2023年高考文科数学真题汇编圆锥曲线老师版

直线AE 旳方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 因此直线BM 旳斜率11

2131

BM y y k -+=

=-.

17.（安徽文）设椭圆E 旳方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>点O 为坐标原点，点A 旳坐标为(,0)a ,点B 旳坐

标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 旳斜率为5

10

。 （1）求E 旳离心率e;

(2)设点C 旳坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 旳中点，证明：MN ⊥AB 。

∴a b 3

231＝5525451511052

2

22222=⇒=⇒=-⇒=⇒e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点旳坐标为（2

,2b a -）∴a b a b

a a b

b K MN 56

652

32213

1==-+= a

b

K AB

-=∴1522-=-=⋅a b K K AB MN ∴MN ⊥AB

18.（福建文）已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>旳右焦点为F ．短轴旳一种端点为M ，直线:340

l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 旳距离不不不小于

4

5

，则椭圆E 旳离心率旳取值

范围是（ A ） A ． 3(0,

]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4

1

19.（新课标2文）已知双曲线过点()

4,3,且渐近线方程为1

2

y x =±

,则该双曲线旳原则方程为 ．2

214

x y -= 20.（陕西文）已知抛物线2

2(0)y px p =>旳准线通过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2

p

x =-，由于准线通过点(1,1)-，因此2p =， 因此抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.

21.（陕西文科）如图，椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>通过点(0,1)A -，且离心率为22.

(I)求椭圆E 旳方程；2

212x y += 22.（天津文）已知双曲线2

22

2

1(0,0)x y a b a

b 旳一种焦点为(2,0)F ,且双曲线旳渐近线与圆

2

2

2

y 3x 相切,则双曲线旳方程为（ D ）

(A)

2

21913x y (B) 2

2113

9

x y (C)

2

2

13

x y

(D) 2

2

13

y x

23．（广东文）已知中心在原点旳椭圆C 旳右焦点为(1,0)F ，离心率等于

2

1

，则C 旳方程是（ D ）

30旳等腰三角形，则

1

2

2文) 设椭圆

22

1y b 0,0a b 旳一条渐近线平行于直线210x ，双曲线旳

上，则双曲线旳方程为（ A ）

2120y （B ）

2

21205x y （C ）

2331100y D ）

2

23310025

x y 1) 已知双曲线C ：22

1x y （0,0a b >>）旳离心率为52，则C 14x B .13y =±1

2

x ± D .y x

[9,)+∞ [9,)+∞ [4,)+∞

[4,)+∞

【解析】当0m <上存在点M 满足120，则

603a

b

=

即

3

3m

≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=，即33

m ≥，得9m ≥，故m 旳取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A. 41、(·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2

＝1旳离心率旳取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(2，2)

C ．(1，2)

D ．(1,2)

3．【答案】C 【解析】由题意得双曲线旳离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2

＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.

∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1

a

2＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C.

42．(·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 旳焦点F ，且斜率为3旳直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 旳准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 旳距离为( )

A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3

4．【答案】C 【解析】抛物线y 2＝4x 旳焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程旳点斜式可得直线MF

旳方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧

y ＝3(x －1)，

y 2＝4x ，

解得⎩

⎨

⎧

x ＝13，y ＝－

233

或⎩⎨⎧

x ＝3，y ＝2 3.

∵点M 在x 轴旳上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4旳等边三角形．∴点M 到直线NF 旳距离为2 3. 故选C.

43．(·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)旳左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径旳

圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 旳离心率为( ) A ．

63 B ．33 C ．23 D ．13

5．【答案】A 【解析】由题意知以A 1A 2为直径旳圆旳圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线旳距离d ＝2ab

a 2＋

b 2

＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13

，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2

＝

1－⎝⎛

⎭⎫132＝6

3

.

44．(·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)旳右焦点为F ，点A 在双曲线旳渐近线上，△OAF 是边

长为2旳等边三角形(O 为原点)，则双曲线旳方程为( ) A ．x 24－y 2

12

＝1

B ．x 212－y 24＝1

C ．x 23

－y 2

＝1

D ．x 2

－y 2

3

＝1

6．【答案】D 【解析】根据题意画出草图如图所示⎝

⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b

a x 上.

由△AOF 是边长为2旳等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线旳渐近线y ＝b a x 上，∴b

a ＝

tan 60°＝ 3.又

a 2＋

b 2＝4，∴a ＝1，b ＝

3，∴双曲线旳方程为

x 2－

y 2

3

＝1.故选D. 45．(·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)旳一条渐近线方程为y ＝3

5x ，则a ＝________.

1．【答案】5【解析】∵双曲线旳原则方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线旳渐近线方程为y ＝±3

a x .

又双曲线旳一条渐近线方程为y ＝3

5x ，∴a ＝5.

46、(·北京文，10)若双曲线

x 2－

y 2

m

＝1旳离心率为3，则实数m ＝________. 【答案】2【解析】由双曲线旳原则方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线旳离心率e ＝c

a ＝1＋m ＝3，

∴1＋m ＝3，∴m ＝2.

47、(·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 旳焦点，M 是C 上一点，FM 旳延长线交y 轴于点N .若M 为FN 旳中点，则|FN |＝________.

【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 旳准线交x 轴于点A ，过点M 作准线旳垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .

由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 旳中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝1

2

|FO |＝1.

12121211

11442222

BM

y y K x x x x ----==---- (1x +=()12200x x ++= 又设AB ：y=x ＋m 代入2x ＋20=0∴m=7故AB ：x ＋y=7

新课标Ⅱ文)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22＋

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第三课时 最值、范围问题

第三课时 最值、范围问题 题型一 距离与面积的最值(范围) 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE →＝OA →＋OB →，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2＝3，a ＋c ＝3， a 2＝ b 2＋ c 2. 联立以上3个式子，可得a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)法一 因为过F (1，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，所以设l 的方程为x ＝ty ＋1， 由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1， x 24＋y 23＝1， 得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4. 因为OE →＝OA →＋OB →， 所以四边形AOBE 为平行四边形，

所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32 （y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18t 2＋13t 2＋4. 令t 2＋1＝m ，则m ≥1， S ＝18m 3m 2＋1＝183m ＋1m . 由函数的单调性易得当m ＝1，即t ＝0时，S max ＝92. 法二 由OE →＝OA →＋OB →知四边形AOBE 为平行四边形. 所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB . 当直线AB 的斜率不存在时，S ＝3S △AOB ＝92. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1）， x 24＋y 23＝1， 得 (4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k 4k 2＋3，y 1y 2＝－9k 24k 2＋3， 所以S ＝3S △AOB ＝32 |y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18k 4＋k 2 4k 2＋3. 令4k 2＋3＝m ，则m >3， S ＝92－3×1m 2－2m ＋1<92.

2023年高考文科数学真题汇编圆锥曲线老师版

直线AE 旳方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 因此直线BM 旳斜率11 2131 BM y y k -+= =-. 17.（安徽文）设椭圆E 旳方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 旳坐标为(,0)a ,点B 旳坐 标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 旳斜率为5 10 。 （1）求E 旳离心率e; (2)设点C 旳坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 旳中点，证明：MN ⊥AB 。 ∴a b 3 231＝5525451511052 2 22222=⇒=⇒=-⇒=⇒e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点旳坐标为（2 ,2b a -）∴a b a b a a b b K MN 56 652 32213 1==-+= a b K AB -=∴1522-=-=⋅a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 18.（福建文）已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>旳右焦点为F ．短轴旳一种端点为M ，直线:340 l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 旳距离不不不小于 4 5 ，则椭圆E 旳离心率旳取值

范围是（ A ） A ． 3(0, ]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4 1 19.（新课标2文）已知双曲线过点() 4,3,且渐近线方程为1 2 y x =± ,则该双曲线旳原则方程为 ．2 214 x y -= 20.（陕西文）已知抛物线2 2(0)y px p =>旳准线通过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2 p x =-，由于准线通过点(1,1)-，因此2p =， 因此抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程. 21.（陕西文科）如图，椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>通过点(0,1)A -，且离心率为22. (I)求椭圆E 旳方程；2 212x y += 22.（天津文）已知双曲线2 22 2 1(0,0)x y a b a b 旳一种焦点为(2,0)F ,且双曲线旳渐近线与圆 2 2 2 y 3x 相切,则双曲线旳方程为（ D ） (A) 2 21913x y (B) 2 2113 9 x y (C) 2 2 13 x y (D) 2 2 13 y x 23．（广东文）已知中心在原点旳椭圆C 旳右焦点为(1,0)F ，离心率等于 2 1 ，则C 旳方程是（ D ）

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题

第一课时 定点问题 题型一 直线过定点问题 例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. (1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG →＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2 ＝1. (2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ). 若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3

可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 22 9＋y 22＝1， 故 y 2 2＝－ （x 2＋3）（x 2－3） 9 ，② 由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ， 得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2 ＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mn m 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9 . 代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝3 2. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋3 2， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 32，0. 若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 32，0. 综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32，0. 感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 训练1 已知点P ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题

第二课时 定值问题 题型一 长度或距离为定值 例1 (2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2，且过点 A (2，1). (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值. (1)解 由题设得4a 2＋1 b 2＝1, 且a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 2 3＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 2 3＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.① 由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2 ＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.

因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－1 3(k ≠1). 所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN →＝0， 得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 21 3＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝2 3. 此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2 3，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 43，13. 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝22 3. 若D 与P 重合，则|DQ |＝1 2|AP |. 综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 43，13，使得|DQ |为定值. 感悟提升 1.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. 训练1 (2022·成都诊断)已知动点P (x ，y )(其中x ≥0)到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1.

2023新高考二卷数学圆锥曲线解法

2023新高考二卷数学圆锥曲线解法 2023年新高考二卷数学圆锥曲线题目的解题方法可以归纳为以下几点： 建立坐标系：首先在平面直角坐标系中确定圆锥曲线的位置和范围，一般情况下，圆锥曲线都可以通过建立坐标系的方式进行求解。 确定变量：根据题目所给的条件，确定圆锥曲线上的变量，一般情况下，圆锥曲线上的变量包括点的坐标、距离、角度等。 建立方程：根据题目所给的条件，建立圆锥曲线的方程，一般情况下，圆锥曲线的方程包括椭圆、双曲线、抛物线等。 求解方程：根据建立的方程，求解圆锥曲线上的变量，一般情况下，求解的过程包括代入法、消元法、换元法等。 整合答案：根据题目所问的问题，整合答案，一般情况下，答案包括计算结果、图形、表格等形式。 下面以一例题为例，具体讲解圆锥曲线题目的解题方法： 例题：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，且过点(2,3)。 (1)求椭圆C的方程； (2)求直线l过点(0,4)且与椭圆C有公共点，求出所有满足条件的直线l的方程； (3)在(2)的条件下，求出椭圆C与直线l的公共点的轨迹方程。 解题思路： 1.建立坐标系：以原点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设椭圆C的方 程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)。

2.确定变量：根据题意，已知焦距为4，且过点(2,3)，可以列出两个方程： c=2和b2/a2+9/4=1，其中c=2表示焦距的一半。 3.建立方程：根据以上两个方程，可以解得a2=16和b2=12，所以椭圆C的 方程为x2/16+y2/12=1。 4.求解方程：根据椭圆C的方程，可以得出点(0,4)在椭圆C上，所以直线l 与椭圆C有公共点。因为直线l过点(0,4)，所以可以设直线l的方程为y=kx+4。 将直线l的方程代入椭圆C的方程中，得(12+4k2)x2+32kx+64=0。因为直线l与椭圆C有公共点，所以判别式Δ=0-4(12+4k2)×64≥0，解得-4≤k≤4。所以满足条件的直线l的方程为y=kx+4。 5.整合答案：(1)根据以上计算结果，得到椭圆C的方程为x2/16+y2/12=1； (2)满足条件的直线l的方程为y=kx+4；(3)在(2)的条件下，设椭圆C与直线l的 公共点的坐标为(x,y)，则x2/16+y2/12=1和y=kx+4联立得(12+4k2)x2+32kx+64=0。 因为公共点的轨迹与k无关，所以Δ=0-4(12+4k2)×64=0-4×(16×4)=0-64=0。所以公共点的轨迹方程为x=-8/3或x=8/3。

2023高考数学2卷圆锥曲线题多种解法

2023高考数学2卷圆锥曲线题多种解法 近年来，高考数学2卷中的圆锥曲线题目备受考生和教师关注。圆锥曲线是数学中重要的概念，其在几何、代数和应用数学中都有着广泛的应用。掌握圆锥曲线的相关知识和多种解题方法是提高学生数学成绩的关键之一。本文将针对2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目，围绕不同的解题方法展开讨论，帮助考生深入理解、掌握相关知识，并提高解题的灵活性和准确性。 一、圆锥曲线的基本概念 1.1 圆锥曲线的定义 圆锥曲线是平面上一类重要的几何曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。它们都可以由一个圆锥面与一个平面交线而成。在坐标系中，圆锥曲线可以通过方程表示，分别为： 圆：x^2 + y^2 = r^2 椭圆：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 双曲线：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1 抛物线：y^2 = 2px 1.2 圆锥曲线的性质

圆锥曲线具有多种性质，例如椭圆的焦点性质、双曲线的渐近线性质、抛物线的焦点和准线性质等。掌握这些性质有助于理解圆锥曲线的特 点和解题方法。 二、2023年高考数学2卷圆锥曲线题目分析 2.1 题目类型和难度 2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目主要涉及圆、椭圆和双曲线，涵盖了曲线方程、焦点、离心率、渐近线等知识点。题目难度适中，但 需要考生对相关知识有基本的掌握和灵活运用能力。 2.2 典型题目解析 （1）椭圆的离心率问题 题目描述：已知椭圆的长轴为6，短轴为4，求椭圆的离心率。 解析：根据椭圆的定义和离心率的计算公式，可求得椭圆的离心率为 e=√(1 - (b^2/a^2))，带入长短轴的值计算即可得到答案。 （2）双曲线渐近线问题

突破2023年高考数学题型之精解2022年高考真题专题38 圆锥曲线中的求值与证明问题(含详解)

专题38 圆锥曲线中的求值与证明问题 【高考真题】 1．(2022·北京) 已知椭圆：222 2 : 1(0)x y E a b a b + =>>的一个顶点为(0, 1)A ，焦距为 (1)求椭圆E 的方程； (2)过点(2, 1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值． 1．解析 (1)依题意可得1b = ，2c =222c a b =-，所以2a =． 所以椭圆方程为2 214 x y +=； (2)依题意过点()2, 1P -的直线为()12y k x -=+，设()11, B x y 、()22, C x y ，不妨令1222x x -≤<≤， 由()22 1214 y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()() 2222 1416816160k x k k x k k +++++=， 所以() ()() 2 22216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <， 所以2122 16814k k x x k ++=- +，2122 161614k k x x k +⋅= +， 直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-， 直线AC 的方程为2211y y x x --= ，令0y =，解得22 1N x x y =-， 所以212111N M x x MN x x y y =-= ---()()2121121121x x k x k x =-⎡⎤⎡⎤-++-++⎣⎦⎣⎦ ()()21 2122x x k x k x = +-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()() 12212222x x k x x -==++， 所以()()122122x x k x x -=++ ， ()212124k x x x x ⎡⎤=+++⎣ ⎦． 22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ． ()() 22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤= +-+++⎣ ⎦+． 整理得4k =，解得4k =-．2．(2022·新高考Ⅰ) 已知点(2, 1)A 在双曲线222 2:1(1)1 x y C a a a -=>-上， 直线l 交C 于P ，Q 两点，直线

2023年高考数学二轮复习讲练测专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳(原卷版)

专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳 【命题规律】 1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等． 2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． 【核心考点目录】 核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 核心考点二：蒙日圆 核心考点三：阿基米德三角形 核心考点四：仿射变换问题 核心考点五：圆锥曲线第二定义 核心考点六：焦半径问题 核心考点七：圆锥曲线第三定义 核心考点八：定比点差法与点差法 核心考点九：切线问题 核心考点十：焦点三角形问题 核心考点十一：焦点弦问题 核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 核心考点十六：圆锥曲线与四心问题 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线2 12,,y F F =分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦 点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124 F F A π∠=，则双曲线的标准方 程为（ ） A ．2 2110 x y -= B ．2 2 116 y x -=

C ．2 214 y x -= D ．2 214 x y -= 2．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若 AF BF =，则AB =（ ） A ．2 B ． C ．3 D ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右 顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ） A ．22 11816 x y += B ． 2 219 8 x y C ．22 132x y += D ．2 212 x y += 4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2 |OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅> 5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线A B 的斜率为B ．||||OB OF = C ．||4||AB OF > D ．180OAM OBM ∠+∠<︒ 6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ， 离心率为1 2．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 7．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________． 8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆22 163 x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分 别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________． 【方法技巧与总结】 1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制． 2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求122a F F >；在双曲线的定义

2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类(原卷版)

专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类 【命题规律】 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点： （1）解析几何通性通法研究； （2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型； 解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开． 【核心考点目录】 核心考点一：轨迹方程 核心考点二：向量搭桥进行翻译 核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 核心考点四：斜率之和差商积问题 核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 核心考点六：定值问题 核心考点七：定点问题 核心考点八：三点共线问题 核心考点九：中点弦与对称问题 核心考点十：四点共圆问题 核心考点十一：切线问题 核心考点十二：定比点差法 核心考点十三：齐次化 核心考点十四：极点极线问题 【真题回归】 1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆2 2112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点 0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．

（1）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （2）求||CD 的最小值． 2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线22 22 :1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为 y =． （1）求C 的方程； （2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且 1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M ．从下面①②③中选取两 个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． （1）求C 的方程； （2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．

2023年河北省高考数学二轮复习专题 专题5 圆锥曲线解答题30题专项提分计划(含答案)

2023届河北省新高考数学复习 专题5 圆锥曲线解答题30题专项提分计划 1．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点(4,1)A -，P 为抛物线上的动点，直线l 为抛物线的准线，点P 到直线l 的距离为d ，||PA d +的最小值为5． (1)求抛物线C 的方程； (2)直线1y kx =+与抛物线相交于M ，N 两点，与y 轴相交于Q 点，当直线AM ，AN 的斜率存在，设直线AM ，AN ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得 123 11k k k λ +=，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 是8. (1)求双曲线C 的方程； (2)过点(0,3)P 的直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 和B ，若直线l 上存在不同于点P 的点D 满足||||||||PA DB PB DA ⋅=⋅成立，证明：点D 的纵坐标为定值，并求出该定值.

=. 交C于A（点A在第一象限），B两点，且AB4 (1)求C的标准方程. (2)已知l为C的准线，过F的直线1l交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.

4．（2022·河北· 河北容城中学校考模拟预测）已知点E ，F ⎫ ⎪⎪ ⎝⎭ ，点A 满足 ||| AE AF =，点A的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若直线:l y kx m =+与双曲线： 22 1 49 x y -=交于M，N两点，且 2 MON π ∠=（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围. 2 所以 1 OM ON x x ⊥⇒ 化简，得2 12 (1) k x x + 22 8 49 km x k +=- - ，

专题15 圆锥曲线综合(原卷版)2023年高考数学真题题源解密(新高考卷)

考向一直线与双曲线综合

考向二 直线与抛物线综合 2．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点（0，）的距离，记动点P 的轨迹为W ． （1）求W 的方程； （2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3． 【命题意图】 考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线相交等． 【考查要点】 圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想． 【得分要点】 1．圆锥曲线的定义 （1）椭圆定义：12||||2PF PF a +=． （2）双曲线定义：12|||-|||2PF PF a =． （3）抛物线定义：|PF|=d ． 2．圆锥曲线的标准方程及几何性质 （1）椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 x 2a 2+y 2 b 2 =1(a >b >0) y 2a 2+x 2 b 2 =1(a >b >0)

图形 几何性质 范围−a≤x≤a,−b≤y≤b−b≤x≤b,−a≤y≤a 对称性对称轴： x轴、y轴.对称中心：原点. 焦点F1(−c,0),F2(c,0).F1(0,−c),F2(0,c). 顶点 A1(−a,0)，A2(a,0)， B1(0,−b),B2(0,b). A1(0,−a),A2(0,a)， B1(−b,0),B2(b,0). 轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴， 长轴长为2a，短轴长为2b. 焦距|F1F2|=2c. 离心率e=c a =√1−b2 a2 ∈(0,1). a,b,c的关系c2=a2−b2. （2）双曲线的标准方程与几何性质 标准方程x2 a2−y2 b2 =1（a＞0,b＞0）y2 a2 −x2 b2 =1（a＞0,b＞0） 图形 性质 焦点F1（﹣c,0），F2（c,0）F1（0,﹣c），F2（0,c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c 范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R 对称关于x轴，y轴和原点对称 顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b 离心率e=c a （e＞1） 准线x＝±a2 c y＝±a2 c 渐近线x a ±y b =0x b ±y a =0 （3）抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y2=2px (p>0) y2=−2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=−2py (p>0)

2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解

2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解 一、引言 近年来，随着教育改革的不断深入和考试制度的不断优化，数学文化 已成为教学和备考的热门话题之一。其中，2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解成为备受关注的焦点。在这篇文章中，我们将深入探 讨这一主题，并就其深度和广度进行全面评估，以期为读者带来有价 值的启发和帮助。 二、圆锥曲线概述 圆锥曲线是平面上由一个点P到一条直线L的距离与一个定点F到点 P的距离的比值为常数e（离心率）所确定的点集。根据e的不同取值，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种。 三、2023年全国甲卷数学文 2023年全国甲卷数学文出现了圆锥曲线一体多解的考题，引起了广泛讨论和热烈关注。这一题目不仅考察了学生对圆锥曲线性质的掌握， 还考验了他们分析问题、解决问题的能力。对于考生来说，正确理解 和掌握圆锥曲线一体多解的原理和方法将是备考的关键所在。 四、深度解析 在解题时，需要首先理解圆锥曲线的基本性质和方程，然后利用数学 方法分析圆锥曲线的特征，探究其解的情况和条件。在这一过程中，

需要考生灵活运用数学知识，善于归纳和总结不同类型题目的解题思路和方法。还需要培养对数学问题的逻辑思维和专业知识的综合运用能力。 五、广度拓展 除了解圆锥曲线一体多解的方法和技巧外，还应在解题过程中体会数学的魅力和美妙。数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。通过数学学习和训练，学生能够培养创造力、逻辑思维和分析问题的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。 六、总结回顾 2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解的出现，为我们提供了一个深入学习和思考数学的机会。在备考过程中，我们不仅要注重掌握解题的方法和技巧，更要理解数学的本质和意义，培养对数学的兴趣和质疑精神。通过理论学习和实际应用的结合，我们能更全面、深刻和灵活地理解数学知识，提高解题能力和创新意识。 七、个人观点 作为一名数学学习者，我认为2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解的出现有利于激发学生学习数学的热情和动力，促进数学教学的改革和创新。我希望通过对这一主题的深入研究和学习，不仅能够在考试中取得好成绩，更能够在数学领域中发现更多的价值和意义。

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编-圆锥曲线1-3

数学名校选填压轴题好题-圆锥曲线 一、单选题 1．已知直线2140ax by -+=平分圆2242110C x y x y +---=：的面积，过圆外一点()P a b ，向圆做切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】A 【解析】圆2242110C x y x y +---=：化为标准方程为()()2 2 2116x y -+-=， 所以圆心()21 C ，，半径4r =， 因为直线2140ax by -+=平分圆2242110C x y x y +---=：的面积， 所以圆心()21 C ，在直线2140ax by -+=上，故22140a b -+=， 即7=+b a ，在Rt PQC 中， ()()2 2 2 2 22116PQ PC r a b =-=-+-- ()()()2 2 2 2261628242216a a a a a =-++-=++=++， 当2a =-时，2 PQ 最小为16，PQ 最小为4． 故选：A ． 2．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左 右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若21 4 OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ） A ．()1,2 B ．()1,4 C ． ) 2 D ． ) 4 【答案】B 【解析】设双曲线的半焦距为()0c c ＞， 离心率为e ， 由21 4OQ OF =，则154 QF c =，234QF c =，

高考一轮复习数学高考试题(新人教B版)第八章必刷小题16圆锥曲线

一、单项选择题 1．(2023·淄博模拟)双曲线y 23 －x 2＝1的离心率为( ) A.32 B. 62 C. 233 D. 263 2．(2022·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为35 ，以C 的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 3．(2022·长春模拟)已知M 为抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点，点M 到C 的焦点的距离为7，到x 轴的距离为5，则p 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为74 ，面积为12π，则椭圆C 的方程为( ) A.x 29＋y 216 ＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 218＋y 232＝1 D.x 24＋y 236＝1 5．(2022·滁州模拟)已知椭圆x 24＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段PF 2的中点在以原点O 为圆心，OF 2为半径的圆上，则直线PF 2的倾斜角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3 6．(2023·石家庄模拟)已知，点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为点N ，点M (3,4)，则|PM |＋|PN |的最小值是( ) A ．25－1 B.5－1 C.5＋1 D ．25＋1 7．(2022·德州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，曲线C 上一点P 到x 轴的距离为3c ，且∠PF 2F 1＝120°，则双曲线C 的离心率为( )

2023年高考数学真题题库专题06 圆锥曲线中的定值问题(原卷版)

专题06 圆锥曲线中的定值问题 一、单选题 1．过原点的直线l 与双曲线226x y -=交于A ,B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ） A ．4 B ．1 C ． 12 D ． 14 二、多选题 2．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>> ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ， BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为 0．O 为坐标原点，则（ ） A ．22:1:2a b = B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2- C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为1 2 - D ．若直线OD ，O E ，O F 的斜率之和为1，则 123 111 k k k ++的值为2- 3．设()()1122,,,A x y B x y 是抛物线2 4y x =上两点，O 是坐标原点， 若OA OB ⊥，下列结论正确的为（ ） A ．12y y 为定值 B ．直线AB 过抛物线24y x =的焦点 C ．AOB S 最小值为16 D ．O 到直线AB 的距离最大值为4 三、解答题 4．已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到()10 B ,的距离的2倍. （1）求点P 的轨迹方程； （2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点(5,8)C ，求2 2 QB QC +的最大值； （3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使ME MF ⋅恒为定值若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

2023年新教材高考数学微专题专练48含解析

专练48 高考大题专练(五) 圆锥曲线的综合运用 1. 已知m >1，直线l ：x －my －m 2 2＝0，椭圆C ：x 2 m 2＋y 2 ＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦 点． (1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程． (2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H .若坐标原点 O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围． 2．[2021·全国新高考Ⅰ卷]在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程； (2)设点T 在直线x ＝1 2上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB | ＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．

3.[2020·全国卷Ⅰ]已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的 上顶点，AG →·GB → ＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点． 4．[2022·全国甲卷(理)，20]设抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过 F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3. (1)求C 的方程； (2)设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α， β.当α－β取得最大值时，求直线AB 的方程． 5.[2020·全国卷Ⅱ]已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合， C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ， D 两点， 且|CD |＝4 3 |AB |.

2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 第3章 圆锥曲线的方程 章末测试(提升)

第3章 圆锥曲线的方程 章末测试(提升) 一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。每题5分，8题共40分) 1．(2021·湖北高三开学考试)P 为双曲线221x y -=左支上任意一点，EF 为圆22:(2)4C x y -+=的任意一条直径，则PE PF → → ⋅的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 【答案】C 【解析】如图，圆C 的圆心C 为(2,0)，半径r =2， 22||||PE PF PC CE PC CF PC CE PC CE PC CE →→→→→→→→→→→→ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⋅=+⋅+=+⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2||4PC →=-，则当点P 位于双曲线左 支的顶点时，2||4PC → -最小，即PE PF →→ ⋅最小. 此时PE PF → → ⋅的最小值为：()2 1245+-=. 故选：C. 2．(2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考(理))已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ， 2F ，曲线C 上一点P 到x ，且21120PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( ) A B 1 C D 【答案】D 【解析】作PM x ⊥轴于M ，如图，依题意||PM =，21120PF F ∠=︒，令2(,0)F c ，

则2||2PF a =，由双曲线定义知1||4PF a =，而12||2F F c =， 在12PF F △中，由余弦定理得：222(4)(2)(2)222cos120a a c a c =+-⋅⋅，即2230c ac a +-=， 又离心率c e a = ，于是有230e e +-=，又e >0，解得e = 所以双曲线C 故选：D 3．(2021·全国高三专题练习)在对角线16AC =的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，则1PC PC ⋅的取值范围是( ) A ．[2,1]- B ．[0,1] C ．[1,1]- D ．12,4⎡ ⎤-⎢⎥⎣ ⎦ 【答案】A 【解析】设(),P x y ，因为点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4， 所以点P 到点1C 和点C 的距离之和为4， 由椭圆的定义可知：点P 的轨迹是椭圆的一部分， 以1CC 所在的直线为x 轴，线段1CC 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 因为正方体的体对角线16AC =，所以正方体的棱长为 则()C ，) 1 C ，所以c =2a =，1b =， 可得点P 的轨迹为椭圆2 214x y +=， 所以( )13,PC x y = -，() ,PC x y =--， 则( )() 222133PC PC x x y x y ⋅= +=+- 22 23 13244 x x x =+--=-，