2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题

第一课时 定点问题

题型一 直线过定点问题

例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2

＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；

(2)证明：直线CD 过定点.

(1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG

→＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2

＝1.

(2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).

若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3

9(x ＋3)， 所以y 1＝t

9(x 1＋3).

易知直线PB 的方程为y ＝t

3(x －3)， 所以y 2＝t

3(x 2－3).

可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 22

9＋y 22＝1， 故

y 2

2＝－

（x 2＋3）（x 2－3）

9

，②

由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ，

得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2

＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mn

m 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9

.

代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝3

2. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋3

2， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，0.

若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，0.

综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，0.

感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点.

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

训练1 已知点P ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆

的左、右焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问：直线l 是否过定点？证明你的结论. 解 (1)由|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2， 又P ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，32在椭圆上，

代入椭圆方程有1a 2＋9

4b 2＝1，解得b ＝3，

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，

k 1＋k 2＝y 1－32－y 1－32

x 1＋1＝1，解得x 1＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2－12＝0，整理得

(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8km

3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－12

3＋4k 2， Δ＝48(4k 2－m 2＋3)>0. 由k 1＋k 2＝1，整理得

(2k －1)x 1x 2＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫k ＋m －52(x 1＋x 2)＋2m －4＝0，

即(m －4k )(2m －2k －3)＝0.

当m ＝k ＋3

2时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；

当m ＝4k 时，Δ＝4k 2－m 2＋3>0有解，此时直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0).

题型二 圆过定点问题

例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为2

2，它

的上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为2

3. (1)求椭圆C 的方程；

(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试探究以线段AB 为直径的圆是

否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 (1)由题意得，e ＝c a ＝2

2. 又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2b ，c ＝b . 又

|2ac －2|

4a 2＋b 2

＝2

3，a >b ≥1，

所以b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2

＝1.

(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝16

9.

当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (－1，0).

由此可知，若以线段AB 为直径的圆过定点，则该定点为Q (－1，0). 下证Q (－1，0)符合题意. 设直线l 的斜率存在，且不为0， 其方程设为y ＝k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －13，代入y 22＋x 2＝1，

并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋1

9k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝2k 2

3（k 2＋2），x 1x 2＝k 2－189（k 2

＋2）， 所以QA →·QB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2

＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2⎝ ⎛

⎭⎪⎫x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 2－13 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－13k 2(x 1＋x 2)＋1＋19k 2

＝(1＋k 2

)·k 2－18

9（k 2＋2）＋⎝

⎛

⎭⎪⎫1－13k 2·2k 23（k 2＋2）＋1＋19k 2 ＝0.

故QA

→⊥QB →，即Q (－1，0)在以线段AB 为直径的圆上.

综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(－1，0).

感悟提升 1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k ＝0或k 不存在时.

2.圆过定点问题，一般从圆的直径所对的圆心角为直角入手，利用垂直关系找到突破口，从而解决问题.

训练2 (2022·江西红色七校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－13，0的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一

个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义可得2a ＝22， 则a ＝2，

∵椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2

2， ∴c ＝1，则b ＝

a 2－c 2＝1，

∴椭圆C 的标准方程为y 22＋x 2

＝1.

(2)当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为x ＝my －1

3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，T (t ，0)，

由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1

3，y 22＋x 2＝1消去x 并整理，得

(18m 2＋9)y 2－12my －16＝0，

Δ＝144m 2＋64(18m 2＋9)＝144(9m 2＋4)>0恒成立， 则y 1＋y 2＝12m 18m 2＋9＝4m 6m 2＋3，

y 1y 2＝－16

18m 2

＋9

. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ， 则TA ⊥TB ，

TA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13，y 1，TB →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫my 2－t －13，y 2，

则TA →·TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13＋y 1y 2 ＝(m 2

＋1)y 1y 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13(y 1＋y 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132

＝

－16（m 2＋1）－m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

t ＋13×12m

18m 2＋9

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

t ＋132 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132－（12t ＋20）m 2

＋1618m 2＋9

＝0， ∵点T 为定点，∴t 为定值，与m 无关， ∴12t ＋2018＝16

9，解得t ＝1，

此时TA →·TB

→＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫432

－169＝0，符合题意. 当直线l 与x 轴重合时，AB 为椭圆C 的短轴，易知以AB 为直径的圆过点(1，0). 综上所述，存在定点T (1，0)，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T .

圆锥曲线中的“伴侣点”问题

在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

a 2

m ，0，这一对

点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这对特殊的点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.圆锥曲线的“伴侣点”在我们研究圆锥曲线的性质中具有重要的地位，蕴涵着圆锥曲线许多有趣的性质. 例 已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，设A (m ，0)和

B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 2

m ，0(0

y 1

x 1－m

(x －m ). 把直线l 的方程代入双曲线方程，整理得

(b 2x 21－a 2y 21－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2y 21m 2－a 2b 2(x 1－m )2

＝0， 由b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2(点C 在双曲线上)，上面方程可化简为

(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2[(y 21＋b 2)m 2＋b 2x 21－2b 2mx 1]＝0， 又因为b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2， 所以a 2(y 21＋b 2)＝b 2x 21，

代入上式，方程又可化简为

(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －b 2x 21m 2－a 2b 2x 21＋2a 2b 2mx 1＝0，

由已知，显然a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2≠0，

于是x 1x 2＝－x 21m 2＋a 2x 21－2a 2mx 1

a 2－2mx 1＋m 2

，

因为x 1≠0，得x 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2m

a 2－2mx 1＋m 2

(*) 同理，直线BC 的方程为y ＝

y 1x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －a 2m ， 所以只要把(*)中m 换成a 2

m

，就可以得到

x 3＝－x 1⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2m 2＋a 2x 1－2a 2a 2m a 2－2a 2m x 1＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫a 2m 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2m a 2－2mx 1＋m 2

， 所以x 2＝x 3，故直线DE 垂直于x 轴.

1.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点. (1)求抛物线C 的方程；

(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.

(1)解 若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1，2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .

若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1，2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝1

2

y .

综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝1

2y .

(2)证明 因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x .

易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，

将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.

设P (x 1，y 1)，则x 1＝（k ＋2）2k 2，所以P ⎝

⎛⎭⎪⎫

（k ＋2）2k 2，2k ＋4k . 用－2

k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为

2k ＋4

k －2＋2k

（k ＋2）2k 2

－（k －1）2

＝2k 3＋4k

－k 4＋2k 3＋4k ＋4

＝

2k

－k 2＋2k ＋2

，

故直线PQ 的方程是 y －2＋2k ＝

2k －k 2

＋2k ＋2

·[x －(k －1)2

]. 在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3，2).

2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，

且经过点A ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3，12.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)过点B (4，0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P ′.证明：直线P ′Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标.

(1)解 由椭圆的定义，可知 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（23）2

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫122

＋12＝4.解得a ＝2.

又b 2＝a 2－(3)2＝1.

∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

＝1. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为 x ＝my ＋4(m ≠0).

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1).

由⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2

＝1，

消去x ，可得

(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0. ∵Δ＝16(m 2－12)>0，∴m 2>12. ∴y 1＋y 2＝－8m

m 2＋4，y 1y 2＝12

m 2＋4.

∵k P ′Q ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1

m （y 2－y 1）.

∴直线P ′Q 的方程为 y ＋y 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）

(x －x 1).

令y ＝0，可得x ＝m （y 2－y 1）y 1

y 1＋y 2＋my 1＋4.

∴x ＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4＝2m ·12m 2

＋4－8m m 2＋4

＋4＝24m

－8m

＋4＝1.

∴D (1，0).

∴直线P ′Q 经过x 轴上定点D ，其坐标为(1，0).

3.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2

＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.

(1)求kk 1的值；

(2)当k 变化时，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.

(1)解 设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)， 直线l 与直线l 1的交点为(0，1)，

所以l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0

， 由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①

由y －y 0

x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②

由①②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，

所以kk 1＝yy 0－（y ＋y 0）＋1xx 0

＝（x ＋1）（x 0＋1）－（x ＋x 0＋2）＋1xx 0

＝1. (2)证明 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，

得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，

设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，

所以x M ＝－8k 4k 2＋1，所以y M ＝1－4k 2

4k 2＋1

.

同理可得x N ＝－8k 1

4k 21＋1＝－8k

4＋k 2，

y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2

. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2

－8k 4k 2＋1

－－8k

4＋k 2 ＝8－8k 48k （3k 2－3）

＝－k 2＋13k ， 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，

即y －1－4k 2

4k 2＋1＝－k 2＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8（k 2＋1）3（4k 2＋1）＋1－4k 2

4k 2＋1

＝－k 2＋13k x －53.

所以当k 变化时，直线MN 过定点⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－53. 4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1的左、右焦点，且C 1与C 2相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫233

，33. (1)求椭圆C 1的标准方程；

(2)设直线l ：y ＝kx －13与椭圆C 1交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过

定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.

解 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫233

，33代入x 2m 2－y 2＝1，解得m 2＝1， ∴a 2＝m 2＋1＝2，

将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 22＋y 2b 2＝1，解得b 2＝1，

∴椭圆C 1的标准方程为x 22＋y 2＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，

x 22＋y 2＝1，

整理得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， ∴x 1＋x 2＝12k 9＋18k 2，x 1x 2＝－169＋18k 2， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0.

由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上. 设定点为M (0，y 0)，则

MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0

) MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0

) ＝x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20

＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－k 3(x 1＋x 2)－y 0⎣⎢⎡⎦

⎥⎤k （x 1＋x 2）－23＋19＋y 20 ＝(1＋k 2)x 1x 2－k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13＋y 0(x 1＋x 2)＋y 20＋23y 0＋19 ＝18（y 20－1）k 2＋9y 20＋6y 0－15

9＋18k 2＝0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20－1＝0，9y 20＋6y 0－15＝0，

解得y 0＝1， ∴M (0，1)，

∴以线段AB 为直径的圆恒过定点(0，1).

【步步高】年度高三数学大一轮复习讲义圆锥曲线综合问题

专题五 圆锥曲线地综合问题 1．直线与圆锥曲线地位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异地公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线地方程代入二次曲线地方程消元后所得一元二次方程解地情况来判断．设直线l 地方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由????? Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，消元如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线地渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线地对称轴平行或重合．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac . a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时地弦长问题 (1)斜率为k 地直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|或|P 1P 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)． 3．圆锥曲线地中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数地关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点地弦所在直线地斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点地弦所在直线地斜率k ＝b 2x 0a 2y 0 ；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点地弦所在直线地斜率k ＝p y 0 .[难点正本 疑点清源] 1．直线和圆锥曲线问题解法地一般规律

高考数学一轮总复习 9.5 圆锥曲线综合问题教案 理 新人教A版

9.5 圆锥曲线综合问题 典例精析 题型一 求轨迹方程 【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y ，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M. (1)求证：l1⊥l2； (2)求点M 的轨迹方程. 【解析】(1)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1 2 . 联立消去y 整理得x2－2kx －1＝0.设A 的坐标为(x1，y1)，B 的坐标为(x2，y2)，则有x1x2＝－1，将抛物线方程改写为y ＝1 2 x2，求导得y′＝x. 所以过点A 的切线l1的斜率是k1＝x1，过点B 的切线l2的斜率是k2＝x2. 因为k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. (2)直线l1的方程为y －y1＝k1(x －x1)，即y －x21 2 ＝x1(x －x1). 同理直线l2的方程为y －x22 2 ＝x2(x －x2). 联立这两个方程消去y 得x212－x22 2＝x2(x －x2)－x1(x －x1)， 整理得(x1－x2)(x － x1＋x2 2 )＝0， 注意到x1≠x2，所以x ＝x1＋x2 2 . 此时y ＝x212＋x1(x －x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－1 2. 由(1)知x1＋x2＝2k ，所以x ＝ x1＋x2 2 ＝k ∈R. 所以点M 的轨迹方程是y ＝－1 2 .

【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌. 【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( ) A.x2 9 － y2 16 ＝1 B. x2 16 － y2 9 ＝1 C.x2 9 － y2 16 ＝1(x＞3) D. x2 16 － y2 9 ＝1(x＞4) 【解析】如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6， 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x2 9 －y2 16 ＝1(x＞3)，故选C. 题型二圆锥曲线的有关最值 【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值. 【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n. 由得4x2－6nx＋3n2－4＝0. 因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－43 3 ＜n＜ 43 3 . 设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝3n 2 ，x1x2＝ 3n2－4 4 ， y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝n 2 . 因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题

第一课时 定点问题 题型一 直线过定点问题 例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. (1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG →＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2 ＝1. (2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ). 若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3

可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 22 9＋y 22＝1， 故 y 2 2＝－ （x 2＋3）（x 2－3） 9 ，② 由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ， 得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2 ＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mn m 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9 . 代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝3 2. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋3 2， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 32，0. 若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 32，0. 综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32，0. 感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 训练1 已知点P ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆

2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用 一、知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0①直线与圆锥曲线相交； ①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切； ①Δ<0①直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点． ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1 k2|y2－y1|. 3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直

线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 二、课前预习 1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2 m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____． 2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2 ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____． 3.直线mx ＋ny ＝4 与①O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的交 点个数是____个． 4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的 任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－4 9，则椭圆C 的离心率为____． 5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)2 3,1(P ，离心率为1 2. (1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为 3 2 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题

圆锥曲线的定值问题 题型一 长度或距离为定值 【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为 1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值． (1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形， ∴⎩ ⎪⎨⎪⎧ b ＝ c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪ ⎧ y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2， 点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1， 点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m | k 2＋1 . ∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2| k 2＋1 ＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1 ＝1. 综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1. 感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现． 【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义汇编

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)， 参数方程为⎩ ⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为：122 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：122 22=+b y a x ， a 称半长轴长， b 称半短轴长， c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (± c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2 =；定义中的比 e 称为离心率，且a c e = ，由c 2+b 2=a 2知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一 点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5.补充知识点： 几个常用结论： 1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为： 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 θ 2 222 cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为

2023届高考数学一轮复习圆锥曲线定直线问题 讲义

圆锥曲线定直线问题 方法提示：先猜后证 一、分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直 二、特殊化得到答案 三、按常规方法写解题过程 典例 例1.如图，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上顶点为A ．已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点(4,0)Q -任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ QN λ=⋅．若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=-⋅，当直线l 运动时，点R 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程． 例2.已知双曲线E ：()222104 y x a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线2 3 a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足 220PF QF ⋅=． （1）求实数a 的值； （2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值； （3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PN HN = ，证明点H 恒在一条定直线上．

对点训练 1、已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，,M N 分 别为左右顶点，直线l ：1x ty =+与椭圆C 交于,A B 两点，当3 t =-时，A 是椭圆的上顶点，且12AF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线,AM BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上. 2、设椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于 点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上. 3、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为1 4 -.记R 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程； （2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .

数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析

第九节圆锥曲线的综合问题 最新考纲考情分析 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点． 2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题． 3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。 知识点一直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的

一元方程． 即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。 （1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． （2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则 |AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误! ＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!. 知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题 圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值； 2．利用三角函数有界性求最值； 3．数形结合利用几何性质求最值．

圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习

题组：圆锥曲线综合大题练题型1：定点问题 1.椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为1 2 ，其左焦点到点P(2,1)的距离为 √10． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出 该定点的坐标． 2.已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴． （Ⅰ）求线段ON的长； （Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定 点？请说明理由．

3.已知椭圆C： 22 22 =1 x y a b （a>b>0），四点P 1 （1,1），P 2 （0,1），P 3 （–1， 3 2），P 4（1， 3 2）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P 2点且与C相交于A，B两点.若直线P 2 A与直线P 2 B的斜 率的和为–1，证明：l过定点. 4.如图，椭圆E：x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率 e=1 2 ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且∆ABF2的周 长为8． （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个 公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探 究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

5.如图，已知椭圆Γ：x 2 b2+y2 a2 =1(a>b>0)的离心率e=√2 2 ，短轴右端点为 A,M(1.0)为线段OA的中点． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程； （Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于P,Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定值、定点问题 Word版含解析

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定 值、定点问题（学生版） 一、圆锥曲线中求解定值问题常用的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例1 (2022·盐城市高三一模)设F为椭圆C：x2 2＋y 2＝1 的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点． (1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程； (2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1 k2为定值． 例2 (2022·洛阳统考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(4，m)(m ＞0)是抛物线C上一点，且|PF|＝5． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B为抛物线C上异于P的两点，且P A⊥PB．记点A，B到直线y ＝－4的距离分别为a，b，求证：ab为定值．

跟踪练习 1、(2021·安徽安庆市一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，过椭圆左焦点F 的直线x －43y ＋3＝0与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO 的面积为34. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA 、MB 交椭圆分别于A 、B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证：直线AB 的斜率为定值． 2、(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2，且过点A (2,1)． (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．

2023届高三数学一轮复习讲义-圆锥曲线微专题——三角形四心

2023届圆锥曲线微专题——三角形四心 三角形四心的知识点较多，结论容易混淆，常常放在圆锥曲线中进行综合考查 高中数学三角形的四心分别为重心、垂心、内心和外心。 重心:三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心; 垂心:三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心: 内心:三角形内切圆的圆心称为内心，内心到三角形三条边的距离相等: 外心:三角形外接圆的圆心称为外心，也是三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。 一、典例分析 例1.已知点P Q M ，，是椭圆22 22: 1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM 的重心，若点22,M ⎫⎪⎪⎝⎭ ，直线PQ 的斜率恒为1 2-，则椭圆C 的离心率为（ ） A 2B 3C 2D 3 例2.已知椭圆2 22:1(1)x C y a a +=>的右焦点与抛物线2:4C y x '=的焦点重合. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知椭圆C 的右焦点2F 与点(2,0)H -关于直线l 对称，问：是否存在过右焦点2F 的直线l '与椭圆C 交于,G K 两点，使OGK 的重心恰好在直线l 上？若存在，求出直线l '的方程；若不存在，请说明理由. 对点练习 1.已知A 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点，12F F 、分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12 PF F △的重心，若1GA PF λ=，则b a 为（ ） A 3B ．22C 15D ．与λ的取值有关 2.已知ABC 的三个顶点都在抛物线T ：()220y px p =>，且()2,8C -，抛物线T 的焦点F 为ABC 的重心，则AF BF +=（ ） A ．40 B ．38 C ．36 D ．34

高考数学一轮复习 圆锥曲线综合应用教学案

§10圆锥曲线综合应用 一、教学目标： （1）进一步巩固圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质； （2）培养学生综合应用知识能力. 二、教学重点：会求圆锥曲线标准方程及其离心率等有关问题； 难点：综合应用圆锥曲线的定义及几何性质解决有关问题. 三、知识导学 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置； 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1； 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 四、课前自学 1.已知抛物线y2＝2px （p>0）的准线与圆（x －3）2＋y2＝16相切，则p 的值为 2.巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则 椭圆G 的方程为 3.已知双曲线) 0(1222 2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点 ),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝ 4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞ 的离心率为，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两 点．若3AF FB =，则k = 5.椭圆22 2 21()x y a b a b +=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线 过点F ，则椭圆离心率的取值范围 五五、合作、探究、展示 例1.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23 ,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A . (1)求椭圆G 的方程 (2)求 2 1F F A k ∆的面积 (3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由. 例2、 已知抛物线 )0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M. （1）求抛物线方程； （2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标； （3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系. 例3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，右顶点为A ，动点M 为右 准线上一点（异于右准线与x 轴的交点），设线段FM 交椭圆C 于点P ，已知椭 圆C 的离心率为2 3 ，点 M 的横坐标为9 2 ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设直线PA 的斜率为1k ，直线MA 的斜率为2k ，求12k k ⋅的取值范围． （例2图）

第三高考数学一轮复习 圆锥曲线复习教案

诚西郊市崇武区沿街学校第三中学2021届高考数学一轮复习圆锥曲线复习〔2〕教案 教学目的： 〔1〕通过对例题讲解，使学生掌握解有关圆锥曲线简单综合运用问题的处理方法； (2)通过一题多解、一题多变，培养学生的归纳意识，进步学生分析问题和解决问题的才能，以及小结归纳才能。 教学重点：引导学生研讨探究，充分挖掘和利用图形的几何特征解决求解有关圆锥曲线简单综合运用问题。 教学难点：激发学生的思维潜能，进步学生分析问题和解决问题的才能。 教学方法：自主探究，变式训练 教学过程 一、根底训练： 1.直线1+=kx y 与椭圆152 2=+m y x 总有公一一共点，那么m 的取值范围是。 2.双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，那么mn 的值是。 3.1F 和2F 分别为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，A 和B 是以O 为圆心，1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，那么双曲线的离心率为。 4.抛物线x y 42=的弦AB 垂直于x 轴，假设AB 长为,34那么焦点到AB 的间隔为。 5.经过椭圆13 42 2=+y x 的右焦点任意作弦AB,过A 作椭圆右准线的垂线AM,垂足为M,假设直线BM 必经过x 轴上的定点P,那么点P 的坐标为。 二、典型样题 例1点P 在直线x+2y=0上运动，过点P ⊙C:22(1) (2)2x y -+-=的切线，切点为A,B.PACB 面积的 最小值。

变式：〔1〕：求CA CB ⋅的最大值。 〔2〕：求PA PB ⋅的最小值。 〔3〕：点P 在直线x+2y=0上运动，S,T 是⊙C:22(1) (2)2x y -+-=上任意两动点，存在点P 使得60,SPT ∠=求点 P 的横坐标的取值范围。 例2椭圆19 162 2=+y x 中，左右焦点分别为P F F ,,21为椭圆上一点，假设P F F ,,21为直角三角形的三个顶点，求P 到x 轴的间隔。 。 例3〔选修2-1P64复习题第13题〕定点Q(7,2),抛物线y2=2x 上的动点P 到焦点的间隔为d,求d+PQ 的最小值，并确定取最小值时P 点的坐标。 变式〔1〕：变定点Q(7,2)为动点).,7(a Q 〔2〕：椭圆),0,3(),1,1(,1162522F A y x =+试在椭圆上求一点,P 使得PF PA 3 5+最小。 〔3〕：在变式二中，将结论改为求PF PA -的最大值和最小值。 〔4〕：在变式三中，将结论改为求PF PA +的最大值和最小值。 〔5〕：),0,3(),1,1(F A 试在直线x y -=上求一点,P 使得PF PA +最小。 〔6〕： ),0,3(),1,1(F A P 是直线x y -=上一点，求以F A ,为焦点且过点P 的椭圆的离心率的最大值。

2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第6讲圆锥曲线的定点问题(含答案)

新高考数学大一轮复习专题： 第6讲 定点问题 母题 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (0,1)，设直线l 不经过P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为－1，求证：l 过定点． 思路分析 ❶l 斜率k 存在时写出l 的方程 ↓ ❷联立l ，C 的方程，设而不求 ↓ ❸计算k PA ，k PB 并代入k PA ＋k PB ＝－1 ↓ ❹分析直线方程，找出定点 证明 设直线PA 与直线PB 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知 t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22， 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24 ＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1 . 而k 1＋k 2＝ y 1－1x 1＋y 2－1x 2 ＝ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋m －1 x 1＋x 2x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1， 故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0，

即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1 ＝0， 解得k ＝－m ＋1 2. 当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－ m ＋12x ＋m ， 即y ＋1＝－m ＋1 2(x －2)，所以l 过定点(2，－1)． [子题1] 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标 原点．若点E (－2,0)，直线l 不与坐标轴垂直，且∠AEO ＝∠BEO ，求证：直线l 过定点． 证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可设直线l 的方程为x ＝ny ＋b (n ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝ny ＋b ，y 2＝4x ，得y 2 －4ny －4b ＝0， 则y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4b . 由∠AEO ＝∠BEO ，得k EA ＝－k EB ， 即y 1x 1＋2＝－y 2 x 2＋2， 整理得y 1x 2＋2y 1＋x 1y 2＋2y 2＝0， 即y 1(ny 2＋b )＋2y 1＋(ny 1＋b )y 2＋2y 2＝0， 整理得2ny 1y 2＋(b ＋2)(y 1＋y 2)＝0， 即－8bn ＋4(b ＋2)n ＝0，得b ＝2， 故直线l 的方程为x ＝ny ＋2(n ≠0)， 所以直线l 过定点(2,0)． [子题2] (2020·湖南四校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 与过点(2,0)的直线l 交于M ，N 两 点，若MP →＝12 MN →，PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点． 证明 由题意可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为x ＝my ＋2(m ∈R )， 将x ＝my ＋2代入y 2＝4x ，消去x 可得y 2－4my －8＝0， 显然Δ＝16m 2＋32>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8， 因为MP →＝12 MN →，所以P 是线段MN 的中点， 设P (x P ，y P )，则x P ＝x 1＋x 22＝m y 1＋y 2＋4 2＝2m 2 ＋2， y P ＝y 1＋y 22 ＝2m ，

2022版新高考数学总复习学案-命题探秘2-第1课时-圆锥曲线中的定点、定值问题-含解析

命题探秘二 高考中的圆锥曲线问题 第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题 技法阐释 求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法 (1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． (2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x ，y 当成常量，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式(k 是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组⎩ ⎨ ⎧ f (x ，y )＝0， g (x ，y )＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就 是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 高考示例 思维过程 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 2 2 ，D 为直线y ＝－1 2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . (1)证明：直线AB 过定点； (2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，5 2为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形 (1)证明：设D ⎝⎛⎭ ⎫t ，－1 2，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1＋ 12x 1－t ＝x 1，→关键点1：利用斜率公式建立等量关系 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0. 设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. →关键点2：分别观察过切点A ，B 的两条切线方程，得出直线AB 的方程 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0， →关键点3：结合恒过定点的直线系特征得出答案 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭ ⎫0，1 2. (2)略.

高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案

高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案 §9.8圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C的位置关系： 将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0. (1)交点个数： ①当 a＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当a≠0,⊿0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿0 时,曲线和直线没有交点。 (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿0）③曲线上两点的中点在对称直线上。 3.求动点轨迹方程： ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。

★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求. 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为 . 点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形，，当共线时最小，最小值为 ★热点考点题型探析★ 考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义

一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程0 Ax By C ++=（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0 (,)0 Ax By C F x y ++= ⎧ ⎨ = ⎩ 消去y后得20 ax bx c ++= （1）当0 a=时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。 （2）当0 a≠时，0 ∆>，直线l与曲线C有两个不同的交点；0 ∆=，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；0 ∆<，直线l与曲线C相离。 二、圆锥曲线的弦长公式 相交弦AB的弦长 1212 AB AB AB x y y ⎧ ⎪= ⎪ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ =-==- ⎪ ⎪⎩ 三、中点弦所在直线的斜率 （1）若椭圆方程为 22 22 1(0) x y a b a b +=>>时，以P 00 （x,y）为中点的弦所在直线斜率 2 2 (0) b k y a =-≠ x y ，即 2 2 op b k k a =-；若椭圆方程为 22 22 1(0) y x a b a b +=>>时，相应结论为 2 2 (0) a k y b =-≠ x y ，即 2 2 o p a k k b =-； （2）P 00 （x,y）是双曲线 22 22 1 x y a b -=内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率 2 2 (0) b k y a =≠ x y ，即 2 2 op b k k a =；若双曲线方程为 22 22 1 y x a b -=时，相应结论为 2 2 (0) a k y b =≠ x y ，即 2 2 op a k k b =； （3））P 00 （x,y）是抛物线22 y px =内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率 (0) p k y =≠ y ； 若方程为22 x py =时，相应结论为k p =0 x 。

2023届高考数学一轮复习圆锥曲线角度关系证明 讲义

圆锥曲线角度问题 方法提示 角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。 典例 例1、如图，已知椭圆C ：2 2x a ＋22y b ＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2， A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点 B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝4 3 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N . 例2、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2 F ，以原点O 为圆心， 椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -=相切. （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，过定点0(2)P ， 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.

例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知点E (0，2)，以OE 为直径的圆与抛物线C ∶x 2=2py (p >0)交于点M ，N (异于原点O )，MN 恰为该圆的直径，过点E 作直线交抛物线与A ，B 两点，过A ，B 两点分别做拋物线C 的切线交于点P . （1）求证∶点P 的纵坐标为定值； （2）若F 是抛物线C 的焦点，证明∶∠PF A =∠PFB . 综合练习 1、已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？ （2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠. 2、椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，经过点()0,1A -2 （1）求椭圆E 的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆E 交于，PQ 两点，点()2,0M ，O 为坐标原点，证明： OMP OMQ ∠=∠.