2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第三课时 最值、范围问题

第三课时 最值、范围问题

题型一 距离与面积的最值(范围)

例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE

→＝OA →＋OB →，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2＝3，a ＋c ＝3，

a 2＝

b 2＋

c 2.

联立以上3个式子，可得a 2＝4，

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.

(2)法一 因为过F (1，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，所以设l 的方程为x ＝ty ＋1，

由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1，

x 24＋y 23＝1，

得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6t

3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4. 因为OE

→＝OA →＋OB →， 所以四边形AOBE 为平行四边形，

所以S ＝S

AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32

（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18t 2＋13t 2＋4. 令t 2＋1＝m ，则m ≥1，

S ＝18m 3m 2＋1＝183m ＋1m

. 由函数的单调性易得当m ＝1，即t ＝0时，S max ＝92.

法二 由OE

→＝OA →＋OB →知四边形AOBE 为平行四边形. 所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB .

当直线AB 的斜率不存在时，S ＝3S △AOB ＝92.

当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.

由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），

x 24＋y 23＝1，

得 (4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k

4k 2＋3，y 1y 2＝－9k 24k 2＋3， 所以S ＝3S △AOB ＝32

|y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18k 4＋k 2

4k 2＋3.

令4k 2＋3＝m ，则m >3，

S ＝92－3×1m 2－2m ＋1<92.

综上知，四边形AGBE 的面积S 的最大值S max ＝92.

感悟提升 1.本题求四边形AGBE 面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.

2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.

训练1 (2022·南宁模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右顶点M 到

左焦点的距离为3，直线l 与椭圆C 交于点A ，B .

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设直线MA ，MB 的斜率为k 1，k 2.若4k 1k 2＋9＝0，求|AB |的最小值.

解 (1)设椭圆的半焦距为c ，

由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，a ＋c ＝3，解得⎩⎪

⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，∴b ＝

3，

∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.

(2)由题意知，直线l 的斜率不为0，

设其方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，

x 24＋y 23＝1，

得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0， ∴y 1＋y 2＝－6mn 3m 2＋4，y 1y 2＝3n 2－123m 2＋4

， Δ＝(6mn )2－4(3m 2＋4)(3n 2－12)

＝48(3m 2－n 2＋4)>0.

由(1)知M (2，0)，则直线MA ，MB 的斜率分别为k 1＝y 1x 1－2，k 2＝y 2x 2－2

，

∴k 1k 2＝y 1y 2（x 1－2）（x 2－2）

＝y 1y 2（my 1＋n －2）（my 2＋n －2）

＝

y 1y 2m 2y 1y 2＋m （n －2）（y 1＋y 2）＋（n －2）2 ＝3n 2－12

3m 2＋4m 2·3n 2－123m 2＋4＋m （n －2）⎝ ⎛⎭

⎪⎫－6mn 3m 2＋4＋（n －2）2 ＝3n 2－12

4（n －2）2＝3（n ＋2）4（n －2）＝－94，解得n ＝1.

∴直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 过定点(1，0)，

此时，y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4

， ∴|AB |＝

1＋m 2|y 1－y 2| ＝

1＋m 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝1＋m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋42＋363m 2＋4

＝1＋m 2·144（m 2＋1）（3m 2＋4）

2 ＝

12（m 2＋1）3m 2＋4＝4·3m 2＋33m 2＋4 ＝4⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13m 2＋4≥3(当且仅当m ＝0时取等号)， ∴|AB |的最小值为3.

题型二 斜率或某些参数(式子)的最值(范围)

例2 (2021·兰州诊断)已知抛物线y 2＝4x 及点P (4，0).

(1)以抛物线的焦点F 为圆心，|FP |为半径作圆，求圆F 与抛物线交点的横坐标；

(2)若A ，B 是抛物线上不同的两点，且直线AB 与x 轴不垂直，弦AB 的垂直平分

线恰好经过点P ，求F A →·FB

→的取值范围. 解 (1)由已知得F (1，0)，

所以圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝9，

由⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋y 2＝9，y 2＝4x ，

得x 2＋2x －8＝0. 解得x ＝2或x ＝－4.

由于x >0，所以x ＝2.

则圆与抛物线交点的横坐标为2.

(2)设弦AB 的中点为M ，A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 2

14，y 1， B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 224，y 2，M (x 0，y 0)， 则x 0＝y 21＋y 228，y 0＝y 1＋y 22， 设线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，

则直线AB 的斜率

k AB ＝y 1－y 2y 214－y 224

＝4y 1＋y 2＝2y 0＝－1k ， ∴y 0＝－2k .

∵点M 在弦AB 的垂直平分线上，

∴y 0＝k (x 0－4)(k ≠0)，∴x 0＝2.

则直线AB 的方程为k (y －y 0)＝2－x ，

由⎩⎪⎨⎪⎧k （y －y 0）＝2－x ，y 2＝4x ，

得ky －ky 0＝2－y 24，

即y 2＋4ky ＋8k 2－8＝0，

∴Δ＝16k 2－32k 2＋32＝－16k 2＋32>0，

∴0

∵y 1＋y 2＝－4k ，y 1y 2＝8k 2－8，

∴F A →·FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 224－1＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 1y 242

－14(y 21＋y 22)＋1＋y 1y 2 ＝4(k 2－1)2－4＋1＋8k 2－8

＝4k 4－7，

∴F A →·FB

→的取值范围是(－7，9). 感悟提升 圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换；目标关系式求范围.

训练2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32

，直线x ＋3y －1＝0被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过点M (4，0)的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且λ＝|MA |·|MB |，求λ的取值范围.

解 (1)原点到直线x ＋3y －1＝0的距离为12，

由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫322＝b 2(b >0)，解得b ＝1. 又e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，得a ＝2，

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率为0时，直线l ：y ＝0为x 轴，λ＝|MA |·|MB |＝12.

当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋4，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

联立⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，

消去x 得 (m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.

由Δ＝64m 2－48(m 2＋4)>0，得m 2>12，

所以y 1y 2＝12m 2＋4

. λ＝|MA |·|MB |

＝m 2＋1|y 1|·m 2＋1|y 2|

＝(m 2＋1)|y 1y 2|＝12（m 2＋1）

m 2＋4

＝12⎝

⎛⎭⎪⎫1－3m 2＋4. 由m 2>12，得0<3m 2＋4

<316， 所以394<λ<12.

综上可得：394<λ≤12，即λ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤394，12.

1.如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与

抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).

(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；

(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值.

解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0).

将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得

(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，

所以点M 的纵坐标y M ＝－mt m 2＋2

. 将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0，

所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m

， 因此x 0＝2p （m 2＋2）2

m 2

. 由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝

⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160， 当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040.

2.已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B (32，94)，抛物线上的点P (x 0，y 0)⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12

(2)Q 是以AB 为直径的圆上一点，且AP →·BQ →＝0，求AP →·PQ

→的最大值. 解 (1)设直线AP 的斜率为k ，

则k ＝

x 20－14

x 0＋12＝x 0－12，且－12

所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1).

(2)由题意可知，AP

→与AQ →同向共线，BQ ⊥AQ ， 联立直线AP 与BQ 的方程得

⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，

x ＋ky －94k －32＝0，

解得点Q 的横坐标是x Q ＝

－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）. 因为|AP |＝

1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝1＋k 2·(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x 0)＝－（k －1）（k ＋1）2

k 2

＋1， 所以AP →·PQ →＝|AP →|·|PQ

→|＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，

因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，AP →·PQ →取得最大值2716

. 3.(2022·全国名校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F (1，0)，定直线l ：x ＝－2，动点P 到l 的距离比到点F 的距离大1.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)过点H (3，2)的动圆M 与曲线C 相交，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＝x 2>3)为它们的两个交点，且动圆M 与直线y ＝2相交于另一点D ，求|DH |的最小值. 解 (1)设动点P (x ，y )，

则由题意知x ＋2＝|PF |＋1，

所以x ＋1＝|PF |，

即点P 到定直线x ＝－1的距离与点P 到点F 的距离相等，所以点P 的轨迹是以O 为顶点，F 为焦点的抛物线，

所以轨迹C 的方程为y 2＝4x .

(2)由题意可知圆心M 在x 轴上，

设M(m，0)，D(x3，2)，x3>3，

由题意知A(x1，2x1)，B(x1，－2x1)，

连接MH，MA，则|MH|＝|MA|，

即（m－3）2＋（0－2）2＝（m－x1）2＋（0－2x1）2，

即m＝x21＋4x1－13

2x1－6

.

由题意知圆M的方程为(x－m)2＋y2＝(m－3)2＋4. 令y＝2，得x＝2m－3或x＝3，

所以x3＝2m－3，

所以|DH|＝x3－3＝2m－6＝x21＋4x1－13

x1－3

－6＝

x21－2x1＋5

x1－3

.

因为x1>3，

所以|DH|＝x21－2x1＋5 x1－3

＝(x1－3)＋8

x1－3

＋4

≥2（x1－3）·8

x1－3

＋4＝4＋42，

当且仅当x1－3＝8

x1－3

，即x1＝3＋22(x3＝3－22舍去)时等号成立. 所以|DH|的最小值为4＋4 2.

4.(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶

点，且AM的斜率为1 2.

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 解(1)由题意可知直线AM的方程为

y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4，

当y ＝0时，解得x ＝－4，

所以a ＝4.

由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，

可得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12，

所以C 的方程为x 216＋y 212＝1.

(2)设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m (m ≠－4).

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.

联立直线方程x －2y ＝m 与椭圆方程x 216＋y 212＝1，

可得3(m ＋2y )2＋4y 2＝48，

化简可得16y 2＋12my ＋3m 2－48＝0，

所以Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0，

即m 2＝64，解得m ＝±8，

与AM 距离比较远的直线方程为x －2y ＝8，

点N 与直线AM 的距离即两平行线之间的距离，

即d ＝8＋41＋4＝1255，

由两点之间距离公式可得|AM|＝（2＋4）2＋32＝35，

所以△AMN的面积的最大值为1

2×35×125

5

＝18.

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第三课时 最值、范围问题

第三课时 最值、范围问题 题型一 距离与面积的最值(范围) 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE →＝OA →＋OB →，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2＝3，a ＋c ＝3， a 2＝ b 2＋ c 2. 联立以上3个式子，可得a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)法一 因为过F (1，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，所以设l 的方程为x ＝ty ＋1， 由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1， x 24＋y 23＝1， 得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4. 因为OE →＝OA →＋OB →， 所以四边形AOBE 为平行四边形，

所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32 （y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18t 2＋13t 2＋4. 令t 2＋1＝m ，则m ≥1， S ＝18m 3m 2＋1＝183m ＋1m . 由函数的单调性易得当m ＝1，即t ＝0时，S max ＝92. 法二 由OE →＝OA →＋OB →知四边形AOBE 为平行四边形. 所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB . 当直线AB 的斜率不存在时，S ＝3S △AOB ＝92. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1）， x 24＋y 23＝1， 得 (4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k 4k 2＋3，y 1y 2＝－9k 24k 2＋3， 所以S ＝3S △AOB ＝32 |y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18k 4＋k 2 4k 2＋3. 令4k 2＋3＝m ，则m >3， S ＝92－3×1m 2－2m ＋1<92.

2020版高考数学复习第九章平面解析几何高考中的圆锥曲线问题(第3课时)证明与探索性问题教案

第3课时 证明与探索性问题 题型一 证明问题 例1(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2 2＋y 2 ＝1上，过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM → . (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ → ＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP → ＝(x －x 0，y )，NM → ＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM → 得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2 2＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2 ＋y 2 ＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)． 设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ → ＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF → ＝3＋3m －tn ， OP → ＝(m ，n )，PQ → ＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2 ＝1. 又由(1)知m 2 ＋n 2 ＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法． 跟踪训练1 已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63 ，圆C ：x 2＋y 2 ＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN .

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题 【归类解析】 题型一 范围问题 【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23 －y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围. 【解】 (1)∵双曲线的离心率为233 ， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32 . 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24 ＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24 ＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2 ， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，

2023高考数学2卷圆锥曲线题多种解法

2023高考数学2卷圆锥曲线题多种解法 近年来，高考数学2卷中的圆锥曲线题目备受考生和教师关注。圆锥曲线是数学中重要的概念，其在几何、代数和应用数学中都有着广泛的应用。掌握圆锥曲线的相关知识和多种解题方法是提高学生数学成绩的关键之一。本文将针对2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目，围绕不同的解题方法展开讨论，帮助考生深入理解、掌握相关知识，并提高解题的灵活性和准确性。 一、圆锥曲线的基本概念 1.1 圆锥曲线的定义 圆锥曲线是平面上一类重要的几何曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。它们都可以由一个圆锥面与一个平面交线而成。在坐标系中，圆锥曲线可以通过方程表示，分别为： 圆：x^2 + y^2 = r^2 椭圆：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 双曲线：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1 抛物线：y^2 = 2px 1.2 圆锥曲线的性质

圆锥曲线具有多种性质，例如椭圆的焦点性质、双曲线的渐近线性质、抛物线的焦点和准线性质等。掌握这些性质有助于理解圆锥曲线的特 点和解题方法。 二、2023年高考数学2卷圆锥曲线题目分析 2.1 题目类型和难度 2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目主要涉及圆、椭圆和双曲线，涵盖了曲线方程、焦点、离心率、渐近线等知识点。题目难度适中，但 需要考生对相关知识有基本的掌握和灵活运用能力。 2.2 典型题目解析 （1）椭圆的离心率问题 题目描述：已知椭圆的长轴为6，短轴为4，求椭圆的离心率。 解析：根据椭圆的定义和离心率的计算公式，可求得椭圆的离心率为 e=√(1 - (b^2/a^2))，带入长短轴的值计算即可得到答案。 （2）双曲线渐近线问题

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义汇编

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)， 参数方程为⎩ ⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为：122 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：122 22=+b y a x ， a 称半长轴长， b 称半短轴长， c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (± c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2 =；定义中的比 e 称为离心率，且a c e = ，由c 2+b 2=a 2知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一 点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5.补充知识点： 几个常用结论： 1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为： 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 θ 2 222 cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为

2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用 一、知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0①直线与圆锥曲线相交； ①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切； ①Δ<0①直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点． ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1 k2|y2－y1|. 3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直

线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 二、课前预习 1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2 m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____． 2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2 ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____． 3.直线mx ＋ny ＝4 与①O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的交 点个数是____个． 4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的 任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－4 9，则椭圆C 的离心率为____． 5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)2 3,1(P ，离心率为1 2. (1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为 3 2 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)

F 2 F 1 O y x B A 解析几何 专题三：圆锥曲线面积问题 一、知识储备 1、三角形面积问题 直线AB 方程：y kx m =+ 002 1kx y m d PH k -+== + 000022 11122'2' 1ABP kx y m kx y m S AB d k A A k ∆-+∆-+∆= ⋅=+⋅=+ 2、焦点三角形的面积 直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212' ABF c S F F y y c y y A ∆∆= ⋅-=-= 222222222 2222 2 2 4() 11||S =||d 22 AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B ∆+-=+++ 222222 2222()C ab a A b B C a A b B +-=+ 注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数 3、平行四边形的面积 直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 122 1m m d CH k -== + 2222 22 121212''11()41()41''' B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+ 12 12 2 2 1'' 1ABCD m m m m S AB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+ 注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数 C D H O y x B A

均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈ 变式：2 ,);( )(,)2 a b a b a b R ab a b R + +++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1） 222 6464t S t t t = = ++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） （2）22 4222121212 333196123696k AB t k k k =+=+≤+ ++⨯+++ 当且仅当2 2 1 9k k = 时，等号成立 （3 ）222 002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22 00 2200 259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4 ）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 (5)222 1121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解 1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>> ，且过点()3,1． （1）求椭圆G 的方程； （2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积． 【答案】（1）22 1124 x y +=；（2）92. 【分析】 （1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.

2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：10.6 圆锥曲线的综合问题 含解析

10.6圆锥曲线的综合问题 挖命题 【考情探究】 分析解读 1.圆锥曲线的综合问题是高考的热点之一,主要考查两大问题:一是根据条件求出平面曲线的方程;二是通过方程研究平面曲线的性质. 2.考查点主要有:(1)圆锥曲线的基本概念和性质;(2)与圆锥曲线有关的最值、对称、位置关系等综合问题;(2)有关定点、定值问题,以及存在性等探索性问题. 3.预计2020年高考试题中,圆锥曲线的综合问题仍是压轴题之一,复习时应高度重视. 炼技法 【方法集训】 方法1圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法 1.(2018浙江9+1高中联盟期中,21)如图,在平面直角坐标系xOy中,设点M(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上一点,从原点O向圆 M:+=作两条切线,分别与椭圆C交于点P,Q,直线OP,OQ的斜率分别记为k1,k2. (1)求证:k1k2为定值; (2)求四边形OPMQ面积的最大值.

解析(1)证明:因为直线OP:y=k1x,OQ:y=k2x与圆M相切, 所以=,=,可知k1,k2是方程(3-2)k2-6x0y0k+3-2=0的两个不相等的实数根, 所以3-2≠0,k 1k2=,因为点M(x0,y0)在椭圆C上,所以=1-, 所以k1k2==-. (2)易知直线OP,OQ都不能落在坐标轴上,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为2k1k2+1=0,所以+1=0,即=, 因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆C上, 所以==, 整理得+=2,所以+=1, 所以OP2+OQ2=3. 因为S四边形OPMQ= (OP+OQ)·=(OP+OQ), OP+OQ≤=,所以S四边形OPMQ的最大值为1. 2.(2018浙江台州高三期末质检,21,15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,点P(,)在椭圆C上,且△PF1F2的面积为2. (1)求椭圆C的方程; (2)过原点O且与x轴不重合的直线交椭圆C于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.求证:以MN为直径的圆恒过焦点F1,F2,并求出△F1MN面积的取值范围. 解析(1)∵=×2c×=2,∴c=2,(2分) 又点P(,)在椭圆C上,

圆锥曲线中的最值与范围问题(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题7 圆锥曲线中的最值与范围问题 一、考情分析 与圆锥曲线有关的范围、最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐。解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用． 二、解题秘籍 (一) 最值与范围问题求解方法与策略 1. 处理圆锥曲线最值与范围问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【例1】（2022届四川省攀枝花市高三统一考试）已知双曲线22:12 x E y -=的两个焦点分别为1F ，2F ，动点 P 满足124PF PF +=. （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）若轨迹C 上存在两点A ，B 满足1OA OB k k +=-（OA k ，OB k 分别为直线OA ，OB 的斜率），求直线AB 的斜率的取值范围. 【分析】（1）由题设知：1212||PF PF F F +>，结合椭圆的定义写出轨迹C 的方程； （2）设AB ：y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立椭圆方程并应用韦达定理可得122 814kb x x k +=- +， 2122 4(1)14b x x k -=+，根据1OA OB k k +=-可得221k b =-，由0∆>有2214b k ->-，即可求直线AB 的斜率的取值范围. 【解析】（1）由题设，若12(F F ， ∴ 12124||PF PF F F +=>=P 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，

2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练50圆锥曲线的综合应用问题——范围与最值问题(含解析)

课下层级训练(五十) 范围与最值问题 [A 级 基础强化训练] 1．(2019·山东聊城模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，椭圆的一个焦点为(3，0)． (1)求椭圆E 的方程； (2)若直线l 过点M (0，2)且与椭圆E 交于A ，B 两点．求|AB |的最大值． 【答案】解 (1)依题意，设椭圆E 的左，右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 则|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2，c ＝3，∴b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24 ＋y 2 ＝1． (2)当直线l 的斜率存在时， 设l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2， x 24 ＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＋82kx ＋4＝0． 由Δ＞0得4k 2＞1． 由x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1x 2＝41＋4k 2得 |AB |＝1＋k 2 x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝2 －6⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋4k 22＋11＋4k 2＋1． 设t ＝11＋4k 2，则0＜t ＜1 2 ． ∴|AB |＝2－6t 2＋t ＋1＝2－6⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1122＋2524≤566 ． 当直线l 的斜率不存在时，，|AB |＝2＜566 ， ∴|AB |的最大值566 ． 2．(2018·四川内江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)过点(2，1)，且焦距为22． (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ＞－2)与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点M 到直线2x ＋y ＋t ＝0 的距离为355 ，求t (t ＞2)的取值范围．

2020高考新课标数学(文)一轮复习教材：专题研究圆锥曲线中的范围、最值、证明问题

专题研究（一）圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 专题概述：1•圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值；2•圆锥曲线中的证明问题通常转化为利用坐标容易解决的问题，通过坐标法来解决，合理转化是解决证明问题的关键. ［专题讲解］ 题型一范围问题 【典例1 ］（2019安徽皖西南十校期末联考）已知右焦点为 x2 y2' 3 ' F2（C,0）的椭圆C:孑+ b?= 1（a>b>0）过点J, 2J,且椭圆C关于直线x =C 对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C的方程； 、一 ⑵过点° 0作直线I与椭圆C交于E, F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围. ［审题程序］ 第一步：由椭圆过定点，确定a, b关系； 第二步：由椭圆C关于直线对称的图形过原点确定a, C关系； 第三步：写出椭圆的方程； 第四步：利用直线I与椭圆方程联立，由根与系数的关系，把斜率k 表示利用参数表示； 第五步：利用函数（或均值定理）求范围.

'31 1 9 ［规范解答］（1）T椭圆C过点J, 2，••孑+4|?= 1,①•••椭圆C关于直线x= C对称的图形过坐标原点，••• a=2C, 1

Ta1 2= b2+ c2,「・b2=3a2，②由①②得a2= 4, b2= 3, •••椭圆C的方程为x4 + 3 = 1. /.0

1 =my + 可 1 x = my + 2， 由方程组 2 2 消去X ,并整理得 —+ y 一 12 4 + 3 一 12 —45= 0. 设 E(x i , y i ), Fg y 2), M(x 。，y 。) 3m /y1 + y2= — R ， 4 1 当 m>0 时，4m + 帚》8,.0< 4 4m + — m ⑵依题意，直线I 过点1 o 且斜率不为零, 故可设其方程为 x 2 2 4(3m + 4)y + 12my y 1 + y 2 ..y°= 2 = 3m 2 3m 2+4 ' 1 ・ X o = my 。+ 2 2 3m 2 + 4，.k= X 0 — 2 y o = m 4m 2 + 4 ①当m = 0时, k = 0 ②当m z 0时, k = ，

高考数学一轮复习高考大题专项五突破1圆锥曲线中的最值范围问题学案理含解析北师大版

直线与圆锥曲线 高考大题专项(五)直 线与圆锥曲线 考情分析 从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决. 突破1圆锥曲线中的最值、范围问题 题型一圆锥曲线中的最值问题 突破策略一目标函数法 【例1】(2020山东烟台模拟,21)已知直线x+y=1过椭圆x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点,且交 椭圆于A,B两点,线段AB的中点是M(2 3,1 3 ). (1)求椭圆的方程; (2)过原点的直线l与线段AB相交(不含端点)且交椭圆于C,D两点,求四边形ACBD面积的最大值. 解题心得当题目给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域).常用方法有:(1)配方法;(2)基本不等式法;(3)单调性法;(4)三角换元法;(5)导数法等,要特别注意自变量的取值范围.

对点训练1(2020山西太原三模,理20)已知椭圆C:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的焦距为2,且过点 (1,3 2 ). (1)求椭圆C的方程; (2)已知△BMN是椭圆C的内接三角形,若坐标原点O为△BMN的重心,求点O到直线MN 距离的最小值. 突破策略二基本不等式法 【例2】(2020浙江,21)如图,已知椭圆C1:x2 2 +y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A). (1)若p=1 16 ,求抛物线C2的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.

圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习

题组：圆锥曲线综合大题练题型1：定点问题 1.椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为1 2 ，其左焦点到点P(2,1)的距离为 √10． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出 该定点的坐标． 2.已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴． （Ⅰ）求线段ON的长； （Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定 点？请说明理由．

3.已知椭圆C： 22 22 =1 x y a b （a>b>0），四点P 1 （1,1），P 2 （0,1），P 3 （–1， 3 2），P 4（1， 3 2）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P 2点且与C相交于A，B两点.若直线P 2 A与直线P 2 B的斜 率的和为–1，证明：l过定点. 4.如图，椭圆E：x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率 e=1 2 ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且∆ABF2的周 长为8． （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个 公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探 究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

5.如图，已知椭圆Γ：x 2 b2+y2 a2 =1(a>b>0)的离心率e=√2 2 ，短轴右端点为 A,M(1.0)为线段OA的中点． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程； （Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于P,Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

《三维设计》2022级数学一轮复习基础讲解圆锥曲线的综合问题

《三维设计》2022级数学一轮复习基础讲解圆锥曲线的 综合问题 圆锥曲线的综合问题(文视情况 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或某)得关于变量某(或y)的方程：a某2＋b某＋c＝ 0(或ay2＋by＋c＝0)． 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0直线与圆锥曲线相交；Δ＝0Δ<0 若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(某1，y1)，B(某2，y2)，则弦长|AB|1＋k|某1 －某2|或 1＋y1－y2|.k [小题能否全取] 某2y2 1．(教材习题改编)与椭圆＋1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是() 1216某2y22

A．y－1－某＝1 33 2 33 2－2＝148 33 2－2＝148 y2某2 解析：选A－1(a＞0，b＞0)， ab c 则a2，c＝2， a2＋b2＝c2， 2 得a＝1，b＝某2 故双曲线方程为y－＝1. 3 某2y2 2．(教材习题改编)直线y＝k某－k＋1＋＝1的位置关系是() 94A．相交C．相离 B．相切D．不确定

解析：选A由于直线y＝k某－k＋1＝k(某－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 线与椭圆必相交． 3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4某仅有一个公共点，这样 的直线有()A．1条C．3条 B．2条D．4条 解析：选C结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线某＝0，过点(0,1)且平行于某轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线某＝0)． 某2y2 4．过椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一 个交点为M， ab与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________． 解析：由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝某＋a，所以B点 的坐标为(0，a)，aac26－，代入椭圆方程得a2＝3b2，则c2＝2b2，则，故e＝.故M点的坐标为22a33 答案： 63 2 2 y2

专题8.9 圆锥曲线的最值、范围、证明问题-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第八篇平面解析几何 专题8.09圆锥曲线的最值、范围、证明问题 【考试要求】 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法； 2.了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想. 【知识梳理】 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法 (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 5.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2 ＝1＋1 k2·|y1－y2|＝1＋1 k2·（y1＋y2） 2－4y1y2. 【微点提醒】 1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用)

(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用) (1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.() (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.() (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.() (4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.() 【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√ 【解析】(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切. (3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 【教材衍化】 2.(选修2－1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】 C 【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0). 3.(选修2－1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________. 【答案】16 【解析】法一直线l的方程为y＝3x＋1，

2023届高考数学一轮复习圆锥曲线定直线问题 讲义

圆锥曲线定直线问题 方法提示：先猜后证 一、分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直 二、特殊化得到答案 三、按常规方法写解题过程 典例 例1.如图，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上顶点为A ．已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点(4,0)Q -任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ QN λ=⋅．若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=-⋅，当直线l 运动时，点R 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程． 例2.已知双曲线E ：()222104 y x a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线2 3 a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足 220PF QF ⋅=． （1）求实数a 的值； （2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值； （3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PN HN = ，证明点H 恒在一条定直线上．

对点训练 1、已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，,M N 分 别为左右顶点，直线l ：1x ty =+与椭圆C 交于,A B 两点，当3 t =-时，A 是椭圆的上顶点，且12AF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线,AM BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上. 2、设椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于 点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上. 3、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为1 4 -.记R 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程； （2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .

(新人教版)【文库精品】高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案【必做资料】

第3讲 圆锥曲线的综合问题 [考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大． 热点一 范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解． 例1 (2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为32的椭圆C ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)过点 P ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 1， 32，与坐标轴不平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，其中M 为A 关于y 轴的对称点，N (0，2)，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程； (2)分别记△PAO ，△PBO 的面积为S 1，S 2，当M ，N ，B 三点共线时，求S 1·S 2的最大值． 解 (1)∵c a ＝32 ，a 2＝b 2＋c 2 ，∴a ＝2b . 把点P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 1， 32代入椭圆方程可得1a 2＋34b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆方程为x 2 4＋y 2 ＝1. (2)设点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)， 则M 为(－x 1，y 1)， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ， 联立椭圆方程可得(4k 2 ＋1)x 2 ＋8kbx ＋4b 2 －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2 －4 4k 2＋1，Δ>0， ∵M ，N ，B 三点共线，

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定值、定点问题 Word版含解析

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定 值、定点问题（学生版） 一、圆锥曲线中求解定值问题常用的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例1 (2022·盐城市高三一模)设F为椭圆C：x2 2＋y 2＝1 的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点． (1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程； (2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1 k2为定值． 例2 (2022·洛阳统考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(4，m)(m ＞0)是抛物线C上一点，且|PF|＝5． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B为抛物线C上异于P的两点，且P A⊥PB．记点A，B到直线y ＝－4的距离分别为a，b，求证：ab为定值．

跟踪练习 1、(2021·安徽安庆市一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，过椭圆左焦点F 的直线x －43y ＋3＝0与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO 的面积为34. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA 、MB 交椭圆分别于A 、B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证：直线AB 的斜率为定值． 2、(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2，且过点A (2,1)． (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的最值、范围问题 Word版含解析

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的最 值、范围问题（学生版） 一、圆锥曲线中最值问题的常用求解方法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等． 例1 (2022·宿州市高三上学期期末)已知抛物线C ：y 2＝2px ()p >1的焦点为F ，圆E ：()x ＋12＋()y －22 ＝4，M ，N 分别是抛物线C 和圆E 上的动点，当点M 在第一象限且MF ⊥x 轴时，||MN 的最大值为4. (1)求抛物线C 的方程； (2)已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，且直线l ⊥MF ，设直线 MF 与抛物线C 的另一个交点为K ，求PM →·KQ →的最小值． 例2 (2022·青岛一模)在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22．

(1)求椭圆E的标准方程； (2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值． 跟踪练习 1、(2022·陕西西安质检)已知椭圆y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，且点(1，6)在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点(0,3)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O 构成三角形，求△AOB面积的最大值．