初高中数学衔接 数与式的运算(4课时)
数与式的运算
课时一：乘法公式
一、初中相关知识
1． 实数运算满足如下运算律：
加法交换律，乘法交换律，加法结合律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2． 乘法公式
平方差公式：22))((b a b a b a -=-+
完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±
二、衔接目标要求
1． 理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2． 掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
3． 三、入门衔接知识
根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式
（1）ab x b a x b x a x +++=++)())((2
（2）立方和公式：3
322))((b a b ab a b a +=+-+
（3）立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-
（4）两数和的立方公式：3223333)(b ab b a a b a +++=+
（5）两数差的立方公式：3223333)(b ab b a a b a -+-=-
（6）三数和的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222++=++=++ 四、典型例题引路
例1、计算：
（1）)5)(2(-+x x （2）2
)2(c b a -+ （3）3
)1(-x （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++
例2：已知4=++c b a 4=++ac bc ab 求2
22c b a ++的值
例3：求)1)(4)(2)(1(+---m m m m
例4：已知：0133=+-x x ，求331x x +
的值。
例5：已知：。y xy x y xy x y x y x y x 的值求))()()((,2,322223+++-+-==
例6．已知：35,2=-=-c a b a ，求：])())(())[((22c a c a b a b a b c -+--+--的值。
五、自主探索训练
1．计算
（1）2)43(z y x -- （2）)2)(()12(2b a b a b a +---+
（3）)44
1
)(4(22ab b a b a ++- （4）))(c b a c b a ---+ （5）))()()((z y x z y x z y x z y x -++-++-++
2．化简
（1）)23)(23(z y x z y x --+- （2）)32)(32(d c b a d c b a ++-+-+
3．计算：158422
1)211)(211)(211)(211(+++++ 4．先化简，再求值：).)((()(3
333222y x y x y xy x y x +-+-++-其中1,1-==y x 。 5．已知：1=+y x ，求xy y x 33
3++的值。
课时二：因式分解
一、初中相关知识
因式分解：提取公因式：)(c b a m mc mb ma ++=++
公式法：))((22b a b a b a -+=- 222)(b a b ab a ±=+±
二、衔接目标要求
掌握提取公因法和公式法的因式分解，理解分组分解法和十字相乘法的因式分解。
三、入门衔接知识
假设：c C c x c a c a x a a c x a c x a c bx b a 11221221221122)())((+++=++=++
则：a a a =21 ，c c c =21，b c a c a =+1221
反过来：如果将c a ,分解成：2121,c c c a a a ==使得：2121,c c c a a a ==的情况常常不是唯一的，并且要求b c a c a =+1221“恰好”成立，因此分解c a ,的过程和排列
2121,c c a a 与的过程都是一个尝试的过程，这个过程可以等成如下形式：
)(21a a a = )(21c c c =简易为 )(1221b c a c a == 我们称这种将二次三项式c bx ax ++2的因式分解的方法为“十字相乘法”举旬说明：
十字相乘法较适合于解决简单的二次三项式因式分解问题。
3．“求根法”因式分解
若关于x 的方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，则二次三项式)0(02≠=++a c bx ax 就可以分解为))((21x x x x a --，这种因式分解的方法叫做求根法。
四、典型例题引路
1、公式法
1a 1c 2c 2
a 1
a 1c 2c 2a
例1 分解下列因式
（1）43813b b a + （2）44422
2+++++b a ab b a （3）3
2327279y xy y x x -+- （4）67ab a -
（5）327125.0b - 2、分组分解法
例题：将下列各式因式分解
（1）bx ax b a +--22 （2）cd b a d c ab )()(2222---
（3）1223+-q q （4）124++a a
（5）2
228242z y xy x -++
3、十字相乘法
（1）．pq x q p x +++)(2型式子的因式分解
例3：把下列各式分解因式
（1）672+-x x （2）36132++x x （3）2452-+x x （4）1522
--x x （5）226y xy x -+ （6）12)(8)(2
22++-+x x x x （7）12)2)(1(2
2-++++x x x x （2）．一般二次三项式c bx ax ++2
的分解因式 例4．把下列各式分解因式
（1）25122--x x （2）2
2865y xy x -+ 4、求根法
例5：在实数范围内把下列关于x 的二次三项式因式分解
（1）122-+x x （2）2244y xy x -+
5、换元法
例5：分解下列因式
（1）12)(8)(2
22++-+x x x x （2）24)45)(2522-+-+-x x x x （3）15)7)(5)(3)(1(+++++x x x x
6、添项、拆项法
例6：分解下列因式
（1）4224b b a a ++ （2）432
3+-x x （3）223---x x x
五、自主探索训练
1．把下列各式分解因式
（1）644+x （2）4
22497y y x x +- （3）21311123-+-x x x （4）222222)1(2)16)(1(5)16(2++++++++x x x x x x （5）15++x x （6）12)2(7)2(2
22+---x x x x （7）142-+x x （8）1322--x x
2．已知：012=++w w ，求：200019811980w w w +++ 的值。
3．书知：2,3
2==
+ab b a ，求代数式.22222的值ab b a b a ++
4．证明：数n 为大于2的整数时，n n n 4535+-能被120整除。
5．两个正数之和比积小1000，且其中一个是完全平方数，试求数大的数？
课时三：分式
一、初中相关知识
分式：分式的定义，分式的基本性质，分式的约分，分式的通分，分式的运算。
二、衔接目标要求
掌握分式的基本性质及运算，了解繁分式的化筒方法。
三、入门衔接知识
1、繁分式：像x
x
x y x x y
+++121,2等这样的分式叫做繁分式，在化简繁分式时通常要用分式的基本性质，在分式的分子，分母中同乘分子，分母的最简化分母，有时也可以用分式的除法来化简。
2、分母有理化：利用分式（分数）的基本性质，将分式（分数）的分母（子）化成有理式，叫做分母（子）有理化。 常见类型一：
a
a b b a a
b a b =⋅∙= 常见类型二：b
a b a c b a b a b
a c
b a c
--=-+-⋅=+()((( 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，,a b 是b a +的“有理化因子”，分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”。
6、最简二次根式，同类二次根式
化简二次根式时，如果被开方式中有因式开得尽方，可用它的算术平方根代替移到根号外面，如果被开方式中含有分母，可用“分母有理化”化去分母，经这样化简后得到的二次根式。
典型类型：如果c b a ,,都是正实数，那么，ac a
b a
c b a c b ==2 如果两个最简的二次根式的被开方式相同，那么称它们为同类二次根式。
四、典型例题引路
例1、化简下列各式
（1）1
1122---x x x （2）)121()144(4222a a a a -÷-+- （3）)(332
23222b
a b ab a b b a ab b a b -++--+ 例2、（1）试证：）n n n n n 是正整数其中(1
11)1(1+-=+ （2）计算10
91431321211⨯++⨯+⨯+⨯ （3）证明：对任意大于1的正整数n ，有
21)1(1431321<+++⨯+⨯n n 例3：已知：12-=x ，求代数式。x
x x x 的值)242(2--+÷- 例4：已知：.)11()11()11(,0的值求b
a c a c
b
c b ：a c b a +++++-++ 例5：化简下列繁分式
（1）23212+x x （2）x x +++-
11111
1 五、自主探索训练
1．.,322:的值求已知y
x y x y x =+- 2．当.),0,0(0232
222
的值求ab b a a b b a b a ab ab a +--≠≠=-+ 3．求和)
12)(12(1531311+-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n S n . 4．化简下列繁分式：
（1）x
++1111 （2）2111)1(21+++-x x 5．若实数a 满足0822
=-+a a ，求3
4121311222+++-⨯-+-+a a a a a a a 的值. 课时四：根式
一、初中相关知识
二次根式：二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的运算
二、衔接目标要求
1、掌握二次根式的性质和运算，了解最简单二次根式、同类二次根式的概念，理解二次根式的加减运算。
2、 了解n 次根式的概念，理解分母（子）有理化的概念。
三、入门衔接知识
二次根式的运算
（1）二次根式相加减，先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数相加。
四、典型例题引路
例1：将下列各式分母有理化：
（1）2432
43-+ （2）y x xy
+ （3）323
+
例2：将下列各式分子有理化：
（1）355
+ （2）2
2n n -+ （3）比较1112-与1011-的大小
例3：计算：
（1）b a 11+ （2）x x x 82
23+- （3）2)())(1(b a b a b a +-+-++
（4）
ab a a ab a a ++-
例4设.,323
2,323
233的值求y x y x ++-=-+=
例5计算下列各题
（1）15281528-++ （2）54173819++-
例6，化简下列各式
（1）246347625---+-
（2）b ab b a a ab b b ab a b
a ab
b a -+--++÷+-+)()( （3）y
y x x y xy x y xy y
x x x -++--+2
五、自主探索训练
1、化简：
（1）38a - （2）a a 1- （3）a
b b a ab -4 （4）132
231
21
--++ （5）m
m m m m 122510932-+ （6）
)0(2222>>-÷-y x y x y x x y x （7）)12009)(200820091
341
2311
21
+++++++++
2．计算 （1）33322122++- （2）7
23225723--+
（3）62532--
3．设y x ,是实数，且。y
x y x y x xy 的值求+=,3
初高中数学衔接教材参考答案
初高中数学衔接教材参考答案 第一讲 数与式的运算 例1. 解：原式=22]3 1 )2([+-+x x 例2. 解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 例3. 解：（1）原式=333644m m +=+ 例7. 解：(1) 原式6= =- (2) 原式ab (3) 原式=-+=- 例8. 解：(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+
(2) 原式 = + = + 例9. 解：77 14,123 x y x y xy == =+=-⇒+==- 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-= 例10. 解法一： 1．3． 4．-5．例1. 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+ 例2. 解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 例3. 解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--
例4. 解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 例5. 解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 例6. 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++- 例7. 解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=- 2 例8. (1) 24- 15(5)-=-例 例10. 例11. 练习 1．(a +1(2645525216 p - ． 2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+ 4. 322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+ 5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+
数学初高中知识衔接
初高中衔接数学自主学习材料 专题学案一、数与式的运算 新课导学： 一、乘法公式 1．计算()( )2 2 b ab a b a +-+ 2．思考：用简便的方法计算()( )2 2 b ab a b a ++- 3．观察得出两个乘法公式：立方和与立方差公式，并把它写出来. 例1．（1）()( )2 4164m m m +-+ （2）2 2111115 225104m n m mn n ⎛⎫⎛⎫ -+ + ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （3）( )()2 2 2 222x xy y x xy y ++-+ （4）()221999x y x y xy ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 例2．已知13x x + =，求331 x x +的值. 例3．因式分解 （1）273 -x （2）183 +y 二、根式 （1）根式a 中a 的取值范围是 ；根式3a 中a 的取值范围是 （2）性质：=2)(a ，=2a ；=3 3)(a ，=33a )0,0(__________≥≥=b a ab )0,0_________(>≥=b a b a 例1．（1）求使2 21 53-+ -x x 有意义的实数x 的取值范围.
（2）若a a a 214412-=+-，求a 的取值范围. 例2．化简下列各式 （1 （2 （3 例3．比较大小 （1）21+ （22 三、绝对值 1．代数意义：_______________________________ 2．几何意义：_______________________________ 例1．（1）① 若5=x ，则x = ② 若4-=x ，则x = （2）已知x x x x -=-22，则x 应满足________. 例2．说出下列各式的几何意义. （1）|2|+x （2）|3|-x （3）||a x + （4）|1||2|++-x x （5）|1||2|+--x x 例3．利用绝对值的几何意义，求满足下列各式的x 的取值范围. （1）2||>x （2）2|1|>-x （3）5|3|<+x 小结：不等式)0(||>>a a x 的解集是 ，不等式)0(||>++-x x ③ 3|1||2|<++-x x （2）① 若不等式a x x >++-|1||2|恒成立，求a 的取值范围. ② 若不等式a x x ≤+--|1||2|恒成立，求a 的取值范围.
初高中数学衔接教案(含答案)
第一讲 数与式 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪ ==⎨⎪-<⎩ 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4． 解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算 课时一：乘法公式 一、初中知识 1.实数运算满足如下运算律： 加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。 2.乘法公式 平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2 完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2 二、目标要求 1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。 2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方 公式以及三数和的完全平方公式。 三、必要补充 根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式 （1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab （2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd （3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3 （4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3 （5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3 （6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3 （7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac 四、典型例题 例1、计算： （1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2 例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值 （1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy （2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy
初高中数学衔接 数与式的运算(4课时)
数与式的运算 课时一：乘法公式 一、初中相关知识 1． 实数运算满足如下运算律： 加法交换律，乘法交换律，加法结合律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。 2． 乘法公式 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 二、衔接目标要求 1． 理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。 2． 掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。 3． 三、入门衔接知识 根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式 （1）ab x b a x b x a x +++=++)())((2 （2）立方和公式：3 322))((b a b ab a b a +=+-+ （3）立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++- （4）两数和的立方公式：3223333)(b ab b a a b a +++=+ （5）两数差的立方公式：3223333)(b ab b a a b a -+-=- （6）三数和的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222++=++=++ 四、典型例题引路 例1、计算： （1）)5)(2(-+x x （2）2 )2(c b a -+ （3）3 )1(-x （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++
例2：已知4=++c b a 4=++ac bc ab 求2 22c b a ++的值 例3：求)1)(4)(2)(1(+---m m m m 例4：已知：0133=+-x x ，求331x x + 的值。 例5：已知：。y xy x y xy x y x y x y x 的值求))()()((,2,322223+++-+-== 例6．已知：35,2=-=-c a b a ，求：])())(())[((22c a c a b a b a b c -+--+--的值。 五、自主探索训练 1．计算 （1）2)43(z y x -- （2）)2)(()12(2b a b a b a +---+ （3）)44 1 )(4(22ab b a b a ++- （4）))(c b a c b a ---+ （5）))()()((z y x z y x z y x z y x -++-++-++ 2．化简 （1）)23)(23(z y x z y x --+- （2）)32)(32(d c b a d c b a ++-+-+ 3．计算：158422 1)211)(211)(211)(211(+++++ 4．先化简，再求值：).)((()(3 333222y x y x y xy x y x +-+-++-其中1,1-==y x 。 5．已知：1=+y x ，求xy y x 33 3++的值。
(完整版)初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算
初高中数学衔接知识点专题(一) ★专题一数与式的运算 【要点回顾】 1绝对值 [1] 绝对值的代数意义：__________________________________________ .即|a| _________________ [2] 绝对值的几何意义：________________________________________________________ 的距离. [3] 两个数的差的绝对值的几何意义： a b表示____________________________________ 的距离. [4]两个绝对值不等式：|x| a(a 0) ____________ ；|x| a(a 0) 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1] 平方差公式：_____________________________________________ ; [2] 完全平方和公式：__________________________________________ ; [3] 完全平方差公式：__________________________________________ . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1] (a b c)2 [公式2] ____________________________ a3b3(立方和公式) [公式3] a3b3(立方差公式) 说明：上述公式均称为乘法公式”. 3•根式 [1] 式子'、a(a 0)叫做二次根式，其性质如下： [1] 0 a)2 _____ ；(2) ____ ; (3) • ab ____________ ;(4) . __________ . [2] 平方根与算术平方根的概念：____________________________ 叫做a的平方根，记作x a(a 0)，其 中.a (a 0)叫做a的算术平方根. [3] 立方根的概念：______________________________________________ 叫做a的立方根，记为x 3 a 4.分式 A A A [1] 分式的意义形如一的式子，若B中含有字母，且B 0，则称一为分式•当M工0寸，分式—具有 B B B 下列性质：(1) ________ ; (2) __________ . [2] 繁分式当分式—的分子、分母中至少有一个是分式时，—就叫做繁分式，如——n—P, B B 2m n p 说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质. [3] 分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
初升高数学衔接班教案(教师版)乘法公式数与式
乘法公式 一、【归纳初中知识】 在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便, 初中我们主要学习了两个基本乘法公式： 二平方差公式：(a + b)(a - b) = a 2 -h 2 二完全平方公式：(。±〃尸=/±2帅+ 〃 在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推 广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。 你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？ 例1：利用几何图形证明当时，(〃+〃尸=/+2加 解 析： 由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子: 我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换 在高中数学当中是一个非常重要的工具。 二、【衔接高中知识】 a 2 +h 2 =(a±b)2 +2ab (a±b)2 =(a + b)2
高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼： 二完全立方和公式：(cl + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 二完全立方差公式：(a-b)3 =a3 -3a2b + 3ab2-b3 公式二、二我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？ 二立方和公式：a3+b3 =(a+b)(a2-ab + b2) 二立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2) 最后，我们再填补三数平方和的公式： 二三数平方和：(“ + 〃 + c)2 =/ +b2 +c2 +2(ab +he+ ac) 三、【例题精讲】 例1 ：观察下列算式： 32-12=8 52-32 =16 72 -52 =24 92-72 =32 (1)按照上述规律续写2个式子； (2)用文字反应出上述式子的规律； (3)证明你所发现规律的正确性； 答案：(1) 112 - 92 = 40 1 32 -1 12 = 48 ( 2)任意相邻奇数之差为8的倍数(本题是大 数减小数) (3) (23 + 1)2 _(21)2=8几 例2：观察下列算式:
初高中数学衔接知识点+配套练习试题
第一讲 数与式的运算 在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式〔多项式、单项式、分式、根式．它们具有实数的属性,可以进行运算．在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式〔平方差公式与完全平方公式,并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补充．基于同样的原因,还要补充"繁分式"等有关内容． 一、乘法公式 [公式1]ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ ∴等式成立 [例1]计算：22 )312(+-x x 解：原式=22 ]3 1)2([+-+x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． [公式2]3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+<立方和公式> 证明:3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 ))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. [例2]计算：))((2 2 b ab a b a ++- 解：原式=3 3 3 3 2 2 )(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到： [公式3]3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-<立方差公式> 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式． [例3]计算： 〔1)416)(4(2 m m m +-+ 〔2)4 1 101251)(2151(22n mn m n m ++- 〔3)164)(2)(2(24 ++-+a a a a 〔42 22 2 2 ))(2(y xy x y xy x +-++ 解：〔1原式=3 33644m m +=+ 〔2原式=3 33 3 8 11251)2 1()5 1 (n m n m -= - 〔3原式=644)()44)(4(6 3 3 22 2 4 2 -=-=++-a a a a a
完整版初高中数学衔接知识点专题一数及式运算
初高中数学连接知识点专题（一） ★ 专题一数与式的运算 【重点回首】 1．绝对值 [1]绝对值的代数意义：．即 | a |． [2]绝对值的几何意义：的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示的距离． [4]两个绝对值不等式 : | x | a(a0)； | x | a( a 0)． 2．乘法公式 我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： [1]平方差公式：； [2]完整平方和公式：； [3]完整平方差公式：． 我们还能够经过证明获得以下一些乘法公式： [ 公式 1] (a b c) 2 [公式 2]a3b3(立方和公式) [公式 3]a3b3(立方差公式) 说明 :上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1]式子 a (a 0) 叫做二次根式，其性质以下： (1)( a )2；(2)a2；(3)ab；(4)b ．a [2] 平方根与算术平方根的观点：叫做a的平方根，记作x a(a0) ，其中 a ( a 0) 叫做 a 的算术平方根． [3] 立方根的观点：叫做 a 的立方根，记为 x 3 a 4．分式 [1] 分式的意义形如A 的式子，若 B 中含有字母，且B0，则称 A （ 1）B （ 2） B 以下性质：；．为分式．当 M≠0时，分式 A 拥有 B [2] 繁分式当分式A 的分子、分母中起码有一个是分式时， A 就叫做繁分式，如m n p ，B B2m n p 说明：繁分式的化简常用以下两种方法： (1) 利用除法法例；(2) 利用分式的基天性质． [3]分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 - 1 -
初高中数学相关知识衔接(人教版)
初高中知识衔接——数与式的运算 1．绝对值 （1）绝对值的代数意义： ．即 ． （2）绝对值的几何意义： 的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． （4）两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔ ． 例1：解不等式： （1）21x -< （2）12>-x （3）32 +<-x x x （4）2323-<-x x （5）x x ≤-1 （6）13x x -+-＞4 2．根式 （1） 0)a ≥的代数式， 性质： 2= ； = ；=b a ； =a b ． （2） 无理式：根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子，如 32a b 21x + + ，22x y + （3）分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母（子）有理化 方法：分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式． 例1：化简：（1 （2） （31)x << （4）20042005 ⋅ 例2：试比较下列各组数的大小： 154173819++-
（1 （2 3．分式 （1）分式的意义：形如 A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式． 当M ≠0时，分式的基本性质：（1）A A M B B M ⨯=⨯ ；（2）A A M B B M ÷=÷． （2）繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，如2m n p m n p +++， 繁分式的化简常用以下两种方法：① 利用除法法则；② 利用分式的基本性质． 例1：化简： （1） （2） （3）11x x x x x -+ - 例2：（1）若 54(2)2 x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值； （2）试证： 111 (1)1 n n n n =-++（其中n 是正整数）； （3）计算：111 1223 910 +++ ⨯⨯⨯ 初高中知识衔接——因式分解 一、定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解。 二、方法：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法、求根法． 1 1 122---x x x 23212+x x
(完整版)初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算
(完整版)初高中数学 衔接知识点专题(一) 数与式的运算 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初高中数学衔接知识点专题（一） ★专题一数与式的运算 【要点回顾】 1．绝对值 [1]绝对值的代数意义：．即||a=． [2]绝对值的几何意义：的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0) x a a <>⇔；||(0) x a a >>⇔．2．乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式：； [2]完全平方和公式：； [3]完全平方差公式：． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2 () a b c ++= [公式2]33 a b =+(立方和公式) [公式3]33 a b =- (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1] 式子0) a≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2=； =； =； =． [2]平方根与算术平方根的概念：叫做a 的平方根，记作0) x a =≥ ，其中 (0) a≥叫做a的算术平方根． [3]立方根的概念：叫做a 的立方根，记为x= 4．分式 [1]分式的意义形如 A B 的式子，若B中含有字母，且0 B≠，则称 A B 为分式．当M≠0时，分式 A B 具有下列性质：（1）；（2）． [2]繁分式当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时， A B 就叫做繁分式，如 2 m n p m n p ++ + ，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
LGL初高中数学知识衔接
初高中数学知识衔接 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相 反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪ ==⎨⎪-<⎩ 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 练 习 1．填空： （1）若 5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________. （2）如果 5=+b a ， 且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题： 下列叙述正确的是 （ ） （A ）若 a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则 a b < （D ）若a b =，则a b =± 1.1. 2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 1.1.3．二次根式 形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22 212 x x + +，222x xy y ++，2a 等是有理式． 1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．两个含有二次根 式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+等． 2．二次根式2a 的意义 2a a ==,0, ,0. a a a a ≥⎧⎨ -<⎩ 例1 将下列式子化为最简二次根式： （1）12b ； （2）2 (0)a b a ≥； （3）64(0)x y x < ．
初高中衔接数学(数与式的运算)练习卷含答案
第一讲 数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++= ∴等式成立 【例1】计算：2 2 )3 12(+-x x 解：原式=2 2 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 ))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((2 2 b ab a b a ++- 解：原式=3 3 3 3 2 2 )(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到： 【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：
专题一初高中数学衔接知识点专题
初高中数学衔接知识点专题 ★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1．绝对值 [1]绝对值的代数意义：||a =．几何意义：的距离． [2]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示的距离． [3]||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔ ． 2．乘法公式 [1]平方差公式：； [2]完全平方和公式：；完全平方差公式：． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++= [公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式) 3．根式 [1] 0)a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 =； (2) =； (3) =； (4) =． [2]平方根与算术平方根的概念：叫做a 的平方根， 记作0)x a =≥， (0)a ≥叫做a 的算术平方根． [3]立方根的概念：叫做a 的立方根，记为x =4．分式 [1]分式的意义 形如A B 的式子，且0B ≠，分式A B 具的基本性质：． [2]繁分式 如 2m n p m n p +++， 说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化： 【例题选讲】 例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4． 例2已知2 310x x -==，求3 3 1 x x + 的值．
例3计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： （1） （2） 1)x ≥ 【巩固练习】 1． 解不等式 327x x ++-< 2． 设 x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值． 3． 当2 2 320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22 a b a b b a ab +--的值． 4． 设12 x = ，求42 21x x x ++-的值． ★ 专题二 因式分解 【要点回顾】 1．公式法 常用的乘法公式： [1]平方差公式：； [2]完全平方和公式：； [3]完全平方差公式：． [4]33a b +=(立方和公式) [5] 33a b -= (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法 （1）2 ()x p q x pq +++型的因式分解：
初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算
初高中数学衔接知识点专题（一） ★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1．绝对值 [1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔ ． 2．乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++= [公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3] 33a b =- (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1] 0)a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 = ； (2) = ； (3) = ； (4) = ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作0)x a =≥，其 (0)a ≥叫做a 的算术平方根． [3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为x =4．分式 [1]分式的意义 形如 A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，如2m n p m n p +++， 说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化
有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4． 例2 计算： （1）2 2 1()3 x + （2）2211111()()5225104 m n m mn n - ++ （3）4 2 (2)(2)(416)a a a a +-++ （4）2 2 2 22 (2)()x xy y x xy y ++-+ 例3 已知2 310x x -==，求3 31 x x +的值． 例4 已知0a b c ++=，求 111111 ()()()a b c b c c a a b +++++的值． 例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： （1） （2） 1)x ≥ （3） （4）
专题01数与式的运算(解析版)-2021年初升高数学无忧衔接(人教A版2019)
专题01数与式的运算 初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝. 二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章. 当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零. 本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别n n a 与()n n a 的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质. 《初中课程要求》 1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有 顺序性，知道字母表示数的基本代数思想 2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法 3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算 4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义 《高中课程要求》 1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打 基础，会运算字母代表数的式子 2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技 巧 3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两 数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步 4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比 较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂 专题综述课程要求
初高中 数学 衔接课程
一、数与式的运算 一）、必会的乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++= ∴等式成立 【例1】计算：22 )31 2(+- x x 解：原式=22 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3 【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 1．计算 （1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）= （3）)916141(312 1 2++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m = （4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）= 2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3= （2）27m 3-8 1 n 3= （3）x 3-125= （4） m 6-n 6= 【公式4】3 3 3 2 2 ()33a b a b a b ab +=+++
正学中学级高一初高中数学衔接教材
第一局部 数与式的运算 第一节 绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例、解不等式：13x x -+-＞4． 解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①假设1