数与式的运算
数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
例1 解不等式：13x x -+-＞4．
解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1
②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，
∴不存在满足条件的x ；
③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，∴x ＞4．
综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．
解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．
所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4．
由|AB |＝2，可知
点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右
侧．
x ＜0，或x ＞4．
练 习 1．填空：
（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.
（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±
1
0 C |x －1|
|x －3| 图1．1－1
3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．
1.1.
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；
（2）完全平方公式 222
()
2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．
解法一：原式=2222
(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦
=242(1)(1)x x x -++
=61x -．
解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-
=61x -．
例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．
练 习 1．填空：
（1）221111
()9423
a b b a -=+（ ）
； （2）(4m + 22
)164(m m =++ )；
（3）2222
(2)4(a b c a b c +-=+++ )．
2．选择题：
（1）若2
1
2
x mx k +
+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2
m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m
（2）不论a ，b 为何实数，22
248a b a b +--+的值 （ ）
（A ）总是正数 （B ）总是负数
（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为
无理式. 例如 32a b 212
x ++，22x y ++等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数
式互为有理化因式，
与等等． 一
般地，
b
与b 互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2
a ==,0,
,0.a a a a ≥⎧⎨
-<⎩
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1
（2
0)a ≥； （3
0)x <． 解： （1
=
（2
0)a ==≥； （3
220)x x x ==-<．
例2
(3．
解法一：
(33)
＝1
2．
解法二：
(3)-
＝
1
2
+． 例3 试比较下列各组数的大小：
（1
- （2
和解： （1
1===
，
1
110
=
，
>
（2
）∵1=
==
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
.
例4 化简：20042005⋅-．
解：20042005+⋅
＝20042004+⋅-⋅-
＝2004
⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦
＝20041⋅-
．
例 5 化简：（1 （21)x <<．
解：（1）原式=
=
=
2=-2=．
（2）原式1x x =-，
∵01x <<， ∴1
1x x
>>， 所以，原式＝1
x x
-．
例 6 已知x y =
=
22353x xy y -+的值 ．
解： ∵2210x y +==+=，
1xy =
=， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．
练 习 1．填空：
（1＝__ ___；
（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；
（3）=__ ___；
（4）若
2x ==______ __． 2．选择题：
=
（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<
3．若b =，求a b +的值．
4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如
A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B
具有下列性质：
A A M
B B M ⨯=
⨯； A A M
B B M
÷=
÷． 上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
像a
b c d
+，2m n p
m n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
例1 若54(2)2x A B
x x x x +=+++，求常数,A B 的值．
解： ∵(2)()254
2(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，
∴5,
24,A B A +=⎧⎨=⎩
解得 2,3A B ==．
例2 （1）试证：111
(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；
（2）计算：111
1223910
+++
⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有
11112334(1)2
n n +++<⨯⨯+． （1）证明：∵11(1)1
1(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，
∴111
(1)1
n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
1111223910+++⨯⨯⨯ 11111
(1)()()
223910
=-+-++- 1
110=-＝910
．
（3）证明：∵
1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111
()()()23341n n -+-++-+
＝11
21
n -+，
又n ≥2，且n 是正整数，
∴1
n ＋1
一定为正数，
∴111
2334(1)n n +++⨯⨯+＜12 ． 例3 设c
e a
=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．
解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，
∴e ＝1
2 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (11
2
n n -+)；
2．选择题：
若22
3
x y x y -=+，则x y ＝ （ ）
（A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）6
5
3．正数,x y 满足22
2x y xy -=，求x y x y
-+的值．
4．计算1111
(12233499100)
++++
⨯⨯⨯⨯．
习题1．1 A 组
1．解不等式：
(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．
２．已知1x y +=，求33
3x y xy ++的值． 3．填空：
（1）1819
(2(2+-＝________；
（22=，则a 的取值范围是________； （3
=________．
B 组
1．填空：
（1）12a =，1
3
b =，则22
23352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若22
20x xy y +-=，则2222
3x xy y x y
++=+__ __；
2．已知：11
,23x y =
=的值．
C 组
1．选择题：
（1）则 （ ） （A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<
（2）计算 （ ）
（A （B （C ） （D ）
2．解方程2
2112()3()10x x x x +-+-=．
3．计算：1111
132435911
++++
⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜1
4
．
1.1.1．绝对值
1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －18
1.1.2．乘法公式 1．（1）11
32
a b - （2）11,24 （3）424ab ac bc --
2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
1． （12 （2）35x ≤≤ （3）- （4． 2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
1．12 2．B 3． 1- 4．99100
习题1．1 A 组
1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3
2．1 3．（1）2-（2）11a -≤≤ （31
B 组
1．（1）37 （2）5
2
，或－15 2．4．
C 组
1．（1）C （2）C 2．121
,22
x x == 3．3655
4．提示：
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-+++++
(完整版)初高数学衔接第一讲数与式的运算
第一讲 数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++= ∴等式成立 【例1】计算：2 2 )3 12(+-x x 解：原式=2 2 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 ))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((2 2 b ab a b a ++- 解：原式=3 3 3 3 2 2 )(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到： 【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：
初中数学数与式
A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次
初三数学复习_数与式(知识点讲解)
初三数学复习 数与式 第一课时 实数的有关概念 【知识要点】 （一）实数的有关概念 （1）实数的分类 当然还可以分为：正实数、零、负实数。 有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数 （2）数轴： 数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一一对应的，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。 （3）绝对值 绝对值的代数意义：||()()()a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩ ⎪0000 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。 （4）相反数、倒数 实数的相反数记为－，非零实数的倒数记为，零没有倒数。a a a 1a 若a 、b 两个数为互为相反数，则a+b=0。 若m 、n 两个数互为倒数，则m ·n=1。 （5）三种非负数： ||()a a a a ，，都表示非负数。20≥ “几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。 （6）平方根、算术平方根、立方根的概念。 如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有 一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作 ．一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作 ． ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧—无限不循环小数 —无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数
（7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。 1.近似数： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位． 2.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字． 3.科学记数法： 把一个数用 (1≤ ＜10，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法． 【典型例题：】 P2例1、(2012贵州六盘水，5，3分)13，πcos 45︒，0.32 中无理数的个数是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 点评：此题主要考查了无理数的定义，其中： （1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数． （2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数． （3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数． P2例4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表： 根据表中数的排列规律，B+D=_________. 例题补充、（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+111 ，第2位同学报⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+121，…
数与式的运算
数与式的运算 数与式的运算是数学中的基础内容之一，它涉及到数的运算和式的运算。数的 运算主要包括加法、减法、乘法和除法，而式的运算则是对含有未知数的表达式进行计算和化简。在日常生活和学习中，我们经常会遇到各种数与式的运算问题，因此掌握这方面的知识对于我们的数学学习和实际应用都具有重要意义。 一、数的运算 数的运算是数学的基础，它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。这些 运算符号和规则在我们的日常生活中随处可见，我们经常会用到它们来解决各种实际问题。 1. 加法 加法是最简单的数的运算之一，它的运算符号是“+”。当我们需要将两个或多 个数进行相加时，可以使用加法。例如，计算2 + 3的结果为5，表示两个数相加 的和是5。在加法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a + b = b + a。 2. 减法 减法是数的运算中常用的一种，它的运算符号是“-”。减法是加法的逆运算，它表示从一个数中减去另一个数。例如，计算5 - 3的结果为2，表示从5中减去3的差是2。 3. 乘法 乘法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“×”或“*”。乘法表示将两 个或多个数相乘的结果。例如，计算2 ×3的结果为6，表示两个数相乘的积是6。在乘法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a × b = b × a。 4. 除法
除法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“÷”或“/”。除法表示将一 个数分成若干等份的运算。例如，计算6 ÷ 2的结果为3，表示将6分成2等份， 每份的值是3。在除法中，被除数除以除数得到商，商可以是整数或小数。 二、式的运算 式的运算是对含有未知数的表达式进行计算和化简的过程。式是数学中的一种 基本表达形式，它由数和运算符号组成，可以用来表示数与数之间的关系。 1. 合并同类项 合并同类项是对式进行化简的一种常用方法。同类项是指具有相同的字母部分 和相同的指数的项。例如，对于表达式3x + 2x - 5x，我们可以将其中的同类项3x、2x和-5x合并得到x，即3x + 2x - 5x = x。 2. 提取公因式 提取公因式是对式进行化简的另一种常用方法。公因式是指可以同时整除多个 项的因式。例如，对于表达式2x + 4xy，我们可以提取出公因式2x，即2x + 4xy = 2x(1 + 2y)。 3. 展开式 展开式是将含有括号的式子进行化简的一种方法。展开式的结果是将括号中的 内容按照乘法分配律进行运算。例如，对于表达式3(x + 2y)，我们可以将括号中的内容按照乘法分配律展开，得到3x + 6y。 4. 因式分解 因式分解是将一个多项式拆分成若干个因式的乘积的过程。因式分解在解决实 际问题和简化计算中都有重要的应用。例如，对于表达式x² - 4，我们可以因式分 解得到(x + 2)(x - 2)。 三、数与式的运算实例
数与式知识点归纳总结
数与式知识点归纳总结数与式知识点归纳总结 数与式是数学学科的重要部分，很多数学问题都和数与式有关，因此学习和掌握数与式知识对于成为一名合格的数学学习者至关重要。在数与式的学习中，我们需要掌握一些基本概念和方法，本文将对这些知识点进行归纳总结。 一、基本概念 1. 数：数是描述数量或度量的基本概念，例如自然数、整数、有理数、实数、小数等都是数的概念。 2. 运算符号：运算符号是表示数之间的关系以及运算规则的符号，例如加、减、乘、除、等于、大于等于、小于等于等符号都是运算符号。 3. 运算律：运算律是数学运算中的基本规则，它包括结合律、交换律、分配律、逆元等。其中结合律表示运算的顺序可以改变，交换律表示数的顺序可以改变，而分配律则表示运算可以分开进行。 四则运算：四则运算是数学运算中的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法，是数学中最常用的计算方法之一。 二、数的运算
1. 加减法：加减法是最基本的运算方法，在数与式的运算中极为重要。当我们进行加减法运算时需要根据运算法则确定计算顺序，这要求我们首先要掌握数与式的基本运算法则。加法法则是：同号相加或合并同类项；减法法则是：加上相反数，变为加法运算。 2. 乘法：乘法是将数或者式子相乘的运算方法，同样在数与式的运算中也很常用。乘法法则是：同号相乘，异号相乘，括号里的优先，同类项化为一项。 3. 除法：除法是将数或者式子相除的运算方法，在数与式的运算中也很常用。除法法则是：几个同积数的商等于这些数的商的积，除数乘积为被除数，用竖式算可以更清楚地完成除法运算。 三、运算式的化简 1. 同类项的合并：在数与式的运算中，同类项的合并常常是进行式子化简的基础。同类项中有相同的字母和相同次幂的字母，例如 $2x+5x$ 即为同类项，可以化简为$(2+5)x=7x$。 2. 分配律的应用：在式子的化简中，分配律的应用也是不可缺少的，其中一种是乘法分配律，例如 $2(x- y)=2\cdot x-2\cdot y=2x-2y$，另一种是加法分配律，例如 $3(7+2x)-5(4-x)=21+6x-20+5x=-14+x$。
专题1 数与式的运算
专题01数与式的运算 本专题在初中、高中扮演的角色 初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝. 二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章. 当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零. 本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂） ，掌握运算性质，能够区别 n 的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质. 高中必备知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0, ||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??-
我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离； 例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ． 例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3． 例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x +2|=3的解为 ； （2）解不等式：|x －2|＜6； （3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9； （4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15. （1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或20 3 x = . （1）由已知可得x+2=3或x+2=-3 解得1x =或x =－5． （2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8． （3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边． 若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5， ∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5， ∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5．
数与式
数与式 1有理数：整数和分数 无理数：无限不循环小数及开方开不尽的数和。有些题没有化简彻底作题时应化简。有理数和无理数统称为实数。 2.相反数：若a与b互为相反数即和为零 3.倒数：若a与b互为倒数即积为1. 4.绝对值： 5.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。数轴上的点与实数一一对应。 6.近似数：对一个实际数所取的近似值。要注意精确度，常有个位，十位，十分位，0.01两种形式。在解直角三角形的题中经常用到。 7.有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，都是这个近似数的有效数字。 8.科学计数法：把一个数写成的形式。注意a的取值范围是 9.实数的比较：1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。 2）正数大于0，负数小于0.正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小。 3）差值法，设a,b为任意实数，若a-b大于0则a大于b。若a-b 小于0则a小于b。 4）比商法，a，b为正数，a与b的商大于1，则a大于b，a与b的商小于1，则a小于b。 10.0的任何非零次幂都是0. 11.有理数混合运算的顺序：先算乘方，后乘除最后加减，有括号时，先算括号里面的。 12.算数平方根：一个正数的平方等于a,这个正数就叫做a的算术平方根。 13.平方根：一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根。注意：平方根为两个，互为相反数，只有出现汉字的平方根才写两个。两个均要求a 大于等于0. 14.立方根：一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根。a可以为正数，0，负数。 15.会化简算术平方根，会分母有理化，两种情况： 16。无理数的整数数位是：小数数位是： 17.单项式：只含有数字与字母积的代数式。多项式：几个单项式的和。 18.单项式的次数：所有字母指数的和。多项式的次数：多项式中最高项的的次数。 19.同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同。定义常出题： 20.合并同类项：把它们的系数相加减，字母与字母的指数不变。 21.幂的运算法则：1）同底数幂的乘：2）同底数幂的除： 3）幂的乘方：4）积的乘方5)商的乘方 22.去括号法则：前面正号里面的每一项不改变符号，前面负号里面的每一项都改变符号。 23.整式的乘法运算：单项式*单项式单项式*多项式多项式*单项式 24.乘法公式：平方差公式：完全平方公式（两个）
初中数与式知识点整理
初中数与式知识点整理 数与式是数学学科中的重要基础知识，它们是数学思维、逻辑思维和推理能力 的锻炼对象。在初中数学学习中，数与式是我们必须要掌握的知识点之一。本文将围绕初中数与式知识点展开，为大家系统整理相关内容。 一、数与式的基本概念和表示方法 1. 数的概念：数是对事物数量的概括和表示。数可以是自然数、整数、有理数、无理数和实数。 2. 式的概念：式是数与运算符号所组成的代数表达式。式的基本组成部分有数字、变量、运算符号和符号间的关系。 3. 表示方法： a) 数的表示方法：使用阿拉伯数字进行表示，如1、2、3等。 b) 式的表示方法：使用数、运算符号和等号组成的表达式，如3+4=7。 c) 变量的表示方法：使用字母表示，如x、y等。 二、数与式的运算 1. 加法和减法 a) 加法运算：将两个数相加得到的结果称为和，加法运算可满足交换律和结 合律。 b) 减法运算：从一个数中减去另一个数得到的结果称为差，减法运算没有交 换律。 2. 乘法和除法
a) 乘法运算：将两个数相乘得到的结果称为积，乘法运算可满足交换律和结 合律。 b) 除法运算：将一个数除以另一个数得到的结果称为商，除法运算没有交换 律和结合律。 3. 数的乘方和开方 a) 乘方运算：将一个数自身连乘若干次称为乘方，乘方运算可满足指数法则。 b) 开方运算：将一个数的平方根或立方根等找出来，称为开方运算。 三、数与式的性质和性质的运用 1. 数与式的性质 a) 交换律：数的加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a，a×b=b×a。 b) 结合律：数的加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， (a×b)×c=a×(b×c)。 c) 分配律：乘法对加法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。 2. 性质的运用 a) 同底数的幂相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。 b) 同底数的幂相除：a^m ÷ a^n = a^(m-n)。 c) 同底数的幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n)。 四、数与式的代数运算 1. 代数运算符号 a) 加法：用+表示，如a+b。
数与式的运算、因式分解(教师版)
数与式的运算 一、乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； ⑵完全平方公式 2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： ⑴立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； ⑵立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； ⑶三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； ⑷两数和完全立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b +=+++； ⑸两数差完全立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】计算： ⑴)749)(7(2 x x x +-+ ⑵)1)(1)(1)(1(2 2+-+++-a a a a a a (3)()()a b c a b c +--- (4)2222 [(2)][(2)]x y x y -+++ 答案：（1）3343x + （2）6 1a - （3） 2a c b ac +-- (4)422422 28816x x y y x y ++-++ 例题的设计意图 (1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 （3）（4）利用整体代换思想简化运算。 二、根式 式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥ (2) 2(0)||0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪ ===⎨⎪-<⎩ (3) (0,0)ab a b a b =⋅≥≥ (4) (0,0)b b a b a a =>≥ 三、分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 【例2】化简 （1）2323++- （2）11x x x x x -+ -
数与式的运算
数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪ ==⎨⎪-<⎩ 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4． 解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1
九年级数学数与式知识点
九年级数学数与式知识点 数与式是数学九年级的一个重要知识点，它涉及到数的基本运 算和运算性质，以及常见的代数式的简化与运算。本文将深入介 绍九年级数学中数与式的相关知识，以帮助同学们更好地理解和 掌握这一内容。 一、数的基本运算 数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。加法是将两个或 多个数合并成一个数，减法是通过减去一个数来找到与其和相等 的另一个数，乘法是将两个或多个数相乘得到一个数，除法是通 过将一个数分成若干等份，每份的大小为另一个数来找到商。 在进行数的运算时，有一些基本运算性质需要牢记： 1. 交换律：加法和乘法满足交换律，即a + b = b + a，a × b = b × a。 2. 结合律：加法和乘法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)， (a × b) × c = a × (b × c)。 3. 分配律：乘法对加法满足分配律，即a × (b + c) = a × b + a ×c。
二、代数式的定义与性质 代数式是由数和运算符号构成的式子，其中可能包含变量。代 数式的求值是将变量用具体的数值代入，计算得到一个确定的数 值结果。 代数式的一些重要性质如下： 1. 对称性：代数式中的数和变量可以交换位置，结果不变。例如，a + b = b + a。 2. 积的性质：两个数的积等于它们的乘积。例如，a × b = b × a。 3. 幂的性质：乘积的幂等于各因子的幂的乘积。例如，(a × b)²= a² × b²。 4. 分式的性质：除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。 三、代数式的简化与运算 代数式的简化是将复杂的代数式通过各种运算性质化简成简单 形式的过程。代数式的运算包括整数指数幂的运算、代数式的加法、减法、乘法和除法运算等。
数与式计算中的符号运算法则
数与式计算中的符号运算法则 符号运算是数学中的一项重要内容，通过运用合适的法则和规则，能 够对含有符号的式子进行简化、求值和推导等操作。本文将介绍常见的数 与式计算中的符号运算法则，包括加法、减法、乘法、除法和指数运算等。 一、加法法则 1.加法交换律：a+b=b+a，即变换加法顺序不改变结果。 2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，即变换加法括号的位置不改变结果。 3.零元素：a+0=a，其中0为零元素。 二、减法法则 1.减法的定义：a-b=a+(-b)，即减法可转化为加法。 2.减法符号的传递：a-b=a+(-b)=a+(-1)·b。 三、乘法法则 1.乘法交换律：a·b=b·a，即变换乘法顺序不改变结果。 2.乘法结合律：(a·b)·c=a·(b·c)，即变换乘法括号的位置不改 变结果。 3.乘法分配律：a·(b+c)=a·b+a·c，即乘法可以分配到加法。 4.乘法幂法则：(a^m)·(a^n)=a^(m+n)，即同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 五、指数运算法则
1.幂的乘法法则：(a^m)·(a^n)=a^(m+n)，即同底数的幂相乘，底数 不变，指数相加。 2.幂的除法法则：(a^m)/(a^n)=a^(m-n)，即同底数的幂相除，底数 不变，指数相减。 3.幂的幂法则：(a^m)^n=a^(m·n)，即幂的幂，底数不变，指数相乘。 4.幂的零幂法则：a^0=1，即任何非零数的0次幂都等于1 5.幂的负指数法则：a^(-n)=1/(a^n)，即负指数的幂等于底数的倒数 的正指数次。 六、除法法则 1.除法的定义：a/b=a·(1/b)。 2.除法的倒数法则：a/b=a·(1/b)=a·b^(-1)，即除法可转化为乘法。 以上是数与式计算中的常见符号运算法则。在实际运用中，我们可以 根据这些法则对含有符号的式子进行化简、求值和推导等操作，从而达到 简化计算、推导结论和解决实际问题的目的。
初中数与式的知识点
初中数与式的知识点 初中数学中，数与式是非常重要的基础知识点。它们是数学学习的 基础，也是后续学习的桥梁。本文将从不同的角度探讨数与式的相关 知识。 一、数与式的基本概念 数是用来计量事物数量的概念，可以是具体的或抽象的。而式是由 数及数的运算符号和代数字母组成的算式，是数的运算及表示的工具。 二、数与式的基本运算 1. 加法运算：加法是数与式中最基本的运算之一，可以将两个数或 式子相加得到和。例如，2+3=5。 2. 减法运算：减法是数与式中常用的运算，它表示将一个数或式子 减去另一个数或式子。例如，7-4=3。 3. 乘法运算：乘法是数与式中的基本运算之一，可以将两个数或式 子相乘得到积。例如，3×4=12。 4. 除法运算：除法是数与式中常用的运算，它表示将一个数或式子 除以另一个数或式子。例如，8÷2=4。 三、数与式的应用 数与式不仅仅用于数学运算中，还广泛应用于实际生活和其他学科中。
1. 代数方程式：代数方程式是数与式的重要应用之一。它反映了数 学与现实生活中的问题之间的关系。通过解方程，可以求得未知数的值，解决实际问题。例如，求解一元一次方程3x+1=7，可以得到x=2。 2. 几何问题：数与式在几何中也起到非常重要的作用。例如，根据 周长和面积的关系可以求解各种几何图形的特征。 3. 统计问题：数与式在统计学中有重要的应用。通过统计数据，可 以分析和描述事物的特征，得出相应的结论和推断。 四、数与式的拓展 1. 立体几何：数与式也广泛应用于立体几何中。通过数与式，可以 计算立体图形的体积、表面积等。 2. 数据分析：数与式的应用还延伸到数据分析中。通过统计学知识 和数据处理技巧，可以分析和解释各种数据，进行有效的决策。 3. 函数关系：数与式还与函数关系密切相关。通过数与式，可以建 立复杂的函数关系，并进行各种数学操作和推算。 总结起来，数与式是初中数学中的基本概念和运算，不仅在数学中 有广泛应用，还涉及到其他学科中的问题。它们是学习数学和解决实 际问题的基础和桥梁，对于学生的数学素养和思维能力的培养非常重要。因此，我们应该重视数与式的学习，不断拓展应用，在实际问题 中灵活运用。
数与式
数与式 1、有理数： ①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小 有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2：实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示3：代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式对于开口向上的一元二次方程，在对称轴的左边不等式的最基本性质①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x ＞y，y＞z；那么x＞z；③如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x＋z＞y＋z；④如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz; ⑤如果x＞y，z＞0,那么x÷z ＞y÷z;如果x＞y，z＜0,那么x÷z＜y÷z。⑥如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n(充分不必要条件) ⑦如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn ⑧如果x＞y＞0，那么x的n次幂＞y的n 次幂（n为正数）如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以下是其中比较有名的。解不等式可遵循的一些同解原理主要的有：①不等式F （x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H （x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H （x ）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不等式同解。注意事项 1.符号：不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。2.确定解集：比两个值都大，就比大的还大；比两个值都小，就比小的还小；比大的大，比小的小，无解；比小的大，比大的小，有解在中间。三个或三个以上不等式组
九年级数与式知识点归纳总结
九年级数与式知识点归纳总结在九年级数学学习中，数与式是一个非常重要的知识点。数与式的概念理解和运用，对于学生的数学学习和解题能力的提升具有至关重要的作用。在本文中，我将对九年级数与式的知识点进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地掌握数与式的相关知识。 一、数与式的基本概念 1. 数：数是我们用来计数和度量的工具。可以分为自然数、整数、有理数、无理数等等。 2. 代数式：由数字和运算符号组成的式子，可以包含变量。 3. 方程：由含有未知数的等式所组成的式子。 4. 不等式：由含有不等号的式子构成，表示数之间的大小关系。 5. 基本运算：数与式中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。 二、数与式的运算法则 1. 加法法则：加法交换律、加法结合律和加法逆元等。 2. 减法法则：减法的性质和减法的计算规则。 3. 乘法法则：乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等。 4. 除法法则：除法的计算规则和整数除法原则等。 三、整式的简化与展开
1. 合并同类项：将含有相同字母和相同指数的代数式相加或相减。 2. 展开式的求解：通过乘法分配律将一个式子展开为多个项的和。 四、一元一次方程与不等式 1. 一元一次方程：只含有一个未知数的一次方程。 2. 一元一次不等式：只含有一个未知数的一次不等式。 五、二元一次方程与不等式 1. 二元一次方程：含有两个未知数的一次方程。 2. 二元一次不等式：含有两个未知数的一次不等式。 六、平方根与立方根 1. 平方根：一个数的平方根是指另一个数的平方等于它。 2. 立方根：一个数的立方根是指另一个数的立方等于它。 七、根式的运算 1. 同底数幂的运算：指数相同、底数相同的幂的运算。 2. 分式指数幂的运算：利用指数的运算规律进行运算。 3. 根式的加减法：将根式写为相同的底数，进行加减运算。 八、实数的性质 1. 有理数和无理数的概念与区别。
专题01 数与式的运算
专题1：数与式的运算 高中必备知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪ ==⎨⎪-<⎩ 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 典型考题 【典型例题】 阅读下列材料： 我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离； 例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ． 例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3． 例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，
因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x +2|=3的解为 ； （2）解不等式：|x －2|＜6； （3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9； （4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15. 【答案】（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或20 3 x = . 【解析】 （1）由已知可得x+2=3或x+2=-3 解得1x =或x =－5． （2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8． （3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边． 若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5， ∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5， ∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5． （4）在数轴上找出|x -2|+|x +2|+|x -5|=15的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x 的值． ∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在-2的左边或5的右边． 若x 对应的点在5的右边，可得203x = ；若x 对应的点在－2的左边，可得10 3 x =-， ∴方程|x -2|+|x +2|+|x -5|=15的解是103x =-或20 3 x = . 【变式训练】 实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .
中考知识点数与式的运算法则
中考知识点数与式的运算法则数与式的运算法则是中考重要的数学知识点之一。掌握这些法则不仅可以帮助我们正确地进行数与式的运算，还可以提高我们的计算速度与准确性。本文将介绍中考常见的数与式的运算法则，以帮助同学们更好地备考。 一、数与数的运算法则 1. 加法法则 加法法则是指将两个数相加时的运算法则。具体的运算法则如下：（1）正数与正数相加：把两个正数的绝对值相加，并保持原来的正号。 例如：3 + 4 = 7 （2）负数与负数相加：把两个负数的绝对值相加，并保持原来的负号。 例如：-2 + (-5) = -7 （3）正数与负数相加：将两个数的绝对值相减，并保持绝对值大的数的符号。 例如：7 + (-3) = 4 2. 减法法则 减法法则是指将两个数相减时的运算法则。具体的运算法则如下：
（1）正数减去正数：用较大的数减去较小的数，并保持原来的符号。 例如：5 - 3 = 2 （2）负数减去负数：用较小的数减去较大的数，并保持原来的符号。 例如：-7 - (-4) = -3 （3）正数减去负数：将两个数的绝对值相加，并保持较大的数的符号。 例如：8 - (-2) = 10 3. 乘法法则 乘法法则是指将两个数相乘时的运算法则。具体的运算法则如下：（1）正数乘以正数：两个正数相乘，积为正数。 例如：3 × 4 = 12 （2）负数乘以负数：两个负数相乘，积为正数。 例如：-2 × (-5) = 10 （3）正数乘以负数：两个数的绝对值相乘，积的符号为负。 例如：7 × (-3) = -21 4. 除法法则
除法法则是指将两个数相除时的运算法则。具体的运算法则如下：（1）正数除以正数：两个正数相除，商为正数。 例如：10 ÷ 5 = 2 （2）负数除以负数：两个负数相除，商为正数。 例如：-6 ÷ (-2) = 3 （3）正数除以负数：两个数的绝对值相除，商的符号为负。 例如：15 ÷ (-3) = -5 二、数与式的运算法则 1. 数与单项式的运算法则 （1）正数与单项式相乘：将单项式中的每一项与正数相乘，并保持原来的符号。 例如：3 × (2x - 4y) = 6x - 12y （2）负数与单项式相乘：将单项式中的每一项与负数相乘，并改变原来的符号。 例如：-2 × (3x - 5y) = -6x + 10y 2. 数与多项式的运算法则 （1）正数与多项式相乘：将多项式中的每一项与正数相乘，并保持原来的符号。