圆锥曲线(文科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
圆锥曲线（文科）解答题20题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22
221x y a b
+=(a >b >0)
的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直
的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=4
3|AB |．
（1）求C 1的离心率；
（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．
【答案】（1）1
2
；（2）1C ：22
11612
x y
+=，2C ： 28y x =.
【分析】
（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4
||||3
CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】
解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中
22c a b -不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y
a b
+=，
所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2
b a ，2
b a
-；
又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故2
2||b AB a
=，||4CD c =.
由4||||3CD AB =得2
843b c a
=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.
所以1C 的离心率为1
2.
（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22
122:143x y C c c
+=，所以1C 的四个顶点坐标分
别为(2,0)c ，(2,0)c -，3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =. 所以1C 的标准方程为
22
11612
x y +=，2C 的标准方程为28y x =.
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;
（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.
【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13
.
【分析】
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得200259
10
y x +=，
再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】
（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线方程为2p x =-，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫
--== ⎪⎝⎭
，
所以该抛物线的方程为24y x =；
（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -，
由P 在抛物线上可得()()2
00104109y x =-，即200259
10
y x +=，
所以直线OQ 的斜率
000
22
0001025925910
OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，
00
10925OQ k y y =
+
， 当00y >
时，因为0092530y y +
≥， 此时103OQ
k <≤，当且仅当00925y y =，即035
y =时，等号成立；
当00y <时，0OQ k <；
综上，直线OQ 的斜率的最大值为1
3
.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点Q 坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对0y 取值范围的讨论.
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．
（1）求C ，M 的方程；
（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析 【分析】
（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；
（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距
离，即可得出结论. 【详解】
（1）依题意设抛物线2
00:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，
2
0,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，
所以抛物线C 的方程为2y x =，
(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，
所以M 的方程为22
(2)1x y -+=；
（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y
若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意； 若12A A 方程为3x =
，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A
为3)y x -，
又131********A A y y k y x x y y -=
===∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，
所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在， 则121323121323
111
,,A A A A A A k k k y y y y y y =
==+++， 所以直线12A A 方程为()1112
1
y y x x y y -=
-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，
同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M
相切，1=
整理得222
12121(1)230y y y y y -++-=，
13A A 与圆M 相切，同理22
213131(1)230y y y y y -++-=
所以23,y y 为方程222
111(1)230y y y y y -++-=的两根，
2
112323221123,11
y y y y y y y y -+=-⋅=--，
M 到直线23A A 的距离为：
2
122312
2123213|2|
21()1()1y y y y y -+=+++--221122221
111
11(1)4y y y y +===+-+，
所以直线23A A 与圆M 相切；
综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】
关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.
4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直
线y =1
2
-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .
（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
【答案】(1)见详解；(2) 3或2【分析】
（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1
(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：
1111
()2
y x x t +
=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.
（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，
EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的
距离，则2
1221,1
d t d t =+=
+.
【详解】
(1)证明：设1(,)2
D t -,11(,)A x y ,则2111
2y x =．
又因为2
12
y x =
，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，
故1111
()2
y x x t +
=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.
11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.
于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为
2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，
当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1
(0,)2
.
（2）由（1）得直线AB 的方程为1
2
y tx =+. 由2
122y tx x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得2210x tx --=， 于是2
121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+
212|||2(1)AB x x t =-=+.
设12,d d 分别为点,D E 到直线AB
的距离，则12d d ==
因此，四边形ADBE 的面积()(
2121
||32
S AB d d t =
+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭，
由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()2
20t t t +-=，解得0
=t 或1t =±.
当0=t 时，3S =；当1t =±
时S =因此，四边形ADBE 的面积为3
或【点睛】
此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．
5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点． （1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；
（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
【答案】(1) 31e =；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞. 【分析】
（1）先连结1PF ，由2POF 为等边三角形，得到1290F PF ∠=，2PF c =，13PF c =；再由椭圆定义，即可求出结果；
（2）先由题意得到，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当
12162y c ⋅=，1y y
x c x c
⋅=-+-，22
22
1x y a b +=，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】
（1）连结1PF ，由2POF 为等边三角形可知：在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，
13PF c ，
于是1223a PF PF c c =+=， 故椭圆C 的离心率为3113
c e a =
==+； （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c
⋅=-+-，22
22
1x y a b +=， 即16c y = ① 222x y c += ②
22
22
1x y a b += ③ 由②③以及2
2
2
a b c =+得42
2b y c =，又由①知22
216y c
=，故4b =；
由②③得22
2
22()a x c b c
=-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故42a ≥
当4b =，42a ≥P . 故4b =，a 的取值范围为[42,)+∞. 【点睛】
本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.
6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．
（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．
（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．
【答案】（1）2或6； （2）见解析. 【分析】
（1）设(),A t t -，(),B t t -，根据AB 4=，可知t =M 必在直线y x =上，可设圆心(),M a a ；利用圆心到20x +=的距离为半径和MA MB r ==构造方程，从而解出r ；（2）当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx =，由圆的性质可知圆心M 必在直线1
=-y x k 上；假设圆心坐标，利用圆心到20x +=的距离为半径和
r MA =构造方程，解出M 坐标，可知M 轨迹为抛物线；利用抛物线
定义可知()1,0P 为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB 斜率不存在时，求解出M 坐标，验证此时()1,0P 依然满足定值，从而可得到结论. 【详解】 （1）
A 在直线0x y +=上 ∴设(),A t t -，则(),
B t t -
又AB 4= 2816t ∴=，解得：t =M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上
设(),M a a ，圆的半径为r
M 与20x +=相切 2r a ∴=+
又MA MB r ==，即((
22
2a a r +=
((
()2
2
2
2a a a ∴+=+，解得：0a =或4a =
当0a =时，2r ；当4a =时，6r =
M ∴的半径为：2或6
（2）存在定点()1,0P ，使得1MA MP -= 说明如下：
A ，
B 关于原点对称且AB 4=
∴直线AB 必为过原点O 的直线，且2OA =
①当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx = 则M 的圆心M 必在直线1
=-y x k
上
设(),M km m -，M 的半径为r
M 与20x +=相切 2r km ∴=-+
又22
2224r MA OA OM
k m m ==+++22224km k m m ∴-+++，整理可得：24m km =-
即M 点轨迹方程为：24y x =，准线方程为：1x =-，焦点()1,0F
MA r =，即抛物线上点到2x =-的距离 ∴1MA MF =+ 1MA MF ∴-=
∴当P 与F 重合，即P 点坐标为()1,0时，1MA MP -=
②当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为：0x =
M ∴在x 轴上，设(),0M n
224n n ∴++0n =，即()0,0M 若()1,0P ，则211MA MP -=-=
综上所述，存在定点()1,0P ，使得MA MP -为定值. 【点睛】
本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.
7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的右焦点为(1,0)，且
经过点(0,1)A .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2
212
x y +=；
（Ⅱ）见解析. 【分析】
(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确
定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】
（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以
1225
； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2
212
x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y
联立2
212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪
⎨⎪=+≠⎩
得222(12)4220k x ktx t +++-=，
21212
22422
0,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，22
2
2
1212122
2()12t k y y k x x kt x x t k
-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=
，令0y =得111x x y -=-，即1
11
x OM y -=-；
同理可得2
21
x ON y -=
-. 因为2OM ON =,所以
1212
121212211()1
x x x x y y y y y y --==---++；
22
1
121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2
221x y a
+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.
【答案】（1）2
219
x y +=；（2）证明详见解析.
【分析】
（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.
（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()0
39
y y x =
+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为2002
2003276,99y y y y ⎛⎫
-+ ⎪++⎝
⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
，当2
03y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：
()02043233y y x y ⎛⎫=
- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫
⎪⎝⎭
，命题得证. 【详解】
（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程2
22:1(1)x E y a a
+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G
∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =
∴椭圆方程为：2
219
x y +=
（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00
363y y x -=
+--，即：()039
y y x =+
联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2
2019
39x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，整理得：
()2
2
2
2
000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或2020
327
9y x y -+=+
将20203279y x y -+=+代入直线()0
39y y x =+可得：02069y y y =+
所以点C 的坐标为2002
2003276,99y y y y ⎛⎫
-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为200220
0332,11y y y y ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭ 当2
03y ≠时，
∴直线CD 的方程为：0
022*******
2
200002
2
006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫
--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫
--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝
⎭⎝⎭ 整理得：()
()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛
⎫=
+=- ⎪---⎝⎭
所以直线CD 过定点3,02⎛⎫
⎪⎝⎭
．
当2
03y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
故直线CD 过定点3,02⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.
9．（2020年北京市高考数学试卷）已知椭圆22
22:1x y C a b
+=过点(2,1)A --，且2a b =．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点
,P Q ．求
||
||
PB BQ 的值． 【答案】（Ⅰ）22
182
x y +=；（Ⅱ）1.
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从
而可得两线段长度的比值. 【详解】
(1)设椭圆方程为：()22
2210x y a b a b
+=>>，由题意可得：
2241
1
2a b
a b
⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22
182
x y +=.
(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，
与椭圆方程22
182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，
即：()()
2222
41326480k x k x k +++-=，
则：2212122232648
,4141
k k x x x x k k --+==
++. 直线MA 的方程为：()111
122
y y x x ++=
++， 令4x =-可得：()()()11111111412141
22122222
P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯
-=-⨯-=++++， 同理可得：()()
222142
Q k x y x -++=
+.
很明显0P Q y y <，且：
P
Q
PB y PQ
y =
，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦ 2222648322384141k k k k ⎡⎤
⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣
⎦
()()()
2
222
6483328412041
k k k k -+⨯-++=⨯
=+，
故0,P Q P Q y y y y +==-.
从而
1P
Q
PB y BQ
y =
=. 【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
10．（2020年天津市高考数学试卷）已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为
(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．
【答案】（Ⅰ）22
1189
x y +=；
（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【分析】
（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 【详解】
（Ⅰ）椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的一个顶点为()0,3A -，
∴3b =，
由OA OF =，得3c b ==，
又由222a b c =+，得2228313a =+=， 所以，椭圆的方程为22
1189
x y +
=； （Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，
设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，
223
1189
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪
⎩，消去y ，可得()
2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得2221263
2121
3k y k k k k =⋅--=++，
所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，
因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，
所以点P 的坐标为2263,2121k
k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，
由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，
所以，直线CP 的斜率为2223
03216261121
CP
k k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以23
1261
k k k ⋅
=--+，
整理得22310k k -+=，解得1
2
k =
或1k =. 所以，直线AB 的方程为132
y x =-或3y x =-. 【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 11．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知椭圆C ：22
221(0)
x y a b a b
+=>>2
()2,1A ． （1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．
【答案】（1）22
163
x y +=；（2）详见解析.
【分析】
（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【详解】
（1）由题意可得：222222
2411c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：222
6,3a b c ===，
故椭圆方程为：22
163
x y +=.
(2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，
若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，
代入椭圆方程消去y 并整理得：()222
12k 4260x kmx m +++-=，
可得122412km x x k +=-+，2122
26
12m x x k -=+，
因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：
()
()()()2
2
121212140x x km k x x k
m ++--++-+=，
所以(
)
()()222
22264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫
++---+-+= ⎪++⎝⎭
， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，
因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠， 故23101k m k ++=≠，，
于是MN 的方程为2133y k x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭()1k ≠，
所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭.
当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()
1
2
2
1210x y -+-=，结合2211163
x y +=可得：2
113840x x -+=，
解得：123
x =或2
2x =（舍）.
此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，
故12DQ AP =
=
， 若D 与P 重合，则1
2
DQ AP =
， 故存在点41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得DQ 为定值.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可
12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，
利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【答案】(1) y =x –1,(2)()()2
2
3216x y -+-=或()()2
2
116144x y -++=． 【详解】
分析：(1)根据抛物线定义得12AB x x p =++，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l 的方程；（2）先求AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.
详解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k ++=．
所以()()2122
44
11k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22
44
8k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为
()23y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
()()002
2
00051116.2y x y x x =-+⎧
⎪⎨-++=+⎪⎩
，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
()()
22
3216x y -+-=或()()22
116144x y -++=．
点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法
①若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．
13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线
22C y x =：，点()20A ，
，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠． 【答案】（1）112y x =+或1
12
y x =--；（2）见解析. 【分析】
（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，
，求得直线l 的方程为2x =，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；
（2）设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】
（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =
+或1
12
y x =--； （2）设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，
由22
2x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为
()()()()()()()()
2
1122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y y
k k x x x x x x +++++++=
+==++++++()()()()()()
1212121224244202222ty y y y t t
x x x x ++⨯-+⨯=
==++++，
所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.
综上，ABM ABN ∠=∠. 【点睛】
该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.
14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题文档版）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
1
43
x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【详解】
分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．
（2）先求出点P 的坐标，解出m ，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
详解：（1）设()11A x y ，，()22B x y ，，则22
11143x y +
=，22
22143
x y +=． 两式相减，并由
1212=y y k x x --得1212
043
x x y y k +++⋅=． 由题设知
1212
x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．
由题设得2
11,043
m m +
<>∴302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设()33P x y ，，则
()()()()33112211100x y x y x y -+-+-=，
，，，． 由（1）及题设得()31231x x x =-+=，()31220y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以3
4m =，从而312P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
，3||=2FP ． 于是()()22
2
2
1111
1||1131242x x
FA x y x ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝
⎭．
同理2
||=22
x FB -
． 所以()121
|43|||2
FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．
点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m ，得到FP ,再有两点间距离公式表示出,FA FB ，考查了学生的计算能力，难度较大．
15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 2
2:12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足
2NP NM =.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
【答案】（1）222x y +=；（2）见解析. 【详解】
（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),NM 0,x y y =-=（）
由NP 2NM =得00x x y y ==
，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22
x 122
y +
=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.
由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则
()()OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，， ()OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）.
由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.
所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，
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圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题 一、解答题 1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ， B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ） 已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦 点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.
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2015年高考数学真题分类汇编：专题(09)圆锥曲线(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题09 圆锥曲线 文 1.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线2 :8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B 【解析】∵抛物线2 :8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0）， ∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22 221(0)x y a b a b +=>>，c=2， ∵12 c e a ==，∴4a =，∴222 12b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=， 将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B. 【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质 【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质. 2.【2015高考重庆，文9】设双曲线22 221(a 0,b 0)x y a b -=>>的右焦点是F ， 左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若 12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A) 1 2 ± (B) ± (C) 1± (D) 【答案】C 【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,2 2 2 >+=c b a c ， )0,(),0,(21a A a A -，),(),,(2 2a b c C a b c B -，
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题 【归类解析】 题型一 范围问题 【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23 －y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围. 【解】 (1)∵双曲线的离心率为233 ， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32 . 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24 ＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24 ＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2 ， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，
高考文科数学圆锥曲线专题训练
高考文科数学圆锥曲线专题训练 在高考文科数学中，圆锥曲线是一个重要的专题，它涉及到许多核心的概念和解题技巧。圆锥曲线专题训练旨在帮助学生深入理解圆锥曲线的概念，掌握其基本性质和解题方法，提高解题速度和准确率。 圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等几种类型。这些曲线都有其特定的定义和性质。例如，圆是平面内与一定点距离等于定长的所有点的集合；椭圆是平面内与两个定点距离之和等于定长的所有点的集合；双曲线是平面内与两个定点距离之差等于定长的所有点的集合；抛物线是平面内与一定点和一定直线距离相等的所有点的集合。 解题技巧是解决圆锥曲线问题的关键。学生需要掌握一些基本的解题技巧，如利用圆锥曲线的定义解题，利用圆锥曲线的焦点性质解题，利用圆锥曲线的标准方程解题等。同时，还需要掌握一些高级技巧，如利用圆锥曲线的对称性解题，利用圆锥曲线的参数方程解题等。 熟悉基本概念：理解并熟记圆锥曲线的基本概念是解决这类问题的前提条件。 掌握基本解题技巧：学生应该掌握一些基本的解题技巧，如前面提到的利用定义、焦点性质、标准方程等解题方法。
大量练习：通过大量的练习，学生可以熟悉各种题型，提高解题速度和准确率。 学会归纳总结：学生应该学会对做过的题目进行归纳总结，找出解题规律，提高解题能力。 圆锥曲线是高考文科数学中的一个重要专题，学生需要通过专题训练来加深对圆锥曲线概念的理解，掌握解题技巧，提高解题速度和准确率。学生还应该学会对做过的题目进行归纳总结，找出解题规律，提高解题能力。 高考文科数学是许多文科考生面临的一大挑战。为了帮助考生们更好地应对这一挑战，本文将汇总文科数学各类大题的专题，并对每个专题进行详细解析，希望对大家有所帮助。 函数与方程是高考文科数学的重要考点，涵盖了函数的性质、函数的单调性、奇偶性，以及初等函数等知识点。在解决这类问题时，考生们需要熟练掌握函数的性质，灵活运用函数与方程的思想方法。 数列是高中数学的重要内容，也是高考文科数学的必考题型。考生需要理解数列的概念、种类及通项公式，掌握等差数列和等比数列的求解方法。同时，还需要掌握数学归纳法的运用，理解其证明步骤和运
圆锥曲线文科高考习题含答案
2 2 1设F1F2是椭圆E:\ a b ，一，…，… 3a ,一 1(a b 0)的左、右焦点，P为直线x ——上一点, 2 F2PF1 是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C) - (D) — 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴 上, C与抛物线y216x的准线交于A, B两 点, AB 4 J3 ；则C的实轴长为( (A) 2 (B) 2/2 (C) (D) 2 3.已知双曲线a ：与 a 1( a 0,b 0)的离心率为2.若抛物线 2 C2：x 2py(p 0)的焦点 到双曲线C i的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 小 2 8.3 (A) x --y 3 _ 2 16--.-3 _ 2 2 (B) x ----- y (C) x 8y (D) x 3 16y 4椭圆的中心在原点, 焦距为4, 一条准线为x 4,则该椭圆的方程为 2 (A)— 16 2 L 1 12 (B) 2 x 12 2 (C)— 8 (D) 2 x 12 5.12012高考全国文 2 10】已知F1、F2为双曲线C: x 2的 左、 右焦点，点P在C上, | PF i | 2| PF? |,则COS F1PF2 (A) 1 4 6.12012高考浙江文曲线的两顶点。若M 3 (B)一 5 3 (C)— 4 4 (D)一 5 8] ,O 如图，中心均为原点。的双曲线与椭圆有公共焦点，M , N是双N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C. . 3 D. 2 4 7.12012高考四川文9】已知抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点M (2, y°)。若点M到该抛物线焦点的距离为3 ,则|OM | (
圆锥曲线(文科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
圆锥曲线（文科）解答题20题 1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22 221x y a b +=(a >b >0) 的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直 的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=4 3|AB |． （1）求C 1的离心率； （2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 【答案】（1）1 2 ；（2）1C ：22 11612 x y +=，2C ： 28y x =. 【分析】 （1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4 ||||3 CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】 解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中 22c a b -不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b +=， 所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2 b a ，2 b a -； 又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故2 2||b AB a =，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2 843b c a =，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =. 所以1C 的离心率为1 2. （2）由（1）知2a c =，3b c =，故22 122:143x y C c c +=，所以1C 的四个顶点坐标分 别为(2,0)c ，(2,0)c -，3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =. 所以1C 的标准方程为 22 11612 x y +=，2C 的标准方程为28y x =.
高考数学：圆锥曲线复习题附答案解析
圆锥曲线复习题 1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．求弦AB 的长． 【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解． 【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝4x ， ∴抛物线的焦点F （1，0），p ＝2， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵直线l 经过F 倾斜角为60°， ∴直线l 的方程为y =√3(x −1)， 联立方程{y =√3(x −1)y 2=4x ，化简整理可得，3x 2﹣10x +3＝0， 由韦达定理可得，x 1+x 2=103， ∴|AB |=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =103+2=163． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题． 2．已知A(2，√2)为椭圆x 2 a 2+y 2 b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝2px 的交点，设椭圆的左右 焦点为F 1，F 2，抛物线的焦点为F ，直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分． （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆x 2 a 2+y 2 b 2=1相交于P 、Q 两点，且△OPQ 的重心恰好在 圆O ：x 2+y 2＝1上，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用点A 为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，求出c 的值，由此得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，得到(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m 2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知，点A(2，√2)为椭圆与抛物线的交点， 4 a 2+2 b 2=1且2＝4p ， 解得p =12，则y 2＝x ；
高三数学文科圆锥曲线大题训练(20个)(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答） 1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率; （2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且 ,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆221 2 x y +=的位置关系. 2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为 离心率2 e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两 点． （1）求椭圆的方程； （2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积； （3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程. 3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A - （1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求 l 的方程． 4 ．已知离心率为2 的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方）， 且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求四边形APBQ 面积的取值范围． 5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围. 6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线2 22:12 x C y -=的顶点， 直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足 0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线. （1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程； （3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标. 7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等 差中项，3是AF 与FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．
高考数学(文科)- 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质-专题练习(含答案与解析)
219y =
A．4 9．(2016·广西河池适应性测试 ，若5 FA FB =，则AF等于( B．35
)() 5,10
直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质 解析 一、选择题 1．解析：由两直线平行得=≠， 解得a=1． 故选A． 2．解析：直线过圆心(1，-2)，得a=4．(1，-1)到圆心距离为1，圆半径为，所求弦长为4．选D． 3．解析：y2=4x的焦点坐标为(1，0)，故选D． 4．解析：因为M(0，3)关于直线x+y=0的对称点为P(-3，0)，又N(3，8)，所以|AC|+|BC|≥ |PN|-1-2=-3=7．选A． 5．解析：设双曲线的焦距为2c，由已知得=b，又c2=4+b2，解得c=4，则焦距为8．选D． 6．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c-a=1，焦点到渐近线的距离是，即b=，所以c2-a2=3，两式联立得，a=1，c=2，所以方程为x2-=1．选A． 7．解析：依题意知C2的焦点即C1的右顶点，故C2的准线为x=-a，将其代入C1的渐近线方程y=±x，即知该等边三角形的边长为2b，高为a，故a=b，又c2=a2+b2，所以离心率e===．选D． 8．解析：由双曲线的定义知，|BF1|-|BF2|=2A． 又因|AB|=|BF2|， 所以|AF1|=2a， 又由定义可得，|AF2|=4A． 在三角形AF1F2中， 又因|F1F2|=2c，∠F1AF2=120°， 所以由余弦定理得， (2c)2=(2a)2+(4a)2-2·2a·4a·cos 120°， 解得c2=7a2，
所以e==．选B． 9．解析：因为准线方程为x=-1，双曲线的渐近线方程为y=±x，所以|y0|=<2，所以e=<，又 e>1，所以1
突破2023年高考数学题型之精解2022年高考真题专题38 圆锥曲线中的求值与证明问题(含详解)
专题38 圆锥曲线中的求值与证明问题 【高考真题】 1．(2022·北京) 已知椭圆：222 2 : 1(0)x y E a b a b + =>>的一个顶点为(0, 1)A ，焦距为 (1)求椭圆E 的方程； (2)过点(2, 1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值． 1．解析 (1)依题意可得1b = ，2c =222c a b =-，所以2a =． 所以椭圆方程为2 214 x y +=； (2)依题意过点()2, 1P -的直线为()12y k x -=+，设()11, B x y 、()22, C x y ，不妨令1222x x -≤<≤， 由()22 1214 y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()() 2222 1416816160k x k k x k k +++++=， 所以() ()() 2 22216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <， 所以2122 16814k k x x k ++=- +，2122 161614k k x x k +⋅= +， 直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-， 直线AC 的方程为2211y y x x --= ，令0y =，解得22 1N x x y =-， 所以212111N M x x MN x x y y =-= ---()()2121121121x x k x k x =-⎡⎤⎡⎤-++-++⎣⎦⎣⎦ ()()21 2122x x k x k x = +-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()() 12212222x x k x x -==++， 所以()()122122x x k x x -=++ ， ()212124k x x x x ⎡⎤=+++⎣ ⎦． 22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ． ()() 22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤= +-+++⎣ ⎦+． 整理得4k =，解得4k =-．2．(2022·新高考Ⅰ) 已知点(2, 1)A 在双曲线222 2:1(1)1 x y C a a a -=>-上， 直线l 交C 于P ，Q 两点，直线
(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)
圆锥曲线压轴22题及答案 一．解答题（共22小题） 1．已知抛物线C ：y 2 =2px （p ＞0)的焦点是椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，且两曲线有 公共点（, ）． （1）求椭圆M 的方程; （2)O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．已知直线11：ax ﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0． （1）直线11与l 2的交点为M,当a 变化时，求点M 的轨迹C 的方程： （2）已知点D （2，0）,过点E （﹣2，0）的直线1与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值． 3．已知椭圆C: + =1（a ＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4 ，点M 与点F 分别为 椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为（点O 为坐标原点）． （1）求C 的方程； (2）直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于O 的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值． 4．如图所示，椭圆C 1: +y 2=1，抛物线C 2：y=x 2﹣1，其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E ． （Ⅰ）证明：MA ⊥MB; （Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1,S 2．问：是否存在直线l ，使得= ．若存在，求出 直线l 的方程，若不存在，请说明理由．
5．已知椭圆C 1:的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C 1 的上顶 点到双曲线C 2 的渐近线距离为． （1）求椭圆C 1 的方程； （2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C 1 相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点,则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由． 6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为． （1）求椭圆C的方程； （2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知椭圆，点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为． （1）求椭圆C的方程； (2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率 分别为k 1、k 2 ，若k 1 k 2 =2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定 点，请说明理由．
高考数学解答题(新高考)圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型例题+题型归类练)(解析版)
专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型例题+题型归类练) 目录 类型一：定义法求轨迹方程 类型二：直接法 类型三：代入法（相关点法） 类型四：点差法 一、必备秘籍 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解； ②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点． 此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法： 如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 3.2直接法： 如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3.3代入法（相关点法）： 如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线 y x 、
例题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知P 是平面上的动点，且点P 与(2,0),(2,0)F F -的距离之差的的直线分别与x 轴的正半轴和y 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点，则0,0a b >>，
2018-2022高考真题 圆锥曲线 解答题全集 (学生版 解析版)
2018-2022高考真题 圆锥曲线 解答题全集 （学生版 解析版） 一．解答题（共60小题） 1．（2022•全国）已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），直线y =2√3 3x 交C 于A ，B 两点，|AB |＝2√7，四边形AF 1BF 2的面积为4√3． （1）求c ； （2）求C 的方程． 2．（2022•天津）椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且 满足|BF| |AB|=√32 ． （1）求椭圆的离心率e ； （2）直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若|OM |＝|ON |，且△OMN 的面积为√3，求椭圆的标准方程． 3．（2022•上海）设有椭圆方程Γ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0），直线l ：x +y ﹣4√2=0，Γ下端 点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为F 1（−√2，0）、F 2（√2，0）． （1）a ＝2，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标； （2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点F 2，在△ABM 中有一内角余弦值为3 5， 求b ； （3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，随a 的变化，求d 的最小值． 4．（2022•浙江）如图，已知椭圆 x 212 +y 2＝1．设A ，B 是椭圆上异于P （0，1）的两点，且
点Q （0，1 2 ）在线段AB 上，直线P A ，PB 分别交直线y =−12 x +3于C ，D 两点． （Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求|CD |的最小值． 5．（2022•新高考Ⅰ）已知点A （2，1）在双曲线C ：x 2a 2 − y 2a 2−1 =1（a ＞1）上，直线l 交 C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率； （2）若tan ∠P AQ ＝2√2，求△P AQ 的面积． 6．（2022•乙卷）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A （0，﹣2），B （3 2，﹣1）两点． （1）求E 的方程； （2）设过点P （1，﹣2）的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT → =TH → ．证明：直线HN 过定点． 7．（2022•北京）已知椭圆E ：x 2 a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，1），焦距为2√3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点P （﹣2，1）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ．当|MN |＝2时，求k 的值． 8．（2022•甲卷）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点D （p ，0），过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3． （1）求C 的方程； （2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB 的方程．
文科圆锥曲线专题练习及答案
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322 c a = ，∴e =34， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =⇔==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线2 2 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
专题11 圆锥曲线中的范围和最值问题(解析版)-2021年高考数学二轮复习之解答题专题
高考冲刺 专题11 圆锥曲线中的范围和最值问题 1．如图，椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，离心率为12，长轴长为4，椭圆C 和抛物线 ()2:20F y px p =>有相同的焦点，直线:0l x y m -+=与椭圆交于M ，N 两点，与抛物线交于P ，Q 两点． （1）求抛物线F 的方程； （2）若点D ，E 满足AD AM AN =+，AE AP AQ =+，求AD AE ⋅的取值范围． 【答案】（1）2 4y x =；（2 ）144,487AD AE ⎛⋅∈ ⎝⎭ ． 【分析】 （1）根据题意可得2a =，1c =，再根据 12 p =即可求解. （2）将直线:0l x y m -+=与椭圆方程联立，设()11,M x y ，()22,N x y ，利用韦达定理可得 864,77m m AD ⎛ ⎫=- ⎪⎝⎭ ，再将直线:0l x y m -+=与抛物线方程联立设()33,P x y ，()44,Q x y ，利用韦达定 理可得()82,4AE m =-，再由从而可得21696 3277 AD AE m m ⋅=-+，配方即可求解. 【详解】 （1）因为椭圆C 的离心率为12，长轴长为4，2412 a c a =⎧⎪ ⎨=⎪⎩，， ，所以2a =，1c =， 因为椭圆C 和抛物线F 有相同的焦点，所以12 p =，即2p =， 所以抛物线F 的方程为2 4y x =．
（2）由（1）知椭圆22 :143 x y C +=， 由22 143 0x y x y m ⎧+ =⎪⎨⎪-+=⎩ ，，得22784120x mx m ++-=， ()22164474120m m ∆=-⨯⨯->，得27m < ，m << 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则1287 m x x +=- ， 所以()1212627 m y y x x m +=++= ． 易知()2,0A -，所以()1212864,4,77m m AD AM AN x x y y ⎛⎫=+=+++=- ⎪⎝ ⎭ ． 由240y x x y m ⎧=⎨-+=⎩，， 得()22240x m x m +-+=． ()2 222440m m ∆=-->，得1m <． 设()33,P x y ，()44,Q x y ， 则3442x x m +=-， 所以()343424y y x x m +=++=， 所以()()34344,82,4AE AP AQ x x y y m =+=+++=-． 所以()864,82,477m m AD AE m ⎛⎫⋅=- ⋅- ⎪⎝⎭ ()28616964824327777m m m m m ⎛⎫=-⋅-+⨯=-+ ⎪ ⎝⎭ ，1m <<， 易知函数21696 3277 y m m = -+ 在() m ∈上单调递减， 所以144,487AD AE ⎛⋅∈ ⎝⎭ ．
圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)
1．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD ()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没 有，请说明理由 ()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？ 详解： ()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -， 则2 114x y =，2 224x y =， 抛物线的方程可变形为214y x = ，则'2 x y =， ∴直线PA 的斜率为01'|2 PA x x x k y ===， ∴直线PA 的方程()1112 x y y x x -=-，化简()112x x y y =+， 同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+， 由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪ =-⎨⎪⎩ ， ∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{ 1x y ==是方程的解， ∴直线AB 经过定点()0,1． ()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -， 由()1可知2P AB x k = ，2 Q CD x k =， AB CD ⊥， 14 P Q AB CD x x k k ∴⋅= =-，即4P Q x x =-， P x ∴，Q x 异号，
不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q P x x =- ， 4 4P Q P Q P P PQ x x x x x x ∴=-=-=+ ≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号， 即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值4 2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ，下顶点为B ，定 点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 【详解】 （1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3， 1 (2)32b a ∴+=，又由e =2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去）， 2,=1a b ∴= ∴椭圆方程为2 214 x y +=； （2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y
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