ③ ④ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________。②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是_______，如果|AB|=2,那么 【复习指导】