数与式的运算、因式分解(教师版)
数与式的运算
一、乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式
22()()a b a b a b +-=-；
⑵完全平方公式
2
2
2
()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
⑴立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； ⑵立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；
⑶三数和平方公式
2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；
⑷两数和完全立方公式 3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b +=+++； ⑸两数差完全立方公式 3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】计算：
⑴)749)(7(2
x x x +-+
⑵)1)(1)(1)(1(2
2+-+++-a a a a a a
(3)()()a b c a b c +--- (4)2222
[(2)][(2)]x y x y -+++
答案：（1）3343x + （2）6
1a - （3） 2a c b ac +--
(4)422422
28816x x y y x y ++-++
例题的设计意图
(1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 （3）（4）利用整体代换思想简化运算。
二、根式
式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下：
(1) 2()(0)a a a =≥
(2)
2(0)||0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
(3)
(0,0)ab a b a b =⋅≥≥
(4)
(0,0)b b a b a a
=>≥ 三、分式
当分式
A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A
B
就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
【例2】化简
（1）2323++- （2）11x
x x x x
-+
-
例题的设计意图
（1）考查根式的性质
（2）繁分式的化简，我个人比较倾向解法二，运算速度快
（1）解法一：因为
(
)(
)(
)
2
2
2
2323
23
2
232323++-=+++⋅-+
-
()
2
2
2322323426=++-
+-=+=
又23230++->，所以23236++-= 解法二：
()
2
3231423
232
2
++++==
(
)
2
31313162
2
222
++++=
=
==
()
2
3231423
232
2
-+--==
(
)
2
31313162
2
222
----=
=
==
故23236++-= 解法一：利用到2a a =和2()a a =，先计算原式的平方，然后再开方．
（2）解法一：原式
=222(1)11(1)1(1)(1)11
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++=====--⋅+-+-+
++--+ 解法二：原式=22
(1)1
(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++====-⋅-+--+++--⋅
说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，
解法二则是利用分式的基本性质A A m
B B m
⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两
种方法．
因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、求根法和分组分解法等等。
一、公式法(立方和、立方差公式)
【公式1】2
222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++ 【公式2】3223333()a a b ab b a b +++=+ 【公式3】3223333()a a b ab b a b -+-=- 【公式4】
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 【公式5】3322
()()a b a b a ab b -=-++ 【例1】把下列各式分解因式： ⑴3
3
827x y --= ； ⑵3
31
4()()2
x y x y --
+= ； ⑶3
2
2
3
8365427x x y xy y -+-= ； ⑷7
6
x xy -= ； 【答案】（1）2
2
(23)(469)x y x xy y -+-+ （2）
221
(3)(763)2
x y x xy y --+ （3）（3）3
(23)x y -
（4）2
2
2
2
()()()()x x y x xy y x y x xy y +-+-++
二、十字相乘法
一般二次三项式2
ax bx c ++型的因式分解。大家知道，
2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()
a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成
12
a a ，
常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c
写成1
1
2
2a c a c
⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到
1221
a c a c +，如果它正好等于2
ax bx c ++的一次项系数b ，那么2
ax bx c ++就可以分解
成
1122()()a x c a x c ++，其中
11
,a c 位于上一行，
22
,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线
分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
注意：
1、十字相乘法思路：
分解二次三项式，尝试十字相乘法。 分解二次常数项，交叉相乘做加法； 叉乘和是一次项，十字相乘分解它。
2、并非所有的二次三项式都能用十字相乘法分解
分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，
【例2】把下列各式分解因式：
⑴228x x +-=_______________ ；⑵2
76x x -+=___________ ；
⑶2576x x +-=_______________ ；（4）226x xy y +- =_____________ （5）
222
()8()12x x x x +-++=______________ 【答案】⑴228(4)(2)x x x x +-=+-；⑵2
76(1)(6)x x x x -+=--；
⑶2
576(2)(53)x x x x +-=+-；（4）(3)(2)x y x y +-（5）(3)(2)(2)(1)x x x x +-+-
【变式】用十字相乘法求下列方程的根
⑴2280x x +-= ⑵2
760x x -+=
⑶2
5760x x +-= （4）2
2
2
()8()120x x x x +-++=
【答案】（1）4,2-（2）1,6（3）3
2,5
-（4）3,2,1,2-- 【拓展】双十字相乘法
对于某些二元二次六项式(2
2
Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++)，我们也可以用十字相乘法分解因式。例如，分解因式2
2
27225353x xy y x y ---+-．我们将上式按x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为 2
2
2(75)(22353)x y x y y -+--+可以看作是关于
x 的二次三项式． 对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 2
22353(23)(111)y y y y -+-=--+。再利用十字相乘法对关于
x 的二次三项式分解.所以 原式=[(23)][2(111)](23)(2111)x y x y x y x y +-+-+=+--+上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法(双十字相乘法)。
具体步骤:分解形如2
2
ax bxy cy dx ey f +++++的二次六项式,在草稿纸上，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如下图所示,
j k
q p n m
如果,,mq np b pk qj e mk nj d +=+=+=，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。则2
2
ax bxy cy dx ey f +++++()()mx py j nx qy k =++++
【例】把下列各式分解因式：
⑴
222332x xy y x y +-+++=____________________________________________； ⑵
222341x xy y x y +----=____________________________________________； ⑶
22414672x xy y x y -+-+-=____________________________________________； 【答案】⑴
22
2332(32)(1)x xy y x y x y x y +-+++=++-+ ⑵
22
2341(231)(1)x xy y x y x y x y +----=++-- ⑶
22414672(421)(32)x xy y x y x y x y -+-+-=-+-- 三、求根法
如果关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 有两个实数根21,x x ，那么多项式c bx ax ++2可以分解为))((212
x x x x a c bx ax --=++。
由22
121212()()()ax bx c a x x x x ax a x x x ax x ++=--=-++，比较系数得
1212()a x x b ax x c -+=⎧⎨
=⎩故1212
b x x a
c
x x a ⎧
+=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
就得到韦达定理。 韦达定理：设12,x x 是关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=的两根，则1212
b x x a
c x x a ⎧
+=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
【例3】把下列各式分解因式：
⑴244x x +-=_________________；(2)2
231x x +-=
【答案】⑴
244(222)(222)x x x x +-=+-++；
(2)
)417
3)(4173(21322+-++--
=-+x x x x
【例4】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求
2212
11x x +的值； （3）x 13＋x 23．
解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，
∴1252x x +=-，123
2
x x =-．
（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝2
5
3()4()2
2
--⨯-
＝25
4
＋6＝494，
∴| x 1－x 2|＝
7
2
． （2）
222
2
1212122222
2
2121
2125325
()2()3
()211
3722439()9()24
x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．
（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]
＝(－
52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－215
8
．
【点评】利用韦达定理求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
121212
11x x x x x x ++=
，22
121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等
【重要结论】：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求
这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则
2142b b ac x a -+-=
，2242b b ac
x a
---=， ∴| x 1－x 2|＝2224424222b b ac b b ac b ac
a a a
-+------=
24||||
b a
c a a -∆
==
． 于是有下面的结论：
若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝
||
a ∆
（其中Δ＝b 2－4ac ）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
【变式】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，
∴(x 1＋x 2)2
－3 x 1·x 2＝21，
即 [－2(m －2)]2
－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．
当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。
（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式
Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。
四、分组分解
能分组分解的有四项或六项或大于四项，一般的四项分组分解有两种形式：二二分法（①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组），三一分法（先完全平方公式后平方差公式）。
【例5】把下列各式分解因式：
⑴2
52156x xy x y +--= ； ⑵22463a b a b -+-= ； ⑶2
2
96y x x --+= ；
⑷3
2
2
3
8365427x x y xy y -+-= ； ⑸3
2
1x px px p +++-= .
【答案】⑴252156(3)(52)x xy x y x x y +--=-+
⑵22
463(2)(23)a b a b a b a b -+-=-++
⑶22
96(3)(3)y x x y x y x --+=+--+
⑷3
(23)x y -
⑸
2(1)(1)x x x p +++- 课后练习
1、把下列各式分解因式
（1）6
12
64x y - （2）32
81261x x x -+-
（3）322421218n n n x x y x y -+ （4）42
(20)x y x y -- （5）257(1)6(1)a a ++-+ （6）42
98y y -+
（7）2524x x +- （8）2
1336x x -+
（9）231x x -++ （10）22
x xy y --
（11）222(2)9(2)x x x +-+ （12）22
(87)(815)15a a a a +++++
2、已知12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求：①()()
1211x x --；②12x x -；③
1221
x x x x +；④33
12x x +；
3、已知,αβ是方程2
40x mx m --=的两根，且()()2234αβαβ--=-，求m 的值.
【作业参考答案】
1、（1）22242224(2)(42)(2)(42)x y x xy y x y x xy y -+++-+（2）3
(21)x -
（3）222(3)n n x x y -（4）2
(2)(2)(5)y x x x -++（5）(23)(32)a a -+-
（6）(1)(1)(22)(22)y y y y +-+- （7） (3)(8)x x -+ （8）(4)(9)x x --
（9）113113
3()()66x x +---- （10）1515()()22
x y x y +---（11）2
(2)(3)(3)x x x ++-
（12）
()()()()464626a a a a +++-++
2、由题意可知121252x x x x +==-,
()()1212121112516x x x x x x --=-++=--+=-()
2121212()425833x x x x x x -=+-=+=
()2
2212121212211212225429
22
x x x x x x x x x x x x x x +-+++====-- 33222121211221212123531155x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-=⨯=()()()[()]
3、由题意可知4m m αβαβ+==-,
()()222222252923634m m αβαβαβαβαβαβ--=+-=+-=+=-()()
解得1m =-或17m =-
若方程有两个根，则2
160m m ∆=+>解得0m >或16m <-
m=-所以17
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法 知识精要： 一、因式分解的概念 1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解 因式分解 多项式（和差形式） 整式的积（积的形式） 整式乘法 二、提取公因式法 1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++ （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数； （2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数． 2、步骤： （1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式． 3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法： （1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积． （2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式． 4、提取公因式法应注意的事项： （1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题． 二、公式法 1、平方差公式： 22 ()()a b a b a b -=+- 2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± 3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：
数与式的运算
数与式的运算 数与式的运算是数学中的基础内容之一，它涉及到数的运算和式的运算。数的 运算主要包括加法、减法、乘法和除法，而式的运算则是对含有未知数的表达式进行计算和化简。在日常生活和学习中，我们经常会遇到各种数与式的运算问题，因此掌握这方面的知识对于我们的数学学习和实际应用都具有重要意义。 一、数的运算 数的运算是数学的基础，它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。这些 运算符号和规则在我们的日常生活中随处可见，我们经常会用到它们来解决各种实际问题。 1. 加法 加法是最简单的数的运算之一，它的运算符号是“+”。当我们需要将两个或多 个数进行相加时，可以使用加法。例如，计算2 + 3的结果为5，表示两个数相加 的和是5。在加法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a + b = b + a。 2. 减法 减法是数的运算中常用的一种，它的运算符号是“-”。减法是加法的逆运算，它表示从一个数中减去另一个数。例如，计算5 - 3的结果为2，表示从5中减去3的差是2。 3. 乘法 乘法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“×”或“*”。乘法表示将两 个或多个数相乘的结果。例如，计算2 ×3的结果为6，表示两个数相乘的积是6。在乘法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a × b = b × a。 4. 除法
除法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“÷”或“/”。除法表示将一 个数分成若干等份的运算。例如，计算6 ÷ 2的结果为3，表示将6分成2等份， 每份的值是3。在除法中，被除数除以除数得到商，商可以是整数或小数。 二、式的运算 式的运算是对含有未知数的表达式进行计算和化简的过程。式是数学中的一种 基本表达形式，它由数和运算符号组成，可以用来表示数与数之间的关系。 1. 合并同类项 合并同类项是对式进行化简的一种常用方法。同类项是指具有相同的字母部分 和相同的指数的项。例如，对于表达式3x + 2x - 5x，我们可以将其中的同类项3x、2x和-5x合并得到x，即3x + 2x - 5x = x。 2. 提取公因式 提取公因式是对式进行化简的另一种常用方法。公因式是指可以同时整除多个 项的因式。例如，对于表达式2x + 4xy，我们可以提取出公因式2x，即2x + 4xy = 2x(1 + 2y)。 3. 展开式 展开式是将含有括号的式子进行化简的一种方法。展开式的结果是将括号中的 内容按照乘法分配律进行运算。例如，对于表达式3(x + 2y)，我们可以将括号中的内容按照乘法分配律展开，得到3x + 6y。 4. 因式分解 因式分解是将一个多项式拆分成若干个因式的乘积的过程。因式分解在解决实 际问题和简化计算中都有重要的应用。例如，对于表达式x² - 4，我们可以因式分 解得到(x + 2)(x - 2)。 三、数与式的运算实例
数与式的运算(教师)
数与式 知识结构 奇数和偶数 素数和合数 数的整除一个整数能被2整除的特征 能被5整除的特征 公因数和公倍数 两个整数互素 间的关系公因数—最大公因数 公倍数—最小公倍数 实数的分类 绝对值 用数轴上的点表示实数 实数大小比较 实数运算法则及运算性质 实数的运算 近似数及近似计算 科学记数法 整式的有关概念 整式整式的运算(加、减、乘、除、乘方) 因式分解 分式的意义 分式的基本性质 代数式分式分式的运算(加、减、乘、除) 整数指数幂的运算 二次根式的概念 根式——二次根式二次根式的性质 最简二次根式 二次根式的运算同类二次根式 分母有理化 一、选择题 1.下列算式中表示整除的算式是(C) A.0.6÷0.3=2 B. 2÷5=0.4 C.18÷9=2 D. 16÷5=3 (1) 2.在下列实数中，无理数是(C)
A.5.2 B.0 C.√7 D.14 5 3. 下列说法正确的是(B) A.数轴上的点都表示一个有理数 B.所有有理数都可以用数轴上的点表示 C.有理数与数轴上的点一一对应 D.以上都不对 4. 如图，数轴上的点P 表示的数可能是(B) A.√5 B.−√5 C. −3.8 D.−√10 5. 一种零件的成本是280元，改进技术后，成本降低了25%,则这种零件现在的成本是(C) A.70元 B.80元 C.210元 D.200元 6. 某班有女同学26名，男同学22名，那么男生比女生少(C) A.11 13 B.1 12 C.2 13 D.2 11 7. 下列说法正确的是(A). A.有理数都是实数； B.无限小数都是无理数； C.带根号的数都是无理数 D.无理数都是带根号的数. 8. 地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量是地球质量的3.3×105倍，太阳的质量用科 学记数法表示为(B). A.1.98×1018亿吨； B. 1.98×1019亿吨； C. 1.98×1020亿吨； D. 1.98×1065亿吨. 9. 已知0.001999=1.999×10n ，那么n 为(C) A.3; B.6 C.-3 D.-6. 10. 下列各数中，哪一个是无理数(B). A.30 B.31 2 C.3−2 D.2 3 11. 在下列二次根式中，与√a 是同类二次根式的是(C). A.√2a B.√3a 2 C.√a 3 D.√a 4 12. 下列计算中，正确的是(D). A.√9=±3 B.√2+√3=√5 C.3√2−√2=2 D.√8÷√2=2 13. 下列运算中，正确的是(B).
数与式的运算、因式分解(教师版)
数与式的运算 一、乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； ⑵完全平方公式 2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： ⑴立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； ⑵立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； ⑶三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； ⑷两数和完全立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b +=+++； ⑸两数差完全立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】计算： ⑴)749)(7(2 x x x +-+ ⑵)1)(1)(1)(1(2 2+-+++-a a a a a a (3)()()a b c a b c +--- (4)2222 [(2)][(2)]x y x y -+++ 答案：（1）3343x + （2）6 1a - （3） 2a c b ac +-- (4)422422 28816x x y y x y ++-++ 例题的设计意图 (1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 （3）（4）利用整体代换思想简化运算。 二、根式 式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥ (2) 2(0)||0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪ ===⎨⎪-<⎩ (3) (0,0)ab a b a b =⋅≥≥ (4) (0,0)b b a b a a =>≥ 三、分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 【例2】化简 （1）2323++- （2）11x x x x x -+ -
人教版因式分解教案
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整
式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。 教学难点：1、分解因式与整式乘法的区别和联系。2、正确找出多项式各项的公因式。 五、教学资源 借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地
乘法公式和因式分解教案(教师版)1
乘法公式和因式分解 姓名 分数 为生命画一片树叶 只要心存相信，总有奇迹发生，希望虽然渺茫，但它永存人世。 美国作家欧;亨利在他的小说《最后一片叶子》里讲了个故事：病房里，一个生命垂危的病人从房间里看见窗外的一棵树，在秋风中一片片地掉落下来。病人望着眼前的萧萧落叶，身体也随之每况愈下，一天不如一天。她说：“当树叶全部掉光时，我也就要死了。”一位老画家得知后，用彩笔画了一片叶脉青翠的树叶挂在树枝上。 最后一片叶子始终没掉下来。只因为生命中的这片绿，病人竟奇迹般地活了下来。 人生可以没有很多东西，却唯独不能没有希望。希望是人类生活的一项重要的价值。有希望之处，生命就生生不息！ 感悟： 【回头望月】 两数和乘以它们的差公式：()()2 b a b a b a -= -+ 两数和的平方公式： ()2 2 2 2b ab a b a +±=± 【运河通道1】因式分解 1．几个整式相乘，每个整式叫俟它们的积的因式． 2．因式分解是多项式的一种变形，就是把多项式转化为乘积的形式，?它与整式乘法正好是相反的变形． 3．因式分解的结果必须是几个整式的积的形式，?而不是几个整式的积与某项的和差形式． 【扬帆起航1】方法 ①提公因式法 ②运用公式法 ③十字相乘法 ④分组分解法 【扬帆起航2】 因式分解的一般步骤为： 1、首先提取公因式； 2、然后考虑用公式； 3、十字相乘试一试； 4、分组分解反复试； 5、 最后连成质因式。 【扬帆起航3】对下列多项式进行因式分解： （1）－5a 2＋25a ； （2）3a 2－9ab ；
（3）25x 2－16y 2； （4）x 2＋4xy ＋4y 2. 【经典变例】把下列各式分解因式： （1）2 2 b a 9-； （2）2 2m n 4+-； （3）2 2 b 9a 161-； （4）4 22c b 25a 16-； （5） 09 .0y x 4 12 2+-。 思路分析 （这是平方差公式的特征） 通过变形，二项都是完全平方形式，且符号相反。 解：（1）)b a 3)(b a 3(b )a 3(b a 92 2 2 2 -+=-=-； （2）2 22 2 )n 2(m m n 4-=+- （加法交换律） =(m+2n)(m －2n)； （3）2 2 2 2 )b 3(4a b 9a 16 1-??? ??=- ??? ??-??? ??+=b 34a b 34a ； （比较两种分解方法） 或 ) b 144a (161b 9a 1612 2 2 2 -= - ] )b 12(a [1612 2 -= ) b 12a )(b 12a (16 1-+=；
(完整版)因式分解复习教案(教师版)
因式分解复习教案(教师教学案) 教学目标： 1。复习巩固用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。 2.会综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式. 教学重点：综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。 教学难点 ：根据题目的结构特点，合理选择方法。 教师活动 一、引入 本章我们学习了分解因式，学习分解因式同学们要掌握以下知识：（1）什么叫分解因式？（2）怎样分解因式？或者分解因式有哪些方法？下面我们一起带着这些问题进行复习 二、教授新课 知识点1：分解因式的定义（教师和学生一起复习定义及特征,强调因式分解与整式的乘法的关系） 思考：什么是分解因式?因式分解与整式的乘法有何关系 分解因式的特征,左边是 , 右边是 。 针对练习:下列选项,哪一个是分解因式（ ）（学生自主完成此题，并指出错在哪里） A ．x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 。103)2)(5(2-+=-+x x x x C 。22)4(168-=+-x x x D 。y x x y x ⋅⋅=552 知识点2：分解因式的第一种方法—-——--提公因式法 思考：如何提公因式?（教师强调公因式公有的意思-——你有我有大家有才是公有） 注意：(学生一起读一遍） 公因式的确定： （1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数:取系数的最大公约数； （3）字母:取字母(或多项式）的指数最低的; （4）所有这些因式的乘积即为公因式 （5）某一项被作为公因式完全提出时,应补为 例如: 1．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________ 2．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．24ab c - B ．38ab - C ．32ab D ．3324a b c 3。 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________ 提公因式法分解因式分类： 1.直接提公因式的类型：（1)3442231269b a b a b a +-=________________； （2）11n n n a a a +--+=____________ （3）423)()()(b a b a y b a x -+---=_____________
第一讲：数与式的运算
初高中数学衔接教材 第一讲 数与式的运算 教师版 导语：高中数学五本必修教材（必修一~必修五），选修教材因文理不同，高一上期一般学必修一、四；下期学必修五、 三、二的直线和圆部分；高二上期学必修二，下期学习选修系列。高一以代数为主，高二以几何为主，但高中数学有四大思想方法，做题始终贯穿：①数形结合；②分类讨论；③转化与化归；④函数与方程。必修一共两章：集合和函数。集合很抽象，而函数又需要用到初中许多基础知识，所以需要先复习2课时的初中知识，13课时预计上到函数中高一的特殊函数：指数函数 一、绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 （1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________. （2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 练习1 下列叙述（命题）正确的是 . ①若a b =，则a b = ②若a b >，则a b > ③若a b <，则a b < ④若a b =，则a b =± /*命题：可以判断对错的陈述句。对的命题称为：真命题；错的命题称为：假命题。*/ 例2 解不等式：13x x -+-＞4． 练习2 化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）． 二、二次根式
10)a ≥ 的代数式叫做二次根式．其中，根号下含有字母、且不能够开得尽方的式 子称为 无理式 . 例如32a b .212x + +，22x y +等是有理式． 2、分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两 个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 -b 与b 互为有理化因式． 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.比如， =-512 ； =-+1 1n n ；=++12x x . 3a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 例3 将下列式子化为最简二次根式： （1（20)a ≥ （30)x < 例4 (3-． 例5 试比较下列各组数的大小： （1 （2 和. 【点评】高中阶段的“比大小”方法：①比较法：⎩ ⎨⎧）（符号确号确定的前比1与:作商比0与:作差；②假设法（但不能写在试卷上，只能帮助得到答案）：实质分析法/反证法；③构造函数（第二章中学习）
复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(教师版)
A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2） 2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（A） A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c 3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ A ） A．–6B．6C．–9D．9 三、课堂练习 1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（D）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11 2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（A） A．25B．20C．15D．10 3．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（D） A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0 C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0 4．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ． 5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝19 ． 6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝ 3 ；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝-2022 ． 7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝15 ． 8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 3 ．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是124 ． ①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；
(完整版)因式分解——公式法教案
因式分解——公式法（1） 一．教课内容 人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时 二．教材剖析 分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后边 的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简， 以及解方程都将以它为基础。所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上 启下的作用。同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。 依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公 因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。 三．教课目的 知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公 式分解因式 过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力 2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能 力和数学应企图识，浸透整体思想 感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进 而加强学好数学的梦想和信心 四．教课重难点 要点：会运用平方差公式分解因式 难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式 易错点：分解因式不完全 五．教课方案 （一）温故知新 1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？ 22 （1）（ 2x - 1） = 4 x - 4x + 1; (2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1); (3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x. 2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。 （1） a3b3 - 2a2 b - ab ; ( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy. 【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。 3.依据乘法公式进行计算： （1）（ x + 1）(x -1)； （2）（ x + 2 y）(x - 2 y).
2019年中考数学专题复习 第一章 数与式第四讲《因式分解》(含详细参考答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦ 2019年中考备战数学专题复习精品资料 第一章 数与式 第四讲 因式分解 ★★★核心知识回顾★★★ 知识点一、因式分解的定义 1．把一个 式化为几个整式 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2．因式分解与整式乘法是 运算，即： −−−−→←−−−−因式分解 整式乘法多项式整式的积。 知识点二、因式分解常用方法 1．提公因式法 公因式：一个多项式各项都有的 叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。 2．运用公式法： 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。 （1）平方差公式：a 2-b 2= ； （2）完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。 温馨提醒： 运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。如： 214x x -+符合完全平方公式形式，而212x x -+就不符合该公式的形式。 温馨提醒： 公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，确定公因式的一般方法是： （1）先取系数，取多项式中各项系数的 ； （2）再取字母，取各项中共同的字母； （3）最后取指数，取相同字母的指数中的 。 温馨提醒： 判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否 为 的形式。
★★★中考典例剖析★★★ 考点一：因式分解 命题角度①：提公因式法 例1 （2018•杭州）因式分解：（a-b）2-（b-a）= ． 【思路分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果． 【解答】解：原式=（a-b）2+（a-b）=（a-b）（a-b+1）， 故答案为：（a-b）（a-b+1）。 【点评】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 思维升华： （1）提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为1，不能漏掉。 （2）提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先 提取负号，注意括号内各项都要变号。 变式训练 1．（2018•潍坊）因式分解：（x+2）x-x-2= ． 命题角度②：公式法 例2 （2018•贺州）下列各式分解因式正确的是（） A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2-4xy+9y2=（2x-3y）2 C．2x2-8y2=2（x+4y）（x-4y） D．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）（x+y） 【思路分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案． 【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确； B、2x2-4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误； C、2x2-8y2=2（x+2y）（x-2y），故此选项错误； D、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．例3（2018•绥化）因式分解：3ax2-12ay2= ． 【思路分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解答】解：原式=3a（x2-4y2） =3a（x+2y）（x-2y）， 故答案为：3a（x+2y）（x-2y）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 思维升华： 因式分解的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”： （1）先看是否能提公因式； （2）再看能否套用公式法； （3）再检查因式分解是否彻底； （4）最后用多项式乘法检验分解是否正确。
因式分解教案 (优秀4篇)
因式分解教案（优秀4篇） 因式分解教案篇一 学习目标 1、学会用公式法因式法分解 2、综合运用提取公式法、公式法分解因式 学习重难点重点： 完全平方公式分解因式。 难点： 综合运用两种公式法因式分解 自学过程设计 完全平方公式： 完全平方公式的逆运用： 做一做： 1、(1)16x2-8x+_______=(4x-1)2; (2)_______+6x+9=(x+3)2; (3)16x2+_______+9y2=(4x+3y)2; （4）(a-b)2-2(a-b)+1=(______-1)2. 2、在代数式(1)a2+ab+b2;(2)4a2+4a+1;(3)a2-b2+2ab;(4)-4a2+12ab-9b2中， 可用完全平方公式因式分解的是_________（填序号） 3、下列因式分解正确的是( ) A.x2+y2=(x+y)2 B.x2-xy+x2=(x-y)2 C.1+4x-4x2=(1-2x)2 D.4-4x+x2=(x-2)2 4、分解因式：(1)x2-22x+121 (2)-y2-14y-49 (3)(a+b)2+2(a+b)+1 5、计算：20062-40102006+20052=___________________. 6、若x+y=1，则x2+xy+ y2的值是_________________. 想一想 你还有哪些地方不是很懂？请写出来。 _______________________________________________________________________________ _____ 预习展示一： 1、判别下列各式是不是完全平方式。 2、把下列各式因式分解： (1)-x2+4xy-4y2 (2)3ax2+6axy+3ay2 （3）(2x+y)2-6(2x+y)+9 应用探究： 1、用简便方法计算 49.92+9.98 +0.12 拓展提高： （1）（a2+b2）（a2+b2 10）+25=0 求a2+b2 (2)4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0 求x、y关系 （3）分解因式：m4+4
2021年因式分解教案三篇
The time wasted casually can never be won back.勤学乐施积极进取（页眉可删） 2021年因式分解教案三篇 因式分解教案篇1 学习目标 1、了解因式分解的意义以及它与正式乘法的关系。 2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法分解因式。 学习重点：能用提公因式法分解因式。 学习难点：确定因式的公因式。 学习关键，在确定多项式各项公因式时，应抓住各项的公因式来提公因式。 学习过程 一.知识回顾 1、计算 (1)、n(n+1)(n-1)(2)、(a+1)(a-2) (3)、m(a+b)(4)、2ab(x-2y+1) 二、自主学习
1、阅读课文P72-73的内容，并回答问题： (1)知识点一：把一个多项式化为几个整式的__________的形式叫做____________，也叫做把这个多项式__________。 (2)、知识点二：由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得 ma+mb+mc=m(a+b+c) 我们来分析一下多项式ma+mb+mc的特点;它的每一项都含有一个相同的因式m，m叫做各项的_________。如果把这个 _________提到括号外面，这样 ma+mb+mc就分解成两个因式的积m(a+b+c)，即 ma+mb+mc=m(a+b+c)。这种________的方法叫做________。 2、练一练。P73练习第1题。 三、合作探究 1、(1)m(a-b)=ma-mb(2)a(x-y+2)=ax-ay+2a，由上可知，整式乘法是一种变形，左边是几个整式乘积形式，右边是一个多项式。、 2、(1)ma-mb=m(a-b)(2)ax-ay+2a=a(x-y+2),由此可知，因式分解也是一种变形，左边是_____________，右边是 _____________。
北师大版初二(下)数学第52讲：因式分解方法(1)(教师版)——房山
因式分解方法（1） __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解因式分解的定义； 2. 掌握提取公因式法.公式法.分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式. 1.分解因式 （1）把一个多项式化成几个整式的__________,这种变形叫做把这个多项式分解因式。 （2）因式分解与整式乘法是互逆关系。 注意：因式分解与整式乘法的区别和联系: ①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式； ②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。 2.提公共因式法 （1）如果一个多项式的各项含有________,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: ab＋ac＝a（b＋c）（2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c） 3.运用公式法 （1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （2）主要公式： ①平方差公式：____________________ ②完全平方公式: ____________________ (3)易错点： 因式分解要分解到底。如就没有分解彻底。 4.因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先______________； (2)再看能否使用公式法；
因式分解教案
因式分解教案 【精品】因式分解教案四篇 因式分解教案篇1 【教学目标】 1、了解因式分解的概念和意义; 2、认识因式分解与整式乘法的相互关系――相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 【教学重点、难点】 重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 【教学过程】 ㈠、情境导入 看谁算得快：（抢答） (1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________； (3)若x=-3,则20x2+60x=____________。 ㈡、探究新知 1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400； (2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000； (3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。 2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2， 20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)
3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。（学生概括，老师补充。） 板书课题：§6.1 因式分解 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。 ㈢、前进一步 1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2, (a-b)2= a2-2ab+b2， 20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？ 2、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解 结合：a2-b2 （a+b）（a-b） 整式乘法 说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。 结论：因式分解与整式乘法的相互关系――相反变形。 ㈣、巩固新知 1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b ＋x＋y)； (3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； (7)k2++2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b・6ac。 2、你能写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。 ㈤、应用解释
14.3 因式分解讲义 教师版
14.3 因式分解 学习目标 1.了解因式分解的意义 2.理解因式分解的方法------提公因法 2.通过对因式分解方法的归纳学习，培养学生独立思考的习惯 学习重点 知识点一因式分解【重点】 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 【例题1】下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（） A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2 C．ax+bx+c=x（a+b）+c D．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） 【分析】直接利用把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而分析得出答案． 【解答】解：A、x（a﹣b）=ax﹣bx，是整式乘法，故此选项错误； B、x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2，不是因式分解，故此选项错误； C、ax+bx+c=x（a+b）+c，不是因式分解，故此选项错误； D、y2﹣1=（y+1）（y﹣1），是因式分解，故此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键． 【变式1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．（x+1）2=x2+2x+1 D．x2﹣x=x（x﹣1） 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意； C、是整式的乘法，故C不符合题意； D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的意义，判断的依据是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 【变式2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2 B．4a2b3=4a2•b3 C．x2﹣2x+1=（x﹣1）2 D． 【分析】C选项左边是多项式，右边的乘积式，符合因式分解的定义，其它选项不符合因式分解的定义，不是因式分解，可得答案． 【解答】解：A、（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2 不符合因式分解的定义； B、4a2b3=4a2•b34a2b3=4a2•b3不符合因式分解的定义； C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2左边是多项式，右边的乘积式，符合因式分解的定义； D、不符合因式分解的定义． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的意义；严格按照定义去验证每个选项是正确解答本题的关键． 知识点二用提公因式法分解因式【重点】 1.公因式定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂 3.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4、提公因式法基本步骤： （1）先确定公因式； （2）把多项式的每一项都写成公因式与另一个因式的积的形式
北师大版八年级(下)数学第16讲：分解因式-十字相乘法(教师版)——王琪
分解因式-十字相乘法 一. 十字相乘法 1.对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积。 2. 规律内涵: (1)把二次三项式分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号 与一次项系数p的符号相同. (2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 3. 易错点点评: (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确. 二．分组分解法 1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 2. 概念内涵: 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 1．若2x3﹣ax2﹣5x+2=（2x2+ax﹣1）（x﹣b），则a+b=（） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 解：∵（2x2+ax﹣1）（x﹣b）=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b， ∴2x3﹣ax2﹣5x+2=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b， ∴﹣a=a﹣2b，﹣5=﹣（ab+1），b=2，解得：a=2，b=2，∴a+b=4， 故选D 2．计算结果为x2+7x﹣18的是（） A．（x+2）（x﹣9）B．（x﹣2）（x+9）C．（x+3）（x+9） D．（x﹣3）（x+6） 解：x2+7x﹣18=（x﹣2）（x+9）． 故选：B． 3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（） A．0 B．10 C．12 D．22 解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解， 可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6， 则a+b+c=（﹣5）+11+6=12． 故选C． 4．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（） A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y 解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．
七年级同步第10讲：提取公因式法、公式法分解因式-教师版
1 / 21 提取公因式法与公式法 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： () m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解 式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式． 3、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成m 与a b c ++的乘积形式． 6、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由． （1）()()22 x y x y x y +-=-； （2）()322 x x x x x x +-=+； （3）()2 3232x x x x +-=+-； （4）()()111xy x y x y +++=++． 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是． 【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义．