2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题

第二课时 定值问题

题型一 长度或距离为定值

例1 (2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2

2，且过点

A (2，1). (1)求C 的方程；

(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.

(1)解 由题设得4a 2＋1

b 2＝1, 且a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 2

3＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 2

3＝1，

得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km

1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①

由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，

故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，

整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.

将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2

＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.

因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.

所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－1

3(k ≠1).

所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2

3，－13.

若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN

→＝0，

得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.

又x 216＋y 21

3＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0.

解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝2

3.

此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2

3，－13.

令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

43，13.

若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝22

3.

若D 与P 重合，则|DQ |＝1

2|AP |.

综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

43，13，使得|DQ |为定值.

感悟提升 1.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.

2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.

训练1 (2022·成都诊断)已知动点P (x ，y )(其中x ≥0)到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1.

(1)求点P 的轨迹C 的方程；

(2)过椭圆C 1：x 216＋y 2

12＝1的右顶点作直线交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点. ①求证：OA ⊥OB ；

②设OA ，OB 分别与椭圆C 1相交于点D ，E ，证明：坐标原点到直线DE 的距离为定值.

(1)解 由题意，得

（x －1）2＋y 2＝x ＋1(x ≥0)，

两边平方，整理得y 2＝4x ，

所以所求点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .

(2)证明 ①设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB 的方程为x ＝my ＋4. 代入抛物线方程y 2＝4x ，得y 2－4my －16＝0， 由题意知Δ>0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，

y 1y 2＝－16，

∴x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2 ＝(1＋m 2)y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(1＋m 2)＋4m ×4m ＋16＝0， 即OA →·OB

→＝0，∴OA ⊥OB .

②设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，直线DE 的方程为x ＝ty ＋λ，代入x 216＋y 2

12＝1，得 (3t 2＋4)y 2＋6tλy ＋3λ2－48＝0，Δ>0， 于是y 3＋y 4＝－6tλ

3t 2＋4，y 3y 4＝3λ2－483t 2＋4

.

从而x 3x 4＝(ty 3＋λ)(ty 4＋λ)＝t 2y 3y 4＋tλ(y 3＋y 4)＋λ2＝4λ2－48t 2

3t 2＋4.

∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝0，

即x 3x 4＋y 3y 4＝0，

代入，整理得7λ2＝48(t 2＋1)， ∴坐标原点到直线DE 的距离d ＝|λ|

1＋t 2

＝421

7，为定值. 题型二 斜率或其表达式为定值

例2 (12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；

(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →

，求证：1λ＋1μ为定值. [规范解答]

(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点P (1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2.

故抛物线C 的方程为y 2＝4x .……………………2分 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).

由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1

得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. ……………………4分 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <1，又因为k ≠0，故k <0或0

所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). ………………6分 (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1

k 2.

直线P A 的方程为y －2＝

y 1－2

x 1－1

(x －1). ……………………7分 令x ＝0，得点M 的纵坐标为

y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. ……………………8分

同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1

＋2. ……………………9分

由QM

→＝λQO →，QN →＝μQO →得 λ＝1－y M ，μ＝1－y N . ……………………10分

所以1λ＋1μ＝11－y M ＋1

1－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2

＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1

·2k 2＋2k －4k 2

1k 2＝2.

所以1λ＋1

μ＝2为定值. ……………………12分

第一步 求圆锥曲线的方程 第二步 特殊情况分类讨论 第三步 联立直线和圆锥曲线的方程

第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标 第五步 根据相关条件计算推证 第六步 明确结论

训练2 (2021·大同调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：

x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)

的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫

e ，

354在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值. (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，即a ＝2. 又点⎝

⎛⎭⎪⎫

e ，

354在椭圆上， ∴e 2a 2＋4516b 2＝1，即c 216＋45

16b 2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程解得b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)证明 由(1)知A (－2，0)，B (2，0)，

设P 点坐标为(s ，t )，M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝

t

s ＋2

(x ＋2)， 故M ⎝

⎛⎭⎪⎫m ，t s ＋2（m ＋2）， 故直线BM 的斜率k 1＝

t （m ＋2）（s ＋2）（m －2）

，

同理可得直线AN 的斜率k 2＝

t （m －2）（s －2）（m ＋2）

，

故k 1k 2＝t （m ＋2）

（s ＋2）（m －2）×t （m －2）

（s －2）（m ＋2） ＝t 2

s 2－4

，

又P 点在椭圆上，

∴s 24＋t 23＝1，t 2＝－3

4(s 2－4)， 因此k 1k 2＝－3

4（s 2－4）

s 2－4＝－3

4， 即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值. 题型三 几何图形面积为定值

例3 (2021·西北工大附中质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，

e )在椭圆E 上，点A (a ，0)，B (0，b )，△AOB 的面积为3

2，O 为坐标原点. (1)求椭圆E 的标准方程；

(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－1

9，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值. (1)解 ∵e ＝c

a ，且(1，e )在椭圆E 上， ∴1a 2＋e 2

b 2＝1，则1a 2＋

c 2

a 2

b 2＝1.① 又

c 2＝a 2－b 2，② 联立①②，得b ＝1.

又S △AOB ＝12ab ＝3

2，得a ＝3， 所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2

＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时， 设直线l ：x ＝t (－3

⎧x 29＋y 2

＝1，

x ＝t ，

得y 2

＝1－t 2

9，

则k 1k 2＝

1－t 2

9t ×－

1－t 29t

＝－1－t 2

9

t 2

＝－19，解得t 2＝92.

所以S △OMN ＝1

2×2×

1－t 29×|t |＝32.

当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，

由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2

＝1，

消去y 并整理，

得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9) ＝36(9k 2－m 2＋1)>0，

x 1＋x 2＝－18km

9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，

k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）

x 1x 2

＝－9k 2＋m 29m 2－9

＝－1

9，

化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0. |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|

＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·

⎝ ⎛⎭⎪⎫

－18km 9k 2＋12

－4·9m 2－99k 2＋1

＝

6

1＋k 2·9k 2－m 2＋1

9k 2

＋1

. 又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k

2

，

所以S △OMN ＝1

2×|MN |×d

＝

3

1＋k 2·9k 2－m 2＋1

9k 2

＋1

×|m |1＋k

2

＝3|m |m 22m 2＝32.

综上可知，△OMN 的面积为定值3

2.

感悟提升 解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN |和原点O 到直线l 的距离d ，然后由面积公式表达出S △OMN (如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形，即得S △OMN 为定值32.

训练3 已知点F (0，2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；

(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值.若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由.

解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0，2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0，2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .

(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，

x 2＝8y 消去y

整理得x 2－8kx －8b ＝0， Δ＝64k 2＋32b >0.

则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .

设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k ，4k 2＋b ).

由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y

消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.

∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ， ∴点C 的坐标为(4k ，2k 2). ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2， ∴b ＝（m 2＋1）2－64k 232.

∴S △ABC ＝1

2|CQ |·|x 2－x 1| ＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1) ＝（m 2＋1）364

，

∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值.

齐次化处理策略

圆锥曲线中常见一类问题，这类问题的特点是条件中的两直线斜率之和或之积是一个指定常数.这种问题的求解方法多种多样，但是采用齐次化方法，可以将这两种题型统一处理.接下来谈谈齐次化方法在处理圆锥曲线这些问题中的应用. 一、处理两直线斜率之积为定值的问题

例1 已知椭圆的中心为原点O ，长轴、短轴长分别为2a ，2b (a >b >0)，P ，Q 分别在椭圆上，且OP ⊥OQ .求证：1OP 2＋1

OQ 2为定值.

证明 设P ，Q 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ ：mx ＋ny ＝1，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a >b >0)，

联立方程⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，mx ＋ny ＝1.

齐次化有x 2a 2＋y 2b 2＝(mx ＋ny )2，整理可得

⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－n 2y 2－2mnxy ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a 2－m 2x 2＝0. 左右两边同除以x 2，

即⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－2mn y x ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a 2－m 2＝0. 由根与系数的关系得y 1x 1·y 2x 2＝1a 2－m 21b 2－n 2. 由OP ⊥OQ ，得

k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝1a 2－m 21b 2－n 2＝－1， 整理得m 2＋n 2＝1a 2＋1b 2.

由于原点O 到直线PQ 的距离

d ＝1

m 2＋n 2＝ab a 2＋b 2，

又S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝12|PQ |d ，

所以1d 2＝|PQ |2|OP |2|OQ |2＝|OP |2＋|OQ |2|OP |2·|OQ |2＝1|OP |2＋1|OQ |2＝m 2＋n 2＝1a 2＋1b 2为定值.

二、处理两直线斜率之和为定值的问题 例2 如图所示，过椭圆C ：x 28＋y 2

2＝1上的定点P (2，1)作倾斜角互补的两条直线，设其分别交椭圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 的斜率是定值.

证明 设直线AB 方程为m (x －2)＋n (y －1)＝1，

因为x 28＋y 22＝（x －2＋2）28＋（y －1＋1）22 ＝（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8＋2（y －1）2

＋1. 所以椭圆方程可化为（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8＋2（y －1）2

＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

联立直线与椭圆方程齐次化得（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8

[m (x －2)＋n (y －1)]＋2（y －1）2

[m (x －2)＋n (y －1)]＝0， 左右两边除以(x －2)2得

2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －1x －22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4＋m 2⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫y －1x －2＋4m ＋18＝0. 由根与系数关系得

y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4＋m 22n ＋12

. 又直线P A ，PB 倾斜角互补，

所以k P A ＋k PB ＝－2⎝ ⎛⎭

⎪⎫n 4＋m 22n ＋12＝0，

即n 4＋m 2＝0，所以k AB ＝－m n ＝12.

故直线AB 斜率为定值，此定值为12.

1.已知椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(0

2.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)不与坐标轴垂直的直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，且与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点P ，求证：当l 的方向变化时，|MN |与|PF |的比值为常数.

(1)解 由于a ＝2，e ＝12＝c a ，

所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.

(2)证明 设直线MN 的方程为x ＝ty ＋1(t ≠0)，

代入椭圆方程可得：(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－9

3t 2＋4

， 所以|MN |＝

1＋t 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·36t 2（3t 2＋4）2＋363t 2＋4＝12（t 2＋1）3t 2＋4， 设线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)，

则y 0＝y 1＋y 22＝－3t 3t 2＋4

， x 0＝ty 0＋1＝43t 2＋4

， 则MN 的垂直平分线方程为

y ＋3t 3t 2＋4＝－t ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －43t 2＋4， 令y ＝0，得点P 的横坐标为x P ＝13t 2＋4

， 于是|PF |＝|1－x P |＝3（t 2＋1）3t 2＋4

＝14|MN |， 故当l 的方向改变时，|MN |与|PF |的比值为常数4.

2.(2022·河南名校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12

且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为2 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)经过定点Q (m ，0)(m >2)的直线l 交椭圆C 于不同的两点M ，N ，点M 关于x 轴的对称点为M ′，试证明：直线M ′N 与x 轴的交点S 为一个定点，且|OQ |·|OS |＝4(O 为坐标原点).

(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，

12·2a ·b ＝23，a 2＝b 2＋c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝ 3.

∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.

(2)证明 由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，M ′(x 1，－y 1)，S (n ，0)，

由⎩⎨⎧y ＝k （x －m ），

x 24＋y 23＝1，

消去y ，得 (3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，

由Δ>0得(4－m 2)k 2＋3>0，

即k 2<3m 2－4

时M ，N 一定存在. ∴x 1＋x 2＝8k 2m 4k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2m 2－124k 2＋3

. 当斜率k 不为0时，

∵M ′，N ，S 三点共线，∴k M ′S ＝k NS ，

即－y 1

x 1－n ＝y 2x 2－n

， 即y 2(x 1－n )＋y 1(x 2－n )＝0，

即k (x 2－m )(x 1－n )＋k (x 1－m )(x 2－n )＝0，

化简，得2x 2x 1－(n ＋m )·(x 1＋x 2)＋2mn ＝0，

即mn －4

4k 2＋3＝0，所以mn ＝4，n ＝4m ，

∴S ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4m ，0，且|OQ |·|OS |＝mn ＝4. 当斜率k ＝0时，直线M ′N 与x 轴重合，满足结论.

综上，直线M ′N 与x 轴的交点S 为一个定点⎝ ⎛⎭

⎪⎫4m ，0，且|OQ |·|OS |＝4. 3.(2022·武汉质检)设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线E 于A ，B 两点.当l 与x 轴垂直时，△AOB 的面积为8，其中O 为坐标原点.

(1)求抛物线E 的标准方程；

(2)若l 的斜率存在且为k 1，点P (3，0)，直线AP 与E 的另一交点为C ，直线BP

与E 的另一交点为D ，设直线CD 的斜率为k 2，证明：k 2k 1

为定值. (1)解 当l 与x 轴垂直时，

不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，－p ， ∴|AB |＝2p ，则S △AOB ＝12·2p ·p 2＝8，

∴p ＝4，∴y 2＝8x .

(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，

直线l 的斜率为k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 218

（y 21－y 22） ＝8y 1＋y 2

， 同理可得k 2＝8y 3＋y 4

， 直线l 的方程为y －y 1＝

8y 1＋y 2

(x －x 1)， 则(y 1＋y 2)y －y 1y 2＝8x .

又点F (2，0)在直线l 上，所以－y 1y 2＝16，

设直线AC 的方程为x ＝ty ＋3，则与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，y 2＝8x

⇒y 2－8ty －24＝0，

∴y 1y 3＝－24.同理可得y 2y 4＝－24，

∴y 3＝－24y 1，y 4＝－24y 2， ∴k 2k 1＝8

y 3＋y 48y 1＋y 2

＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－24y 1－24y 2＝y 1y 2－24＝－16－24＝23

. 4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，上顶点为E ，左焦点为F ，且满

足直线EF 与圆x 2＋y 2＝34相切.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设A ，B 是椭圆C 上两个动点，且直线OA ，OB 的斜率满足k OA k OB ＝－14，证

明：△AOB 的面积为定值.

(1)解 ∵e ＝32，

∴a 2－b 2a 2＝34，得a ＝2b ，c ＝3b ， 则EF 所在直线的方程为x 3b

＋y b ＝1， 即x －3y ＋3b ＝0.

又直线EF 与圆C 相切，∴3b 2＝32，b ＝1，则a ＝2.

∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.

(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (直线AB 的斜率存在时)， 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，

x 24＋y 2＝1，

得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 可知Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0， x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， 从而|AB |＝

1＋k 2|x 1－x 2| ＝4·（1＋k 2）（4k 2＋1－m 2）1＋4k 2

. 原点到直线l 的距离d ＝|m |

1＋k 2，

∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝2·|m |·4k 2＋1－m 21＋4k

2. 又由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，

x 24＋y 2＝1，

得 (4k 2＋1)y 2－2my ＋m 2－4k 2＝0.

∴y 1y 2＝m 2－4k 21＋4k 2，得k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－4k 24m 2－4

＝－14，即2m 2＝1＋4k 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝2·|m |·4k 2＋1－m 21＋4k

2＝1； 当AB 的斜率不存在时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，

k OA ·k OB ＝－y 21x 21

＝－14. 又x 214＋y 21＝1，解得|x 1|＝2，|y 1|＝22. S △AOB ＝|x 1||y 1|＝1.

综上，△AOB 的面积为定值1.

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线的综合问题 第2课时 定点、定值、探索性问题

第2课时 定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定点问题(师生共研) (2020·某某模拟)过抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求直线l 的方程； (2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． 【解】 (1)由y 2 ＝4x 知焦点F 的坐标为(1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 代入抛物线方程y 2 ＝4x ，得k 2x 2 －(2k 2 ＋4)x ＋k 2 ＝0， 由题意知k ≠0， 且Δ＝[－(2k 2 ＋4)]2 －4k 2 ·k 2 ＝16(k 2 ＋1)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2 ＋4 k 2，x 1x 2＝1. 由抛物线的弦长公式知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，则2k 2 ＋4 k 2＝6， 即k 2 ＝1，解得k ＝±1. 所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)． (2)由(1)及抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝ y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214 ＝4 y 2－y 1 ， 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝ 4 y 2－y 1 (x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 2 1＝4x －4x 1. 因为y 2 1＝4x 1，y 2 2＝4x 2，x 1x 2＝1，所以(y 1y 2)2 ＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)． 所以直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0， 对任意y 1，y 2∈R ，有⎩⎪⎨ ⎪⎧x ＋1＝0，y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， 即直线BD 恒过定点(－1，0)．

北师大版2021版高考数学(理)一轮第九章第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性问题练习含答案

北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性 问题练习 [基础题组练] 1．已知直线l 与双曲线x 2 4－y 2 ＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关 解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 2 0－4y 2 0＝4，则直线l 的方程是 x 0x 4 － y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12 x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由?????x ＝2x 24 －y 2 ＝0，得?????x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON → ＝3. ②当y 0 ≠0时，直线l 的方程是y ＝1 4y 0 (x 0x －4)．由?????y ＝1 4y 0 （x 0 x －4）x 2 4－y 2 ＝0 ，得(4y 2 －x 20 )x 2 ＋8x 0 x －16＝ 0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是－4x 2 ＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝3 4 x 1x 2＝3. 综上所述，OM →·ON → ＝3，故选A. 2．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋ 1 k AC ＋ 1 k BC ＝________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ? ?? ??p 2，0，由FA → ＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝ y 2－y 1x 2－x 1＝ 2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3 2p ＝0. 答案：0

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题 【归类解析】 题型一 范围问题 【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23 －y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围. 【解】 (1)∵双曲线的离心率为233 ， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32 . 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24 ＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24 ＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2 ， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，

2020版高考数学 圆锥曲线的综合问题(第2课时)定点、定值、探索性问题教案(文)(含解析)北师大版

第2课时 定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a ＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上． (1)求椭圆的离心率； (2)若C 的长轴长为4且斜率为1 2 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ， PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0 x 0－c ＝－1且 x 0＋c 2 －y 0 2＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ， y 0＝a ＋c ， 即M (－a ，a ＋c )． ∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝1 2. (2)存在．由(1)及题设得c a ＝1 2 且2a ＝4，∴a ＝2，c ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2 3 ＝1， 设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2 －3＝0. 依题知Δ＞0，即t 2 －4(t 2 －3)＞0，t 2 ＜4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2 －3， 如果存在P (m ，n )使得k PA ＋k PB 为定值，那么k PA ＋k PB 的取值将与t 无关， k PA ＋k PB ＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫n －32m t ＋2mn －3 t 2＋mt ＋m 2－3 ， 令 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3 ＝M ， 由Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2 M －3M －2mn ＋3＝0， 由题意可知该式对任意t 恒成立，其中t 2 ＜4，

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题

第二课时 定值问题 题型一 长度或距离为定值 例1 (2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2，且过点 A (2，1). (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值. (1)解 由题设得4a 2＋1 b 2＝1, 且a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 2 3＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 2 3＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.① 由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2 ＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.

因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－1 3(k ≠1). 所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN →＝0， 得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 21 3＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝2 3. 此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2 3，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 43，13. 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝22 3. 若D 与P 重合，则|DQ |＝1 2|AP |. 综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 43，13，使得|DQ |为定值. 感悟提升 1.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. 训练1 (2022·成都诊断)已知动点P (x ，y )(其中x ≥0)到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1.

2023届高考数学一轮复习圆锥曲线定直线问题 讲义

圆锥曲线定直线问题 方法提示：先猜后证 一、分析定直线的类型：是否与坐标轴垂直 二、特殊化得到答案 三、按常规方法写解题过程 典例 例1.如图，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上顶点为A ．已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点(4,0)Q -任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ QN λ=⋅．若在线段MN 上取一点R ，使得MR RN λ=-⋅，当直线l 运动时，点R 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程． 例2.已知双曲线E ：()222104 y x a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线2 3 a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足 220PF QF ⋅=． （1）求实数a 的值； （2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值； （3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PN HN = ，证明点H 恒在一条定直线上．

对点训练 1、已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，,M N 分 别为左右顶点，直线l ：1x ty =+与椭圆C 交于,A B 两点，当3 t =-时，A 是椭圆的上顶点，且12AF F 的周长为6. （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线,AM BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上. 2、设椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于 点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上. 3、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为1 4 -.记R 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程； （2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .

2023届高考数学一轮复习圆锥曲线角度关系证明 讲义

圆锥曲线角度问题 方法提示 角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。 典例 例1、如图，已知椭圆C ：2 2x a ＋22y b ＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2， A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点 B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝4 3 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N . 例2、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2 F ，以原点O 为圆心， 椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -=相切. （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，过定点0(2)P ， 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.

例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知点E (0，2)，以OE 为直径的圆与抛物线C ∶x 2=2py (p >0)交于点M ，N (异于原点O )，MN 恰为该圆的直径，过点E 作直线交抛物线与A ，B 两点，过A ，B 两点分别做拋物线C 的切线交于点P . （1）求证∶点P 的纵坐标为定值； （2）若F 是抛物线C 的焦点，证明∶∠PF A =∠PFB . 综合练习 1、已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？ （2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠. 2、椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，经过点()0,1A -2 （1）求椭圆E 的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆E 交于，PQ 两点，点()2,0M ，O 为坐标原点，证明： OMP OMQ ∠=∠.

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义汇编

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)， 参数方程为⎩ ⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为：122 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：122 22=+b y a x ， a 称半长轴长， b 称半短轴长， c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (± c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2 =；定义中的比 e 称为离心率，且a c e = ，由c 2+b 2=a 2知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一 点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5.补充知识点： 几个常用结论： 1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为： 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 θ 2 222 cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定值、定点问题 Word版含解析

2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定 值、定点问题（学生版） 一、圆锥曲线中求解定值问题常用的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例1 (2022·盐城市高三一模)设F为椭圆C：x2 2＋y 2＝1 的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点． (1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程； (2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1 k2为定值． 例2 (2022·洛阳统考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(4，m)(m ＞0)是抛物线C上一点，且|PF|＝5． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B为抛物线C上异于P的两点，且P A⊥PB．记点A，B到直线y ＝－4的距离分别为a，b，求证：ab为定值．

跟踪练习 1、(2021·安徽安庆市一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，过椭圆左焦点F 的直线x －43y ＋3＝0与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO 的面积为34. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA 、MB 交椭圆分别于A 、B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证：直线AB 的斜率为定值． 2、(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2，且过点A (2,1)． (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．

2023年高考数学真题题库专题06 圆锥曲线中的定值问题(原卷版)

专题06 圆锥曲线中的定值问题 一、单选题 1．过原点的直线l 与双曲线226x y -=交于A ,B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ） A ．4 B ．1 C ． 12 D ． 14 二、多选题 2．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>> ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ， BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为 0．O 为坐标原点，则（ ） A ．22:1:2a b = B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2- C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为1 2 - D ．若直线OD ，O E ，O F 的斜率之和为1，则 123 111 k k k ++的值为2- 3．设()()1122,,,A x y B x y 是抛物线2 4y x =上两点，O 是坐标原点， 若OA OB ⊥，下列结论正确的为（ ） A ．12y y 为定值 B ．直线AB 过抛物线24y x =的焦点 C ．AOB S 最小值为16 D ．O 到直线AB 的距离最大值为4 三、解答题 4．已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到()10 B ,的距离的2倍. （1）求点P 的轨迹方程； （2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点(5,8)C ，求2 2 QB QC +的最大值； （3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使ME MF ⋅恒为定值若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第8节直线与圆锥曲线的位置关系第2课时范围最值问题教师用书

第2课时 范围、最值问题 考点1 范围问题——综合性 (2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两焦 点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围． 解：(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 2(c,0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心， 椭圆C 的长半轴长为半径的圆：(x －c )2 ＋y 2 ＝a 2 ， 所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离d ＝|c ＋22－1| 12＋1 2 ＝a ． 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1． (2)设B (m ，n )，设M ，N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点． 因为O 为△BMN 的重心，则BO ＝2OD ＝OA ，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍． 当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处． 由|OB |＝2，得|OD |＝1，则O 到直线MN 的距离为1，B 到直线MN 的距离为3． 当MN 的斜率存在时，设M (x 1 ，y 1 )，N (x 2 ，y 2 )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 21 3＝1， x 2 2 4＋y 22 3＝1， 两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2) 3 ＝0．

2023届高三数学一轮复习讲义-圆锥曲线微专题——三角形四心

2023届圆锥曲线微专题——三角形四心 三角形四心的知识点较多，结论容易混淆，常常放在圆锥曲线中进行综合考查 高中数学三角形的四心分别为重心、垂心、内心和外心。 重心:三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心; 垂心:三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心: 内心:三角形内切圆的圆心称为内心，内心到三角形三条边的距离相等: 外心:三角形外接圆的圆心称为外心，也是三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。 一、典例分析 例1.已知点P Q M ，，是椭圆22 22: 1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM 的重心，若点22,M ⎫⎪⎪⎝⎭ ，直线PQ 的斜率恒为1 2-，则椭圆C 的离心率为（ ） A 2B 3C 2D 3 例2.已知椭圆2 22:1(1)x C y a a +=>的右焦点与抛物线2:4C y x '=的焦点重合. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知椭圆C 的右焦点2F 与点(2,0)H -关于直线l 对称，问：是否存在过右焦点2F 的直线l '与椭圆C 交于,G K 两点，使OGK 的重心恰好在直线l 上？若存在，求出直线l '的方程；若不存在，请说明理由. 对点练习 1.已知A 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点，12F F 、分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12 PF F △的重心，若1GA PF λ=，则b a 为（ ） A 3B ．22C 15D ．与λ的取值有关 2.已知ABC 的三个顶点都在抛物线T ：()220y px p =>，且()2,8C -，抛物线T 的焦点F 为ABC 的重心，则AF BF +=（ ） A ．40 B ．38 C ．36 D ．34

2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用 一、知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0①直线与圆锥曲线相交； ①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切； ①Δ<0①直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点． ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1 k2|y2－y1|. 3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直

线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 二、课前预习 1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2 m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____． 2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2 ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____． 3.直线mx ＋ny ＝4 与①O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的交 点个数是____个． 4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的 任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－4 9，则椭圆C 的离心率为____． 5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)2 3,1(P ，离心率为1 2. (1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为 3 2 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案

高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案 §9.8圆锥曲线的综合问题★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C的位置关系：将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0. (1)交点个数：①当 a ＝0或a≠0，�S＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当a≠0,�S>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当�S<0 时,曲线和直线没有交点。(2) 弦长公式： 2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（�S>0）③曲线上两点的中 点在对称直线上。 3.求动点轨迹方程：①轨迹类型已确定的,一般 用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用 代入转移法。★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求 曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点： 综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1. 体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理 设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求. 2.体会数学思想方 法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问 题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小 值为 . 点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形，，当共线时最小，最小值为★热点考点题型探析★ 考点1直线与圆 锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线y2＝8x 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（） A．[－， ] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线的准线与x轴的交点 为Q (－2 , 0)，于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线的方程为，联立其判别式为，可解得，应选C. 【名师指引】（1）解决直线 与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直

圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习

题组：圆锥曲线综合大题练题型1：定点问题 1.椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为1 2 ，其左焦点到点P(2,1)的距离为 √10． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出 该定点的坐标． 2.已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴． （Ⅰ）求线段ON的长； （Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定 点？请说明理由．

3.已知椭圆C： 22 22 =1 x y a b （a>b>0），四点P 1 （1,1），P 2 （0,1），P 3 （–1， 3 2），P 4（1， 3 2）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P 2点且与C相交于A，B两点.若直线P 2 A与直线P 2 B的斜 率的和为–1，证明：l过定点. 4.如图，椭圆E：x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率 e=1 2 ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且∆ABF2的周 长为8． （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个 公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探 究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

5.如图，已知椭圆Γ：x 2 b2+y2 a2 =1(a>b>0)的离心率e=√2 2 ，短轴右端点为 A,M(1.0)为线段OA的中点． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程； （Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于P,Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

2023年高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程旳曲线： 在平面直角坐标系中，假如某曲线C(看作适合某种条件旳点旳集合或轨迹 )上旳点与一种二元方程f(x,y)=0旳实数解建立了如下旳关系：(1)曲线上旳点旳坐标都是这个方程旳解；(2)以这个方程旳解为坐标旳点都是曲线上旳点，那么这个方程叫做曲线旳方程；这条曲线叫做方程旳曲线。 点与曲线旳关系：若曲线C 旳方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。 两条曲线旳交点：若曲线C 1，C 2旳方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2旳交点⇔{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不一样旳实数解，两条曲线就有n 个不一样旳交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)原则方程：圆心在c(a,b)，半径为r 旳圆方程是(x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 旳圆方程是x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程：①当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0叫做圆旳一般方程，圆心为)2 ,2(E D -- 半径是2 422F E D -+。配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+ 2D )2 +(y+2 E )2 =4 4F -E D 2 2+ ②当D 2+E 2 -4F=0时，方程表达一种点(- 2D ,-2 E ); ③当D 2+E 2 -4F ＜0时，方程不表达任何图形. （3）点与圆旳位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 旳坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜= 2 020b)-(y a)-(x +。 （4）直线和圆旳位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切⇔有一种公共点；直线与圆相离⇔没有公共点。 ②直线和圆旳位置关系旳鉴定：(i)鉴别式法；(ii)运用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0旳距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 旳大

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用

第二课时 圆锥曲线的综合应用 考点一 最值范围问题| (2015·高考浙江卷)已知椭圆x 22 ＋y 2 ＝1上两个不同的点A ， B 关于直线y ＝mx ＋1 2 对称． (1)求实数m 的取值范围； (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1 m x ＋b . 由⎩⎨⎧ x 22 ＋y 2 ＝1，y ＝－1 m x ＋b ， 消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4 m 2>0， ① 设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2mb m 2＋2，m 2 b m 2 ＋2，代入直线方程y ＝mx ＋1 2解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－ 63或m >63 . (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝ ⎛⎭⎫0，6 2， 则|AB |＝ t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋ 3 2 t 2＋ 12 ， 且O 到直线AB 的距离d ＝ t 2＋ 12 t 2＋1 . 设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤2 2 ， 当且仅当t 2＝1 2 时，等号成立．

故△AOB 面积的最大值为22 . (1)最值问题的求解方法： ①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值． ②建立不等式模型，利用基本不等式求最值． ③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值． (2)求参数范围的常用方法： ①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． ②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． ③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． ④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解． 1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点在y 轴上，抛物线上的点(x 0,1)到焦点的距离为 2. (1)求抛物线C 的标准方程； (2)过直线l ：y ＝x －2上的动点P (除(2,0))作抛物线C 的两条切线，切抛物线于A ，B 两点． ①求证：直线AB 过定点Q ，并求出点Q 的坐标； ②若直线OA ，OB 分别交直线l 于M ，N 两点，求△QMN 的面积S 的取值范围． 解：(1)由已知条件得1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1＋p 2＝2， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ′＝x 2， A 处切线方程为y －y 1＝x 1 2(x －x 1)， 又∵4y 1＝x 21，∴y ＝x 12 x －x 214 ，a 同理B 处切线方程为y ＝x 22x －x 22 4，b ab 联立可得⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝x 1 ＋x 22， y ＝x 1x 2 4， 即P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ x 1＋x 22， x 1x 24.

2023高考真题知识总结方法总结题型突破：39 圆锥曲线中的定点定值问题(学生版)

专题39 圆锥曲线中的定点定值问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B ⎝⎛⎭ ⎫32，－1两 点． (1)求E 的方程； (2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点． 【方法总结】 定点问题的常用方法 (1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点． (2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 定值问题的常用方法 (1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数． (2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 【题型突破】 1．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． (1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点． 2．已知点F (2，0)为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，椭圆上异于A ， B 的任意一点P 与A ，B 两点连线的斜率之积为－12 . (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点(1,0)的两条弦PQ ，MN 相互垂直，若PQ →＝2PS →，MN →＝2MT →，求证：直线ST 过定点．

高考数学一轮复习专题02 圆锥曲线弦长问题(解析版)

解析几何 专题二：圆锥曲线弦长问题 一、知识储备 弦长公式 ||AB = 12 ||AB x ==- = （最常用公式，使用频率最高） = 二、例题讲解 1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>， 若右焦点为F （1）求椭圆C 的方程； （2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长． 【答案】（1）2 213 x y +=；（2 【分析】 （1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可. （2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】 （1 ）由题意，椭圆半焦距c = c e a = ，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2 213 x y +=； （2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=> 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意： 当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线， 可设直线:(MN y k x = ，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=> 1=，解得1k =±，

联立22 (13 y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪ ⎩ ，得2 430x -+= ，则12x x +=1234x x ⋅=， ∴ ||MN == 2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线 142 x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求AB 的长. 【答案】（1）e =，渐近线方程为y =；（2）207. 【分析】 （1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程； （2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得121 2,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长． 【详解】 解：（1）因为双曲线方程为22 142 x y - =， 所以2a = ，b = 则c = 所以62c e a ，渐近线方程为2 y x =±. （2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x = 代入双曲线 22 142 x y - =中，化简可得27520x -+= 设()11,A x y ，( )22,B x y 所以12x x += 12527x x ⋅=， 所以21 20 |||7 AB x x -== . 【点睛】 方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．