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高一数学上学期期中考试试卷含答案(共5套,新课标版)

高一第一学期数学期中考试试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2M =，{}3,4N =，则()U

M N =（）

A.{}5

B.{}1,2

C.{}3,4

D.{}1,2,3,4

2.函数y = ） A.[)1,+∞

B.[]0,2

C.()0,+∞

D.[)0,+∞

3.点()sin913,cos913A ︒︒位于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4.若实数a ，b 满足2a b +=，则33a b +的最小值是（）

A.18

B.6

D.5.已知0a b >>，则“0m >”是“m m a b >”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6．函数()

22log 4y x =-的单调增区间是（） A.()0,+∞

B.()2,+∞

C.(),0-∞

D.(),2-∞-

7.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，某班教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数10

0.05()-=+∈t

y e

R λλ描述，则该教室内的二氧化碳

浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据ln20.7,ln3 1.1≈≈）

A ．7分钟

B ．9分钟

C ．11分钟

D ．14分钟 8.设0.3log 0.2a =，3log 2b =，0.3

0.6c =，则（） A.c b a >>

B.b c a >>

C.a c b >>

D.a b c >>

二、多项选择题（共4小题，各题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）.

9．下列说法正确的是( )

A ．如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角

B ．如果α，β是第一象限的角，且αβ<则sin sin αβ<

C ．若圆心角为

3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为23

D ．若圆心角为23

的扇形的弦长为83π

10.若角α的终边上有一点()(),20P a a a ≠，则2sin cos αα-的值可以是（）

A ．

C ．

D 11.下列结论正确的是（）

A.“0x ∃<，2310x x -+≥”的否定是“0x ∀<，2310x x -+<”

B.函数()f x 在(],0-∞单调递增，在()0,+∞单调递增，则()f x 在R 上是增函数

C.函数()f x 是R 上的增函数，若()()()()1212f x f x f x f x +≥-+-成立，则120x x +≥

D.函数()f x 定义域为R ，且对,a b R ∀∈，()()()f a b f a f b +=+恒成立，则()f x 为奇函数

12.函数()()()2,142,1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪

=⎨--≥⎪⎩

恰有2个零点的充分条件是（）

A.(]1,2

B.()3,+∞

C.1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

D.10,2

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数()()

222x x f x x a -=⋅-是奇函数，则a =________________.

14.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点4π4πsin ,cos 33P ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，则()cos πα+=_________．

15.若cos cos 7

x π

=，则x 的取值组成的集合为_____________________..

16.设函数()()213,1,

2, 1.x

ax a x a x f x x ⎧-++<=⎨≥⎩

的最小值为2，则实数a 的取值范围是____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，且OA OB ⊥. （1）求()()sin cos 23cos sin 2ππαβππβα⎛⎫

++ ⎪

⎝⎭

⎛⎫

-+ ⎪

⎝⎭

的值；

（2）若点A 的横坐标为3

，求2sin cos αβ的值.

18．（本小题满分12分）

已知集合{}

23=<->或A x x x ，{}

123,=-≤≤+∈B x m x m m R ．（1）若2=m ，求A B 和()

R A B ；

（2）若=∅A B ，求实数m 的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知函数()2=-m

f x x x ，且112⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

f ．（1）求m 的值；

（2）判定()f x 的奇偶性，并给予证明；

（3）判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并给予证明．

20．（本小题满分12分）

已知2

()3=+-f x x x a ．

（1）若()0

4-<+f x ax a ．

21．（本小题满分12分）

市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放(14,)≤≤∈a a a R 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （分钟）变化的函数关系式近似为

()=⋅y a f x ，其中16

1(04)8()15(410)2

⎧-≤≤⎪⎪-=⎨

⎪-<≤⎪⎩x x

f x x x ，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．

（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

（2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由．

22.（本小题满分12分）

已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设()

()g x f x x

=. （1）求a ，b 的值

（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围；

（3）若()

213021

x f k k -+⋅

-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

8．C 【解析】依题意可知0=t 时，0.2=y ，即0.050.2,0.15+==λλ，

所以10

0.050.15=+t y e ，由10

0.050.150.1=+≤t y e ，得10

≤

t e ，两边取

以e 为底的对数得1

ln ln3 1.1,11103

≤=-≈-

≥t t ，所以至少需要11分钟，故选：C ．二、多项选择题（共4小题，每小题均有两个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1 14.

15． {|2,}7

k k Z π

ααπ=±

∈

16.[1,)+∞

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）∵2π

βα=

+，∴sin sin cos 2πβαα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，cos cos sin 2πβαα⎛⎫

=+=- ⎪⎝⎭

， ∴()()sin cos sin sin sin cos 21

3cos cos sin cos cos sin 2ππαβαβααπαβ

ααπβα⎛⎫

++ ⎪

⎝⎭==-=-⎛⎫-+ ⎪

⎝⎭

. .........................5分

（2）∵点A 的横坐标为35，∴3

cos 5α=，4

sin 5

， 4cos cos sin 25πβαα⎛⎫

=+=-=- ⎪⎝⎭

，

∴4432

2sin cos 25525

αβ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. ........................ 10分

18．【解析】（1）若2=m ，则{}

17=≤≤B x x ，......................... 1分所以{}21=<-≥或A

B x x x ， ......................... 3分

因为

{}23=-≤≤R

A x x ，所以(){}13=≤≤R A

B x x ． ......................... 6分

（2）因为=∅A B ，

当=∅B 时，123->+m m ，解得4<-m ，满足≠∅A

B ； ......................... 8分

当≠∅B 时，12312233-≤+⎧⎪

-≥-⎨⎪+≤⎩

m m m m ，解得10-≤≤m ， ......................... 11分

综上所述：实数m 的取值范围是4<-m 或10-≤≤m ． ......................... 12分

19．（1）因为11112112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

m m

f ，所以1=-m ； ......................... 3分

（2）由（1）可得1

()2=-

f x x x

，因为()f x 的定义域为{}0≠x x ，又111()222()⎛⎫⎛

⎫-=---

=-+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

f x x x x f x x x x ，所以()f x 是奇函数； ......................... 7分（3）函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，理由如下：任取120>>x x ，则()()()()()121212121212121212

2111222-+⎛⎫--=-

--=-+= ⎪⎝⎭x x x x x x

f x f x x x x x x x x x x x ....................10分因为120>>x x ，所以12120,0->>x x x x ，所以()()12>f x f x ，

所以()f x 在(0,)+∞上为单调增函数． ......................... 12分 20．【详解】（1）因为()0>f x 的解集为{}

4-<

所以4=-x 为方程()0=f x 的根，所以2

(4)3(4)0-+⨯--=a ，解得4=a ． ......................... 3分所以由2

()340=+-

41-<+f x ax a 等价于2

(3)30+-->x a x a ，整理得：(3)()0+->x x a ． ...................... 7分

当3>-a 时，解不等式得3<-x 或>x a ；当3=-a 时，解得3≠-x ；

当3<-a 时，解得-x ； ......................... 11分

综上，当3>-a 时，不等式的解集为(,3)(,)-∞-+∞a ；

当3=-a 时，不等式的解集为{}

3≠-x x ；当3<-a 时，不等式的解集为(,)

(3,)-∞-+∞a ． 12分

21．【解析】（1）因为4=a ，所以64

4,048202,410

⎧-≤≤⎪

=-⎨⎪-<≤⎩x y x x x ． ......................... 1分

则当04x ≤≤时，由

448-≥-x

，解得0≥x ，所以此时04x ≤≤． ......................... 4分当410<≤x 时，由2024-≥x ，解得8≤x ，所以此时48<≤x ． ......................... 5分综上，得08≤≤x ，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟． ........................ 6分

（2）假设要使接下来的4分钟内持续有效去污，则：当610≤≤x

时，11616251(14)4428(6)14⎡⎤⎛⎫=⨯-

+-=-+--≥-- ⎪⎢⎥---⎝

⎭⎣⎦

a y x a x a a x x ....... 8分

当且仅当14-=x 时等号取到．（因为14≤≤a ，所以[6,10]∈x 能取到）所以y

有最小值4--a

．令44--≥a ，

解得244-≤≤a ， ......................... 10分

所以a

的最小值为24 1.42-≈<．即要使得接下来的4分钟内持续有效去污，6分钟后至少需要再投放1.4个单位的洗衣液．所以，若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，能使接下来的4分钟内持续有效去污． ......................... 12分

22. （1）由题意2()(1)1g x a x b a =-++-，又0a >，∴()g x 在[2,3]上单调递增，