高中数学圆锥曲线专题

高中数学圆锥曲线专题

圆锥曲线专题

考纲要求：

1.掌握直线的各种方程形式，理解直线方程中系数的几何

意义，能够判定直线间的平行或垂直关系，求交点坐标和点到直线的距离。

2.理解圆锥曲线的方程与曲线的几何意义，掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程的推导过程，理解这些曲线的几何特性，能够求解与直线或其他曲线的位置关系和交点问题。

知识导图：

见图片）

精解名题：

1.弦长问题

已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ 和点 $B(0,-2)$，过点 $B$ 引椭圆的割线 $BD$ 与椭圆交于 $C$、$D$ 两点。

1）确定直线 $BD$ 斜率的取值范围。

2）若割线 $BD$ 过椭圆的左焦点 $F_1$，右焦点

$F_2$ 是椭圆的右焦点，求 $\triangle CDF_2$ 的面积。

2.轨迹问题

已知平行四边形 $ABCO$，$O$ 是坐标原点，点 $A$ 在

线段 $MN$ 上移动，点 $B$ 在双曲线 $\frac{x^2}{169}-

\frac{y^2}{36}=1$ 上移动，求点 $C$ 的轨迹方程。

3.对称问题

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线

$l:y=kx+2$，点 $C(0,c)$ 在直线 $l$ 上方，问椭圆上是否存在

相异两点 $A$、$B$，关于直线 $l$ 对称，请说明理由。

4.最值问题

已知抛物线 $C:x=-2(y-m)^2$，点 $A$、$B$ 及

$P(2,4)$ 均在抛物线上，且直线$PA$ 与$PB$ 的倾斜角互补。

1）求证：直线 $AB$ 的斜率为定值。

2）当直线 $AB$ 在 $y$ 轴上的截距为正值时，求

$\triangle ABP$ 面积的最大值。

5.参数的取值范围

已知 $a=(x,0),b=(1,y)$，且 $(a+3b) \perp (a-3b)$。

1）求点 $P(x,y)$ 的轨迹 $C$ 的方程。

2）直线 $l:y=kx+m(k\neq 0,m\neq 0)$ 与曲线 $C$ 交于$A$、$B$ 两点，且在以点 $D(0,-1)$ 为圆心的同一圆上，求$m$ 的取值范围。

改写后的文章：

圆锥曲线是高中数学中的重要部分，涉及直线和曲线的方程、几何性质和位置关系等内容。在考试中，我们需要掌握直线和圆锥曲线的各种方程形式，理解方程中系数的几何意义，能够判定直线间的平行或垂直关系，求交点坐标和点到直线的距离。同时，我们还需要理解圆锥曲线的方程与曲线的几何意义，掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程的推导过程，理解这些曲线的几何特性，能够求解与直线或其他曲线的位置关系和交点问题。

下面是一些例题，供大家练：

1.弦长问题

已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ 和点 $B(0,-2)$，过点 $B$ 引椭圆的割线 $BD$ 与椭圆交于 $C$、$D$ 两点。

1）确定直线 $BD$ 斜率的取值范围。

2）若割线 $BD$ 过椭圆的左焦点 $F_1$，右焦点

$F_2$ 是椭圆的右焦点，求 $\triangle CDF_2$ 的面积。

2.轨迹问题

已知平行四边形 $ABCO$，$O$ 是坐标原点，点 $A$ 在

线段 $MN$ 上移动，点 $B$ 在双曲线 $\frac{x^2}{169}-

\frac{y^2}{36}=1$ 上移动，求点 $C$ 的轨迹方程。

3.对称问题

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线

$l:y=kx+2$，点 $C(0,c)$ 在直线 $l$ 上方，问椭圆上是否存在

相异两点 $A$、$B$，关于直线 $l$ 对称，请说明理由。

4.最值问题

已知抛物线 $C:x=-2(y-m)^2$，点 $A$、$B$ 及

$P(2,4)$ 均在抛物线上，且直线$PA$ 与$PB$ 的倾斜角互补。

1）求证：直线 $AB$ 的斜率为定值。

2）当直线 $AB$ 在 $y$ 轴上的截距为正值时，求

$\triangle ABP$ 面积的最大值。

5.参数的取值范围

已知 $a=(x,0),b=(1,y)$，且 $(a+3b) \perp (a-3b)$。

1）求点 $P(x,y)$ 的轨迹 $C$ 的方程。

2）直线 $l:y=kx+m(k\neq 0,m\neq 0)$ 与曲线 $C$ 交于

$A$、$B$ 两点，且在以点 $D(0,-1)$ 为圆心的同一圆上，求$m$ 的取值范围。

1.已知抛物线y=2px(p>0)，过动点M(a,0)且斜率为1的直

线l与该抛物线交于不同的两点A、B

1）若AB≤2p，求a的取值范围

2）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求Rt△MNQ的面积

解析：

1）由题意得，直线l的斜率为1，则l的解析式为y=x-a。又因为直线l与抛物线y=2px交于不同的两点A、B，则可列

出方程组：

y=2px

y=x-a

解得A、B的坐标为：

A(2ap/(1-p),2ap^2/(1-p))

B(-2ap/(1+p),-2ap^2/(1+p))

由于AB≤2p，所以可以列出不等式：

AB^2=(4a^2p^2)/(1-p^2)≤4p^2

化XXX：

a^2≤(1/4)(1-p^2)

所以a的取值范围为[-(1/2)sqrt(1-p^2)。(1/2)sqrt(1-p^2)]。

2）线段AB的垂直平分线过点M((a-2ap/(1-p))/2,-

2ap^2/(1-p))，且斜率为-1.又因为线段AB的中点为M，所以可以列出方程：

y=-x+2a-2ap/(1-p)

该直线与x轴交点为N(a(1+p)/(2(1-p)),0)，所以

QN=NA=a(1+p)/(2(1-p))。又因为MN=AB/2=ap/(1-p)，所以可以计算出QN和MN的长度，进而求出△XXX的面积。

2.（1）以点A为圆心，1为半径的圆与双曲线S相切，

且双曲线S的一个顶点A′关于直线y=x对称。设直线l过点A，斜率为k。求双曲线S的方程。

2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l 的距离为2.

3）当0

到直线l的距离为d，则求斜率k的值及相应的点B的坐标。

6.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点为F1(-4,0)

和F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列。

Ⅰ）求该椭圆的方程；

Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；

Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取

值范围。

二、求曲线方程

1.（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科19）（满分16分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题10分。

如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且

PQ·FQ=|QF|²/2.

1）建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；

2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知NA=λ1AF，NB=λ2BF，求证：λ1+λ2为定值。

2.（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科）（本题满分16分，第一小题8分；第二小题8分）已知b·i=a。

1）求点P(x,y)的轨迹方程；

2）过点P的直线与直线y=x交于点Q，求证：∠PQB为定值。

二、曲线的性质

1.（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科20）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知向量（x-3）i+yj和i、j是x、y轴正方向的单位向量，设a=（x，y），b=(x+3)i+yj，且满足|a-b|=8/3.直线l过点(3,0)

且与上述轨迹交于A、B两点，且AB=8/3，求直线l的方程。

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，椭圆C的中心为

原点O。

1）求椭圆C的方程；

2）已知A(-3,0)，B(3,0)，P(xp,yp)是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求xp的取值范围。

0,c)，点P在椭圆C上，且满足FP

1

FP

2

2a。证明：点P到y轴的距离是常数。

已知椭圆$2x^2+y^2=1(a>b>0)$的左右焦点分别为$F_1(-

2,0),F_2(2,0)$，短轴两个端点为$A,B$，且四边形

$F_1AF_2B$是边长为2的正方形。

1) 求椭圆方程。

椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，已知左右焦点坐标分别为$F_1(-2,0),F_2(2,0)$，所以$c=2$。

由于四边形$F_1AF_2B$是边长为2的正方形，所以$AB=2$，即短轴$2b=2$，所以$b=1$。又因为长轴是短轴的2倍，即

$2a>b$，所以$a=\sqrt{5}$。所以椭圆的方程为$2x^2+y^2=5$。

2) 若$C,D$分别是椭圆长轴的左右端点，动点$M$满足$MD\perp CD$，连接$CM$，交椭圆于点$P$。证明：

$OM\cdot OP$为定值。

设椭圆的长轴两端点为$E,F$，则$EF=2a=2\sqrt{5}$。由

于$AB=2$，所以短轴$2b=2$，所以$b=1$。又因为

$F_1F_2=2c=4$，所以$c=2$。由于四边形$F_1AF_2B$是边长

为2的正方形，所以$AF_1=BF_2=2$，所以

$AE=EB=\sqrt{5}$。设$OM=x$，则$OP=\sqrt{5-x^2}$。由于$MD\perp CD$，所以$CM$是椭圆的切线，即$CM\perp CP$，所以$\angle CMP=90^\circ$。由于$CD$是椭圆的长轴，所以$CD$的中垂线过$F_1,F_2$，即$EF$的垂线过$C$，所以

$CM$平分$\angle ECF$。设$\angle ECF=\theta$，则$\angle MCF=\frac{\theta}{2}$。由余弦定理可得

$MF_1^2=MC^2+F_1C^2-2MC\cdot F_1C\cos\frac{\theta}{2}$，即$5x^2+4=4\sqrt{5}x\cos\frac{\theta}{2}$。同理可得

$MF_2^2=5(5-x^2)+4=24-5x^2+4\sqrt{5}x\cos\frac{\theta}{2}$。由于$F_1AF_2B$是边长为2的正方形，所以$AF_1=BF_2=2$，即$AE=EB=\sqrt{5}$，所以$CE=CF_1+EF_1=2+\sqrt{5}$。由

勾股定理可得$MC^2=CE^2-ME^2=9-x^2$。所以

$MF_1^2+MF_2^2=29-3x^2+4\sqrt{5}x\cos\frac{\theta}{2}$。

又因为$OM=x$，$OP=\sqrt{5-x^2}$，所以$OM\cdot

OP=x\sqrt{5-x^2}$。由于$\angle CMP=90^\circ$，所以

$\triangle CMP\sim\triangle CEF$，所以

$\frac{CP}{CE}=\frac{MP}{EF}$，即$MP=\frac{EF}{CE}\cdot CP=\frac{2}{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5-x^2}$。所以$OM\cdot

OP\cdot MP=x\sqrt{5-x^2}\cdot\frac{2}{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5-

x^2}=\frac{2x(5-x^2)}{2+\sqrt{5}}$，为定值。

3) 在(2)的条件下，试问$x$轴上是否存在异于点$C$的定

点$Q$，使得以$MP$为直径的圆恒过直线$DP$，$MQ$的交点，若存在，求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。

设点$Q$的坐标为$(t,0)$。由于$MP$为直径，所以$\angle MQP=90^\circ$，即$\angle QMP=90^\circ-\angle QPM$。由于$MD\perp CD$，所以$\angle CDP=90^\circ$，又因为$DP$平行于$x$轴，所以$\angle DPM=90^\circ$，所以$\angle

QPM=\angle QPD-\angle DPM=\angle QPD-90^\circ$。由于$OM\cdot OP$为定值，所以$OM\cdot OP=2x\sqrt{5-x^2}$。所以$t=\frac{2x\sqrt{5-x^2}}{2+\sqrt{5}}$。当$t=C$时，$Q$与$C$重合。当$t\neq C$时，$Q$的坐标为$(\frac{2x\sqrt{5-

x^2}}{2+\sqrt{5}},0)$。由于$t$的取值范围为$[0,\sqrt{5}]$，所以当$x$取$\sqrt{\frac{5}{2+\sqrt{5}}}$时，$t$取到最大值$\sqrt{\frac{5}{2+\sqrt{5}}}$，此时$Q$的坐标为

$(\sqrt{\frac{5}{2+\sqrt{5}}},0)$。所以$x$轴上存在异于点$C$的定点$Q$，使得以$MP$为直径的圆恒过直线$DP$，$MQ$的交点，且$Q$的坐标为

$(\sqrt{\frac{5}{2+\sqrt{5}}},0)$。

已知椭圆$2x^2+y^2=1(a>b>0)$的方程，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点$(2,2)$，斜率为$k$的直线$l$过点$A(0,2)$，$n$为直线$l$的一个法向量，坐标平面上的点$B$满足条件$n\cdot AB=n$。

1) 写出椭圆方程，并求点$B$到直线$l$的距离。

椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，已知长轴是短轴的2倍，所以$a=2b$。由于椭圆过点$(2,2)$，

所以$2\cdot\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$，即

$\frac{8}{4b^2}+\frac{4}{b^2}=1$，解得

$b=\sqrt{\frac{2}{3}}$，$a=2\sqrt{\frac{2}{3}}$。所以椭圆的

方程为$2x^2+3y^2=4$。设点$B$的坐标为$(x_0,y_0)$，则

$n\cdot AB=n$，即$\frac{2x_0}{a^2}\cdot\frac{y_0-2}{b^2}=1$，即$y_0=\frac{2b^2}{a^2}x_0+2$。直线$l$的斜率为$k$，所以

$l$的方程为$y-2=kx$。点$B$到直线$l$的距离为$\frac{|kx_0-

y_0+2|}{\sqrt{k^2+1}}$。代入$y_0=\frac{2b^2}{a^2}x_0+2$，

化简得到点$B$到直线$l$的距离为$\frac{|2kx_0-

4b^2x_0+2a^2k+a^2|}{a\sqrt{k^2+1}}$。

2) 若椭圆上恰好存在3个这样的点$B$，求$k$的值。

由于点$B$到直线$l$的距离为$\frac{|2kx_0-

4b^2x_0+2a^2k+a^2|}{a\sqrt{k^2+1}}$，所以$\frac{2kx_0-

4b^2x_0+2a^2k+a^2}{a\sqrt{k^2+1}}$的绝对值恰好等于

$\frac{2kx_0-4b^2x_0+2a^2k+a^2}{a\sqrt{k^2+1}}$的另外两个根的绝对值。设$\frac{2kx_0-

4b^2x_0+2a^2k+a^2}{a\sqrt{k^2+1}}=t$，则$t$的另外两个根分别为$\frac{2kx_0-4b^2x_0+2a^2k+a^2}{a\sqrt{k^2+1}}=-t,-\frac{a^2}{t}$。由于椭圆方程为$2x^2+3y^2=4$，所以点

$B$满足$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，即

$\frac{x_0^2}{4b^2}+\frac{y_0^2}{2b^2}=1$，所以

$\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=2b^2$。代入

$y_0=\frac{2b^2}{a^2}x_0+2$，化简得到$x_0^2+2ax_0-

a^2=0$。所以$x_0=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4a^2}}{2}=a,-3a$。当$x_0=a$时，$y_0=\frac{2b^2}{a^2}x_0+2=3$。当$x_0=-

3a$时，$y_0=\frac{2b^2}{a^2}x_0+2=-1$。代入$t$的表达式，得到$t=\pm\sqrt{3},\pm\sqrt{21},\pm\sqrt{3}$。所以$k=\frac{y-2}{x}=\frac{3-2}{a}=\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$或

$k=\frac{-1-2}{-3a}=\frac{1}{3a}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。

1.给定以A(-a,0)、B(a,0)、D(0,-b)、E(0,b)为顶点的菱形ADBE，其内切圆过焦点F1、F

2.黄金双曲线是指平面直角坐标系中的一条曲线，其定义为：与两个互相垂直的轴相切，且焦点到顶点的距离与顶点到直线的距离之比为黄金分割比例（即约为1.618）。

2.在黄金双曲线中，有如下真命题：以任意一点为顶点的

等腰三角形，其底边上的中线与此点到两条直角边的距离之比为黄金分割比例。证明：设三角形的底边为AB，顶点为C，AC=BC，中线为DE，D在AB上，E在AC上。则有

CE/DE=CE/CD=AC/AD=AC/BD=1/φ，其中φ为黄金分割比例。

3.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），其左、右

焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0)，且a、b、c成等比数列。

1) 求c/a的值。

2) 若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，证明

∠F1AB=90°。

3) 若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F2、P的

直线l，使l与y轴的交点R满足RP=-2PF2？若存在，求直线

l的斜率k；若不存在，请说明理由。

4.已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为m/n（m>n>0）。

1) 求椭圆C的标准方程。

2) 已知A(-3,0)、B(3,0)、P为椭圆C上异于A、B的任意

一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求OM·ON的值。

3) 在(2)的条件下，若G(s,0)、H(k,0)，且GM⊥HN，

(s

面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标。

5.已知椭圆m*x^2+n*y^2=1（m>n>0），焦点坐标分别为

F1(-2,0)、F2(2,0)。

1) 当m=25，n=21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若QF=2FP，求直线PQ的斜率。

2) 过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的两条直线与椭圆

交于A、B、C、D四点（按逆时针顺序排列，且点A位于第

一象限内），试用k表示四边形ABCDA、BC、CD的面积S。

3) 求S的最大值。

6.（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科23）

已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-

\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一个焦点是F(2,0)，且$b=3a$。

1) 求双曲线C的方程；

2) 设经过焦点F的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l

与双曲线C的右支相交于A,B不同的两点时，求实数m的取

值范围；并证明AB中点M在曲线3(x-1)-y=3上。

3) 设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点，问是否存在实数m，使得$\angle AOB$为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由。

7.（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科22）

设P(a,b)(ab≠0)、R(a,2)为坐标平面xoy上的点，直线OR （O为坐标原点）与抛物线$y^2=\frac{1}{4}x$交于点Q(异于O)。

1) 若对任意ab≠0，点Q在抛物线$y=mx+1(m≠0)$上，试问当m为何值时，点P在某一圆上，并求出该圆方程M；

2) 若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆$x+4y=1$上，试问：点Q能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；

3) 对(1)中点P所在圆方程M，设A、B是圆M上两点，且满足$OA\cdot OB=1$，试问：是否存在一个定圆S，使直线XXX与圆S相切。

8.（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟22）

已知F1,F2为椭圆

C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0)$的左右焦点，

O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设MF2=d。

1) 证明：d,b,a成等比数列；

2) 若M的坐标为(2,1)，求椭圆C的方程；

3) [文科]在(2)的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若$OA\cdot OB=\frac{1}{4}$，求直线l的方程。

理科]在(2)的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B

两点，若椭圆C上存在点P，使得$OP=OA+OB$，求直线l的方程。

高中数学-圆锥曲线专题

高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。

两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线:

高中数学深度进阶圆锥曲线专题

课件下载： 1、1.1直线和圆的最值问题 2、1.2直线和圆的范围问题 3、1.3直线和圆的定点定值问题 4、2.1直接法定义法求轨迹方程 5、2.2相关点法求轨迹方程 6、2.3交轨参数法求轨迹方程 7、3.1焦点弦定比公式 8、3.2焦半径公式及应用(一) 9、3.3焦半径公式及应用(二) 10、4.1倾斜角型焦半径公式及应用 11、4.2焦点弦与焦三角形公式及应用 12、4.3焦半径倒数和规律及应用 13、5.1仿射在圆锥曲线中的应用(一) 14、5.2仿射在圆锥曲线中的应用(二） 15、5.3仿射在圆锥曲线中的应用(三) 16、6.1利用几何性质求离心率问题 17、6.2最值与范围问题(一) 18、6.3最值与范围问题(二) 19、7.1定点问题 20、7.2定值问题(一) 21、7.3定值问题(二) 22、8.1最值范围问题(一) 23、8.2最值范围问题(二) 24、8.3最值范围问题(三) 25、9.1探索存在性问题(一) 26、9.2探索存在性问题(二) 27、9.3探索存在性问题(三) 28、10.1圆锥曲线创新题(一)

29、10.2圆锥曲线创新题(二) 30、10.3圆锥曲线创新题(三) 1、课程：直线和圆解题技巧 1、直线和圆的最值问题 2、直线和圆的范围问题 3、直线和圆的定点定值问题 2、课程：轨迹方程技巧 1、直接法定义法求轨迹方程 2、相关点法求轨迹方程 3、交轨参数法求轨迹方程 3、课程：圆锥曲线重要结论及应用(上) 1、焦点弦定比公式 2、焦半径公式及应用(一) 3、焦半径公式及应用(二) 4、课程：圆锥曲线重要结论及应用(下) 1、倾斜角型焦半径公式及应用 2、焦点弦与焦三角形公式及应用 3、焦半径倒数和规律及应用 5、课程：高观点下的圆锥曲线-仿射 1、仿射在圆锥曲线中的应用(一) 2、仿射在圆锥曲线中的应用(二) 3、仿射在圆锥曲线中的应用(三) 6、课程：圆锥曲线小题解题技巧 1、利用几何性质求离心率问题

2019人教版高中数学圆锥曲线经典题目含答案

圆锥曲线经典题目精选 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．41 B ．2 1 C ． 2 D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3， 则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线62 2=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．3 15(-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线 BC 必过定点（ ） A ．（2，5） B ．（-2，5） C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p 5.已知两点)45,4(),45 ,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②32 2=+y x ;③1222=+y x ;④12 22 =-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1tan 21= ∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．112 532 2=-y x 7．圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）

高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题

高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题 圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系 这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题 这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。 3、圆锥曲线弦长问题 弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则： 4、定点、定值问题 （1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结

论，即可简化运算； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5、最值、参数范围问题 这类常见的解法有两种：几何法和代数法． （1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； （2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法． 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 6、轨迹问题 轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。 定义法： （1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义； （2）设标准方程，求方程中的基本量 （3）求轨迹方程 相关点法： （1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上； （2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）； （3）将x0，y0代入已知曲线方程； （4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。 参数法求轨迹的一般步骤：

高中数学圆锥曲线十大题型 专题10以椭圆为情景的探索性问题 (学生版+解析版)

10 以椭圆为情景的探索性问题 典例分析 角度一、以探索多边形形状为情景的问题 1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ， 线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率. （1）求该椭圆的方程； （2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有； （3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题 1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>> ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两 点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得 QA PA QB PB = 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 2 2 9x y m +=0m >l l ( ,)3 m m 22 221(0)x y a b a b +=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR ∆

角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题 1、椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量 120BF BF ⋅=. （1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程； （2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由. 2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若1 2 MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 角度四、以探索定值存在性为情景的问题 1、已知定点()30A -, ，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 9 -，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。 角度五、以探索最值存在性为情景的问题 1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线 3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足MF 1―→＝12 F 1F 2―→ . (1)求椭圆C 的标准方程． (2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 角度六、以探索直线存在性为情景的问题 1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB .

高中数学圆锥曲线难题练习题带答案

高中数学圆锥曲线 一．选择题（共20小题） 1．已知F1、F2是椭圆＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则＝（） A．2B．4C．3D．1 2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上 半部分于点A，以F A，FO为邻边作平行四边形OF AB，若点B在椭圆上，则b2等于（） A．B．2C．3D．4 3．已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的 焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6＝0和l2：x＝﹣1的距离之和的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 4．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为2，右顶点为A．过原点与x轴不重合的直线交C于M，N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为（） A．B．C．D． 5．已知经过原点O的直线与椭圆相交于M，N两点（M在第二象限），A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|＝4，则该椭圆的方程为（） A．B．C．D． 6．已知椭圆T：的焦点F（﹣2，0），过点M（0，1）引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭 圆上任一点，记点P到l1、l2的距离分别为d1、d2，则d12+d22的最大值为（） A．2B．C．D． 7．点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|＝4，|NF|＝3，则直线AB的斜率为（）

高中数学 圆锥曲线选择题专项训练

圆锥曲线选择题专项训练 （有详细解答） 1设、分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=＞＞的左、右焦点若在双曲线右支上存在点，满足 212PF FF =，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程（A ） 340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±= 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 2已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为3 2 ，过右焦点且斜率为(0)k k ＞的直线与相 交于A B 、两点．若3AF FB =，则 （A ）1 （B ） （C ） （D ）2 【解析】设直线为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于，A 1，B 为垂足， 过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得 ，∴ 即=，故选B 3 已 知 抛 物 线 2 ＝ 2122p x -=2,423==+p p 2,12 =-=-p p 31 2512 22 221(0,0)x y a b a b -=>>(,0),(0,) F c B b b a b c -()1b b a c ∴⋅-=-2 b a c ∴=220c a ac --=512 c e a ==2 8y x =PA l ⊥PF =PAF ∆4 ||8 sin30PF ︒ ==31 +51+22 22 1(0,0)x y a b a b -=>>b x a

高中数学圆锥曲线训练题(含答案)

高中数学圆锥曲线训练题（含答案） 一、解答题（共18题；共175分） 1.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2， 2 ） （1）求抛物线Γ的方程； （2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． 2.已知椭圆，过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过右焦点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，求直线的方程. 3.如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N 两点，且当直线l的倾斜角为45°时，. （1）求抛物线C的方程. （2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4.已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由. 5.已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为 . （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若 ，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由. 6.已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆 分别交于，两点. （1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为. （2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由. 7.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为. （1）求椭圆E的标准方程， （2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证: 为定值. 8.过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，. （1）求抛物线的方程； （2）点为抛物线上一点，且，求面积的最大值. 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 10.已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 11.已知椭圆C的离心率为且经过点 （1）求椭圆C的方程；

高考数学专题综合训练圆锥曲线(分专题,含答案)

20XX 年高考圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为7 3， 求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0, 2e =由1273 e e = 得1e =设双曲线的方程为22 221(,0)y x a b a b -=>则 22222 13 139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪ ⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00 (,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +⎧ =⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、设M 是椭圆22 : 1124 x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程． 解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠ 则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分 2 2 112222 1,(1)124 1.(2) 124 x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3 MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ， 111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=- 所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11 .x y x y =-从而得1111 ,.22 x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 二、中点弦问题： 3、已知椭圆22 221(0)y x a b a b +=>> 的一个焦点1(0,F - ，对应的准线方程为4y =-. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 平分，求直线l 的方程.

高中数学新思路-圆锥曲线专题

高中数学新思路-圆锥曲线专题 一、圆锥曲线的基本概念 圆锥曲线是平面解析几何中的一类重要曲线，包括椭圆、抛物线、双曲线等。它们在几何形状和性质上都有自己独特的特点，通常可以用参数方程或普通方程来表示。 二、椭圆的标准方程与几何性质 椭圆是一种常见的圆锥曲线，它的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的半径。椭圆有一些重要的几何性质，比如它的面积是πab，它的周长是4πa等。 三、抛物线的标准方程与几何性质 抛物线是一种圆锥曲线，它的标准方程为y^2 = 2px，其中p是焦距的一半。抛物线有一些重要的几何性质，比如它的准线是x=-p/2，它的焦点是(p/2, 0)等。 四、双曲线的标准方程与几何性质 双曲线是一种常见的圆锥曲线，它的标准方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的实轴和虚轴的半径。双曲线有一些重要的几何性质，比如它的面积是πab，它的周长是4πa等。 五、圆锥曲线的焦点与准线 圆锥曲线的焦点和准线是描述其几何形状的重要参数。对于椭圆和双曲线，焦点位于曲线的中心，准线则是与焦点相切的直线。对于抛物线，焦点就是曲线的顶点，准线则是与焦点垂直的直线。 六、圆锥曲线的切线与法线

圆锥曲线的切线和法线是描述曲线在某一点处导数的几何量。对于椭圆和双曲线，其切线和法线分别是与过该点的曲率圆相切的直线和垂直于切线的直线。对于抛物线，其切线和法线分别是与过该点的射线的切线和垂直于射线的直线。 七、圆锥曲线中的最值问题 在解决圆锥曲线问题时，经常需要找到某个量的最大值或最小值。这类问题通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，然后通过验证确定最大值或最小值。 八、圆锥曲线与直线的综合问题 在解决圆锥曲线与直线的综合问题时，需要找到曲线和直线的交点，然后通过这些交点来求解问题。这类问题可以通过联立方程组并求解得到交点坐标。 九、圆锥曲线在实际生活中的应用 圆锥曲线在很多实际生活场景中都有应用，比如卫星轨道设计、桥梁和建筑结构、航天器和导弹的弹道轨迹等。了解圆锥曲线的性质和应用有助于更好地理解这些实际问题的数学模型，进而找到解决问题的方法。

高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案解析)

专题：解圆锥曲线问题常用方法〔一 [学习要点] 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 〔1椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 〔2双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与"点到准线距离"互相转化。 〔3抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为"设而不求法"。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用"点差法",即设弦的两个端点A,B,弦AB 中点为M,将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的"设而不求"法,具体有： 〔1)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B,设弦AB 中点为M,则有 02 20=+k b y a x 。 〔2)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B,设弦AB 中点为M则 有 020 20=-k b y a x

高中数学圆锥曲线压轴题大全

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数学压轴题圆锥曲线类一 1．如图，已知双曲线C ：x a y b a b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点 M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点. （I ）求证：O M M F →⊥→ ； （II ）若||MF → =1且双曲线C 的离心率e =6 2 ，求双曲线C 的方程； （III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足A P A Q →=→ λ，试判断λ 的范围，并用代数方法给出证明. 2．已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧ ⎨ ⎩ 00111，， 数列{}a n 满足a f n nN n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式； （II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S nS n n N ()()(*) --∈1； （III ）在集合M N N kkZ ==∈{|2，，且10001500≤--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由. （IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得l i m ()n n b b b →∞ +++12 存在，并求出这个极限值. 19. 设双曲线y a x 222 31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程； （II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512 ||||A B F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且O P O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 3. 已知数列 {}a n 的前n 项和为S n N n ()* ∈，且S m m a n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1. （I ）求证数列{}a n 是等比数列； （II ）设数列 {}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 1111 3 ==-，() ()* n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，l i m (l g )l i m (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞ +++3122334…+-b b n n 1)成立？ 4．设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ， Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5． （1）求椭圆的离心率； （2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程． 5．（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+2 11 的所有无穷等差数列{}n a ，试求 122 1++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差． （文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+2 11的所有无穷等差数列{}n a ，试求1 221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出 y 取最大值时{}n a 的首项和公差． 6．垂直于x 轴的直线交双曲线2222 =-y x 于M 、N 不同两点，A 1 、A 2 分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1 M 与A 2 N 交于 点P （x 0，y 0）

高中数学-圆锥曲线练习题含答案

圆锥曲线专题练习 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长及短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 4．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 6．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 二. 填空题 7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。 8．设AB 是椭圆22 221x y a b +=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点， 则AB OM k k ⋅=____________。 三.解答题 9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线 21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。 10、已知动点P 及平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 及曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程. 参考答案 1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．C 2222218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-= 得5,4a b ==，2212516x y ∴+=或125 162 2=+y x

高中数学圆锥曲线难题汇总(75道题)

高中数学圆锥曲线难题汇总 1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，， 为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积． } 2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． ）

3. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值． ； 4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且． \ （1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积； （2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．—

5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点 的两点，，且． （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围． ￥ } 6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为． （1）求抛物线的方程； （2）若过作，垂足为，求点的坐标． ： 7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与 直线相交于，两点． （1）求曲线的方程； — （2）当的面积等于时，求的值．

【 8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点， 记与轴的交点为． （1）若，且，求实数的值； （2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程． 【 · 9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．

高中数学会考专题集锦――圆锥曲线专题训练

圆锥曲线专题训练 一、选择题:(本大题共12小题,每小题4分,共48分 1、椭圆22 1106 x y +=的焦点坐标是 A 、(-2,0,(2,0 B 、(0,-2,(0,2 C 、(0,-4,(0,4 D 、(-4,0,(4,0 2、抛物线2 4x y =的准线方程是 A 、1=y B 、1-=y C 、1-=x D 、1=x 3、双曲线22y x -= 1 的离心率是

A 、2 B 、 2 2 C 、 2 1 D 、2 4、焦距为6,离心率5 3 =e ,焦点在x 轴上的椭圆标准方程是15 422=+y x A 、 125 1622=+y x B 、 14 522=+y x C 、 116 252 2=+y x D 、 5、双曲线13

2 2 =-y x 的两条渐近线夹角是 A 、0 30 B 、0 60 C 、0 90 D 、0 120 6、已知椭圆1252 22=+y a x 5(>a 的两个焦点为1F 、2F ,且8||21=F F ,弦AB 过点1F ,则△2ABF 的周长为A 、10 B 、20 C 、241 D 、 414 7、若0

90180θ<<,曲线2 2 sin 1x y θ-=表示 A 、焦点在x 轴上的双曲线 B 、焦点在y 轴上的双曲线 C 、焦点在x 轴上的椭圆 D 、焦点在y 轴上的椭圆 8、如果双曲线 112 1322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是 A 、 513 B 、13 C 、5 D 、13 5 9、如图,探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点,已知灯口直径是60cm ,灯深40cm ,那么光源到反射镜顶点的距离是 A 、11.25cm B 、5.625cm C 、20cm D 、10cm

高中数学圆锥曲线解答题专题训练

圆锥曲线解答题专题 1.如图所示，椭圆C: x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的离心率为√ 3 2 ，点M(−2,1)是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互 相垂直的动直线l 1，l 2，设l 1与椭圆C 相交于点A ，B ，l 2与椭圆C 相交于点D ，E ，当M 恰好为线段AB 的中点时，|AB |=√10． (1)求椭圆C 的方程 求AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 1. 如图，在椭圆C ：x 2 4+y 2=1中，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线OA ，OB 与C 分别交于A ，B 两点． (1)已知直线AB 的斜率为k ，用k 表示线段AB 的长度； (2)过点O 作OM ⊥AB 于M 点，点P 为椭圆C 上一动点，求线段PM 长度的取值范围． 2. 已知圆M ：(x +√5)2+y 2=36，定点N(√5,0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满 足NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，GQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． (1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点(2,0)作斜率为k 的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否 存在这样的直线l ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤−1？若存在，求出直线l 的斜率k 的取值范围；若不存在，请说明理由． 3. 已知椭圆C:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点M 在椭圆C 上滑动，若ΔMF 1F 2的面积取得最 大值4时，有且仅有2个不同的点M 使得ΔMF 1F 2为直角三角形． (1) 求椭圆C 的方程． (2)过点P(0,1)的直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，与x 轴交于点Q.设QA ⃗⃗⃗⃗⃗ = λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ为定值，并求该定值． 4. 已知椭圆C 的焦点在坐标轴上，对称中心为坐标原点，且过点M(1,√6 2 )和N(√2,1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2√3 3 ，求证： ∠AOB 是定值．