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初高中数学衔接第1课数与式的运算 1

初高中数学衔接第1课数与式的运算 1初高中数学衔接第1课数与式的运算1

初高中数学衔接第1课数与式的运算(1)

第1课数与式的运算（1）

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．⎧a，a>0，即|a|＝⎧

⎧0，a＝0，⎧

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．【例1】在数轴上表示|x＋1|与|x－1|的几何意义．

【基准2】化简：(1)|3x－2|；(2)|x＋1|＋|x－3|；x－4x＋4；

【例3】解下列方程：(1)|x－1|＝1；(2)|x2－1|＝1.

【基准4】求解以下不等式．(1)|2x＋3|≤2；(2)|x－1|＋|x－3|>4.

(4)t＋4t＋4.

【基准5】图画出来以下函数的图象．(1)y＝|x|；(2)y＝|x－2|＋|x＋2|.

1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋

b2.3．立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.4．立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.

5．三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)．6．两数和立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.7．两数高立方公式：(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.【基准6】因式分解．(1)x3－1；(2)x3＋1.

【例7】计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．

【基准8】未知：x＋y＝1，谋x3＋y3＋3xy的值．

【例9】已知：x2－3x＋1＝0，求x3＋1

【基准10】设x＝2323，y2－3

x3＋y3的值．

1．以下描述恰当的就是()

a．若|a|＝|b|，则a＝bb．若|a|>|b|，则a>bc．若a

3．如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________.4．化简：|x＋1|－|x－2|.

5．解方程3|x＋1|－1＝5.

6．求解不等式|x2－1|≤2.

7．画出下列函数的图象．(1)y＝－|x＋1|(2)y＝|x|＋|x－1|

8．排序：(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；

(3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3；

9．未知：x2－5x＋1＝0，谋x3＋1

(2)(x2＋2xy＋y2)·(x2－xy＋y2)2；(4)(a－4b)(1

＋4b2＋ab)．

10．已知：a＋b＋c＝0，求b＋c－aa＋c－b＋a＋b－c

．未知：a>0，a2x

＝3，求：a3x＋a3x

11a＋a－

12．已知：a2

－4a＋1＝0a2

a＋5a＋1

13．未知：a＋b＋c＝0，谋a(1b＋1c＋b1c1a＋c(11

a＋b)．

14．未知：a＋b＋c＝0.澄清：a3＋a2c＋b2c－abc＋b3＝0.

例1解|x＋1|为a、b两点间的距离，如图

|x－1|为a、b两点间的距离，例如图

⎧3x－2(x≥2

3基准2求解(1)|3x－2|＝⎧⎧－3x＋2(x

⎧－2x＋2(x≤－1(2)|x＋1|＋|x－3|＝⎧

)⎧4(－1

⎧⎧2x－2(x≥3)

(3)原式＝(x－2)＝|x－2|＝⎧⎧⎧x－2(x≥2)

－x＋2(x

(4)原式＝(t＋2)＝t2＋2.

例3解(1)x＝0或x＝2；(2)x＝0或x＝2.例4解(1)52x≤－1

2；(2)x>4或x

例6解(1)(x－1)(x2＋x＋1)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)．例7解(x3＋1)(x3－1)＝x6－1.

基准8求解原式＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＋3xy＝(x＋y)2＝1.基准9求解由x2－3x＋1＝0得：x1

∴x3＋1x3[(x1

2－3]＝18.

例10解xy＝1，x＋y＝14，x3＋y3＝2702.强化训练

1．d2.±5±43.±43或－1

⎧－3(x≤－1)4．解|x＋1|－|x－2|＝⎧

⎧2x－1(－1

⎧⎧3(x≥2)

5．求解x＝1或x＝－36．求解3≤x≤37．求解

8．解(1)64＋m3；(2)(x3＋y3)2＝x6＋2x3y3＋y6；(3)－3a2b－3ab2；183－8b3)＝1

43－16b3.

9．解x＋1x5，(x＋11

x)[(x＋x

2－3]＝110.

10．求解原式＝1111a＋b＋c

－2bc－2ac＋－2ab2[abc＝0.

11．求解原式＝a2x－1＋a

＝3－1＋17

12．求解a＋1a＝4，a2＋1a14，原式＝11

a2＋119

13．求解原式＝acbbcababbb－1＋aaa－1＋cc＋c

14．证明原式＝a2(a＋c＋b)－a2b－abc＋b2c＋b3＝－ab(a＋c＋b)＋ab2＋b2c＋b3＝b2(a＋b＋c)＝0.

(完整版)初高数学衔接第一讲数与式的运算

第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++= ∴等式成立【例1】计算：2 2 )3 12(+-x x 解：原式=2 2 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 ))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((2 2 b ab a b a ++- 解：原式=3 3 3 3 2 2 )(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：

初高中数学衔接教材参考答案

初高中数学衔接教材参考答案第一讲数与式的运算例1. 解：原式=22]3 1 )2([+-+x x 例2. 解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 例3. 解：（1）原式=333644m m +=+ 例7. 解：(1) 原式6= =- (2) 原式ab (3) 原式=-+=- 例8. 解：(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+

(2) 原式 = + = + 例9. 解：77 14,123 x y x y xy == =+=-⇒+==- 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-= 例10. 解法一： 1．3． 4．-5．例1. 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+ 例2. 解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 例3. 解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--

例4. 解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 例5. 解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 例6. 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++- 例7. 解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=- 2 例8. (1) 24- 15(5)-=-例例10. 例11. 练习 1．(a +1(2645525216 p - ． 2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+ 4. 322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+ 5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+

数学初高中知识衔接

初高中衔接数学自主学习材料专题学案一、数与式的运算新课导学：一、乘法公式 1．计算()( )2 2 b ab a b a +-+ 2．思考：用简便的方法计算()( )2 2 b ab a b a ++- 3．观察得出两个乘法公式：立方和与立方差公式，并把它写出来. 例1．（1）()( )2 4164m m m +-+ （2）2 2111115 225104m n m mn n ⎛⎫⎛⎫ -+ + ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （3）( )()2 2 2 222x xy y x xy y ++-+ （4）()221999x y x y xy ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 例2．已知13x x + =，求331 x x +的值. 例3．因式分解（1）273 -x （2）183 +y 二、根式（1）根式a 中a 的取值范围是；根式3a 中a 的取值范围是（2）性质：=2)(a ，=2a ；=3 3)(a ，=33a )0,0(__________≥≥=b a ab )0,0_________(>≥=b a b a 例1．（1）求使2 21 53-+ -x x 有意义的实数x 的取值范围.

（2）若a a a 214412-=+-，求a 的取值范围. 例2．化简下列各式（1 （2 （3 例3．比较大小（1）21+ （22 三、绝对值 1．代数意义：_______________________________ 2．几何意义：_______________________________ 例1．（1）① 若5=x ，则x = ② 若4-=x ，则x = （2）已知x x x x -=-22，则x 应满足________. 例2．说出下列各式的几何意义. （1）|2|+x （2）|3|-x （3）||a x + （4）|1||2|++-x x （5）|1||2|+--x x 例3．利用绝对值的几何意义，求满足下列各式的x 的取值范围. （1）2||>x （2）2|1|>-x （3）5|3|<+x 小结：不等式)0(||>>a a x 的解集是，不等式)0(||>++-x x ③ 3|1||2|<++-x x （2）① 若不等式a x x >++-|1||2|恒成立，求a 的取值范围. ② 若不等式a x x ≤+--|1||2|恒成立，求a 的取值范围.