反比例函数在实际生活中的四种运用

反比例函数在实际生活中的四种运用

一、在电学中的运用

在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用。

例1 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R ＝5欧姆时，电流I ＝2安培．

(1)求I 与R 之间的函数关系式； (2)当电流I ＝0.5时，求电阻R 的值． (1)解：设I ＝R

U ∵R＝5，I ＝2，于是 IR

U

=2×5＝10，所以U ＝10，

∴I＝

R

10．

(2)当I ＝0.5时，R ＝I

U =

5

.010＝20(欧姆)．

点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．

二、在光学中运用

例2 近视眼镜的度数y （度）与焦距x （m ）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ．

（1）试求眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式； （2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．

分析：把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题． 解：（1）设y=

k x

，把x=0.25，y=400代入，得400=

0.25k ， 所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=

100x

．

（2）当y=1000时，1000=

100x

，解得=0.1m ．

点评：生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。

三、在排水方面的运用

例3 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t （h ）之间的函数关系图象． （1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；

（2）写出此函数的解析式；

（3）若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （4）如果每小时排水量是5 000m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 分析：当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例． 解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例3 •所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 000×12=48 000（m 3）． （2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=48000

t

；

（3）若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V=

480006

=8000（m 3）；

（4）如果每小时排水量是5 000m 3，那么要排完水池中的水所需时间为：t=

480006

=8000（m 3）

点评：学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理。

四、在解决经济预算问题中的应用．

例4 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x －0.4)元成反比例.又当x ＝0.65元时，y ＝0.8

(1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?

解：(1)∵y 与x －0.4成反比例，∴设y ＝

4

.0 x k (k≠0)．

把x ＝0.65，y ＝0.8代入 y ＝

4

.0-x k ，得0.8＝

4

.065.0-k ， 解得k ＝0.2，∴y＝

4

.02.0-x

∴y 与x 之间的函数关系为y ＝4

.02.0-x

(2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为： (0.6－0.3)(1＋y)＝0.3×2＝0.6(亿元)

答：本年度的纯收人为0.6亿元。

点评：在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题．

《反比例函数的应用(2)》教学设计

《反比例函数的应用（2）》教学设计 教学目标： 1、经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程 2、体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。 3、培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。 教学重难点： 重点是运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。 难点是例2中变量的反比例函数关系的确定建立在对实验数据进行有效的分析、整合的基础之上，过程较为复杂。 教学设计： 一、创设情境、引入新课 如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强。 （1）请根据表中的数据求出压强p(kpa)关于体积V(ml)函数解析式。 （2）当压力表读出的压强为72 kpa时，气缸内的气体压缩到多少ml？ 体积V(ml) 压强p(kpa) 100 60 90 67 80 75 70 86 60 100 分析：（1）对于表中的实验数据你将作怎样的分析、处理？ （2）能否用图像描述体积V与压强p的对应值？ （3）猜想压强p 与体积V之间的函数类别？ 师生一起解答此题。并引导学生归纳此种数学建模的方法与步骤： （1）由实验获得数据 （2）用描点法画出图像 （3）根据图像和数据判断或估计函数的类别 （4）用待定系数法求出函数解析式 （5）用实验数据验证 指出：由于测量数据不完全准确等原因，这样求得的反比例函数的解析式可能只是近似地刻画了两个变量之间的关系。 二、巩固练习 课本第20页第5题 三、作业

函数在日常生活中的应用

函数在日常生活中的应用 函数不仅在我们的学习中应用广泛，日常生活中也有充分的应用。在此举出一些例子并作适当分析。 当人们在社会生活中从事买卖活动或其他生产时，其中常涉及到变量的线性依存关系，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。总之，函数渗透在我们生活中的各个方面，我们也经常遇到此类函数问题，这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，用函数解决。如： 1.一次函数的应用： 购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。 2.二次函数的应用： 当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。 3.反比例函数的应用: 反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。 4.三角函数的应用： 实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。 在日常生活中，我们往往需要将各种函数结合起来灵活运用，以解决复杂的问题。要时刻将函数的解析式与其图形联系起来，以得到最简单的解决办法。

反比例函数的实际应用、 实际问题与反比例函数(教案)

26.2 实际问题与反比例函数 第1课时反比例函数的实际应用（1） 【知识与技能】 进一步运用反比例函数的知识解决实际问题. 【过程与方法】 经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力. 【情感态度】 运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣. 【教学重点】 运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 【教学难点】 用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题. 一、情境导入，初步认识 问题我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的表达式是，当x=4 时，y的值为，而当y=1 3 时，相应的x的值为，用反比例函数 可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？ 二、典例精析，掌握新知 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？ (2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？ (3)当施工队按（2)中的计划掘进到地下15m时，碰到坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(精确到0.01m2)？ 【分析】已知圆柱体体积公式V=S ? d,通过变形可得S=V d ，当V—定时， 圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可 得到d的值，从而解决问题（2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = V d 可 求得S，这样问题（3)获解.

反比例函数在实际生活中的应用

反比例函数在实际生活中的运用 反比例函数和其它函数一样，在我们的日常生活中有着广泛的应用.那么如何才能正确在利用反比例函数的关系来解决实际问题呢？具体地说应从以下两个方面入手： 一、正确地探求两个变量之间的关系 和利用其它函数解决实际问题一样，要利用反比例函数的关系解决实际问题，只要求能够正确地探求两个变量之间的关系.探索反比例函数中的两个变量之间的关系同样和列方程解应用题一样，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式.常见的表示数量之间的关系有以下几种情形： （1）和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数. （2）行程类问题，即路程=速度×时间. （3）工程类问题，即工作量=工作效率×工作时间. （4）浓度类问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度. （5）分配类问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系. （6）等积类问题，即变形前后的质量（或体积）不变. （7）数字类问题，即有若个位上数字为a ，十位上的数字为b ，百位上的数字为c ，则这三位数可表示为100c +10b +a ，等等. （8）经济类问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品进价 商品的利润×100％. （9）增长（或降低）率问题，即实际生产数＝计划数×［1+增长率（或－减少率）］，增长率＝计划数 增长数×100％. （10）图形类问题，即根据图形的特征，结合规范图形的周长公式、面积公式、体积公式等等.

反比例函数的综合应用

第二节 反比例函数的综合应用 一、课标导航 二、核心纲要 1．反比例函数与实际问题 2．反比例函数与一次函数的综合 3．反比例函数与二次函数的综合 4．反比例函数与几何的综合 本节重点讲解：反比例函数的综合应用 三、全能突破 1．如图26 - 2 - 1所示，反比例函数x m y = 的图像与一次函数y = kx +b 的图像交于点M 、N ，已知点 M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为-1，根据图像信息可得关于x 的方程b kx x m +=的解为（ ） A ．-3，1 B ．-3，3 C ．-1，1 D ． 3，-1 2．如图26 - 2 - 2所示，函数11-=x y 和函数x y 2 2=的图像相交于点M （2，m ），N （-1，n ），若 y 1>y 2，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1或0 2 C ．-12 图 26 - 2 - 1 图 26 - 2 - 2 图 26 - 2 - 3

3．给出下列命题及函数y = x ，y = x 2 和x y 1 = 的图像，如图26 - 2 - 3所示. ①如果 21a a a >>，那么0 < a < 1 ； ②如果a a a 1 2>>，那么a > 1 ③如果 a a a >>21 ，那么-1 < a < 0 ； ④如果a a a >>1 2，那么a < -1 则正确答案是（ ） A ．正确的命题是①④ B ．正确的命题是②③④ C ．正确的命题是①② D ．正确的命题是③ 4．阅读以下材料并填空： 问题：当x 满足什么条件时，x >x 1 解：设y 1 = x ，y 2 = x 1 ，则在同一直角坐标系中画出这两个函数的草图.如图26 - 2 - 4（a ）所示. 联立两个函数的解析式得：?? ? ??==x y x y 121，解得???==11y x 或???==1-1-y x ∴两个图像的交点为（1，1）和（-1，-1）.∴由图（a ）可知，当-1< x < 0或x > 1时，x x 1 >. （1）上述解题过程用的数学思想方法是 ． （2）根据上述解题过程，试猜想x x 1 < 时，x 的取值范围是 ． （3）试根据上述解题方法，当x 满足什么条件时，x x 12 >．(图26 - 2 - 4（b ）为备用图) 图 26 - 2 - 4

反比例函数在实际生活中的四种运用

反比例函数在实际生活中的四种运用 一、在电学中的运用 在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用。 例1 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R ＝5欧姆时，电流I ＝2安培． (1)求I 与R 之间的函数关系式； (2)当电流I ＝0.5时，求电阻R 的值． (1)解：设I ＝ R U ∵R＝5，I ＝2，于是 IR U =2×5＝10，所以U ＝10，∴I＝R 10． (2)当I ＝0.5时，R ＝ I U =5.010＝20(欧姆)． 点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系． 二、在光学中运用 例2 近视眼镜的度数y （度）与焦距x （m ）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ． （1）试求眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式； （2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距． 分析：把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题． 解：（1）设y= k x ，把x=0.25，y=400代入，得400=0.25 k ， 所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=100x ． （2）当y=1000时，1000=100x ，解得=0.1m ． 点评：生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。

反比例函数的应用

反比例函数的应用 反比例函数是数学中的一种特殊函数形式，也称为倒数函数。 它的形式可以表示为y=k/x，其中k是常数。在实际生活中，反比 例函数有着广泛的应用，本文将探讨几个常见的反比例函数应用 场景。 1. 面积与边长的关系 在几何学中，矩形的面积与其两条边长之间存在着反比例关系。假设一个矩形的长为L，宽为W，那么它的面积S可以表示为 S=L*W。由于长度和宽度是矩形两个独立的参数，它们之间存在 反比例关系。当一个参数增加时，另一个参数相应地减小，以保 持面积不变。 这种反比例关系可以应用于很多实际问题中，比如房间的面积 与家具的数量，农田的面积与种植作物的产量等。通过理解面积 与边长之间的反比例关系，我们可以在实际问题中做出合理的决策。 2. 时间和速度的关系

另一个常见的反比例函数应用是时间和速度之间的关系。在物 理学中，速度可以定义为物体在单位时间内所移动的距离。假设 一个物体在时间t内移动的距离为d，则它的速度v可以表示为 v=d/t。根据这个公式，我们可以看到时间和速度之间呈现出反比 例关系。 这个关系在实际生活中有很多应用。比如旅行中的车辆速度与 到达目的地所需时间之间的关系，运输货物的速度与到达目的地 所需的时间之间的关系等。这种反比例关系帮助我们计算和预测 在不同速度下所需的时间。 3. 电阻与电流的关系 在电学中，电阻和电流之间存在着反比例关系。根据欧姆定律，电流I通过一个电阻R时，产生的电压V可以表示为V=I*R。由 于电阻是电流通过的障碍物，当电阻增加时，电流减小，反之亦然。 这种反比例关系在电路设计和计算中起着重要的作用。我们可 以根据电阻和电流之间的关系来选择合适的电阻值，以控制电路

中考数学专题复习7反比例函数及其运用(解析版)

反比例函数及其运用复习考点攻略 考点一 反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地.函数k y x = （k 是常数.k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数.函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数k y x = （k 是常数.k ≠0）中x .y 的取值范围：反比例函数k y x =（k 是常数.k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数.函数值y 的取值范围也是非零实数． 【例1】下列函数中.y 与x 之间是反比例函数关系的是 A ．xy B ．3x +2y =0 C ．y = D ．y = 【答案】A 考点二 反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线.它有两个分支.这两个分支分别位于第一、三象限.或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0.函数y ≠0.所以.它的图象与x 轴、y 轴都没有交点.即双曲线的两个分支无限接近坐标轴.但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k >0时.函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内.y 随x 的增大而减小． 当k <0时.函数图象的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大． 2k x 21 x +

表达式 k y x = （k 是常数.k ≠0） k k >0 k <0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内.y 随x 的增大而减小 在每个象限内.y 随x 的增大而增大 反比例函数的图象既是轴对称图形.又是中心对称图形.其对称轴为直线y =x 和y =-x .对称中心为原点． 【注意】 （1）画反比例函数图象应多取一些点.描点越多.图象越准确.连线时.要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x |的增大.双曲线逐渐向坐标轴靠近.但永远不与坐标轴相交.因为反比例函数 k y x = 中x ≠0且y ≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的.因此在谈到反比例函数的增减性时.都是在各自象限内的增减情况．当k >0时.在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小.但不能笼统地说当k >0时.y 随x 的增大而减小．同样.当k <0时.也不能笼统地说y 随x 的增大而增大． 【例2】一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． y ax a =-(0)a y a x = ≠

实际问题与反比例函数教案

实际问题与反比例函数 教案 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】

1 7． 2 实际问题与反比例函数(3) 教学目标 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想．深刻理解反比例函数在现实生活中的应用倡导学生合作交流的学习方式． 重点：把反比例函数与其他学科整合． 难点：如何从实际问题中抽象数学问题、建立数学模型、再解决其他学科问题． 教学过程 1、引入新课 前面几堂课我们学习了反比例函数在生活中的一些运用，今天我们主要学习如何用反比例函数解决科学中的一些问题．‘ 2、提出问题 投影出在物理中学过的杠杆定律：阻力×阻力臂＝动力×动力臂． 问题： (1)当阻力和阻力臂分别是1 200牛和米时，动力F和动力臂l有何关系 (2)力臂为米时，撬动石头至少要用多大的力 (3)当想使动力F不超过(2)中所用力的一半时，你如何处理 3、探究新知 这是力学上的杠杆定律，学生很容易获得(1)的结果：Fl=600，F=600／l． 学生在做第(2)问时，他们很简单地把l=1．5代入求得F=400。 学生可能不会考虑题中为何有“至少”两字，教师这时应提出这个问题．

这时学生可能就会产生认知的碰撞，教师顺水推舟，让他们进行小组讨论，为何会出现“至少”两字． 经过讨论，学生在教师的引导下，结合学科知识给以很好的解决，原因是动力臂最长是1．5米．教师这时可以举出一些如剪刀、筷子、开瓶器等利用杠杆原理省力的模具，加深学生对杠杆原理的理解． 在解决第(3)问时，由F=600／l 知，l=600／F 当F=400×1／2=200时，l=600／200=：=3，即可以将动力臂加长．若是撬石头的话，就可以用一根长3米的撬棍． 4、讨论交流 在用反比例函数解决科学问题时你有何感受 (在学生小组讨论后，会有各种思想出现、感受颇多，教师都要加以鼓励) 5、巩固练习 在物理学上，由电学知识知道：用电器的输出功率P(瓦)与两端的电压U(伏)及用 电器电阻R ，有关系式P=R U 2 ．现有一个电加热器，电阻可调范围是110～220欧姆．已知其两端电压为220 V ． (1)输出功率P 与电阻R 之间有什么关系 (2)用电器输出功率范围多大 教师讲授时讲清楚功率、电压、电阻各自是什么，只要学生理解到能解决本题即可．经过教师讲解，学生理解了．学生只要将U ＝220代入即可得P ＝220×220／R ．可知电压一定时，用电器功率P 与电阻R 成反比例函数．第(2)问求范围可引导学生从图象上来理解．在第一象限内，借助于草图，由函数的增减性得出尸的取值范围． 6、小结

反比例函数人教版教案

反比例函数人教版教案 授课主题：反比例函数 授课对象：初中二年级学生 授课内容： 1. 反比例函数的定义：若两个量的乘积为常数，则这两个量成反比，它们的关系用函数y=k/x（k≠0）表示。 2. 反比例函数的图像特征：反比例函数的图像是一条经过原点的右上方递减的曲线，它在x轴上无渐近线，y轴上有渐近线。 3. 反比例函数的应用：反比例函数在实际生活中的应用非常广泛，如比例尺、电阻与电流的关系、物体距离和像距离的关系等等。 授课流程： 1. 引入：通过讲述生活中各种实际应用，启发学生对反比例函数的认识和理解。如：显微镜用的眼镜和物镜的距离、自行车行驶的速度和时间的关系、光线通过透镜成像的原理等。 2. 讲解：让学生理解反比例函数的定义和图像特征。通过示例、图像和实际应用，让学生明白y=k/x的特殊性和一些重要概念，如渐近线、单调性、定义域和值域等等。 3. 练习：通过练习，让学生运用所学的知识来解决实际问题。教师可以通过选择适当的练习题，参考教材中的例题和习题，让学生掌握基础的计算技巧和解题方法。 4. 总结：通过总结来巩固所学的知识。学生可以归纳出反比例函数的特点和应用，用自己的语言来表述，加深对反比例函数的理解和认识。 授课方法： 1. 讲解和示范：通过教师的演示和讲解，让学生明白反比例函数的定义和特征。 2. 练习和巩固：通过大量的练习和巩固来巩固所学的知识，帮助学生掌握反比例函数的计算方法和应用技巧。

3. 交流和讨论：通过学生之间的交流和讨论，让学生相互学习和借鉴，提高学生的思维能力和创新能力。 授课评价： 1. 能够认识反比例函数的定义和图像特征，掌握反比例函数的计算方法和应用技巧。 2. 能够运用反比例函数来解决实际问题，提高学生的问题解决能力。 3. 能够加深对反比例函数的理解和认识，激发其对数学学科的兴趣和热情。

一次函数和反比例函数的综合问题

一次函数和反比例函数的综合问题 一次函数和反比例函数都是数学中常见的两种基本类型函数，它们在 实际生活中的应用非常广泛。通过综合运用一次函数和反比例函数，我们 可以解决许多实际问题。本文将以1200字以上的篇幅，介绍一次函数和 反比例函数的基本概念，并结合实际问题，深入探讨它们的综合应用。 首先，我们来了解一次函数的基本概念。一次函数（也称为一次方程）是指自变量的最高次数为1的函数，即函数式可以表示为：y= ax+b。其中，a和b为常数，且a≠0。在一次函数中，a代表斜率，决定了函数的 直线走向，而b则代表y轴上的截距，决定了函数与y轴的相交点。 应用一次函数的典型问题是直线运动问题。例如，一个小汽车以每小 时60公里的速度行驶，我们可以用一次函数来描述这个过程。假设小汽 车行驶的时间为x小时，行驶的距离为y公里，则根据速度的定义可以得到： y=60x（这是一个一次函数） 这个函数的斜率为60，表示每小时行驶60公里；截距为0，表示从 起点开始行驶。 接下来，我们来了解反比例函数的基本概念。反比例函数是指自变量 和因变量的乘积等于一个常数的函数，即函数式可以表示为：y=k/x。其中，k为一个不等于0的常数。在反比例函数中，x和y成反比例关系， 即x越大，y越小；x越小，y越大。 应用反比例函数的典型问题是速度和时间的关系问题。例如，假设一 辆汽车以恒定的速率行驶，我们可以用反比例函数来描述速度和时间的关

系。假设汽车行驶的时间为x小时，速度为y千米每小时，则根据速度和 时间的关系可以得到： y=k/x（这是一个反比例函数） 在这个函数中，k表示汽车的行驶距离。可以看到，随着时间的增加，速度会减小，而行驶的距离保持恒定。 y=60x（一次函数，表示行驶的距离） y=120（常数，表示目标距离） 将两个方程联立起来，可以解得x=2、这意味着他需要连续驾驶2小 时才能行驶120公里。通过综合应用一次函数和反比例函数，我们可以解 决这个实际问题。 除了直线运动和速度与时间关系问题，一次函数和反比例函数在其他 方面也有广泛的应用。例如，一次函数可用于经济学中的需求曲线和供给 曲线分析；反比例函数可用于物理学中的万有引力定律分析。 综上所述，一次函数和反比例函数是数学中的基本类型函数，在实际 生活中有广泛的应用。通过深入理解它们的基本概念，并综合应用于实际 问题的解决中，我们可以更好地理解和应用数学知识。希望本文能够为读 者提供一些启示和帮助。

反比例函数在初中物理学中的应用探究

反比例函数在初中物理学中的应用探究 摘要：数学和物理两门学科源于生活，又服务于生活。数学可为物理问题 的解答提供假想、推测的理想科学依据。物理可为数学的理想数据加以验证、应用。导致数学和物理有着千丝万缕的联系，因而学好数学对利用数学知识求解物 理问题有很大的帮助；反之，学好物理对学好数学也有很大的帮助，有时还可帮 助我们解决数学问题起到事倍功半的效果。 关键词：数学物理应用 笔者在学习部编版九年级数学下册《第二十六章反比例函数》中发现反比例 函数在初中物理学中的应用非常广泛，本文选取几例加以剖析，与读者共同学习。 一、反比例函数在物理力学方面的应用 古希腊科学家阿基米德曾说过：“给我一个支点，我可以把地球撬动。”假 定地球重量的近似值为６×１０25牛顿（即为阻力），假设阿基米德有５00牛顿的力量（即动力），阻力臂为 2000千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动 力臂的杠杆才能把地球撬动？ 分析：由“杠杆定律”知两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡。通俗的可以描述为：阻力×阻力臂=动力×动力臂，可以求出动力臂=（阻力×阻 力臂）÷动力，从而由已知条件得到如下关系式。 解：由已知得Ｆ×L＝6×１０25×2×１０6=1.2×１０32 变形得： 当 F=500时，L=2.4×１０29米 由图象可知，在中，地球质量 （即阻力）、支点到阻力臂的距离（即阻力臂）一定时，

动力臂L越长，F越小越省力，所以阿基米德可以豪言壮语地说：“给我一个支点，我可以把地球撬动。” 评注：在本题中数学只起到了计算的工具性和建模的作用，实际是物理中的力学问题，但如果没有良好的数学素养，只靠物理知识来解答上述问题，如果不去推测猜想反比例函数 的图象在第一象限F随L的增大而减小，那么阿基米德永远也说不出那句豪言壮语。通过此题的探究让我们可以明白日常使用的剪刀、筷子、开瓶器等都蕴含了杠杆原理。 二、反比例函数在物理电学方面的应用 例2、一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆.已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示. (1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系? (2)用电器输出功率的范围多大? 分析：由物理电学知识知PR=U2，由数学知识公式变形为P=，当输出的电压为定值时,可知电功率与电阻成反比，R增大时P减小，R减小时P增大。由题意知电压的变化范围与电阻可得两组对应值，从而确定电功率P出输的范围。 解：（1）根据电学知识，当U=220时，P=①即输出功率P是电阻R的反比例函数，函数式为P= （2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小，把电阻的最小值R=110代入①式，得到输出功率的最大值：P=，把电阻的最大值R=220代入①式，则得到输出功率的最小值 P=。因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间．

反比例函数与矩形结合的一个性质的证明及运用

反比例函数与矩形结合的一个性质的证明及运用 什么是反比例函数 反比例函数中k的取值具有特殊性：k≠0，涉及反比例函数的取值范围的选择题及填空题，同学们在计算过程中要注意；其次，针对k的正负性，反比例的图像和象限内的增减性各有所不同，我们要具体情况具体分析。 反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点。 反比例函数的图像是双曲线，不经过原点，断开的两个分支，延伸部分不断靠近坐标轴，但是，永远不与坐标轴相交，对称轴是y=x或y=-x。 反比例函数的几何意义是：在双曲线上某点引x轴和y轴的垂线，所得矩形面积为|k|。 正反比例函数的区别 反比例函数和正比例函数仅有一字之差，需要注意考察点，勿犯糊涂，因小失大。两者之间并非“如出一辙”。 我们要注意成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。 反比例函数的综合应用 反比例函数的基本知识 主要对反比例函数的基本性质、增减性、数值的大小、对称性等问题进行考察。 例题演练 反比例函数与一次函数、二次函数 在初中数学知识的学习中，单独考察反比例函数的题目并不多，往往与一次函数或二次函数相结合进行出题，比如：在同一直角坐标系中，两种图象的交点情况、图象的位置判断、求解析式以及面积等，常与二次函数相结合求最值。 注意：（1）若一次函数的一次项系数与反比例函数的系数正负相同，直线与双曲的两支都有交点； （2）求解析式一般需要求出函数图象上的点的坐标，函数解析式上有几个

未知数，一般找几个点，而反比例函数和一次函数综合题中，关键是要抓住两函数图象的交点。 例题演练 反比例函数与几何图形 一般先设出几何图形中的未知数，结合函数的图象用含未知数的代数式，表示出几何图形和图象的交点坐标，再有函数解析式和几何图形的性质，写出含未知数或者待定字母系数的方程（组）。 坐标系中的图形涉及面积问题最基本的图形为三角形，解答核心是要把点坐标转化为线段长度，结合图像并适当运用割补法。该类型题目常考交点坐标和相交部分的阴影面积，设置步骤：设未知数-表示相关量-列方程（组）-解方程（组）-求相关量。 例题演练 反比例函数与实际生活 通过分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题。反比例函数在生活中经常出现以下四种类型，我们需要注意的是已知条件中变量的特殊性，结合题目和函数图象，确定x的取值范围。 1、压力与压强、受力面积的关系； 2、电压与电流、电阻的关系； 3、水池中水的体积、排水量与所需时间的关系； 4、气体的气压与气体的体积之间的关系。

《实际问题与反比例函数》教学设计

《实际问题与反比例函数》教学设计 教学内容：人教课标版八年级下 教学目标： 知识目标：能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。 能力目标：经历“实际问题------建立模型-------拓展应用”的过程发展学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标：从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识；体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。 教学重点：运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。 教学难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型。 教学过程： 一、情境导入 师：大家都喜欢滑冰吧。冬天的时候，我经常看到几个学生结伴去河边玩滑冰，现在你们还去呢吗？ 学：不去了，冰都开始融化了，怕有危险。 师：是啊，随着天气变暖，去滑冰是越来越危险了。可是双休日，小军还是和几个同学去玩了。小军玩着玩着突然发现前面有一个冰窟窿，而且他也听到了耳边隐隐传来冰块破裂的的声音。这时，小军就命令到：“同学们，快趴下。匍匐前进！”你觉得小军这样做有道理吗？ 生：有道理。 匍匐前进身体接触冰的面积大，冰面承受的压力就小了。 师：说的好。人的重量是一定的，对冰的压力就是一定的，身体接触冰的面积大，就是冰的受力面积大，冰承受的压力就单位面积承受的压力也就是压强就小了。在压力一定时，压强和受力面积成反比例关系。生活中的很多问题都存在着反比例函数关系，这节课我们就来研究17.2实际问题与反比例函数。 设计意图：从生活中提炼数学战士反比例函数在实际生活中的应用情况，使学生体会问题中各变量之间的依存关系，引导启发学生建立反比例函数模型。激发求知欲和浓厚的数学兴趣。 二、讲授新课 教学例题 师：我家想在院子里挖一个容积为20m 3圆柱形菜窖储存土豆。请你告诉我： ①菜窖的底面积S （单位m 2)与深度d （单位m)有怎样的函数关系？ 生：容积即体积。根据圆柱体的体积=底面积×高。可知菜窖的底面积=圆柱体的体积÷圆柱体的高。即d s 20 。所以菜窖的底面积S 和深度 d 具备反比例函数关系。

湘教版九年级上册教案：1.3 反比例函数的应用

1.3反比例函数的应用 1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．(重点、难点) 2．体会数学与物理间的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力． 阅读教材P14～15，完成下列内容： 自学反馈 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N. (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？ (4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象； (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流． 从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的实际问题．建立反比例函数模型，能帮助我们更好地解决实际问题． 活动1小组讨论 例已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间有如下关系式：U＝IR，且该电路的电压U恒为220 V. (1)写出电流I关于电阻R的函数表达式； (2)若该电路的电阻为200 Ω，则通过它的电流是多少？ (3)如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻R，就可以使电路中的电流I增大？ 分析：由于该电路的电压U为定值，即该电路的电阻R与电流I的乘积为定值，因此该电路的电阻R与电流I成反比例函数关系． 解：(1)因为U＝IR，且U＝220 V，所以IR＝220，即该电路的电流I关于电阻R的函数表达式为I ＝220 R.

2022年数学精品初中教学设计《反比例函数的应用》特色教案

6.3 反比例函数的应用 一、教材分析 本节教材内容是对前两节知识的综合应用, 同时加强了实际问题的理解和实际问题与数学知识之间的紧密联系. 能用学科间的实际题例, 数学知识间的综合应用题例, 使学生利用反比例函数的性质进一步解释、说明实际问题. 加强数形结合意识. 二、教学目标 1、知识与技能 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式, 会画出它的图象, 能根据图象指出函数值随自变量变化情况. 2、过程与方法 能通过探索实际问题列出函数关系式, 利用反比例函数的性质解释实际问题, 细心体会图象在解决问题时的作用. 3、情感态度和价值观 注意合作讨论, 探索交流中, 开展从图中获取信息的能力, 渗透数形结合的思想方法通过对实际问题的分析与解决, 让学生体验数学的价值, 培养学生对数学的兴趣. 三、教学重点、难点 重点：反比例函数的应用, 数形结合思想在函数中的应用. 难点：反比例函数与其它知识点的综合题. 四、教学准备 多媒体课件、小黑板 教学流程设计 教师指导 1、引入新课 引导学生回忆反比例函数的概念, 图象与性质 2、讲授新课： ①课件〔或小黑板〕演示教材 课本中“科技小组进行野外考察〞的问题 ②课件演示教材“做一做〞 第一个问题 ③课件演示教科书“做一做〞中的第二个 问题 ④演示“随堂练习〞 3、课时小结 学生活动 1、独立思考作出答复 2、认真读题 注意自变量的取值范围 小组合作计论 交流后得出正确答案 独立思考, 探索的解答 学生解答所有问题

引导学生总结本节课内容 4、布置作业 3、学生归纳, 说出收获 4、课后完成稳固新知识 五、教学过程 教师活动学生活动一、创设问题情境, 导入新课 1、请大家回忆一下反比例函数的定义, 反 比例函数的图象及其性质. 2、实际上反比例函数的性质在实际生活中 有着广泛的应用, 今天我们就从实际问 题出发来探讨一下反比例函数的应用问 题〔板书课题〕 二、讲授新课 1、演示课件给出教材中本课时问题. 某校科技小组进行野外考察, 途中遇到一片烂泥湿地. 为了平安、迅速通过这片湿地, 他们沿着前进路线铺垫 了假设干块木块, 构 筑成一条临时通道, 从而顺利完成了任务. 你能解释他们这样做 的道理吗？当人和木 板对湿地的压力一定 时, 随着木板面积S 〔m2〕的变化, 人和 木板对地面的压强p 〔Pa〕将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合计600N, 那么 〔1〕用含S的代数式表式P, P是S的反比例函数吗？为什么？ 2时, 压强是多少？ 〔3〕如果要求压强不超过6000Pa, 木板面积至少要多大？ 〔4〕在直角坐标系中, 作出相应的函数图象. 〔5〕请利用图象对〔2〕和〔3〕作出直观解释, 并与同伴进行交流. 好! 请大家分组讨论, 答复下面的问题 注意： 一是画出函数图象的三个步骤, 二是画出的函数应符合实际问题的实际意义, 也就是列表时应注意自变量的取值范围, 并可根据图象的性质答复相关的问题. 1、回忆、作答、见书 2、在教师指导下, 提取自己的认知体会, 积极思考, 踊跃发言 解：〔1〕利用物理中压强的计算公式P=F/S, 可知当压力一定时, 压强与受力面积成反比. 因此P是S的反比例函数, 即P=600/S〔S>0〕 〔2〕P=3000pa 2 〔4〕对于画图应遵循三个原那么如下图. 〔5〕 问题〔2〕是图象上某点的横生标为0.2, 求该点的纵坐标. 问题〔3〕是图象上点的纵坐标, 求这些点所处的位置及它们的横坐标的取值范围.

尖子生假期培优——反比例函数的应用

尖子生假期培优 反比例函数的应用 考点·方法·破译 反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题. 经典·考题·赏析 【例1】在压力不变的情况下，某物体承受的压强P （P a ）是它的手力面积S （m 2）的的反比例函数，其图象如图所示. ⑴求P 与S 之间的函数关系式； ⑵求当S ＝0.5 m 2时物体承受的压强是多少？ 【解法指导】 解：⑴∵P 与S 之间是反比例函数关系 ∴P ＝ s k （s ＞0） ∵函数图象经过（0.1， 1000） ∴ 1000＝1 .0k ， k ＝100 ∴P ＝ s 100 （s ＞0） ⑵ 当S ＝0.5时，P ＝5 .0100 ＝200. 【变式题组】 01．（青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是 气体体积V （m 3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应 （ ） A ．不小于 45m 3 B ．小于45m 3 C ．不小于54m 3 D ．小于5 4m 3 02． (芜湖)在对物体做功一定的情况下，力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离S S (米) 成反比例函数关系，其图象如图所示，P （5，1）图象上，则当达到10时，物体在力的方向上移动的距离是 米. 【例2】某汽车集装箱公司加工一种容积为36立方米的集装箱. ⑴集装箱的地面积s (平方米)与其高a (米)有怎样的函数关系？ ⑵公司计划把把集装箱地面积做成12平方米，那么集装箱的高度要加工成多少米？ ⑶具体在生产时，由于运输公司受道路运输条件的限制，要求汽车集装箱公司生产的集装箱宽为2米，高度控制在2—2．5米以内（包含2米、2．5米），那么集装箱的长是多少米才能符合要求？ 【解法指导】

实际问题与反比例函数教案最新

26.2 实际问题与反比例函数（第一、二课时） 一、教学目标 1、能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。 2、经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程发展学生分析问题，解决问题的能力。 3、提高学生的观察、分析的能力 二、重点与难点 重点：运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。 难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，教学时注意分析过程，渗透转化的数学思想。 三、教学过程 （一）提问引入创设情景 活动一：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成的任务的情境。 （1）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？ （2）如果人和木板反湿地的压力合计600N，那么P是S 的反比例函数吗？为什么？ （3）如果人和木板对湿地的压力合计为600N，那么当木板面积为 0.2m2时，压强是多少？

活动二：某煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室。 （1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？ （3）当施工队施工的计划掘进到地下15m时，碰到了岩石，为了节约资金，公司临时改设计，把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积改为多少才能满足需要。（保留两位小数）？ （二）应用举例巩固提高 例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m． （1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式； （2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距． 例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函 数关系图象． （1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）写出此函数的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小

《反比例》数学教案

《反比例》数学教案 《反比例》数学教案1 教学内容：教科书第22—24页反比例的意义，练习六的第4—6题。 教学目的： 1．使学生理解反比例的意义．能够正确判断两种量是不是成反比例。 2．使学生进一步认识事物之间的相互联系和发展变化规律。 3．初步渗透函数思想。 教具准备：投影仪、投影片、小黑板。 教学过程（）： 一、复习 1．让学生说说什么是成正比例的量： 2．用投影片出示下面的题： (1)下面各题中哪两种量成正比例?为什么? ①笔记本单价一定，数量和总价：

⑨汽车行驶速度一定．行驶的路程和时间。 ②工作效率一定．’工作时间和工作总量。 ①一袋大米的重量一定．吃了的和剩下的。 (2)说出每小时加工零件数、加工时间和加工零件总数三者间的数量关系。在什么条件下，其中两种量成正比例? 二、导入新课 教师：如果加工零件总数一定。每小时加工数和加工时间会成什么样的变化．关系怎样?就是我们这节课要学习的内容。 三、新课 1．教学例4。 出示例4；丰机械厂加工一批机器零件。每小时加工的数量和所需的加工时间如下表。 让学生观察这个表，然后每四人一组讨论下面的问题： (1)表中有哪两种量? (2)所需的加工时间怎样随着每小时加工的个数变化? (3)每两个相对应的数的乘积各是多少?

学生分组讨论后集中发言。然后每个小组选代表回答上面的问题。随着学生的回答，教师板书如下：每小时加工数加工时间 10 × 60 ＝600。 30 × 20 ＝600。 40 × 15 ＝600， “这个积600。实际上是什么?”在“加工时间”后面板书：零件总数 “积一定，就说明零件总数怎样?”在零件总数后面板书：(一定) “每小时加工数、加工时间和零件总数这三种量有什么关系呢?” 学生回答后，教师小结：通过刚才的观察分析．我门可以看出。表中每小时加工零件数和所需的加工时间是两种相关联的量。所需的加工时间是随着每小时加工数量的变化而变化的，每小时加工的数量扩大。所需的加工时间反而缩小3每小时加工的数量缩小，所需的加工的时间反而扩大。它们扩大、缩小的规律是：每小时加工的零件的数量和所需的加工时间的积都等于600，即总是一定的：我们把这种关系写成式子就是：每小时加工数×加工的时间＝零件总数(一定)。